专题01：正弦、余弦、正切、余切 （知识梳理+9大题型+能力提升）讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 专题01 正弦、余弦、正切、余切 知识点1 ：任意角的概念 1.角的定义与推广 定义：由一条射线绕着端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形. 正角：按逆时针方向旋转形成的角. 负角：按顺时针方向旋转形成的角. 零角：射线未旋转（始边与终边重合），角度为（或弧度）. 2.象限角 建立平面直角坐标系，使角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合. 象限角：终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角（终边落在坐标轴上的角不属于任何象限，称为轴线角）. 表示： 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角： 3.终边相同的角：定义：所有与角终边相同的角（包括本身），构成集合. 4.弧度的概念：定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作. 5.用弧度制表示角的集合 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角： 6.角度化为弧度 换算公式：，即角度值=弧度值. 7.弧度化为角度 换算公式：，即弧度值=角度值. 8.弧长的有关计算 公式：若圆心角为（弧度制），半径为，则弧长. 推导：由弧度定义变形可得. 注意：必须以弧度为单位，若为角度制需先转化为弧度. 9.扇形面积的有关计算 公式1：（为弧长，为半径）. 公式2：（为圆心角的弧度值，为半径）. 关系：由，可将公式1转化为公式2. 10.扇形中的最值问题 常见类型： 1.已知扇形周长（），求面积的最大值（利用二次函数或基本不等式求解）. 2.已知扇形面积，求周长的最小值. 知识点2：三角函数的定义 1.直角三角形定义（初中基础，适用于锐角） 设为直角三角形的一个锐角，对边为，邻边为，斜边为，则： 正弦： 余弦： 正切： 余切： 2.单位圆定义（高中拓展，适用于任意角） 单位圆：以坐标原点为圆心，半径为的圆（方程：）. 定义：设任意角的终边与单位圆交于点，则： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数：（，即） 余切函数：（，即） 知识点3：三角函数值的符号规律 1.象限符号口诀：“一全正，二正弦，三正余切，四余弦” 第一象限：，，，（全正）. 第二象限：，，，（仅正弦正）. 第三象限：，，，（正切、余切正）. 第四象限：，，，（仅余弦正）. 2.轴线角的三角函数值（特殊值，必记） 无意义 无意义 无意义 无意义 无意义 知识点4：同角三角函数的基本关系 1.平方关系：（，恒成立）. 2.商数关系：（）. 3.倒数关系：（）. 4.常用变形公式（干货结论） 平方关系变形： （符号由所在象限决定） （符号由所在象限决定） 商数关系变形：，. 知识点5：特殊角的三角函数值 角度 无意义 无意义 无意义 知识点6：诱导公式 诱导公式本质：将任意角的三角函数值转化为锐角三角函数值，核心原则：“奇变偶不变，符号看象限”. “奇变偶不变”：指诱导公式中角的形式为（），当为奇数时，三角函数名称改变（，）；当为偶数时，三角函数名称不变. “符号看象限”：将视为锐角，判断原角（）所在象限，根据三角函数的符号规律确定结果的正负. 常用诱导公式分类（按角的关系划分） 1.终边相同的角（，） 2.平角加角（） 3.补角公式（） 4.负角公式（） 5.余角公式（） 6.互余角公式 诱导公式使用步骤（四步走） 1.去周期：利用公式，将角化为范围内的角. 2.定象限：判断化简后角所在的象限. 3.用公式：根据角的形式选择对应诱导公式，“奇变偶不变”确定函数名称. 4.定符号：“符号看象限”确定结果的正负，最终转化为锐角三角函数值. 题型01：任意角与终边相同的角 1．已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么、、的关系是（    ） A． B． C． D． 2．平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是（    ） A．第一象限角一定不是负角 B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 C．第二象限角必大于第一象限角 D．钝角的终边在第二象限 3．已知角，则的终边在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 5．设集合，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围 . 题型02：角度制与弧度制 8.将化为弧度制是 . 9.将弧度化为角度：弧度= °． 10.将弧度化为角度为（    ） A． B． C． D． 11．把角化为的形式为（    ） A． B． C． D． 题型03：扇形的弧长与面积 12.若扇形的圆心角为，半径为6cm，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C． D． 13.若有一扇形的周长为60cm，那么当扇形的面积最大时，圆心角的弧度数为 弧度. 14.中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧AB的长为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 15.已知圆心角为的扇形内部有一个圆C与扇形的半径及圆弧均相切，当圆C面积为时，该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 16.某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧和通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ弧度． (1)求θ关于x的函数关系式； (2)已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值． 题型04：任意角的正弦、余弦、正切、余切 17．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则_____ 18．已知角的终边过点，则 ． 题型05：三角函数值的符号判定 19.已知点在角终边上，则下列角中与终边相同的是（    ） A．1 B． C． D． 20．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（   ） A．第二象限角或第三象限角 B．第二象限角或第四象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角、第三象限角或第四象限角 21．已知函数，则角所在象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第三象限或第四象限 D．第二象限或第四象限 题型06：同角三角关系的应用 22．已知是第三象限的角，则 ． 23．已知，则“”是“”的（　　） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 24．已知，，其中，则的值为 . 26．若，则_______ 27.已知，则 . 28.如果角满足，那么的值是______ 29. 已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)若为第一象限角，求、的值． 题型07：诱导公式 30.化简：_______ 31.已知，则=________ 32.已知函数，则_____ 33.已知． (1)若是第二象限角，求的值； (2)求的值． 34.在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，且. (1)求实数及相应的值； (2)当时，化简并求值. 题型08：已知角的正弦、余弦、正切值求角 35.根据下列条件，分别求角： （1）已知；（2）已知；（3）已知. 36.求下列方程的解集： （1），； （2），. 37.（1）已知，求：满足条件的角的取值范围； （2）已知，求：满足条件的角的取值范围； 题型09：素养综合提升 38.已知. (1)若角的终边过点，始边为非负半轴，求； (2)若，分别求和的值. 39.已知，且为第三象限角. (1)求和的值； (2)已知，求的值. (3)若，求的值. 一、填空题 1．3弧度是第 象限角． 2.若与的终边相同，则角的终边所在第_________象限 3.一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为_______ 4. 方程的解是 . 5．已知角的终边经过点，且，则的值是 . 6.已知，且是第二象限的角，则______． 7.若tan x＝，且x∈(－π，π)，则x＝________ 8.已知，，则_________． 9.已知，则__________ 10.已知，，则______． 11.集合 ． 12．已知，则的值为 ； 二、选择题 13．如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 14．已知平面直角坐标系中点位于第三象限，且，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 15.已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 16.设角满足条件，则所在的象限是（    ） A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 3、 解答题 17.已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的周长； (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，此时扇形的圆心角为多少弧度. 18.已知、是关于的方程的两个根. (1)求实数的值， (2)求的值. 19.已知. (1)求； (2)若角为第二象限角，且，求的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 专题01 正弦、余弦、正切、余切 知识点1 ：任意角的概念 1.角的定义与推广 定义：由一条射线绕着端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形. 正角：按逆时针方向旋转形成的角. 负角：按顺时针方向旋转形成的角. 零角：射线未旋转（始边与终边重合），角度为（或弧度）. 2.象限角 建立平面直角坐标系，使角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合. 象限角：终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角（终边落在坐标轴上的角不属于任何象限，称为轴线角）. 表示： 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角： 3.终边相同的角：定义：所有与角终边相同的角（包括本身），构成集合. 4.弧度的概念：定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作. 5.用弧度制表示角的集合 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角： 6.角度化为弧度 换算公式：，即角度值=弧度值. 7.弧度化为角度 换算公式：，即弧度值=角度值. 8.弧长的有关计算 公式：若圆心角为（弧度制），半径为，则弧长. 推导：由弧度定义变形可得. 注意：必须以弧度为单位，若为角度制需先转化为弧度. 9.扇形面积的有关计算 公式1：（为弧长，为半径）. 公式2：（为圆心角的弧度值，为半径）. 关系：由，可将公式1转化为公式2. 10.扇形中的最值问题 常见类型： 1.已知扇形周长（），求面积的最大值（利用二次函数或基本不等式求解）. 2.已知扇形面积，求周长的最小值. 知识点2：三角函数的定义 1.直角三角形定义（初中基础，适用于锐角） 设为直角三角形的一个锐角，对边为，邻边为，斜边为，则： 正弦： 余弦： 正切： 余切： 2.单位圆定义（高中拓展，适用于任意角） 单位圆：以坐标原点为圆心，半径为的圆（方程：）. 定义：设任意角的终边与单位圆交于点，则： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数：（，即） 余切函数：（，即） 知识点3：三角函数值的符号规律 1.象限符号口诀：“一全正，二正弦，三正余切，四余弦” 第一象限：，，，（全正）. 第二象限：，，，（仅正弦正）. 第三象限：，，，（正切、余切正）. 第四象限：，，，（仅余弦正）. 2.轴线角的三角函数值（特殊值，必记） 无意义 无意义 无意义 无意义 无意义 知识点4：同角三角函数的基本关系 1.平方关系：（，恒成立）. 2.商数关系：（）. 3.倒数关系：（）. 4.常用变形公式（干货结论） 平方关系变形： （符号由所在象限决定） （符号由所在象限决定） 商数关系变形：，. 知识点5：特殊角的三角函数值 角度 无意义 无意义 无意义 知识点6：诱导公式 诱导公式本质：将任意角的三角函数值转化为锐角三角函数值，核心原则：“奇变偶不变，符号看象限”. “奇变偶不变”：指诱导公式中角的形式为（），当为奇数时，三角函数名称改变（，）；当为偶数时，三角函数名称不变. “符号看象限”：将视为锐角，判断原角（）所在象限，根据三角函数的符号规律确定结果的正负. 常用诱导公式分类（按角的关系划分） 1.终边相同的角（，） 2.平角加角（） 3.补角公式（） 4.负角公式（） 5.余角公式（） 6.互余角公式 诱导公式使用步骤（四步走） 1.去周期：利用公式，将角化为范围内的角. 2.定象限：判断化简后角所在的象限. 3.用公式：根据角的形式选择对应诱导公式，“奇变偶不变”确定函数名称. 4.定符号：“符号看象限”确定结果的正负，最终转化为锐角三角函数值. 题型01：任意角与终边相同的角 1．已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么、、的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用象限角、锐角、小于的角的意义，逐项判断得解. 【详解】锐角是第一象限角，而第一象限角不一定是锐角，如角，因此是的真子集，D错误； 角是第一象限角，而大于，因此不是的子集，C错误； 角是第一象限角且是小于的角，而角不是锐角，，A错误； 锐角是大于小于的角，因此是的真子集，，B正确. 故选：B 2．平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是（    ） A．第一象限角一定不是负角 B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 C．第二象限角必大于第一象限角 D．钝角的终边在第二象限 【答案】D 【分析】根据象限角与角的定义逐个选项辨析即可. 【详解】－330°角是第一象限角，且是负角，故A错误； 三角形的内角可能为90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B错误； α＝390°为第一象限角，β＝120°为第二象限角，此时α＞β，故C错误； 钝角是大于90°且小于180°的角，它的终边在第二象限，故D正确． 故选：D． 3．已知角，则的终边在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由象限角的定义得到结果. 【详解】因为，而，所以的终边在第三象限． 故选：C． 4.已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【答案】B 【分析】用终相同的角写出角的表示，计算，让整数取相邻的整数代入确认． 【详解】由与210°角的终边关于x轴对称，可得， ∴， 取可确定终边在第一或第三象限角. 故选：B． 5．设集合，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合中角的特征分析集合间的关系即可得解. 【详解】表示终边落在轴非正半轴上角的集合，表示终边落在轴上角的集合， 表示终边落在轴上角的集合，故. 故选：A. 6.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边相同的角以及角度值，弧度制表示角即可. 【详解】与角的终边相同的角表达式为：，或. 故选：C. 7．已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围 . 【答案】 【分析】根据题意先求解终边在角的终边所在直线上的角的集合，再结合图形即可求解. 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合， 终边在角的终边所在直线上的角的集合， 因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为. 故答案为：. 题型02：角度制与弧度制 8.将化为弧度制是 . 【答案】/ 【分析】利用角度制与弧度制的互化关系求解. 【详解】. 故答案为： 9.将弧度化为角度：弧度= °． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】弧度化为角度 【分析】根据角度制与弧度制的互化即可求解. 【详解】. 故答案为： 10.将弧度化为角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 11．把角化为的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故选：D. 题型03：扇形的弧长与面积 12.若扇形的圆心角为，半径为6cm，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式，即可求解. 【详解】根据弧长公式可知，弧长. 故选：B 13.若有一扇形的周长为60cm，那么当扇形的面积最大时，圆心角的弧度数为 弧度. 【答案】2 【分析】直接利用扇形的周长公式和面积公式及基本不等式求出结果． 【详解】设扇形半径为，弧长为，由扇形的周长为60cm ，所以， 故扇形的面积， 当且仅当时，等号成立， 故圆心角的弧度数为． 故答案为：2． 14.中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧AB的长为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过弧长公式求出大扇形半径，再结合的长度得到小扇形半径，最后利用扇形面积公式计算两个扇形的面积差，得到扇面面积. 【详解】设，因为圆心角，弧AB的长为， 代入弧长公式可得，解得. 所以. 由扇形面积公式可得， ， ， 所以此扇面的面积． 故选：B 15.已知圆心角为的扇形内部有一个圆C与扇形的半径及圆弧均相切，当圆C面积为时，该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆C面积为，求得其半径，然后连接OC，设圆与OA切于点D，然后在中，由 求得扇形的半径即可. 【详解】设扇形的半径为R， 圆C的半径为r, 因为圆C的面积为，所以，解得， 如图所示：在中， ， 所以 所以扇形的面积为，故选：D 16.某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧和通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ弧度． (1)求θ关于x的函数关系式； (2)已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值． 【答案】(1) (2)，当时，y取得最大值，最大值为 【分析】（1）通过表示出扇环形花坛的周长即可得出θ关于x的函数关系式； （2）列出y关于x的函数关系式，利用基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）由题意得，故． （2）花坛的面积为． 装饰总费用为， 所以花坛的面积与装饰总费用的比为． 令，则，则， 当且仅当，即时， y取得最大值，最大值为，此时，． 故当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大 题型04：任意角的正弦、余弦、正切、余切 17．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则_____ 【分析】由正切函数的定义计算可得. 【详解】由题意可得. 18．已知角的终边过点，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求三角函数值. 【详解】已知角的终边过点．可得，，则． 故答案为： 题型05：三角函数值的符号判定 19.已知点在角终边上，则下列角中与终边相同的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，因为点在角终边上，所以，；所以与终边相同的角是. 故选：C. 20．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（   ） A．第二象限角或第三象限角 B．第二象限角或第四象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角、第三象限角或第四象限角 【答案】A 【详解】当角的终边在第一象限时，， 又， ，故，不符合题意； 当角的终边在第二象限时，， 又， ，故，符合题意； 当角的终边在第三象限时，， 又， ，故，符合题意； 当角的终边在第四象限时，， 又， ，故，不符合题意； 综上，角的终边在第二象限或第三象限． 故选：A． 21．已知函数，则角所在象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第三象限或第四象限 D．第二象限或第四象限 【答案】A 【详解】由题意可知：，解得或， 故或， 因此角所在象限是第一象限或者第二象限， 故选：A 题型06：同角三角关系的应用 22．已知是第三象限的角，则 ． 【答案】 【详解】因为是第三象限的角，所以， 因为，所以， 联立方程组，解得（正根舍去）， 故答案为： 23．已知，则“”是“”的（　　） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】（1）因为，所以， 又，由，可得， 所以； （2）因为，又， 当时，，由，可得，此时， 当时，，由，可得，此时， 综上，，则“”是“”的充分不必要条件， 故选：C 24．已知，，其中，则的值为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 解得或， 因为，所以，， 当时，，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意. 综上，. 故答案为：. 26．若，则_______ 【分析】利用弦化切可求出的值，再将所求代数式化为，代入即可得出所求代数式的值. 【详解】因为，所以， 可得. 27.已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的关系式，利用齐次式法求解即可. 【详解】由于，则， 故答案为： 28.如果角满足，那么的值是______ 【分析】将给定等式切化弦，再利用同角三角函数的基本关系计算即可. 【详解】，，即， 那么，即D正确. 29. 已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)若为第一象限角，求、的值． 【解析】（1）因为，所以. （2） . （3）因为为第一象限角，由同角三角函数的基本关系可得， 解得，. 题型07：诱导公式 30.化简：_______ 【分析】利用诱导公式计算. 【详解】, 故选：A. 31.已知，则=________ 【分析】由诱导公式化简可得结果. 【详解】. 32.已知函数，则_____ 【分析】根据三角函数的诱导公式对所求式子进行化简求解即可. 【详解】由题意可得. 33.已知． (1)若是第二象限角，求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用诱导公式及同角公式列式计算得解. （2）利用诱导公式化简，再利用齐次式法计算得解. 【详解】（1）依题意，，由是第二象限角，得， 又，解得，所以. （2）． 34.在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，且. (1)求实数及相应的值； (2)当时，化简并求值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由三角函数的定义建立方程，求得解，分情况求得函数值，可得答案； （2）由题意求得正弦值与余弦值，利用诱导公式与同角三角函数关系式，可得答案. 【详解】（1）根据三角函数的定义得，解得或， 当时，，， 当时，. （2）由可知，此时，， 原式. 题型08：已知角的正弦、余弦、正切值求角 35.根据下列条件，分别求角： （1）已知；（2）已知；（3）已知. 【解析】（1），原式等价于求解，从而其解为，. （2），原式等价于求解， 从而其解为，. （3），原式等价于求解，从而其解为，. 36.求下列方程的解集： （1），； （2），. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，故 又，故或，解得或，故解集为 （2）因为，故 又，故，解得，故解集为 37.（1）已知，求：满足条件的角的取值范围； （2）已知，求：满足条件的角的取值范围； 【答案】（1） 【解析】（1）由可知，角x对应的正弦线方向朝上，而且长度为， 作示意图，如图所示，可知角的终边可能是，也可能是，又因为 ，所以或 再由图可知，如果的终边在中，则一定有， 因此，满足条件的角的取值范围 （2）画出单位圆中三角函数线，如图． 由图可知角的范围是： 或； 题型09：素养综合提升 38.已知. (1)若角的终边过点，始边为非负半轴，求； (2)若，分别求和的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用诱导公式将化简，再由三角函数的定义计算可得； （2）依题意可得，再由同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】（1）因为 ， 又因为角的终边过点，所以，则； （2）因为，即，则， 所以， . 39.已知，且为第三象限角. (1)求和的值； (2)已知，求的值. (3)若，求的值. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）利用平方关系可得，再由同角三角函数之间的基本关系可得；（2）利用诱导公式将化简，将（1）中的值代入即可求得结果；（3）利用诱导公式计算. 【详解】（1）由可得，， 所以. 又为第三象限角，所以；. 所以，. （2）利用诱导公式可得， 将代入可得， 即. （3）因为， ， 所以. 一、填空题 1．3弧度是第 象限角． 【答案】二 【分析】判断角的终边在第几象限即可. 【详解】1弧度，3弧度， 3弧度的角的终边在第二象限，3弧度是第二象限角. 故答案为：二. 2.若与的终边相同，则角的终边所在第_________象限 【分析】先得到与 终边相同，都位于第三象限；则，整理得到，因此与终边相同都在第二象限. 【详解】因为，所以因此与终边相同，都位于第三象限； 由题意得，因此， 即，因此与终边相同都在第二象限. 3.一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为_______ 【分析】根据给定条件，利用弧长及扇形面积公式列式求解. 【详解】设该扇形所在圆半径为，则，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：D 4.方程的解是 . 【答案】或 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以或， 即方程的解是或. 故答案为：或. 5．已知角的终边经过点，且，则的值是 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 故答案为： 6.已知，且是第二象限的角，则______． 【答案】 【分析】根据同角的平方关系求得，从而得到结果. 【详解】因为是第二象限的角，则， 所以， 则. 故答案为: 7.若tan x＝，且x∈(－π，π)，则x＝________ 【答案】或－； 【解析】因为tan x＝＞0，且x∈(－π，π)，所以x∈∪， 若x∈，则x＝，若x∈，则x＝－π＝－，综上x＝或－. 8.已知，，则_________． 【答案】 【分析】先利用诱导公式求出，再通过平方关系求出，最后利用诱导公式化简计算. 【详解】， ，即， ， . 故答案为：. 9.已知，则__________ 【答案】 【分析】根据齐次式，由弦化切即可求值. 【详解】. 故答案为： 10.已知，，则______． 【答案】7 【分析】由已知条件利用同角三角函数关系式求出，从而得出，再利用诱导公式，弦化切即可得结果. 【详解】因为，且， 所以， 所以． 所以 ． 故答案为：7. 11.集合 ． 【答案】 【分析】由求出的取值范围，然后解方程，可得出的值，即可得解. 【详解】当时，，则， 由，可得，所以，， 因为，则或，因此，. 故答案为：. 12．已知，则的值为 ； 【答案】 【分析】利用诱导公式求出和的值,再求得的值,即可得到的值. 【详解】， ， ， ， . 故答案为：. 二、选择题 13．如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据终边相同的角分别表达出，再分析，即可. 【详解】利用终边相同的角的关系，得，. 则与有关，故AC错误； 又．因为m，n是整数，所以n－m也是整数，用表示，所以. 故选：D． 14．已知平面直角坐标系中点位于第三象限，且，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】由题意，得到为第二象限角，得到，结合，即可求解. 【详解】由点位于第三象限，可得且，可得为第二象限角， 则，可得 当为奇数时，可得为第三象限角，可得，不满足题意； 当为偶数时，可得为第一象限角，满足， 综上可得为第一象限角. 故选：A. 15.已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构角，再利用诱导公式即可求出结果. 【详解】因为， 又，所以， 故选：B. 16.设角满足条件，则所在的象限是（    ） A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 【答案】C 【分析】由解得或，然后对、分别进行讨论，即可得出结果. 【详解】因为，，且， 所以，解得或， 若，则，，此时所在象限是第四象限； 若，则，，此时所在象限是第二象限， 所以为第二象限或第四象限角. 故选：C. 3、 解答题 17.已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的周长； (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，此时扇形的圆心角为多少弧度. 【答案】(1) (2)最大值为，此时扇形的圆心角为弧度 【分析】（1）根据弧长公式计算即可； （1）根据扇形的周长将用表示，再根据扇形的面积公式结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）， 故扇形的周长为； （2）扇形的周长为20， 则，所以， 则扇形的面积， 当且仅当，即时取等号， 所以扇形面积的最大值为，此时扇形的圆心角为弧度. 18.已知、是关于的方程的两个根. (1)求实数的值， (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）计算，根据韦达定理得到，解得答案； （2）根据三角恒等变换化简得到原式为，代入数据计算即可. 【详解】（1）、是关于的方程的两个根， ，解得或，则，， ， 解得或（舍），故； （2） . 19.已知. (1)求； (2)若角为第二象限角，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用诱导公式整理得，进而代入求解即可； （2）根据同角三角关系可得，进而可得结果. 【详解】（1）因为， 所以. （2）若角为第二象限角，且，则， 可得， 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $