专题06：正切函数的图像与性质 （知识梳理+9大题型+能力提升）讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 专题06 正切函数的图像与性质 1．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点 (-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图. 题型01：正切（型）函数的图象 1．画出函数，的简图． 2．画出函数在上的简图． 3．函数（）的图象可能是（    ） A．   B．  C．   D．   4．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的图象的对称中心为 ． 5．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则______ 6.函数与的图象在区间上交点的个数为 ． 题型02：正切（型）函数图像的应用（求定义域与解不等式） 7.函数的定义域为 . 8. 的定义域为（    ） A． B． C． D． 9.不等式，的解集为 . 10．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 11.已知，且，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12.观察正切曲线，写出满足下列条件的x的取值范围. (1)； (2). 题型03：正切（型）函数的周期性 13.函数的最小正周期是_______ 14．函数的最小正周期为_____ 15．若函数的最小正周期为，则________ 16. 直线与函数的图像的相邻两个交点的距离是 ． 题型04：正切（型）函数的单调性 17. 已知函数：①，②，③，④，其中周期为，且在上单调递增的是 A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 18. 函数的单调递增区间为 19.函数的单调递增区间为_______ 20.函数的单调区间是______ 21.函数在上的最大值为，最小值为，则________ 22.已知函数在单调递增，则的取值范围为 ． 23.已知函数在区间上的最大值为7，最小值为1，求和的值. 24.比较大小，在下面的横线上填上“>”“<”或“=”． ； ． 题型05：正切（型）函数的奇偶性 25.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的奇函数 26.已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27.函数的奇偶性是 ． 28.已知函数，若，则_______ 29.已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为_____ 30.判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 题型06：正切（型）函数的对称性 31．“”是“函数的图象关于对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 32.已知函数，则的对称中心为 ． 33.设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是_______ 34.已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 题型07：正切（型）函数的值域及最值 35.函数的值域是 . 36．函数的值域是（　　） A． B． C． D． 37.函数，的最大值与最小值之和为 . 38.函数的值域 39．若函数的最小值为-6，则实数a的值为 . 题型08：含绝对值正切（型）函数的图象和性质 40.函数、、在上的大致图像依次是 ．（选填序号） 41.曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 42..函数在区间内的图象是 .（填相应序号）    43．关于函数f(x)＝tan|x|+|tanx|有下述四个结论： ① f(x)是偶函数;    ② f(x)在区间上单调递减; ③ f(x)是周期函数;  ④ f(x)图象关于对称 其中所有正确结论的编号是 A．①③ B．②③ C．①② D．③④ 44.画出f(x)＝tan|x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性． 45.已知函数．（画出函数草图，直接写出结论即可．） (1)求函数的定义域与值域； (2)求函数的周期及对称轴方程； (3)求函数的单调区间． 题型09：正切（型）函数图像与性质的综合应用 46．已知函数，则下列结论中不正确的是（    ） A． B．若，且，则 C．点是图象的一个对称中心 D．在区间上不具有单调性 47．对于函数的性质，不正确的有（    ） A．定义域为，周期为2 B．单调区间为， C．对称中心为， D．在定义域内，任意、且，，则最大值为1 48.已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 49．已知函数的最小正周期为，且． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)设函数，若，求t的最小值． 一、填空题 1.若函数的最小正周期为，则_____ 2．下列是函数的对称中心的是______ 3．函数的单调递增区间为 . 4.函数的单调区间为 ． 5.比较大小： . 6．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是______ 7．已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为8，则的值为 8．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值是 ． 二、选择题 9.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 10.下列四个函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 11．函数在区间内的大致图象是（  ） A．B．C．D．   12.已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象可以由的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到 B．函数是偶函数 C．函数的图象关于点对称 D．函数的最小正周期为 3、 解答题 13.设函数 (1)求函数的定义域、最小正周期． (2)求不等式的解集． 14.已知函数的最小正周期为， (1)求图象的对称中心； (2)求不等式在上的解集． 15.已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）若，方程有解，求实数的取值范围. 16.已知函数． （1）求函数的定义域； （2）求函数的单调区间； （3）求函数的对称中心． 17.已知函数，其中． （1）当，时，求函数的最大值与最小值； （2）函数为奇函数，求的值； （3）求的取值范围，使在区间上是单调函数． 18．已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 专题06 正切函数的图像与性质 1．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点 (-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图. 题型01：正切（型）函数的图象 1．画出函数，的简图． 【答案】答案见解析． 【分析】用列表描点法画图． 【详解】列表： 0 1 0 －1 描点连线： 2．画出函数在上的简图． 【答案】答案见解析 【分析】根据五点作图法画图即可. 【详解】令，，可得，， 又，所以直线是该函数图象的一条渐近线． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 描点，，，，画虚线，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．    3．函数（）的图象可能是（    ） A．   B．  C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数奇偶性排除不符合的两个选项，再根据的符号，即可得符合的函数图象. 【详解】因为函数（） 所以，则函数为偶函数，故排除A，C选项； 又，故排除D选项，故选B符合. 故选：B. 4．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的图象的对称中心为 ． 【答案】， 【分析】由函数图象变换法则得函数的解析式，结合正切函数的性质列关系式求对称中心的横坐标，即可求解. 【详解】由题意可知：函数， 令，，解得，，所以函数的图象的对称中心为，. 故答案为：，. 5．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则______ 【分析】首先根据题意得到，再求即可. 【详解】由题知：. . 6.函数与的图象在区间上交点的个数为 ． 【答案】 【分析】先分析时图象是否有交点，然后作出与的图象，根据图象直接判断即可. 【详解】因为当时，， 所以当时，与的图象没有公共点， 函数与在区间内的图象如图所示， 观察图象，由对称性可知时，与的图象没有公共点， 综上，与的图象在区间上有个交点． 题型02：正切（型）函数图像的应用（求定义域与解不等式） 7.函数的定义域为 . 【答案】 【分析】先根据定义域得出解出来即可. 【详解】要使，则有 由得 所以原函数的定义域为 故答案为： 8. 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】复合函数定义域问题，分解函数，分别求定义域再求交集. 【详解】令， 函数的定义域为：， 函数的定义域：，则，即， 所以的定义域为 9.不等式，的解集为 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，数形结合可得. 【详解】根据题意，作出函数的图象，如图所示，由，可得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 10．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的单调性解不等式即得. 【详解】依题意，得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 11.已知，且，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将转化为或，利用数形结合法求解. 【详解】解：等价于或， 如图所示： 由正切函数图象知， 故选：B． 12.观察正切曲线，写出满足下列条件的x的取值范围. (1)； (2). 【答案】(1)（） (2)（） 【分析】利用正切函数曲线，通过数形结合及正切函数的周期性来解不等式. 【详解】（1）观察正切曲线， 在区间内，可知，此时满足的x的取值范围是， 又正切函数的最小正周期为，所以满足的x的取值范围是（）. （2）观察正切曲线， 在区间内，可知，. 此时满足的x的取值范围是， 又正切函数的最小正周期为，所以满足的x的取值范围是（）. 题型03：正切（型）函数的周期性 13.函数的最小正周期是______ 【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解. 【详解】函数的最小正周期， 14．函数的最小正周期为_______ 【分析】算出的最小正周期，再根据加绝对值后，函数之间的最小正周期关系得到的最小正周期． 【详解】对于，，因此它的最小正周期为， 加上绝对值后，图像会将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图所示，    由图可知，加上绝对值后，周期不变，所以的最小正周期与一致，均为． 15．若函数的最小正周期为，则________ 【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解. 【详解】由题意可得的最小正周期，则，解得． 16. 直线与函数的图像的相邻两个交点的距离是 ． 【答案】/ 【分析】根据正切型函数的图象与性质，求得函数的最小正周期为，结合周期，即可得到答案. 【详解】由正切型函数的图象与性质，可得函数的最小正周期为， 所以直线与函数的图像的相邻两个交点的距离是. 故答案为：. 题型04：正切（型）函数的单调性 17. 已知函数：①，②，③，④，其中周期为，且在上单调递增的是 A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】利用三角函数的周期性，与三角函数的图象和性质对选项逐个分析即可得出结论. 【详解】对于①周期为，由正切函数的图象可得在上单调递增，所以①正确； 对于②为偶函数，根据图象判断它不是周期函数，所以②不正确； 对于③由于函数周期为，利用正弦函数的图象可得在上单调递增，故③正确； 对于④的周期为，利用余弦函数的图象可得在上单调递减，故④不正确； 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查了三角函数的图象和性质，熟练掌握各类三角函数的周期情况及求法是解决问题的关键，属于中档题. 18. 函数的单调递增区间为 【答案】 【分析】利用正切型函数的单调性可求得函数的单调递增区间. 【详解】对于函数，由， 可得， 所以，函数的单调递增区间为. 故答案为：. 19.函数的单调递增区间为_______ 【分析】根据题意，由正切函数的单调区间，列出不等式，求解即可得到结果. 【详解】令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 20.函数的单调区间是______ 【分析】利用诱导公式化简，再根据正切函数的性质计算可得. 【详解】因为， 令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为. 21.函数在上的最大值为，最小值为，则________ 【分析】由正切函数的单调性可知函数在上单调递增，即，，解方程即可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以， 因为函数在上的最大值为，最小值为， 所以，即，所以 令，，因为在上单调递增， 在定义域内单调递增，由“复合函数”的单调性知， 函数在上单调递增， 所以，解得：， ， 解得：，因为，则， 所以，解得：. 故. 22.已知函数在单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定的区间，结合正切函数的单调区间来确定的取值范围即可. 【详解】当时，，又因为在上单调递增，结合正切函数的单调性得，解得， 的取值范围为． 故答案为：. 23.已知函数在区间上的最大值为7，最小值为1，求和的值. 【答案】或. 【分析】分类讨论的值，从而得到函数的单调区间，再利用函数的最值求解即可. 【详解】当时，，不符合题意，舍去. 当时，在区间上为增函数， ，解得 ，. 当时，在区间上为减函数， ，解得 ，. 24.比较大小，在下面的横线上填上“>”“<”或“=”． ； ． 【答案】 < > 【分析】根据正切函数的单调性可求； 【详解】（1）在区间是增函数， 由，； （2），， 在是增函数，且， ，，即. 故答案为：；. 题型05：正切（型）函数的奇偶性 25.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的奇函数 【答案】C 【分析】先求函数的最小正周期，再判断函数的奇偶性得解. 【详解】解：的最小正周期为, 令， 所以函数的定义域关于原点对称. 又， 所以函数是奇函数. 故选：C 26.已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出函数的图象关于轴对称所满足的条件，和进行比较 【详解】关于轴对称，则关于原点对称，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函数的图象关于轴对称是的必要不充分条件 故选：B 27.函数的奇偶性是 ． 【答案】奇函数 【分析】解正切不等式，求得函数定义域；再结合奇偶性的定义，即可判断. 【详解】由，得或， ∴函数定义域为∪，关于原点对称． 又， ∴，∴是奇函数． 故答案为：奇函数. 28.已知函数，若，则_______ 【分析】将代入可推导出，再将代入，利用整体代换思想即可得最后结果. 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，整体代换思想的应用，属于中档题. 29.已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为_____ 【分析】依题意可得，令，，即可得到是奇函数，根据奇函数的性质计算可得； 【详解】解:，令，，于是 ，所以是奇函数，从而的最大值G与最小值g的和为0，而. 30.判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 【答案】(1)既不是偶函数，也不是奇函数 (2)奇函数 【分析】(1)求函数的定义域，可得定义域不关于原点对称，由此判断函数既不是偶函数，也不是奇函数，(2)求函数的定义域，确定定义域关于原点对称，再通过比较与的关系判断函数的奇偶性. (1) 由得的定义域为且， 由于的定义域不关于原点对称，所以函数既不是偶函数，也不是奇函数； (2) 由题知函数的定义域为且，定义域关于原点对称， 又，所以函数是奇函数. 题型06：正切（型）函数的对称性 31．“”是“函数的图象关于对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数的图象关于对称， 则，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件. 故选：A. 32.已知函数，则的对称中心为 ． 【答案】 【分析】由正切函数对称中心公式列式计算即可. 【详解】令，则， 故的对称中心为，. 故答案为：，. 33.设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是_______ 【分析】根据对称中心结合正切函数性质可得，进而可求最小正周期. 【详解】因为函数的图象的一个对称中心为， 则，解得， 且，所以函数的最小正周期为， 对于选项A：若，此时，不合题意，故A错误； 对于选项B：若，此时，不合题意，故B错误； 对于选项C：若，解得，故C正确； 对于选项D：若，此时，不合题意，故D错误； 34.已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用整体代换法可求得，结合题意可求出及，又在区间上至少有两个对称中心则可得在区间上至少有两解，从而可求解. 【详解】当，， 若函数（）在区间上有定义， 则，解得， 函数的对称中心满足，，整理得，， 其图象在区间上至少有两个对称中心，则在区间上至少有两解， 整理得至少存在两个值使，， 故至少有两个取值，所以， 综上，的取值范围为. 故答案为:. 题型07：正切（型）函数的值域及最值 35.函数的值域是 . 【答案】 【分析】由题意，令，再根据正切函数的单调性，即可求出结果. 【详解】函数. ，令. 函数在上单调递增， ，即， ， 函数的值域为. 故答案为： 36．函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的有界性与正切函数的单调性，即可求出函数的值域． 【详解】∵，∴. ∵在上是单调递增的． 即 ∴函数的值域为. 故选：C 37.函数，的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【分析】换元法求函数值域，首先令，根据得，进而结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，，， 则，因为对称轴为， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 函数的最大值与最小值之和为. 故答案为：. 38.函数的值域 【答案】 【分析】首先确定定义域，根据二倍角公式将整理为，从而根据定义域可知，进而得到函数值域. 【详解】定义域为： 当时， 值域为 本题正确结果： 【点睛】本题考查正切函数值域的求解问题，忽略原函数的定义域是本题的易错点. 39．若函数的最小值为-6，则实数a的值为 . 【答案】-7或7 【解析】设，则原函数化为，分别讨论，，时函数的最小值即可求出a. 【详解】设.因为，所以， 则原函数化为， 对称轴方程为直线. ①若，即，则 当时，， 所以，不符合题意，舍去； ②若，即， 则二次函数在上单调递增， 当时，，所以； ③若，即， 则二次函数在上单调递减， 当时，，所以. 综上所述，实数a的值为-7或7. 故答案为：-7，7 【点睛】本题考查了正切函数的值域和二次函数的最值，考查了换元法和分类讨论法，属于中档题. 题型08：含绝对值正切（型）函数的图象和性质 40.函数、、在上的大致图像依次是 ．（选填序号） 【答案】①③② 【分析】借助正切函数的图象和性质，因为函数，所以在轴下方无图像； 与的图像关于轴对称；是一个偶函数，图象关于y轴对称. 【详解】，在轴下方无图像，对应①； 与关于y轴对称，对应③， 是偶函数，图象关于y轴对称，对应②； 故三个图象依次是①③②. 故答案为：①③②. 41.曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数图象性质得出对称轴表达式即可. 【详解】根据函数的图象可知曲线的图象如下图： 因此对称轴方程满足，即可得， 所以对称轴方程为. 故选：A 42.函数在区间内的图象是 .（填相应序号）    【答案】④ 【分析】分段取绝对值，然后由正弦函数和正切函数图象可得. 【详解】当时，，此时； 当时，，此时. 综上，，由正弦函数和正切函数图象可知④正确. 故答案为：④ 43．关于函数f(x)＝tan|x|+|tanx|有下述四个结论： ① f(x)是偶函数;    ② f(x)在区间上单调递减; ③ f(x)是周期函数;  ④ f(x)图象关于对称 其中所有正确结论的编号是 A．①③ B．②③ C．①② D．③④ 【答案】C 【分析】①用奇偶性定义证明为正确； ②化简去绝对值，可证为正确； ③ ④作出图像，可判断为不正确. 【详解】 为偶函数，①为正确; 单调递减，②为正确； 作出函数在的图像如下图： 可判断③ ④不正确. 故选:C 44.画出f(x)＝tan|x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性． 解　f(x)＝tan|x|化为f(x)＝ 根据y＝tan x的图象，作出f(x)＝tan|x|的图象，如图所示， 由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为，(k∈N)；单调减区间为，(k＝0，－1，－2，…)． 45.已知函数．（画出函数草图，直接写出结论即可．） (1)求函数的定义域与值域； (2)求函数的周期及对称轴方程； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1)定义域为；值域为； (2)；对称轴方程为； (3)单调减区间为；单调增区间为． 【分析】（1）根据条件，利用的性质，即可求解； （2）根据图象变换，利用的图象作出的图象，数形结合，即可求解； （3）利用的图象与性质及图象，即可求解. 【详解】（1）由，得到， 又因为的值域为，所以的值域为， 则函数的定义域为，值域为. （2）因为的周期为， 且的图象可由的图象将轴下方图象关于轴翻折上去，上方图象不变得到， 又将图象上所有点向右平移个单位，得到， 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到的图象， 再将图象所点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，得到， 则的图象如图所示， 由图知的周期为， 又由，得到，所以函数的对称轴方程为. （3）因为在区间上单调递增， 由，得到， 由，得到， 所以的减区间为，增区间为. 题型09：正切（型）函数图像与性质的综合应用 46．已知函数，则下列结论中不正确的是（    ） A． B．若，且，则 C．点是图象的一个对称中心 D．在区间上不具有单调性 【答案】A 【分析】由正切函数的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，故A错误； 对于B的最小正周期为，结合题意可知即为函数最小正周期，故B正确； 对于C，当时，，所以点是图象的一个对称中心，故C正确； 对于D，当时，，因为函数在处无意义， 再结合的图象特征可知在区间上不具有单调性，故D正确. 故选：A. 47．对于函数的性质，不正确的有（    ） A．定义域为，周期为2 B．单调区间为， C．对称中心为， D．在定义域内，任意、且，，则最大值为1 【答案】C 【分析】对于ABC，利用正切函数的性质求解即可；对于D，利用转化法，结合正切函数的图像性质即得解. 【详解】对于A，因为， 所以由，，得，，， 则的定义域为，周期为2，故A正确； 对于B，令，得， 所以的单调递增区间为，，故B正确； 对于C，令，得， 所以的对称中心为，，故C错误； 对于D，令，则， 因为，即， 则恒成立， 记对应的点为，对应的点为，的中点为，如图，      显然，由梯形的中位线定理可得，所以上述不等式转化为恒成立， 显然结合的图像可知所在最大区间为， 所以，则，即， 所以最大值为1，故D正确. 故选：C. 48.已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据正切函数的图象和性质，解不等式； （2）首先求函数的值域，再换元为函数，转化为讨论对称轴与定义域的关系，求函数的最小值问题，即可求解. 【详解】（1）不等式，即，则， 从而， 解得， 故不等式的解集为. （2）因为，所以，所以， 所以，即. 设，则. 设函数，则. 当，即时，在上单调递增， 则，解得，又，所以，即不符合题意. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 又，所以. 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 又，所以. 综上，的取值范围是. 49．已知函数的最小正周期为，且． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)设函数，若，求t的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数的周期可求的值，再根据，结合的取值范围，可求的值，进而可得的解析式. （2）利用正切函数的性质，结合换元思想求函数在给定区间的值域. （3）先得到的解析式，再结合，利用正切函数的周期性，可求的最小值. 【详解】（1）因为最小正周期．所以，解得． 因为， 所以，则． 解得． 由，得，从而. （2）因为，所以， 所以，即在上的值域． （3）由（1）知． 因为，所以， 所以，解得， 因为，所以当时，的最小值为． 一、填空题 1.若函数的最小正周期为，则_____ 【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解. 【详解】由题意可得的最小正周期，则，解得． 2．下列是函数的对称中心的是______ 【分析】根据正切函数的对称中心进行求解即可. 【详解】令，解得， 故函数的对称中心为，故AB错误； 当时，，故对称中心为，D正确， ，C不满足要求． 3．函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】根据正切函数的单调递增区间利用整体代换解不等式可得结果. 【详解】易知正切函数的单调递增区间为， 所以令，解得； 即该函数的单调递增区间为. 故答案为：. 4.函数的单调区间为 ． 【答案】 【分析】利用求解即可. 【详解】由，解得， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间. 故答案为：. 5.比较大小： . 【答案】> 【分析】利用诱导公式得到，，根据在内的单调性，比较出大小. 【详解】∵，. 又，在内单调递增， ∴， ∴. 故答案为：> 6．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是______ 【分析】由正切函数单调性、复合函数单调性可列不等式即可求解. 【详解】当时，，由在区间上单调递增， 得，解得. 7．已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为8，则的值为 【答案】/ 【分析】由题意，阴影部分的面积等于矩形的面积，利用面积即可求得参数值. 【详解】如图，结合函数图象的对称性，阴影部分的面积等于矩形的面积， 对于函数，定义域为， 令，则，即， 由图知，过点C垂直于x轴的直线为，又，则， 则，解得. 故答案为：. 8．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据图象的平移得到，利用列方程，解方程得到，然后根据即可得到的最小值. 【详解】函数的图象向左平移t个单位长度，得到函数的图象，又，所以，解得，因为，所以当时，取最小值，． 故答案为：. 二、选择题 9.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次根式有意义得，结合正切函数的性质可得结果. 【详解】由题意得，， ∴， ∴， ∴函数的定义域为. 故选：B. 10.下列四个函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦、余弦、正切函数的单调性判断即可. 【详解】对A，因为在上递增，所以在上单调递减，故A错误； 对B，在上单调递减，故B错误； 对C，在上单调递增，故C正确； 对D，由C知，在上单调递减，故D错误. 故答案为：C 11．函数在区间内的大致图象是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】当时， 即， 所以在区间上的图象与的图象相同， 当时， 即， 所以在区间和上的图象是的图象关于轴的对称图形. 故选：B. 12.已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象可以由的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到 B．函数是偶函数 C．函数的图象关于点对称 D．函数的最小正周期为 【答案】C 【分析】根据三角函数的变换规则判断A，求出函数的定义域即可判断B，代入法检验C，根据正切函数的性质判断D. 【详解】对于A：将的图象向右平移个单位得到， 再将向上平移1个单位得到，故A错误； 对于B：由，解得， 即的定义域为， 则的定义域为，定义域不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，故B错误； 对于C：因为，所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D：函数的最小正周期，故D错误. 故选：C 3、 解答题 13.设函数 (1)求函数的定义域、最小正周期． (2)求不等式的解集． 【答案】(1)定义域；最小正周期； (2) 【分析】（1）根据正切函数的性质列不等式即可得函数定义域，由正切型三角函数的性质得最小正周期； （2）根据正切型函数的性质可求解不等式的解集. 【详解】（1）函数的定义域满足函数，所以 所以函数的定义域为； 最小正周期； （2）由不等式，则，解得， 所以不等式的解集为. 14.已知函数的最小正周期为， (1)求图象的对称中心； (2)求不等式在上的解集． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据函数的周期公式求出，然后利用正切函数的对称性进行求解即可． （2）根据正切函数的性质解不等式即可． 【详解】（1）由，得．由，得， 所以图象的对称中心为． （2）由，得, 由，得， 所以，得， 故不等式在上的解集为． 15.已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）若，方程有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)1；(2). 【分析】(1)由奇函数定义推导计算即可得解； (2)根据给定条件化简整理函数，令，构造新函数并求出其值域即可得解. 【详解】(1)因函数为奇函数，于是有， 即，则，，而，解得， 所以实数的值是1； (2)由(1)知，显然有，即， 函数中，，则， 于是得，， 令，，显然，函数在上单调递增，， 而在上单调递增，于是得，则有的值域为， 从而有的值域是，又方程有解，则， 所以实数的取值范围是. 16.已知函数． （1）求函数的定义域； （2）求函数的单调区间； （3）求函数的对称中心． 【答案】（1），；（2）函数的增区间为，，；（3）对称中心是，，． 【分析】（1）根据正切函数有意义的条件求解. （2）根据正切函数单调性求解. （3）根据正切函数的对称性求解. 【详解】（1）对于函数，令，求得，， 故函数的定义域为，． （2）令，求得， 可得函数的增区间为，，． （3）令，求得，，故函数的对称中心为，，． 17.已知函数，其中． （1）当，时，求函数的最大值与最小值； （2）函数为奇函数，求的值； （3）求的取值范围，使在区间上是单调函数． 【答案】（1）；；（2）；（3），. 【分析】（1）代入,再对中的二次函数进行配方分析最值即可. （2）根据奇函数的定义可得，解方程即可. （3）计算二次函数的对称轴满足的关系式,再列出对应的不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，， 对称轴，当时，最大，且； 当时，最小，且， 综上，的最大值，最小值为. （2）， 函数的定义域 若为奇函数，则， 即，解得， 所以， 所以函数为奇函数时， （3）的对称轴为， 在区间上单调时，或， ∴或， 解得或，（）， ∴的取值范围是，. 18．已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期； （2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围； （3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为. （2）由，且，得， 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，则， 则的范围为． （3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则， 得， 所以的取值范围为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $