专题02 任意角的正弦 余弦 正切 余切（考点解读+考点归纳+8类题型）-【练透核心考点】2023-2024学年高一数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

专题02 任意角的正弦 余弦 正切 余切 本专题在先拓展角的概念、并从集合视角认识终边相同的角、象限角，同时引入角的新的度量制度基础上；对任意角的正弦 余弦 正切 余切进行了定义与理解，从而为代数方法研究几何中的角，作了充分准备，为下章学习三角函数的性质以及学习解析几何、 立体几何等后续章节奠定基础；初步理解借助单位圆上点的坐标定义三角函数，理解任意角的三角函数的概念；在三角函数定义的过程中进一步认知函数的本质，体会数形结合思想方法的作用；经历三角函数概念的抽象过程，提升学生思维的严谨性，发展数学抽象思维． 一、《必修第二册》目录与内容提要 第6章 三角 6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角 6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用 6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理； 第六章内容提要 1、正弦、余弦、正切、余切 弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做弧度的角.用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制； 扇形弧长与面积：记扇形的半径为，圆心角为弧度，弧长为，面积为，则有，； 单位圆：单位圆泛指半径为个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以为半径的圆为单位圆； 正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有 ，，（），（）； 二、考点解读 1、角α的正弦、余弦、正切、余切 一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点距离是r，则r＝；此时，点P是角α的终边与半径为r的圆的交点；（如图）则： （1）比值叫作α的正弦，记作sinα，即sin α＝； （2）比值叫作α的余弦，记作cosα，即cos α＝； （3）比值(x≠0)叫作α的正切，记作tanα，即tan α＝(x≠0)； （4）比值(y≠0)叫作α的正切，记作cotα，即tan α＝(y≠0)； 【拓展】 （5）比值(x≠0)叫作α的正割，记作secα，即secα＝(x≠0)； （6）比值 (y≠0)叫作α的余弦，记作cscα，即csc α＝ (y≠0)； 2、任意角的正切、余切的限制条件 三角函数 定义域 sin α R cos α R tan α cot α 3、任意角的正弦、余弦、正切、余切在各象限的符号 口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”； 4、单位圆 一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆； 利用单位圆中的正、余弦函数的定义.即若角α的终边与单位圆交于点Pu，v， 则v＝sin α，u＝cos α；也就是点P cos α，sin α 5、单位圆中正弦线、余弦线与正切线 如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线. 记作：sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT. 【说明】有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段；对于有向线段AB，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB. 1、任意角的三角比 在三角比坐标法定义中，设α是一个任意角，取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，设点P到原点O的距离为r，则r＝|OP|=； 则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)； 若α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)； 【说明】三角比值是比值，是一个实数，没有单位，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，而仅由角α的终边位置所决定.对于确定的角α，其终边的位置也唯一确定了，就是说，三角函数值的大小仅与角有关，它是与角对应的比值；　 2、正切、余切对角的限制 注意：，其中，，；其中，； 【注意】由三角比的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义． 3、三角函数值在各象限的符号 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图). 4、三角函数线 可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线． 题型1、依据角α的终边上任意一点的坐标求三角比值