辽宁大连市2025-2026学年下学期高三第二次教学质量调研数学试卷

2025-2026学年下学期高三第二次 教学质量调研数学试卷 满分150分时间120分钟 ★祝考试顺利女 注意事项： 1. 答卷前：先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴 在答题卡上指定位置。 2.选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3.非选择题，用0.5mm黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无 效。 4.画图清晰，并用2B铅笔加深。 第I卷（共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求 1.集合A={x2≤x≤5，x∈Z,B={1,2,3,6},则图中阴影部分所表示的集合为（) A.{2,3}B.{4,5}C.{1,2,3,6 D.{2,3,4,5} 2.“a>√a”是“a>1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知复数z满足z+z=2,且z-z=4i,则2=() A.2 B.5 C.2 D.5 4.若关于x的方程x2-ar+4=0有两相异实根x,x2,且0<x<x2<4,则实数a的取值 范围是() A.(-o,4)U(4,+o∞)B.(0,5) C.(4,5) D.(4,8) 5.已知m+n=1og4（4"+4"),m+n+p=1og4(4+4+4),则p的最大值是（) 数学学科试卷第1页/共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP A.1 B.1-log,3 C.log,3 D.log,4 6。抛物线y=言的准线与y轴交于点4，过A作直线交抛物线于点从、N,点8在 抛物线对称轴上，且(BM+ )LM,则O的取值范围是() A.(3,+∞) B.(4,+o∞) C.(5,+oo) D.(6,+∞) 7.已知点A(x,y)在直线y=2x+1上，点B(x,)在直线y=2x-1上，且AB=(x0), 则2x,-y%的值为() A.1 B.2 C.3 D.与，、y,的具体值有关 8.已知函数f(x)=xe,g(x)=ex(1+lnx),若f(x)=g(x)=m,m>0,则 m的最大值 为() 1 A.1 B. C.2 D.e2 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题成立的是() A已知5~NO,若P(5>=P,则P(-1≤5s0=p B.若一组样本数据(x,y)(i=1,2,3,…n)对应的样本点都在直线y=-2x+3上，则这组 样本数据的相关系数”为-1 C.以模型y=ce去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,求得线性回归 方程为=0.3x+4,则c,k的值分别是4和0.3 D.对分类变量X与Y的独立性检验的统计量x来说，x值越大，判断“X与Y有关 系”的把握性越小 数学学科试卷第2页/供6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 10.己知数列{a,}满足a,+an1=4n,n∈N°，Sn是{a,}的前n项和，则下列说法正确的是 () A.0n+2-an=4 B.{an-2n+}是等比数列 C.S2n=4n2 D.若a=2,当n为奇数时，满足Sn<2026的n最大值为43 11.随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民 首选的运动场所。如图，某公园内有一个以0为圆心，半径为50m,圆心角为的扇 形人工湖OAB,OM、ON是分别由OA、OB延伸而成的两条健身步道.为进一步完善 全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与AB相切 于点F,且与OM、ON分别相交于C、D,另两条是分别和湖岸OA、OB垂直的FG、 FH(垂足均不与O重合)，在△OCD区域以内，扇形人工湖OAB以外的空地铺上草坪， 则() A.∠P0D的范围是(0,2 B.新增步道CD的长度可以为2000m OH B D N C.新增步道FG、FH长度之和不可能为700m D.当点F为AB的中点时，草坪的面积为(25V3-25·104m2 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸相应位置上 12. 已知在x+召”的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则x 的系数为 （用数字作答) 13.现从甲、乙、丙等6人中，先随机抽取1人唱歌，再在剩余5人中随机抽取2人跳 舞，在抽取到的3个人中，甲、乙中有且只有1人被抽到，且丙不被抽到去跳舞的抽法 有 种 14.已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，三棱锥P-ABD为正四面体，则三棱锥P-ABD 与三棱锥P-BCD的外接球半径的比值为 数学学科试卷第3页/共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题13分) 如图，在等腰R△ABC中，CA=CB=1,∠ACB=90°，D为边AB上的一动点，连接CD, 作BE⊥CD,垂足为E,且E在线段CD上（不包括端点C,D), (1)若∠ACD=30°，求AD的长度： 2)求心的取值范围 16.(本小题15分) 欲从A,B两个频道中随机选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播 放进行测试，每次播放一个频道，已知A频道每次播放成功的概率为，B频道每次播放 成功的概率为子，且每次播放互不影响。 约定1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道： 约定2：从A频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道 都播放3次均失败，结束测试。 (1)按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率： (2)按照约定2， (i)两个频道共播放不超过4次时，求A频道成为优选频道的概率： (i)测试结束时，求B频道播放次数X的分布列与数学期望， 数学学科试卷第4页/共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17.(本小题15分) 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD,AB=AD=2√3， BC=DC=-AC=2. (I)若点M是棱AP上一点，且BMI平面PCD,求 AP (2)若∠ACP=60°，PC=2,平面PCD∩平面PAB=l,求直线I与平面PAD所成角的 正弦值。 M B 18.(本小题17分) 椭圆二土Q>b>0的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦 的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为一+y=1。 4 (①)若一条直径的斜率为分，求该直径的共轭直径所在的直线方程： (2)若椭圆的两条共轭直径为AB和CD,它们的斜率分别为k,k2,证明：四边形ACBD的 面积为定值。 数学学科试卷第5页/供6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 19.(本小题17分) 定义：若存在，2（1≠x2),使得曲线y=(x)在点(：，f(x)》和点(x2,f(x2)处有 相同的切线l,则称切线I为曲线y=f(x)的“自公切线”.已知函数f(x)=e州-ax2. (1)若函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，求实数a的取值范围： (2)证明：当x>0时，曲线y=f(x)不存在“自公切线”： (3)若曲线y=(x)有且只有两条“自公切线”，求实数a的取值范围. 数学学科试卷第6页/共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 2025-2026学年下学期高三第二次 教学质量调研数学试卷参考答案 一.单选题：1-8题：BCDCBDBA 二.多选题：9-11题：AB ACD BCD 三.填空题：12.6013.24 14.3 2 四.解答题： 15.【解】(1)在VADC中，由正弦定理DA= DA=6-2 3分 π 6 sin 2 sin 12 (2)不妨设∠ACD=a,则∠CBE=a,∠ADC=3江-&， 4 5分 BE=cosa 6分 π sin 在△ACD中，由正弦定理得 CD AC sin∠ADc →CD= 4 8分 sinA sin( 4 则aMc2=4 C.CDsi∠4CD_CD sin 4 2 sin( …11分 SABCE BC·BE·sin∠CBE BE -a).cosa 1+2sin(2a+) 由于2ae0,7,sin(2a+马e( 二，， :.8ume[22-2, …13分 SABCE 16.【解】(1)设"任选一个频道播放，该频道是A频道"为事件M，"任选一个频道播放，该频 道是B频道”为事件N,"任选一个频道播放一次，该频道播放成功”为事件C,…1分 所以P(M)=P(W=克，P(CIM)=子，P(CN-=克 …2分 在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率为 1、2 P(CIM)P(M) -X 23 P(MIC)=P(C)P(CIM)P(M)+P(CIN)P(N)12 5分 2×3+2×2 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP (2)(①)播放1次A频道成为优选频道的概率为分 播放3次A频道成为优选频道的概率为×2×号)' 1.1、21 所以A频道成为优选频道的概率为 2,17 399 8分 (i)X的所有可能取值为0,1,2,3， 9分 P(x=0=子，P(X=-3*2+号*2×号18 11.1125 Px-2到-25分号品Px=到-a分 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 2-3 5 5 1 108 108 13分 所以数学期为EX=0x+1x+2x+3x14的 18 108108108 15分 17.【解】(1)因为AB=AD=25，BC=DC=4C=2, 所以AC2=AB2+BC2=AD2+DC2,所以AB⊥BC,AD⊥DC,且∠BAC=∠DAC=30°， 所以△ABD是等边三角形. 取AD的中点N,连接BN,MN,所以BN⊥AD.又AD⊥DC,则BN CD. 又因为BN文平面PCD,CDC平面PCD,所以BNP平面PCD.3分 又因为BMI平面PCD,BM∩BN=B,BMc平面BMN,BNc平面BMN, 所以平面BMND平面PCD.5分 因为平面PAD∩平面PCD=PD,平面PAD∩平面BMN=N, 所以N OPD,所以M是棱AP的中点，即M=上. AP 2 7分 (2)如图，延长DC,AB交于点E，,连接PE,则直线PE为直线l,8分 2 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 过点P作PO⊥AC,交AC于点O,连接OB,OD, 因为平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC, POC平面PAC,所以PO⊥平面ABCD. 10分 又∠ACP=60°，PC=2,AC=4,所以△APC是直角三角形，且∠APC=90°， 所以PO=V3,AO=3,CO=1.又△APC2△ABC,所以B0⊥AC,且BO=PO=√5. 以O为坐标原点，OA,OB,OP的方向分别为x,y,z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系O-3z. 11分 则A3,0,0),B0,V5,0),C(-1,0,0),D0,-5,0),P0,0,V5),E(-3,25,0), PE=(-3,25,-V3),DA=(3,5,0),PA=3,0,-5). 设平面PAD的一个法向量为n=(x,》,z), 元.DA=3x+5y=0, 则 iPA=3x-3z=0, 令x=1,得y=3,z=V5, 所以n=L,-3√5). 13分 设直线PE与平面PAD所成的角为B, 则sin0Hcos(n,PE)= 1n-PE1.12 V42 1n‖PE1V7×2√67， 即直线I与平面PAD所成的角的正弦值为√ …15分 7 18.【解】(1)设斜率为，的与直径平行的弦的端点坐标分别为(：，)，(：2,2)， 弦中点为化，则草+=1，草+好=1， 4 相减得： s-X,+l+0-20+2)=0, 4 由于x=+2，y=丝具二兴=，所以得，3x+4y=0,一 2 2 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 故该直径的共轭直径所在的直线方程为3x+4y=0… …4分 (2)椭圆的两条共轭直径为AB和CD,它们的斜率分别为k,k2, 四边形ACBD显然为平行四边形，设与AB平行的弦的端点坐标分别为(：，y),(x2,y2), 则k=名兴，飞=松而草+=1，草+好=1， x1-x2 x+x2 -++0y-y20y+2)=0, 4 故k=片当= x2-x3-4’ 8分 货信+=1得48的坐标分别为 [y=kx 2 由x2 g 2k) 故|AB= 4 V1+, V1+42 同理C,D的坐标分别为+4'+4锯 2 , 2 2k）11分 设点C到直线AB的距离为d,四边形ACBD的面积为S, 2k 2k2 所以， h+4k3 V1+4k好 21k-k2 13分 V1+好 V1+kV1+4好 s=dA倒 2lk-k2 4 V1+k好 V1+kV1+4好V1+4 8k-2 =8 k径+k子-2kk2 V1+4k+4k3V1+4(k+k)+16kk号 =4为定值 17分 19.【解】(1)当x>0时，fx)=e-ax2,f(x)=e-2, 由题意可知，e-2ax≥0，即2a≤e在区间(0，+o)上恒成立 1分 4 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP