精品解析：广东茂名市祥和中学2025-2026学年度第一学期八年级数学连堂练习(一)

2025-2026学年度第一学期 初二数学连堂练习（一） 注意事项： 1．时间共120分钟，满分为120分． 2．作答必须在答题卡指定区域上完成，在非指定区域上作答无效． 3．答题卡必须保持整洁，不能折叠． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可． 【详解】解：A．是无理数，故本选项符合题意； B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 2. 下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，，2 C. 7，24，25 D. 9，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于利用勾股定理进行计算. 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A、，能构成直角三角形，故不符合题意； B、，能构成直角三角形，故不符合题意； C、，能构成直角三角形，故不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故符合题意． 故选D 3. ，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求解a，b的值，再代入计算立方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ，， ∴，， 解得，， ∴． 4. 下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根和立方根的性质分别计算各选项，即可找出错误的式子． 【详解】解：A、，故原式子正确，不符合题意； B、，故原式子正确，不符合题意； C、，故原式子正确，不符合题意； D、，故原式子错误，符合题意． 5. 下列说法正确的是（ ）． A. 4的算术平方根是2 B. 的平方根是 C. 立方根等于它本身的数只有1 D. 正数的平方根有两个，立方根也有两个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念和求法，理解、记忆平方根和立方根的概念是解题关键． 根据平方根、算术平方根、立方根的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A． 4的算术平方根是2，故本选项正确； B． ，8的平方根是，故本选项不正确； C． 立方根等于它本身的数是和0，故本选项不正确； D． 正数的平方根有两个，立方根有1个，故本选项不正确； 故选：A． 6. 如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查实数与数轴、勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．由数轴可知正方形的边长为1，由勾股定理即可得出正方形的对角线长为，根据以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧可得出，则可得出点A表示的数． 【详解】解：由图可知正方形的边长为1， ∴正方形的对角线长为：， ∵以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧， ∴， ∴点A表示的数是， 故选：B． 7. 如图是一个棱长为的正方体木箱，点在上底面的棱上，，一只蚂蚁从点出发沿木箱表面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是勾股定理之最短路径问题，掌握两点之间线段最短和利用勾股定理求边长是解决此题的关键．将正方体上表面如图展开，根据两点之间，线段最短，即可得到：展开图有三种形式，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：依题意，展开图有三种形式： 或 ∵ 蚂蚁爬行的最短路程． 故选：C． 8. 的大小在两个相邻整数之间，这两个整数是（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理的大小估算，掌握无理数的大小估算是解题的关键．根据无理数的大小估算，可知，求算术平方根即可． 【详解】解： 故选：C． 9. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为多少尺？设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解题的关键． 根据题意可知 ，，，，由勾股定理，得到，即可解答． 【详解】解：根据题意，有，，， ∴， 由勾股定理，得， 即． 故选C． 10. 如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使与对角线重合，点A落在点处，折痕为，则的长是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折的性质，矩形的性质，以及勾股定理等知识，运用方程思想是解题的关键．利用勾股定理求出，由翻折得，设，则，在中，利用勾股定理得出方程． 【详解】解：在中，，， ∴． 由折叠的性质可得，，． ∴． 设，则，， 在中，，解得，即． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡相应的横线上） 11. 比较实数的大小：3 _____（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】< 【解析】 【分析】先平方，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，均为正数且，， ∴ 故答案为：<． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较．解题的关键在于先平方后比较大小． 12. 如果一个正数的平方根分别为和，则______ 【答案】2 【解析】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，解方程即可得到答案 【详解】解：∵一个正数的平方根分别为和， ∴， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了平方根的概念，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 13. 直角三角形的三边长为3，4，m，则的值为_________． 【答案】25或7##7或25 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是分情况讨论，避免遗漏．分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：当长为的边为斜边时，可有， 当长为的边为直角边时，可有， 综上所述，的值为25或7． 故答案为：25或7． 14. 如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 15. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据勾股定理得出，得出，根据正方形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意得，由勾股定理得，即， ， ， ， 根据正方形的性质得，， ∴阴影部分的面积为． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用求一个数的算术平方根进行求解； （2）利用求一个数的算术平方根以及立方根进行求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 17. 解方程，求x的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解： ， ． 18. 已知a的平方根是，b的立方根是，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根是3 【解析】 【分析】本题考查算术平方根和平方根，立方根的计算，代数式计算等．根据题意利用平方根、立方根定义，可得，然后再计算代数式的值，继而得到最后答案． 【详解】解：∵a的平方根是，b的立方根是， ∴， ， 的算术平方根是3． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知， 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．根据题意可得米，米．在直角中，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【详解】解：根据题意知：米，米． 在直角中，由勾股定理得：， ． 解得： 答：旗杆的高度为12米． 20. 某校有一块如图所示的四边形空地，为迎接国庆节的到来，学校欲在此地种满鲜花．已知鲜花的费用为100元/，．请你算出学校应付费用多少元？ 【答案】学校应付费用3600元 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理求出的长，证明得到，根据求出这块地的面积即可得到答案． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ， ∵， ∴， ∴在中，， ， ， （元）． 答：学校应付费用3600元． 21. 台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】（1） 解：依题意得：中，， ∴根据勾股定理得， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2） 解：海港C受台风影响， 理由：中，， ， ， ， 海港C会受到此次台风的影响； （3）台风影响该海港持续的时间为 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理进行求解； （2）利用等面积法求出的长度，然后进行比较即可； （3）以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F，根据勾股定理求出的长，得出，最后根据速度即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F， 则． 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为． 任务： （1）下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为 ． ， ， ， ，即． （2）请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． 【答案】（1），， （2） 根据题意，得， ， ， ，即 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形和正方形的面积公式，根据题目读懂题意，列出等量关系，验证勾股定理是解答本题的关键． （1）依题分析，直角三角形两个直角边长分别，，正方形的边长为，根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为，正方形的面积为； （2）剪开前，直角三角形的两直角边长分别为，，两个正方形边长分别为，；剪开后正方形的边长为，直角三角形的两直角边长分别为，，根据直角三角形和正方形的面积公式，列出剪开前后的面积公式，两个面积相等，得到验证． 【小问1详解】 解：由图知， 直角三角形的两个边长为，， 正方形的边长为， ，， 故答案为，， 【小问2详解】 略 23. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7． （1）请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． （2）请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 【答案】（1）8，6 （2）， 理由如下： ． 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究、求一个数的算术平方根，理解题意，找到变化规律是解答的关键． （1）类比上述算法，结合算术平方根求解即可； （2）根据上述算法，得出规律，利用整式运算和算术平方根证明即可． 【小问1详解】 解：根据题意，图2中被框起来3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为8； 图3中被框起来的3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为6， 故答案为：8，6； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期 初二数学连堂练习（一） 注意事项： 1．时间共120分钟，满分为120分． 2．作答必须在答题卡指定区域上完成，在非指定区域上作答无效． 3．答题卡必须保持整洁，不能折叠． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，，2 C. 7，24，25 D. 9，12，13 3. ，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ）． A. 4的算术平方根是2 B. 的平方根是 C. 立方根等于它本身的数只有1 D. 正数的平方根有两个，立方根也有两个 6. 如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一个棱长为的正方体木箱，点在上底面的棱上，，一只蚂蚁从点出发沿木箱表面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 的大小在两个相邻整数之间，这两个整数是（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 9. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为多少尺？设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使与对角线重合，点A落在点处，折痕为，则的长是（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡相应的横线上） 11. 比较实数的大小：3 _____（填“＞”、“＜”或“＝”）． 12. 如果一个正数的平方根分别为和，则______ 13. 直角三角形的三边长为3，4，m，则的值为_________． 14. 如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要______元． 15. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程，求x的值： （1）； （2）． 18. 已知a的平方根是，b的立方根是，求的算术平方根． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知， 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度． 20. 某校有一块如图所示的四边形空地，为迎接国庆节的到来，学校欲在此地种满鲜花．已知鲜花的费用为100元/，．请你算出学校应付费用多少元？ 21. 台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为． 任务： （1）下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为 ． ， ， ， ，即． （2）请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． 23. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7． （1）请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． （2）请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $