第八章实数章末复习 课时分层训练2025-2026学年七年级数学下册（人教版）

第八章实数章末复习 知识分点练 夯基础 1、 核心考点巩固 考点1 算术平方根、平方根和立方根 1．若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 2．下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（    ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 3．的平方根是（    ） A．3 B． C．9 D． 4．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 5．一个正数a的两个平方根分别是和，且，则x的值与的值分别为多少． 6．已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 考点2 实数的相关概念及分类 7．下列实数中是无理数的是（   ） A．2 B． C． D． 8．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 9．在实数（两个5之间依次增加一个0）中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．若 x，y 为实数，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 11．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 考点3 实数的估算及大小比较 12．如图，在数轴上表示的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 13．与最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．4 B．2 C．5 D．3 15．中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，在“永”字的结构中主要体现在笔画的分布与比例上，如“永”字的整体宽度与高度的比例接近黄金分割．已知黄金分割数为，则________．（填“”“”或“”） 16．已知的整数部分是，的小数部分是，则的值为________． 17．比较下列各组数中两个数的大小： (1)与4． (2)与3． 考点4 实数的运算及应用 18．计算的结果是____． 19．计算： (1)； (2) (3)． 20．先化简，再求值：，其中，． 21．为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为___________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长是宽的2倍，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 能力综合练 练思维 二、思想方法演练 思想1、数形结合思想 22．数轴是一种重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图，面积为13的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴原点右侧于点P，则点P表示的数为（   ） A． B． C． D． 思想2、分类讨论思想 23．如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，那么这个正方形的对角线长是，再以对角线长为半径，表示数1的点为圆心画一个半圆（图中虚线所示）与数轴交于、两点，则、两点表示的数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 思想3、类比思想 24．观察下列计算过程：因为，所以，因为，所以，因为，所以…，由此猜想（    ） A．111111111 B．11111111 C．1111111 D．111111 拓展探究练 提素养 25．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 26．阅读下面的两则材料，解答问题： 材料一：（）计算下列各式：①，则； ②，则． 材料二：，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)通过计算，我们可以发现___________． 从上面的结果可以得到： ①化简：___________； ②化简的结果是___________． (2)已知，其中是整数，且，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章实数章末复习 知识分点练 夯基础 1、 核心考点巩固 考点1 算术平方根、平方根和立方根 1．若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】此题考查平方根、算术平方根、立方根．根据平方根和立方根的定义分别求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵实数x的平方根为，y的立方根为， ∴，， ∴， 故选：A． 2．下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（    ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根、相反数等知识点，理解相关定义是解题的关键． 根据平方根、算术平方根、立方根的定义及相反数的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：∵正数的平方根有两个，且互为相反数，10是正数， ∴10的平方根是，①说法正确； ∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴“负数和零没有立方根”的说法错误，②说法错误； ∵互为相反数的两个数和为0，， ∴的相反数是，③说法正确． ∵算术平方根是一个非负数的正的平方根，， ∴16的算术平方根是4，④说法正确． ∵， ∴0.008的立方根是0.2，⑤说法正确． 综上，正确的说法有①③④⑤，共4个． 故选：A． 3．的平方根是（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 先计算的值，再求该值的平方根，注意平方根有正负两个值. 【详解】解：∵ ， ∴ 的平方根即的平方根， ∵ 的平方根是， ∴的平方根是. 故选：B． 4．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，需根据相关定义逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根， ∴4的平方根是，选项A错误； ∵负数没有平方根，0只有一个平方根， ∴选项C错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴1的立方根是1，选项B错误， 任何实数都有一个立方根，选项D正确； 故选：D． 5．一个正数a的两个平方根分别是和，且，则x的值与的值分别为多少． 【答案】的值为2，的值为3 【分析】本题考查的是算术平方根，平方根与立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据平方根的意义求出，的值，再利用立方根的性质求出的值，再计算． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得：， ，， ； ， ， 解得：， ． 6．已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】1 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，求出的值是解题关键；先根据算术平方根和立方根的根指数定义求得的值，再代入的表达式求出，最后计算的立方根． 【详解】解：由题意知：，， 解得：，， ∴， ∴，， ∴， ∴的立方根等于1． 考点2 实数的相关概念及分类 7．下列实数中是无理数的是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键；根据无理数的定义，无限不循环的小数是无理数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A.2是整数，属于有理数； B.是分数，属于有理数； C.是无理数； D.是整数，属于有理数； 故选C． 8．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 【答案】D 【分析】本题考查了圆周率的基本性质、有理数与实数的定义、数轴与实数的对应关系以及实数的大小比较，解题的关键是熟记无理数、实数的概念及数轴的性质，通过逐一验证每个选项的正确性得出答案． 先明确圆周率是无限不循环小数，属于无理数；再根据有理数、实数的定义判断选项A和D；依据“实数与数轴上的点一一对应”判断选项B；通过计算的近似值（约）与的近似值（约）比较，判断选项C． 【详解】解：A、∵是无限不循环小数，属于无理数，而有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，   ∴此选项不符合题意；   B、∵实数与数轴上的点一一对应，是实数，   ∴能在数轴上表示出来，此选项不符合题意；   C、∵，，且，   ∴，此选项不符合题意；   D、∵实数包括有理数和无理数，是无理数，   ∴是实数，此选项符合题意；   故选：D． 9．在实数（两个5之间依次增加一个0）中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； （两个5之间依次增加一个0）的规律不循环，属于无限不循环小数，故为无理数． 综上，无理数有2个， 故选：B． 10．若 x，y 为实数，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求得的值，然后代入代数式即可求解． 【详解】解：， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值，求得的值是解题的关键． 11．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 考点3 实数的估算及大小比较 12．如图，在数轴上表示的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】先估算的取值范围，然后结合数轴即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即在3和4之间， 结合数轴可知点Q满足条件，即B选项符合题意． 13．与最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先利用平方数确定的取值范围，再判断更接近的整数，即可求出最接近的整数． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∴ 与最接近的整数是． 14．若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】A 【分析】先估算和的取值范围，确定符合条件的正整数的最小值与的取值，再计算的最小值． 【详解】解：∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴的最小值为3， ∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴， ∴的最小值为． 15．中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，在“永”字的结构中主要体现在笔画的分布与比例上，如“永”字的整体宽度与高度的比例接近黄金分割．已知黄金分割数为，则________．（填“”“”或“”） 【答案】> 【分析】通过估算无理数的近似值，计算两个数的值后即可比较大小． 【详解】解：∵， ∴． ． 又．， ． 16．已知的整数部分是，的小数部分是，则的值为________． 【答案】 【分析】根据无理数的估算， 先估算和的取值范围，进而确定和的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ； 又， ， ， 根据不等式的性质，两边同时加，得， ， . . 17．比较下列各组数中两个数的大小： (1)与4． (2)与3． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根的性质和实数的大小比较，掌握立方法比较立方根大小的方法是解题的关键． （1）比较含立方根的数与正数的大小，使用立方法，对两数同时立方后比较结果； （2）比较正数的立方根与正数的大小，使用立方法，对两数同时立方，通过立方结果的大小判断原数大小． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：∵，，， ∴． 考点4 实数的运算及应用 18．计算的结果是____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查实数的运算，涉及算术平方根、立方根，先计算算术平方根和立方根，再根据有理数的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴原式． 故答案为：． 19．计算： (1)； (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，正确计算是解题的关键． （1）先化简算术平方根，立方根，然后再计算加减即可； （2）先化简绝对值，去括号，立方根，然后再计算加减即可； （3）先化简算术平方根，立方根，然后再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 20．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的加减运算----化简求值，原式根据去括号、合并同类项得出最简结果，再把代入化简结果进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 21．为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为___________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长是宽的2倍，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 【答案】(1)9 (2)能 【分析】本题考查算术平方根的应用，利用面积公式：长×宽=面积，得到类似的等式，利用平方根的定义求解即可． （1）根据正方形面积公式：边长的平方=面积，求解即可； （2）设宽为x ，列式求解，再比较长和宽是否都大于（1）中所求明信片的边长即可． 【详解】（1）解：由题意，得明信片的边长为； （2）解：设宽为，则长为， 由题意，得， 整理，得， ∴， ， ∵， ∴能在不折叠的情况下将明信片放入此信封． 能力综合练 练思维 二、思想方法演练 思想1、数形结合思想 22．数轴是一种重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图，面积为13的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴原点右侧于点P，则点P表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，理解数轴上表示的点的方法是解答本题的关键． 根据正方形的面积为13得到，再结合，点A表示的数为，点P在点A的右侧，然后确定点P表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为13， ∴， ∵， ∴， ∵点A表示的数为，点P在点A的右侧， ∴表示的数为：， 故选： C． 思想2、分类讨论思想 23．如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，那么这个正方形的对角线长是，再以对角线长为半径，表示数1的点为圆心画一个半圆（图中虚线所示）与数轴交于、两点，则、两点表示的数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点表示的数，熟练掌握数轴上的点表示的数，右边的比左边的大是解题的关键． 数轴上的点表示的数，右边的比左边的大，故B表示的数比1大，同理A表示的比1小，即可得到答案． 【详解】解：由已知可得，A表示的数比1小，B表示的数比1大， ∴A表示的数是，B表示的数是， 故选：D． 思想3、类比思想 24．观察下列计算过程：因为，所以，因为，所以，因为，所以…，由此猜想（    ） A．111111111 B．11111111 C．1111111 D．111111 【答案】A 【分析】本题主要考查的是算术平方根的性质，解题的关键是熟练掌握算术平方根的性质．根据题中给出的已知条件得出规律，根据规律进行计算． 【详解】解：11的平方是121，中间的数字是2， 111的平方是12321，中间的数字是3， ……； 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成， 12345678987654321是由9个1组成的数字平方后的结果，即， 因此，， 故选：A． 拓展探究练 提素养 25．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 26．阅读下面的两则材料，解答问题： 材料一：（）计算下列各式：①，则； ②，则． 材料二：，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)通过计算，我们可以发现___________． 从上面的结果可以得到： ①化简：___________； ②化简的结果是___________． (2)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】（）先通过材料中的例子归纳出二次根式乘法公式，再利用这个公式对和进行分解化简； （）先确定的范围，从而分离出的整数部分和小数部分，再根据是整数、的条件求出和的值，最后代入计算结果． 【详解】（1）解：根据材料一可得：； ①； ②； （2）解：∵，且， ∴， ∴，即， ∵已知，其中是整数，且， ∴，且， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $