2026年云南中考数学专用 二次函数压轴专题——降幂、消元、恒成立问题

二次函数压轴专题 例2：已知关于x的二次函数y=x2+(3m+1)x+3. 一降幂、消元、恒成立问题 (1)若函数图象经过点（-1,5)，求m的值. 姓名： 班级 (2)若抛物线与x轴交于两个不同的点，且这两个点的横 一、代入消元 例1：关于x的二次函数y=x2+(2k-1)x-2(k为常 坐标均为整数，m为负整数，点P(x,y)与Q(3-,y2) 数)。 在抛物线上（点P,9不重合），且片=，求代数式 (1)求证：函数y=x2+(2k-1)x-2的图象与x轴有交点： 8x3-4x2n+4xn+2m2-81+4的最小值. (2)已知函数y的图象与x轴的两个交点横坐标异号，且 距离等于3. ①试求此时k的值： ②当x=m时，函数为M.当x=n时，函数值为N,若 m+n=2,且m≠n,求证：M+N>0. 试卷第1页，共4页 综合训练1：已知抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)交x轴于 二、降幂消元 A(-1,0),B(3,0),交y轴于C,点M(,t)是第四象限 例3：已知二次函数C:y=-x2-4x+c(c是常数)， 内抛物线上的一个动点， (1)若二次函数C的最大值为2c,求c的值； (1)求a,b的值： (2)在(1)的条件下，将二次函数C向右平移3个单位 20若m为整数，且=+8x+17的值也为整数，请 -1 长度，向下平移6个单位长度后得到新的二次函数C2, 求出满足条件的点M的坐标： 设m是C的图象与x轴交点的横坐标，求代数式 ②若点W(,)在该抛物线上，且n<m,N=2k,求 m'+-2-12的值. m2+a1-3k+2024的值. 44-2m 试卷第2页，共4页 例4：已知抛物线y=2-2+5. 综合训练2：已知抛物线y=2x2+bx+c经过点(0，-2)， (1)求该抛物线的对称轴： 当x<时，y随x的增大而减小，当x>时，y随x的 (2)若抛物线图象经过点(1,6)，t是抛物线 增大而增大，设n是抛物线y=2x2+bx+c与x轴交点的 y=m2-2x+5与x轴交点的横坐标，记T=-140 202 横坐标，记V=+n+2-10r++n 比较r与5的大小 2 (1)求抛物线的解析式： (2)比较N与3的大小. 试卷第3页，共4页 三、恒成立问题 综合练习3：在平面直角坐标系x0少中，已知抛物线 例4：在平面直角坐标系xOy中，点A(&1,y1),B(&2,y2) y=-2x2-6x+3(m≠0) 在抛物线y=-x2+(2a-2)x-a2+2a上，其中x1<X2 (1)求抛物线的对称轴（用含α的式子表示）： (1)试说明点P(-3,3)在该抛物线上： (3)若对于x1+x2<-5,都有y1<y2,求a的取值范围. (2)已知A(2m+1,a),B(t,b)是抛物线上的任意两点， 若对于2≤t≤4，都有a-b<0,求m的取值范围. 例5：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+ 综合练习4：已知抛物线y=x2-4nx+4m2-1. bx+3(a,b为常数，a≠0). (1)求此抛物线的顶点的坐标； (1)当a=1,b=2时，求抛物线的顶点坐标： (2)若点P(2m+1,y1),M(&B,y1)均在抛物线上，求线段 (2)已知点A(t-1,y1),B(t+2,y2)和C(2t-1,k)都在抛 PM的长度； 物线上，如果对于2at+b=0,y1<3<k,都有y1>y2, (3)若这条抛物线经过点P(2m+1,y1),Q(2m-t,y2), 求t的取值范围。 且y1<y2,求t的取值范围. 试卷第4页，共4页 二次函数压轴专题——降幂、消元 学_姓名：___________班级：___________ 一、代入消元 例1：关于x的二次函数（k为常数）． (1)求证：函数的图象与x轴有交点； (2)已知函数y的图象与x轴的两个交点横坐标异号，且距离等于3． ①试求此时k的值： ②当时，函数为M．当时，函数值为N，若，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）证明，便可得结论； （2）①函数y的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，根据根与系数的关系列出k的方程，便可求解； ②分别计算M，N的值，将代入并整理得到． 【详解】（1）证明：∴函数的图象与x轴有交点； （2）解：①设的两根为，，则，， ∴， ∵函数y的图象与x轴的两个交点间的距离等于3， ∴， ∴， 解得，或， ∵函数y的图象与x轴的两个交点横坐标异号， ∴， ∴； ②证明：∵， ∴二次函数为， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴ ， ∵，且， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． 例2：已知关于x的二次函数 (1)若函数图象经过点 ，求m的值． (2)若抛物线与x轴交于两个不同的点，且这两个点的横坐标均为整数，m为负整数，点 与 在抛物线上（点P，Q不重合），且 求代数式 的最小值． 【答案】(1) (2)原式的最小值为 【分析】本题考查了二次函数坐标特点，二次函数与x轴交点情况，二次函数对称轴，二次函数最值，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）将点 代入函数解析式求解，即可解题； （2）根据题意先求出m的值，得到二次函数解析式，再结合二次函数对称轴推出，结合对式子 进行整理得到，最后利用二次函数最值情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：把代入 得， 解得 （2）解：令，则有， 解得或 ∵抛物线与x轴交于两个不同的点，且这两个点的横坐标均为整数，m为负整数， ∴， ∴抛物线为 ∵点 P，Q在抛物线上，且 即 ∴ ∴原式的最小值为． 综合训练1：已知抛物线交x轴于，，交y轴于C，点是第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求a，b的值； (2)①若m为整数，且的值也为整数，请求出满足条件的点M的坐标； ②若点在该抛物线上，且，，求的值． 【答案】(1) (2)①；②2025 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一元二次方程与二次函数的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）①利用题意和分式有意义的条件求得m值，再利用二次函数的解析式解答即可；②利用已知条件求得m，n的值，再代入运算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于、， ∴， 解得：； （2）解：①由（1）得：抛物线解析式为， ∵点是第四象限内抛物线上的一个动点． ∴， ∵为整数，且的值也为整数， ∴， 当时，， ∴满足条件的点的坐标为； ②∵点在该抛物线上，点是第四象限内抛物线上的一个动点．， ∴轴，，且直线与抛物线交于点M，N， ∵， ∴，即 ∴方程，即的实数根为m，n， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 二、降幂消元 例3：已知二次函数（c是常数）． (1)若二次函数的最大值为，求c的值； (2)在（1）的条件下，将二次函数向右平移3个单位长度，向下平移6个单位长度后得到新的二次函数，设m是的图象与x轴交点的横坐标，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查二次函数的基本性质，包括顶点式，二次函数的最大值，二次函数图象与几何变换（平移），二次函数图象与x轴的交点，代数式的求值，降次计算等，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键 ． （1）根据题意将函数化为顶点式，然后得出方程求解即可； （2）由平移方式确定函数解析式，然后得出，代入分式化简求值即可． 【详解】（1）解：二次函数， 当时，二次函数有最大值， 二次函数的最大值为， ， ； （2）由（1）知二次函数，将其向右平移3个单位长度，向下平移6个单位长度后得到新的二次函数，则， 是的图象与x轴交点的横坐标， ， ， ， ， ， 例4：已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线图象经过点是抛物线与轴交点的横坐标，记，比较与的大小． 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求解即可． （2）将已知点代入解析式求a，求出函数的解析式，然后令求t值，再对进行变形化简，得出T关于t的表达式，最后分情况比较T与​​的大小． 【详解】（1）解：抛物线为， 对称轴为直线． 即抛物线的对称轴为直线． （2）解：图象经过点，把代入，则 解得：， 故抛物线解析式， 是抛物线与轴交点的横坐标， ， 解得：， ， ， ，故． 当时，，此时； 当时，，此时． 【点睛】本题考查二次函数的对称轴、待定系数法求解析式，抛物线与轴的交点以及代数式化简和大小比较．关键在于熟练运用公式及对进行合理变形 ． 综合训练2：已知抛物线经过点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，设是抛物线与轴交点的横坐标，记． (1)求抛物线的解析式； (2)比较与3的大小． 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题，代数式求值，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先根据题意得到，求出，，然后整理为，再将n分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：对称轴为：，即：，得：． 抛物线经过点， ． 此二次函数的解析式为． （2）抛物线与坐标轴交于点， ，即，解得：． ， ， ，即， ，即， ． 当时，， ，即； 当时，， ； 当时，；当时，． 3、 恒成立问题 例4：在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上，其中 求抛物线的对称轴用含a的式子表示； 若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）a的取值范围为 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据抛物线对称轴的公式，代值求解即可； （2）根据抛物线对称轴及，结合条件，都有，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：抛物线， 对称轴； （2）点，在抛物线上， ，， 即 ， 若，则，即， ，即， ，即， ， 当时，对于，都有， 例5：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线为常数， 当，时，求抛物线的顶点坐标； 已知点，和都在抛物线上，如果对于，，都有，求t的取值范围. 【答案】（1） 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 解析式化成顶点式即可求解； 根据求得抛物线的对称轴为直线，然后根据A、B到对称轴的距离，结合，即可判断抛物线开口向下，根据列出关于t的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：当，时，抛物线为， ， 抛物线的顶点坐标为； ， ， 抛物线为常数，的对称轴为直线， 点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ， 抛物线开口向下，， 点，和都在抛物线上，抛物线， ，， ， ，， ， ，， 解得 综合练习3：在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)试说明点在该抛物线上； (2)已知，是抛物线上的任意两点，若对于，都有，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)的取值范围是或． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）将代入抛物线解析式进行计算即可判断； （2）先求出抛物线对称轴是直线，分，和两种情况，根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 点在该抛物线上； （2）解：抛物线对称轴是直线， 当时，点关于抛物线对称轴对称的点为即， 当时，点关于抛物线对称轴对称的点为即， ①当，即时， ∵，都有，即， ∴， ， ， ， ②当，即时， 同理或， 或， ， ， 综上所述：的取值范围是或． 综合练习4：已知抛物线 求此抛物线的顶点的坐标； 若点，均在抛物线上，求线段PM的长度； 若这条抛物线经过点，，且，求t的取值范围． 【答案】(1) （2） （3）t的取值范围是或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数的对称性．解决本题的关键是根据二次函数的对称性判断t的取值范围． （1）把抛物线的解析式整理成顶点坐标式，可得：，根据顶点坐标式解析式即可得到抛物线的顶点坐标； （2）因为点和点的纵坐标相等，所以点与关于对称轴对称，由可知抛物线的对称轴是，所以点P到对称轴的距离是1，根据二次函数的对称性可知点M到对称轴的距离是1，所以可得：； （3）因为，可知点P在对称轴的右侧，根据二次函数的对称性，可知点P的对称点的坐标是，若要，则点Q在点P的右侧，或在点P的对称点的左侧，从而可得t的取值范围． 【详解】解：把抛物线的解析式整理成顶点坐标式， 可得：， 抛物线的顶点坐标是； 解：点和点的纵坐标相等， 点与关于对称轴对称， 点P到对称轴的距离是， 点M到对称轴的距离也是1， ； 解：抛物线的解析式中， 抛物线开口向上， 由可知，抛物线的解析可以整理为， 抛物线的对称轴是， 点P的坐标为， 点P关于的对称点的坐标是， 当点，在对称轴左侧时， 若，则， 解得：； 当点，在对称轴右侧时， 若，则， 解得：； 综上所述，若，则或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数压轴专题一一降幂、消元学 姓名： 班级： 一、代入消元 例1：关于x的二次函数y=x2+(2k-1)x-2(k为常 数) (1)求证：函数y=2+(2k-1)x-2的图象与x轴有交点； (2)已知函数y的图象与x轴的两个交点横坐标异号，且 距离等于3. ①试求此时k的值： ②当x=m时，函数为M.当x=n时，函数值为N,若 m+n=2,且m≠n,求证：M+N>0. 【答案】(1)见解析 (2)①k=1;②见解析 【分析】(1)证明△=b2-4ac≥0，便可得结论： (2)①函数y的图象与x轴的两个交点间的距离等于3， 根据根与系数的关系列出k的方程，便可求解； ②分别计算M,N的值，将m=2-n代入并整理得到 M+N=2(n-1)2>0. 【详解】(1)证明： △=(2k-1)+8k=4k2-4k+1+8k=4k2+4k1=k+1)E ∴.函数y=2+(2k-1)x-2的图象与x轴有交点： (2)解：①设2+(2k-1)x-2=0的两根为x,x2, 2 (3-x=(飞+-= (2k+1)2 ,函数y的图象与x轴的两个交点间的距离等于3， .x1-x2=3, 2t+y=3, 2 解符，太1或=行 ·函数y的图象与x轴的两个交点横坐标异号， 试卷第1页 20 x= k=1: ②证明：.k=1, ∴.二次函数为y=x2+x-2, 由题意得：M=m2+m-2,N=n2+n-2, ,m+n=2, .m=2-n, .M+N=m2+m-2+n2+n-2 =-m2+n2-2 =(2-n2+n2-2 =2n2-4n+2 =2(n-1)2, ,m+n=2,且m≠n, .n≠1， ∴.M+N=2(n-1)>0. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根 与系数的关系，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌 握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。 例2：已知关于x的二次函数y=x2+(3+1)x+3. (1)若函数图象经过点（-1,5)，求m的值 (2)若抛物线与x轴交于两个不同的点，且这两个点的横 坐标均为整数，m为负整数，点P(x,y)与Q(31-n,y2) 在抛物线上（点P,Q不重合），且乃=y2:求代数式 8x3-4x2n+4xn+2m2-8n+4的最小值. 【答案】(m=-3 2 (2)原式的最小值为-6 【分析】本题考查了二次函数坐标特点，二次函数与x 轴交点情况，二次函数对称轴，二次函数最值，解题的 关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质. 共7页 (1)将点（-1,5)代入函数解析式求解，即可解题： (2)根据题意先求出m的值，得到二次函数解析式， 再结合二次函数对称轴推出2x=1-2,结合2x=n-2 对式子8.x-4xn+4xn+22-81+4进行整理得到 2(-1)-6,最后利用二次函数最值情况求解，即可解 题 【详解】(1)解：把(-1,5)代入y=x2+(3m+1)x+3, 得5=m-(3+1)+3, 新符烟多 (2)解：令y=0,则有(x+3)(x+1)=0, 解得x=-3或x=-1 抛物线与x轴交于两个不同的点，且这两个点的横坐 标均为整数，m为负整数， ..=-1, ∴.抛物线为y=-x2-2x+3. 点P,Q在抛物线上，且y=y2 :+5-n=-2 2 2×(-1) .2x,-n=-2,即2x=n-2, ∴.8x3-4xn+4xn+2m2-81+4 =(2x)-(2x)'n+(2x)×2n+22-8n+4 =(n-2)3-(n-2)2n+(n-2)x2n+2n2-8m+4 =(n-2)'[(n-2)-m+(n-2)x2n+2n2-8+4 =-2(n-2)2+22-4n+2m2-8n+4 =-2n2+81-8+22-4n+2n2-81+4 =2n2-4n-4=2(n-1)2-6≥-6， ∴.原式的最小值为-6. 试卷第2) 综合训练1：已知抛物线y=r2+bx-3(a≠0)交x轴于 A(-1,0),B(3,0),交y轴于C,点M(m,)是第四象限 内抛物线上的一个动点·. (1)求a,b的值： 20若m为整数，且T-+8+17的值也为整数，请 -1 求出满足条件的点M的坐标： ②若点W(n,)在该抛物线上，且n<m,N=2k,求 m2+2-3k+2024的值. 【答案】(1)a=1,b=-2 (2)①(2，-3)；②2025 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定 系数法，抛物线上点的坐标的特征，一元二次方程与二 次函数的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键。 (1)利用待定系数法解答即可： (2)①利用题意和分式有意义的条件求得m值，再利 用二次函数的解析式解答即可：②利用已知条件求得， n的值，再代入运算即可. 【详解】(1)解：，抛物线y=2+bx-3(a>0)交x轴 于A(-1,0)、B(3,0), a-b-3=0 . 9a+3b-3=01 a=1 解得： b=-2 (2)解：①由(1)得：抛物线解析式为y=x2-2x-3, 点M(m,t)是第四象限内抛物线上的一个动点， .0<m<3, :m为整数，且T=+登+18的值也为整数， -1 .=2, 当x=2时，y=22-2×2-3=-3, ∴.满足条件的点M的坐标为(2，-3)： 页，共7页 ②，点N(n,t)在该抛物线上，点M(,t)是第四象限内 抛物线上的一个动点.n<m, ∴.N∥x轴，MN=m-n,且直线y=t与抛物线交于 点M,N, .N=2k, ∴.m-n=2k,即m=2k+n .方程t=X-2x-3,即x2-2x-3-t=0的实数根为l, n, ∴.m+n=2, .2k+n+n=2, .n=1-k, .m=k+1, .m2+am-3k+2024 =(k+1)2+k(1-k)-3k+2024 =k2+2k+1+k-k2-3k+2024 =2025. 二、降幂消元 例3：已知二次函数C:y=-x2-4x+c(c是常数). (1)若二次函数C的最大值为2c,求c的值： (2)在(1)的条件下，将二次函数C向右平移3个单位 长度，向下平移6个单位长度后得到新的二次函数C, 设是C的图象与x轴交点的横坐标，求代数式 m+m3-2m-12加的值. 4m4-23 【答案】(1)c=4 (2)-15 【分析】题目主要考查二次函数的基本性质，包括顶点 式，二次函数的最大值，二次函数图象与几何变换（平 移)，二次函数图象与x轴的交点，代数式的求值，降 次计算等，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键· (1)根据题意将函数化为顶点式，然后得出方程求解 即可； 试卷第3 （2)由平移方式确定函数解析式，然后得出m2=2m+1, 代入分式化简求值即可， 【详解】(1)解：二次函数 Cy=-x2-4x+c=-(x+2)2+4+c, .当x=-2时，二次函数C有最大值4+c, :二次函数C的最大值为2c, .2c=4+c, c=4; (2)由(1)知二次函数Cy=-(x+2)2+8,将其向右 平移3个单位长度，向下平移6个单位长度后得到新的 二次函数C2,则C2:y=-(x+2-3)2+8-6=-x2+2x+1, “m是C,的图象与x轴交点的横坐标， .-2+2+1=0, ∴.m2-2m=1,m2=2m+1, ∴.m=(2m+1)2=42+4m+1=4(2m+1)+4m+1=12m+5 .m=m12m+5)=12m2+5m=12(2m+1)+5m=29m+12 ∴.m=m2(29m+12)=29m+12m2, m+m-2m-12m_29m+m=15 4m2-2m -2m3 例4：己知抛物线y=2-2ar+5. (1)求该抛物线的对称轴： (2)若抛物线图象经过点(1,6)，t是抛物线 y=m-2x+5与x轴交点的横坐标，记7=-140 202 比较7与6的大小. 【答案】（①）x=1 @当z+6时，73当16时736 2 2 2 页，共7页 【分析】(1)根据抛物线的对称轴公式=2 b 求解即 可. (2)将已知点(1,6)代入解析式求α，求出函数的解析 式，然后令y=0求t值，再对t进行变形化简，得出T 关于1的表达式，最后分情况比较T与6 的大小. 2 【详解】(1)解：：抛物线为y=ax2-2m+5, 对称轴为直线x=-20=1. 2a 即抛物线的对称轴为直线x=1. (2)解：图象经过点(1,6)，把(1,6)代入 y=m2-2m+5,则6=a×1-2ax1+5 解得：a=-1, 故抛物线解析式y=-x2+2x+5, ,t是抛物线y=-x2+2x+5与x轴交点的横坐标， .0=-t2+2t+5, 解得：t=1±V6, .t2=2t+5, ∴t=(t)t=(2t+5).t=(4t+20t+25)t =[4(2t+5)+20t+25]t=(8+20+20t+25)-t =(28t+45)t=28t2+45t=28(2t+5)+45t =56t+140+45t=101t+140, 7-0-1001w-故r16 202 202 2 当-1+6时，T-61+660,此时 2 2222 ?6 2 当r-1-6时，T6165}6<0,此 2 2222 时T≤6 2 【点睛】本题考查二次函数的对称轴、待定系数法求解 析式，抛物线与x轴的交点以及代数式化简和大小比 试卷第4 较.关键在于熟练运用公式及对进行合理变形· 综合训练2：已知抛物线y=2x2+bx+c经过点(0，-2)， 当x<时，y随x的增大而减小，当x>时，y随x的 增大而增大，设n是抛物线y=2x2+bx+c与x轴交点的 横坐标，记N=心+n+2n-10m++n (1)求抛物线的解析式： (2)比较N与3的大小. 【答案】(1)y=2x2-2x-2 ②当m=1+5时，N>3:当m-1-5时，V<3 2 2 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二 次函数与x轴的交点问题，代数式求值，解题的关键是 熟练掌握以上知识点， (1)利用待定系数法求解即可： (2)首先根据题意得到m2-1-1=0,求出m=1±5 2 n-1=1,然后整理N为n+n+2n-10+ 11 n 将n分类讨论，即可解答. 1 【详解】1)解：由题意得：对称轴为：x=2,即： b 1 2×22,得：b=-2. :抛物线y=2x2+bx+c经过点(0，-2)， .c=-2. .此二次函数的解析式为y=2x2-2x-2. (2)抛物线y=2x2-2x-2与坐标轴交于点(n,0), 2N-2n-2=0,即m2--1=0,解得：n=1±5 2 N=n+n'+2m-10m+n2+n -n+m+2n-10m+n+1 n =0'+m+21-10+1+1 n2 n ,共7页 n2-n-1=0, n-1=1, =1,即+-3， n2 +=日+ N=r+r12-10++743+21-10=2 当n-1+5时，N=1+V5, 2 .N-3=1+V5-3=5-2>0,即N>3: 当n=1-5时，N=1-5<0, 2 N<3: 当m+)5时，N>3:当-5时，N<3. 2 2 三、恒成立问题 例4：在平面直角坐标系xOy中，点A(&1,y1),B(&2,y2) 在抛物线y=-x2+(2a-2)x-a2+2a上，其中x1<x2 (1)求抛物线的对称轴（用含α的式子表示）： (3)若对于x1+x2<-5,都有y1<y2,求a的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2)a的取值范围为a2- 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二 次函数的图象和性质，是解题的关键： (1)根据抛物线对称轴的公式x=-云代值求解即可： (2)根据抛物线对称轴及x1<&2,结合条件x1+&2<-5, 都有y1<y2,列出不等式求解即可. 【详解】(1)解：抛物线y=-x2+(2a-2)x-a2+2a, 对称辅x=一高=a-1: (2)点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=-x2+(2a- 2)x-a2+2a上， y1=-x12+(2a-2)x1-a2+2a,y2=-x22+(2a 2)x2-a2+2a, 试卷第5 即y1-y2=-x12+(2a-2)x1-a2+2a-[-x22+ (2a-2)x2-a2+2a] =(&1-x2)(2a-2-X1-x2), 若y1<y2,则y1-y2<0,即(&1-2)(2a-2-1-2)< 0, X1<2,即X1-X2<0, 2a-2-81-2>0,即2a-2>81+2, x1+X2<-5, 当2a-2≥-5时，对于x1+X2<-5,都有y1<y2, 3 a2-2 例5：在平面直角坐标系xOy中，己知抛物线y=ax2+ bx+3(a,b为常数，a≠0). (1)当a=1,b=2时，求抛物线的顶点坐标： (2)已知点A(t-1,y1),Bt+2,y2)和C(2t-1,k)都在抛 物线上，如果对于2at+b=0,y1<3<k,都有y1>y2, 求t的取值范围。 【答案】(1)(（1,2) (2)<t<1. 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上 点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. (1)解析式化成顶点式即可求解； (2)根据2at+b=0求得抛物线的对称轴为直线x=t,然 后根据A、B到对称轴的距离，结合y1>y2,即可判断 抛物线开口向下，根据1<3<k列出关于t的不等式组， 解不等式组即可 【详解】解：(1)当a=1,b=2时，抛物线为y=x2+2x+3, y=x2+2x+3=(x+1)2+2, 抛物线的顶点坐标为(-1,2)： (2)2at+b=0, ∴b=-2at, 抛物线y=ax2+bx+3(a,b为常数，a≠0)的对称轴为 直线X=品=t ,共7页 点A(t-1,y1)到对称轴的距离小于Bt+2,y2)到对称 轴的距离， y1>y2, 抛物线开口向下，a<0, 点A(t-1,y1),B(t+2,y2)和C(2t-1,k)都在抛物线上， 抛物线y=ax2-2atx+3, ∴y1=a(t-1)2-2at(t-1)+3=-at2+a+3,k=a(2t- 1)2-2at(2t-1)+3=-2at+a+3, y1<3<k, .-at2+a+3<3,-2at+a+3>3, ra<0, t2-1>0,2t-1>0, 解得，<t<1. 综合练习3：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=-2x2-6mx+3(m≠0) (1)试说明点P(-3,3)在该抛物线上： (2)已知A(2n+1,a),B(t,b)是抛物线上的任意两点， 若对于2≤t≤4，都有a-b<0,求m的取值范围. 【答案】(1)见解析： 3 (2)m的取值范围是-3<m<0或m>2 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二 次函数的图象和性质，是解题的关键： (1)将x=3代入抛物线解析式进行计算即可判断： (2)先求出抛物线对称轴是直线x三，分-2m>0 和-2<0两种情况，根据二次函数的性质进行求解即 可 【详解】(1)解：当x=-3时，y=-18+18L+3=3, 3=3, 试卷第6 .点P(-3,3)在该抛物线上： -6m 3 (2)解：抛物线对称轴是直线x= 2×(-2m)2' 当t=2时，点(2，b)关于抛物线对称轴对称的点为 （32-20即(-56. 当t=4时，点(4，b)关于抛物线对称轴对称的点为 (240(70. ①当-2>0，即m<0时， 2≤t≤4，都有a-b<0,即a<b, .-5<2m+1<2, -3<m<2 .'<0, .-3<<0, ②当-2m<0,即>0时， 同理2+1>4或2+1<-7， m>名或m<4, 2 m>0, m>2' 3 3 .综上所述：m的取值范围是-3<m<0或m> 2 综合练习4：已知抛物线y=x2-4nx+4m2-1. (1)求此抛物线的顶点的坐标： (2)若点P(2m+1,y1),M(&B,y1)均在抛物线上，求线段 PM的长度： (3)若这条抛物线经过点P(2m+1,y1),Q(2m-t,y2), 且y1<y2,求t的取值范围. 【答案】(1)(2m,-1) (2)PM=2 (3)t的取值范围是t>1或t<-1. 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次 ,共7页 函数的对称性.解决本题的关键是根据二次函数的对称 性判断t的取值范围. (1)把抛物线y=x2-4nx+4m2-1的解析式整理成 顶点坐标式，可得：y=(&-2m)2-1,根据顶点坐标 式解析式即可得到抛物线的顶点坐标： (2)因为点P(2m+1,y1)和点M(,y1)的纵坐标相等， 所以点P(2m+1,y1)与M(s,y1)关于对称轴对称，由(1) 可知抛物线的对称轴是x=2m,所以点P到对称轴的距 离是1，根据二次函数的对称性可知点M到对称轴的距 离是1，所以可得：PM=2: (3)因为2m+1>2m,可知点P在对称轴的右侧，根 据二次函数的对称性，可知点P的对称点的坐标是 (2n-1,y1),若要y1<y2,则点9在点P的右侧，或在 点P的对称点的左侧，从而可得t的取值范围. 【详解】(1)解：把抛物线y=x2-4mx+4m2-1的解 析式整理成顶点坐标式， 可得：y=(x-2m)2-1, 抛物线的顶点坐标是(2m,-1): (2)解：点P(2m+1,y1)和点M(&B,y1)的纵坐标相等， 点P(2m+1,y1)与M(,y1)关于对称轴对称， 点P到对称轴的距离是2m+1-2m=1, ∴点M到对称轴的距离也是1， .PM=1+1=2: (3)解：抛物线y=x2-4mx+4m2-1的解析式中a= 1>0, 抛物线开口向上， 由(1)可知，抛物线的解析可以整理为y=(x-2m)2-1, 抛物线的对称轴是x=2m, 点P的坐标为(2n+1,y1), ∴点P关于x=2m的对称点的坐标是(2m-1,y1), 当点Q(2m-t,y2),在对称轴左侧时， 若y1<y2,则2m-t<2m-1, 解得：t>1: 试卷第7 当点Q(2n-t,y2),在对称轴右侧时， 若y1<y2,则2m-t>2m+1, 解得：t<-1; 综上所述，若y1<y2,则t>1或t<-1, 页，共7页 二次函数压轴专题 —降幂、消元、恒成立问题 姓名： _班级 一、代入消元 例1：关于x的二次函数（k为常数）． (1)求证：函数的图象与x轴有交点； (2)已知函数y的图象与x轴的两个交点横坐标异号，且距离等于3． ①试求此时k的值： ②当时，函数为M．当时，函数值为N，若，且，求证：． 例2：已知关于x的二次函数 (1)若函数图象经过点 ，求m的值． (2)若抛物线与x轴交于两个不同的点，且这两个点的横坐标均为整数，m为负整数，点 与 在抛物线上（点P，Q不重合），且 求代数式 的最小值． 综合训练1：已知抛物线交x轴于，，交y轴于C，点是第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求a，b的值； (2)①若m为整数，且的值也为整数，请求出满足条件的点M的坐标； ②若点在该抛物线上，且，，求的值． 二、降幂消元 例3：已知二次函数（c是常数）． (1)若二次函数的最大值为，求c的值； (2)在（1）的条件下，将二次函数向右平移3个单位长度，向下平移6个单位长度后得到新的二次函数，设m是的图象与x轴交点的横坐标，求代数式的值． 例4：已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线图象经过点是抛物线与轴交点的横坐标，记，比较与的大小． 综合训练2：已知抛物线经过点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，设是抛物线与轴交点的横坐标，记． (1)求抛物线的解析式； (2)比较与3的大小． 3、 恒成立问题 例4：在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上，其中 求抛物线的对称轴用含a的式子表示； 若对于，都有，求a的取值范围． 例5：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线为常数， 当，时，求抛物线的顶点坐标； 已知点，和都在抛物线上，如果对于，，都有，求t的取值范围. 综合练习3：在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)试说明点在该抛物线上； (2)已知，是抛物线上的任意两点，若对于，都有，求m的取值范围． 综合练习4：已知抛物线 求此抛物线的顶点的坐标； 若点，均在抛物线上，求线段PM的长度； 若这条抛物线经过点，，且，求t的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $