05 微专题 三角函数的周期性及其应用讲义-2023-2024学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【原卷版】 ( 微专题 三角函数 的 周期性 及其 应用 ) ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 1、函数的周期性 （1）定义：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D 都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数， 非零常数T叫做这个函数的周期； （2）最小正周期 ①定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期；②比如正弦函数与余弦函数的最小正周期：2π； 【备注】1、是否所有的周期函数都有最小正周期？ 【提示】不是．如f(x)＝C(C为常数，x∈R)，所有的非零实数T都是它的周期， 不存在最小正周期； 2、周期函数的周期是否唯一？ 【提示】不唯一．若f(x＋T)＝f(x)，则f(x＋nT)＝f(x)(n∈N)． 3、正弦函数周期性的释疑 由正弦、余弦函数的图像和周期函数的定义可得： 正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π； 由正切函数的图像和周期函数的定义可得： 正弦函数是周期函数，kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为π； 4、三角函数周期的求法 可化为函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的形式，则利用T＝求得； 函数y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是； 题型1、公式法求三角函数的周期 例1、求下列三角函数的周期： （1） y＝3sin x，x∈R； （2）y＝cos 2x，x∈R； （3）y＝sin，x∈R； 【解析】 ( 学习笔记 ) 【说明】求函数最小正周期的常用方法：①公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b 或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的形式，再利用T＝求得；或将函数化为y＝Atan(ωx＋φ)＋b 的形式，再利用T＝求得； 题型2、图像法求三角函数的周期 例2、（1）求函数y＝|cos x|，x∈R的周期 （2）求函数f(x)＝|sinx|＋sinx.的周期： 【说明】求函数最小正周期的常用方法：②图像法，利用变换的方法或作出函数的图像， 通过观察得到最小正周期； 题型3、三角函数的周期与三角变换的交汇 例3、 （1）函数f(x)＝sin ＋cos 的最小正周期 ( 学习笔记 )（2）函数y＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1的最小正周期 【说明】求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ) 或y＝Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的形式， 再分别应用公式T＝或T＝求解； 题型4、已知三角函数的周期求参数 例4、（1）函数y＝2cos的最小正周期为4π，则ω＝______. （2）函数y＝3sin的最小正周期是π，则a＝______. 【错解】∵＝π，∴|a|＝2，∴a＝±2. [【错答】±2 题型5、三角函数的周期与其他函数性质的交汇 例5、 （1）若函数f(x)是以为周期的奇函数，且f()＝1，求f(－π)的值． （2）若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝________. 【说明】1、解决函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的周期性， ( 学习笔记 )可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x 的函数值的关系，从而可解决求值问题． 2、推得函数周期的若干形式： （1）若f(x＋t)＝f(x)，则函数周期为t； （2）若f(x＋t)＝－f(x)，则函数周期为2t； （3）若f(x＋t)＝，则函数周期为2t； （4）若f(x＋t)＝－，则函数周期为2t. 题型6、有关三角函数的周期的综合题 例6、 （1）对于正数a，函数f(x)＝tan，x∈∪． 如图所示，直线l1与y＝f(x)的图象交于O，A，B三点， 过点A且与x轴平行的直线l2与y＝f(x)的图象交于另一点C； 若△ABC为等边三角形，则△ABC的面积为(　 　) A． B． C． D．2 （2）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称． ①证明：f(x)是周期函数； ②若当x∈[－2,2]时，f(x)＝－x2＋1，求当x∈[－6，－2]时，f(x)的解析