专题01 二元一次方程组10大题型（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材冀教版

专题01 二元一次方程组（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 代入消元法解方程组 题型02 加减消元法解方程组 题型03 复杂方程组化简求解 题型04 已知方程组的解求参数 题型05 已知解的关系求参数 题型06 整体代入/换元法解方程组 题型07 和差倍分实际应用 题型08 行程问题（相遇/追及/顺逆水） 题型09 工程/经济/方案选择问题 题型10 几何图形综合题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程的定义与判定 1. 能准确识别二元一次方程，掌握 “整式方程、两个未知数、次数为 1” 三大判定条件；2. 能区分二元一次方程与一元一次方程、分式方程、二元二次方程；3. 能写出二元一次方程的任意一组解，理解其有无数组解的特点 基础考点，常以选择题、判断题形式出现，易错点集中在 “整式方程” 和 “次数为 1” 的判定 二元一次方程组的定义与解 1. 能识别二元一次方程组（含含一元一次方程的特殊形式）；2. 能判断一组数是否为方程组的解（需同时满足两个方程）；3. 能规范书写方程组的解的格式 基础考点，常以选择题、填空题形式出现，易错点为 “只满足一个方程的解不是方程组的解” 代入消元法解二元一次方程组 1. 能识别适合代入法的方程组（某未知数系数为 ±1 或易变形）；2. 能按 “变形→代入→求解→回代→写解” 步骤规范解题；3. 能避免代入时漏乘、符号错误等问题 核心解法考点，必考计算题，是解方程组的基础方法 加减消元法解二元一次方程组 1. 能识别适合加减法的方程组（某未知数系数相等或互为相反数）；2. 能通过变形将未知数系数化为相等或互为相反数，再按 “加减→求解→回代→写解” 步骤解题；3. 能避免加减时常数项漏算、符号错误等问题 核心解法考点，必考计算题，与代入法并列为本章计算核心 二元一次方程组的实际应用 1. 能从实际情境中提取两个等量关系；2. 能设未知数（直接设 / 间接设）并列出方程组；3. 能解方程组并检验解是否符合实际意义（如正整数、正数等）；4. 能规范作答 本章重点难点，常出现在解答题，是中考应用题的基础原型，易错点为等量关系找错、未检验解的合理性 三元一次方程组（拓展） 1. 能识别三元一次方程组；2. 能通过消元法将三元方程组转化为二元方程组求解 选学/拓展考点，部分地区会考查，为后续学习多元方程组铺垫 知识点01 二元一次方程的定义 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 标准形式：（，，为常数） 三大判定条件（缺一不可）： 整式方程：分母不含未知数，根号下不含未知数 两个未知数：未知数个数为2，不能多也不能少 次数为1：含未知数的项的最高次数是1，无未知数的平方、乘积项 示例：、是二元一次方程 易错点：：分母含未知数，不是整式方程 ：未知数次数为2，不符合次数要求 ：未知数乘积项，次数为2，属于二元二次方程 ：只有一个未知数，是一元一次方程 知识点02 二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 易错点：二元一次方程有无数组解，切勿当成唯一解；解要写成的形式，不能单独写一个数值。 示例：方程的解有、、等无数组 知识点03 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了二元一次方程组。 易错点：方程组中总共含有两个未知数，每个方程都是一次整式方程即可（不一定每个方程都含两个未知数）。 示例：标准二元一次方程组： 特殊二元一次方程组：（含一元一次方程，仍符合定义） 知识点04 二元一次方程组的解 二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做方程组的解。 易错点：方程组的解必须同时满足两个方程，只满足一个方程的不是方程组的解；解的书写格式必须规范。 示例：判断是否为的解：代入第一个方程成立，代入第二个方程成立，故是方程组的解。 知识点05 代入消元法 适用场景：方程组中有一个方程的某未知数系数为±1，或式子便于变形用一个未知数表示另一个未知数。 核心步骤： 变形：选系数简单的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示（如） 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值 回代：将求出的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值 写解：规范写出方程组的解 示例：解方程组 解：由(1)得： (3) 把(3)代入(2)： 展开： → → 把代入(3)： ∴ 方程组的解为 易错点：代入时漏乘常数项、符号出错；回代时代入原方程而非变形后的方程，导致计算复杂出错。 知识点06 加减消元法 适用场景：方程组中两个方程的某未知数系数相等或互为相反数，或通过变形可实现系数相等/互为相反数。 核心步骤： 变形：将两个方程中某一未知数的系数化为相等或互为相反数 加减：系数相等用减法，系数互为相反数用加法，消去一个未知数 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值 回代：将值代入原方程，求出另一个未知数的值 写解：规范写出方程组的解 示例：解方程组 解：(1)-(2)得： 化简： 把代入(2)： → → ∴ 方程组的解为 （系数需变形）：解方程组 解：①×3：；②×4： 两式相加： → 代入求： → ∴ 解为 易错点：加减时常数项忘记同步运算；方程两边同乘一个数时，漏乘某一项；系数互为相反数时误用减法，系数相等时误用加法。 知识点07 二元一次方程组的应用 解题核心步骤 审：审题，找出两个等量关系 设：设两个未知数（直接设/间接设） 列：根据等量关系列二元一次方程组 解：解方程组，求出未知数的值 验：检验解是否符合题意（实际问题中解为正数、整数等） 答：规范作答 易错点：找错等量关系、设未知数漏单位、检验环节缺失（如人数、物品数不能为负数和小数）。 实际应用中未检验解的合理性，答非所问 知识点08 三元一次方程组 三元一次方程组：含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程组，叫做三元一次方程组。 三元一次方程组的解：三元一次方程组中三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解，必须同时满足三个方程。 易错点：① 只满足其中1个或2个方程的解，不是方程组的解； ② 解的书写必须规范，三个未知数的值一一对应，用大括号包裹，不能遗漏； ③ 切勿把“三个方程”当作判定三元一次方程组的唯一条件，忽略“三个未知数”“一次整式方程”两个核心条件。 题型一 代入消元法解方程组 解｜题｜技｜巧 1. 选系数简单的方程，变形为 y=ax+b 或 x=ay+b 2. 将变形式代入另一方程，消去一个未知数 3. 解一元一次方程得一个未知数，再回代求另一个 易｜错｜点｜拨 变形时符号出错（如 错写成） 代入时漏乘常数项（如 错写成 ） 回代时选原复杂方程，增加计算错误概率 【典例1】下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法方程组的步骤，其中开始出现错误的是（　　） A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 【答案】C 【分析】根据解二元一次方程组的方法—代入消元法的步骤，即可判定． 【解析】解： 由得：， 把代入得：， 去分母得：， 解得：， 则开始出现错误的是步骤三， 故选：． 【变式1】（2026·河北秦皇岛·一模）（1）把方程写成用含的代数式表示的形式； （2）将（1）的结果代入，消去未知数，求出的值； （3）直接写出方程组的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】解：（1）由题意得， ； （2）由题意，将代入得， 解得； （3）将代入，得：， ∴方程组的解为：． 【变式2】（24-25七年级下·河北唐山）老师在黑板上写了一道题目：求二元一次方程组的解． 琪琪同学进行了板演，过程如图： 解：把①变形为：③…………第一步 把③代入②中得：…………第二步 解这个方程，得第三步…………第三步 把代入①中，得…………第四步 所以，方程组的解为…………第五步 (1)琪琪在解方程组时，使用了________消元法； (2)琪琪在解方程组时，首次出现错误在第________步； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)代入 (2)第一步 (3) 【解析】（1）解：琪琪在解方程组时，使用代入消元法， 故答案为：代入； （2）解：琪琪在解方程组时，首次出现错误在第一步，移项没有变号， 故答案为：第一步； （3）解：把①变形为：③ 把③代入②中得： 解这个方程，得第三步 把代入①中，得 所以，方程组的解为． 题型二 加减消元法解方程组 解｜题｜技｜巧 把某未知数系数化为相等或互为相反数 系数相等用减法，互为相反数用加法，消去该未知数 解一元一次方程后回代求另一个未知数 易｜错｜点｜拨 方程两边同乘时漏乘某一项（如 乘 2 时，只乘前两项） 加减时符号搞反（系数互为相反数时误用减法，相等时误用加法） 常数项未同步参与加减运算 【典例1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）下列是关于方程组的两种解法： 方法一：由①②可消去． 方法二：由①②可消去． 下列判断正确的是（   ） A．方法一对，方法二不对 B．方法一不对，方法二对 C．方法一对，方法二也对 D．方法一不对，方法二也不对 【答案】A 【解析】解：方法一：由①得，， ②得，， 故由①②可消去； 方法二：由①得，， ②得，， 由①②不可消去， 因此方法一对，方法二不对， 故选：A． 【典例2】（2024·河北·一模）甲乙两人在解方程组时，有如下讨论：甲：我要消掉，所以；乙：我要消掉，所以．则下列判断正确的是（    ） A．甲乙方法都可行 B．甲乙方法都不可行 C．甲方法可行，乙方法不可行 D．甲方法不可行，乙方法可行 【答案】A 【解析】解：得：；消去了； ，得：；消去了； 故甲，乙的方法都可行； 故选A． 【变式1】（23-24七年级下·河北邢台·月考）老师留的作业中有这样一道解方程组的题：，小明同学完成的过程如下： 得，        第一步 把代入②得，    第二步 解得，        第三步 则方程组的解为，    第四步 (1)老师发现小明同学的解答有错误，小明同学的解答从第______步开始出现错误． (2)请给出此题的正确解答过程． 【答案】(1)一 (2)过程见解析 【解析】（1）老师发现小明同学的解答有错误，小明同学的解答从第一步开始出现错误； （2） 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 题型三 复杂方程组化简求解 解｜题｜技｜巧 先去分母、去括号、移项、合并同类项，整理为标准形式 ax+by=c 再根据系数特点选择代入法或加减法 易｜错｜点｜拨 去分母时漏乘不含分母的项 去括号时符号处理错误（尤其是括号前是负号） 【典例1】解下列方程（组） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： （2）解： 整理得 得 即 得 解得： 将代入得 解得： ∴ 【典例2】解方程组： 【答案】 【解析】解： 整理②得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 【变式1】解方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解： ，得：， 解得， 将代入②，得， 解得， 因此该方程组的解为． 题型四 已知方程组的解求参数 解｜题｜技｜巧 将已知解代入方程组 得到关于参数的一元一次方程或二元一次方程组 解新方程/组，求出参数值 易｜错｜点｜拨 代入时把参数和未知数混淆，计算方向错误 解参数方程时符号出错 【典例1】若是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】解：∵是二元一次方程组， ∴， 解得， ∴． 故选B． 【典例2】小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题. 【答案】 【解析】解： 设第①个方程y的系数为m，第②个方程x的系数为n， ∵ 是方程组的解， ∴ ， 解得 ， ∴原来的方程组为 ． 【变式1】解方程组时，小红同学把看错了，得到的错误解是，而正确的解是；求、的值． 【答案】， 【解析】解：把和代入， 得：， 解得：， ，． 题型五 已知解的关系求参数 解｜题｜技｜巧 先把参数当常数，用消元法解出 （用参数表示） 根据题目条件（如 ）列新方程 解新方程，求出参数值 易｜错｜点｜拨 解含参数方程组时消元方向错误，导致表达式复杂 未将 用参数表示，直接联立原方程与条件式，增加计算量 【典例1】二元一次方程组的解的值相等，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】解：由题意得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 故选：A. 【典例2】已知是关于、的二元一次方程组． (1)①当时，该方程组的解为_____； ②该方程组的解为_______（用含的式子表示）． (2)若方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) ① ② (2) 的值为． 【解析】（1）解：①当时，该方程组为， 由可得：， 解得， 将代入②可得， 解得， ∴当时，该方程组的解为； ②， 由可得：， 解得， 将代入②可得， ∴， ∴原方程组的解为； （2）解：∵方程组的解也满足方程， ∴， 解得． 【变式1】m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，求的值． 【答案】4 【解析】解：解方程组得 因为方程组有整数解， 所以和是整数．又因为m为正整数， 所以为10和15的公约数，且是正整数， 所以， 解得， 所以． 题型六 整体代入/换元法解方程组 解｜题｜技｜巧 观察方程组中是否有重复出现的代数式（如 ） 将该代数式设为新未知数（换元），转化为简单二元一次方程组 求出新未知数后，再回代求原未知数 易｜错｜点｜拨 找不到可整体代入的代数式，强行拆分为单个未知数 换元后忘记回代求原未知数，导致答案不完整 【典例1】（1）观察发现：材料：解方程组． 将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为______； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值______． 【答案】（1）；（2）；（3）1，2，3 【解析】解：（1）， 由得， 把代入得， 解得：， 把代入得：， 方程组的解为； （2）， 由得， 把代入得， 把代入，得， 方程组的解为； （3）， 得， ∴， 关于，的二元一次方程组的解满足， ， ， 满足条件的的所有正整数值为，，． 【典例2】在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题． 【类比观察】（1）求下列方程组的解 方程组的解为：________； 方程组的解为：________； 【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________； 【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】（1）；；（2）相同；相同；（3） 【解析】解：（1）， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； ， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； （2）两个方程组的未知数的系数相同；两个方程组的解相同； （3）∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足：， 解得：； 【变式1】换元法又称变量替换法，是我们解题常用的方法之一、利用换元法，可以化繁为简，化难为易，从而找到解题的捷径． 【初步思考】（1）已知的解是，求二元一次方程组的解． 【拓展应用】（2）若关于的二元一次方程组的解是，求关于的二元一次方程组的解． 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1）设， 则方程组变为：， ∵的解是， 解得， 解得； （2）整理方程组得， 令， ∵关于的二元一次方程组的解是， ∴， 解得． 题型七 和差倍分实际应用 解｜题｜技｜巧 圈画关键词（“共”“比… 多”“是… 倍”），找出两组等量关系 设两个未知数，列方程组 求解后检验解是否为正整数 / 正数（符合实际意义） 易｜错｜点｜拨 找错等量关系，列错方程 忽略实际意义，接受负数 / 小数解（如人数、物品数） 【典例1】某班举行了演讲活动，班长安排淇淇去购买奖品，下图是淇淇与班长的对话： 请根据淇淇与班长的对话，解答下列问题： (1)若找回55元钱，则淇淇买了两种笔记本各多少本？ (2)可能找回68元钱吗？若能，求出此时买了两种笔记本各多少本；若不能，说明理由． 【答案】(1)淇淇买了5元的笔记本25本，8元的笔记本15本． (2)不能找回68元，理由见解析 【解析】（1）设买x本5元的笔记本，则买本8元的笔记本， 根据依题意，得，     解得，     则（本）．     答：淇淇买了5元的笔记本25本，8元的笔记本15本． （2）不能，理由如下； 设买y本5元的笔记本，则买本8元的笔记本， 根据题意，得，    解得， ∵不是整数， ∴不能找回68元． 【典例2】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）某公司购买了一批物资并安排两种货车运抵某市．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物资？ (2)现有3200件物资需要再次运往该市，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案． 【答案】(1)1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资 (2)共有2种租车方案，方案1：租用4辆小货车，5辆大货车；方案2：租用8辆小货车，2辆大货车． 【解析】（1）解：设1辆小货车一次可以满载运输件物资，1辆大货车一次可以满载运输件物资 由题意可得：， 解得：， 答：1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资． （2）解：设租用小货车辆，大货车辆， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或， 共有2种租车方案， 方案1：租用4辆小货车，5辆大货车； 方案2：租用8辆小货车，2辆大货车． 【变式1】某超市购进甲、乙两种型号的空气加湿器进行销售，已知购进4台甲型号空气加湿器和6台乙型号空气加湿器共用1820元，购进6台甲型号空气加湿器比购进4台乙型号空气加湿器多用520元． （1）求甲、乙两种型号的空气加湿器每台的进价． （2）超市根据市场需求，决定购进这两种型号的空气加湿器共60台进行销售，甲种型号每台售价260元，乙种型号每台售价190元，若超市购进的这两种空气加湿器全部售出后，共获利2800元，则该超市本次购进甲、乙两种型号的空气加湿器各多少台？ 【答案】（1）甲种型号的空气加湿器每台的进价为200元，乙种型号的空气加湿器每台的进价为170元；（2）甲种型号的空气加湿器40台，乙种型号的空气加湿器20台 【解析】解：（1）设甲种型号的空气加湿器每台的进价为元，乙种型号的空气加湿器每台的进价为元， 依题意得：， 解得：． 答：甲种型号的空气加湿器每台的进价为200元，乙种型号的空气加湿器每台的进价为170元． （2）设该超市本次购进甲种型号的空气加湿器台，则购进乙种型号的空气加湿器台， 依题意得：， 解得：， （台． 答：该超市本次购进甲种型号的空气加湿器40台，乙种型号的空气加湿器20台． 题型八 行程问题（相遇/追及/顺逆水） 解｜题｜技｜巧 核心公式：路程 = 速度 × 时间 相遇问题：路程和 = 速度和 × 时间 追及问题：路程差 = 速度差 × 时间 顺逆水问题：顺流速度 = 船速 + 水速，逆流速度 = 船速 - 水速 易｜错｜点｜拨 混淆相遇与追及的路程关系 顺逆水速度公式记反，导致方程列错 【典例1】（25-26七年级上·河北沧州·月考）甲、乙两人在环形跑道上匀速跑步，跑道一圈长米．若两人从同一地点同时出发，背向而行，经过分钟相遇；若两人从同一地点同时出发，同向而行，经过分钟甲第一次追上乙．则甲的速度为（   ）米/分钟 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟. 根据题意可得：， 整理得： 得： ， 解得：， 答：甲的速度为米/分钟． 故选：C． 【典例2】（24-25七年级下·河北唐山·月考）一条船顺流航行，每小时行驶；逆流航行，每小时行驶．若设船在静水中的速度为，水流速度为，则列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据题意，得． 故选B． 【变式1】（23-24七年级下·海南海口·期中）甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时 (2)小时或小时 【解析】（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时， 根据题意，得 解得， 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设经过小时两车相距30千米， 根据题意，得： 当两车未相遇时，， 解得， 当两车相遇后，， 解得， 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 题型九 工程/经济/方案选择问题 解｜题｜技｜巧 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间（常设工作总量为 1） 经济问题：利润 = 售价 - 成本，折扣后价格 = 原价 × 折扣率 方案选择：分别列方程组计算各方案成本 / 收益，再比较大小 易｜错｜点｜拨 工程问题中未统一工作时间单位 方案选择时只计算不比较，或比较时逻辑错误 【典例1】（23-24七年级下·河北承德·期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天， (1)小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意， 小华同学：设整治任务完成后，m表示__________，n表示__________； 得 请补全括号及横线部分的内容． (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】(1) ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间； (2)甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【解析】（1）小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得； 小华同学： 设整治任务完成后，表示甲工程队工作的时间，表示乙工程队工作的时间． 根据题意，得：． 故答案为： ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间； （2）小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得， 解之，得． 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 小华同学： 设整治任务完成后，甲工程队工作了天，乙工程队工作了天， 根据题意，得， 解之，得， ，． 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【典例2】（25-26七年级上·河北唐山·月考）某商场销售一种流行玩具，分为A，B两种款式，已知A款玩具每个的进价是50元，售价是80元，B款玩具每个的进价是40元． (1)该商场购进A，B两款玩具共计200个，总进货款8400元，请你计算一下，A，B两款玩具各进货多少个？ (2)春节临近，该商场推出如下优惠促销活动．小张按照优惠活动方案在该商场一次性购买A款玩具若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小张在该商场购买了多少个A款玩具？ 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过900 不优惠 超过900元，但不超过1200元 按总售价打九折 超过1200元 其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折 【答案】(1)A款玩具进货40个，B款玩具进货160个 (2)小张购买了14个或16个A款玩具 【解析】（1）解：设A款玩具进货x个，B款玩具进货个， 由题意得：， 解得：，， 即A款玩具进货40个，B款玩具进货160个． （2）解：设小张购买了y个A款玩具，打折前总金额为元， 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得， 当时，，解得， 即小张购买了14个或16个A款玩具． 【变式1】每年的4月23日是世界读书日，今年读书日的主题是“阅读改变未来．”阅读能够让我们获得知识，扩展视野，还可以激发思考，增加创造力，对个人成长和社会发展有深远影响．八年级（1）班的班长小明通过微信团购群为班级网购图书，他在2个团购群中看到同款图书销售情况如下： 团购群1 客服：各位亲，读书日优惠活动，全场满150元包邮，买10本以上一律八折！ 客人1：3本《骆驼祥子》和2本《傅雷家书》多少钱？客服：亲，您这个没达到150元，需要加上邮费12元，共120元． 客人2：4本《骆驼祥子》和3本《傅雷家书》多少钱？ 客服：亲，您这个可以包邮，共154元． 团购群2 客服：读书日优惠活动开始啦！每满300元减30元，全场包邮！ 客服：1本《骆驼祥子》＋1本《傅雷家书》，一套42元． 根据以上内容，解决下列问题： (1)团购群1中每本《骆驼祥子》和《傅雷家书》各多少元？ (2)小明所在班级一共有15名同学团购《骆驼祥子》和《傅雷家书》这两本书，且这15人均要两本书各一本，选择在哪一个团购群购买更合算？ 【答案】(1)每本《骆驼祥子》元，每本《傅雷家书》元 (2)团购群1更划算 【解析】（1）解：设团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元， 由题可得： 解得： 答：团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元． （2）解：由题可得：小明所在班级需要购买《骆驼祥子》和《傅雷家书》各15本，共30本， ∴团购群1的费用为：， 团购群2的费用为：， ∵， ∴团购群1购买更合算． 题型十 几何图形综合题 解｜题｜技｜巧 1. 结合几何公式（周长、面积、边长关系）列方程 2. 联立方程组求解几何量（边长、角度等） 3. 结合几何性质（如三角形三边关系）检验解的合理性 易｜错｜点｜拨 几何公式记错（如长方形周长=2×(长+宽)，而非长×宽） 忽略几何图形对边长的限制（如边长必须为正数） 【典例1】（24-25七年级下·河北邢台·期末）嘉嘉在拼图时，发现5个大小一样的小长方形，恰好可以拼成一个大的长方形（如图1）．淇淇也随手用8块同规格的小长方形拼成了如图2所示的正方形，中间还留下了一个洞，经测量小洞恰好是边长为的小正方形．根据图中信息，计算出小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 即每个小长方形的面积为． 故选：D． 【典例2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）七年级某数学兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬纸片，组员小亮用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪的每张长方形硬纸片长与宽分别是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【解析】解：设小长方形的长、宽分别为，，由图可得 ， 解得：． 故选：A． 【变式1】我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：） （1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材________张，B型板材_______张； ②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值． 【答案】（1）a=60，b=40；（2）①64，38；②x=7，y=12 【解析】解：（1）由题意得：， 解得：， 答：图甲中与的值分别为：60、40； （2）①由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：， 所以两种裁法共产生型板材为（张， 由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为，， 所以两种裁法共产生型板材为（张， 故答案为：64，38； ②根据题意竖式有盖礼品盒的个，横式无盖礼品盒的个， 则型板材需要个，型板材需要个， 所以， 解得． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、是二元二次方程组，此项不符合题意； B、是二元一次方程组，此项符合题意； C、是二元二次方程组，此项不符题意； D、不是整式方程组，此项不符题意． 故选B． 2.已知关于的二元一次方程中的系数让墨迹盖住了，但是知道它一组解是，那么的值是（    ） A．1 B．3 C．0 D． 【答案】A 【解析】解：把代入，得：， ∴； 故选：A． 3.小明和小亮两人分别从相距24千米的A、B两地同时匀速出发，若同向而行，小亮5小时追上小明；若相向而行，3小时后两人相遇．设小明、小亮两人每小时分别走x、y千米，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：若同向而行，小亮5小时追上小明， ； 若相向而行，3小时后两人相遇， ． 根据题意可列方程组． 故选：C． 4.我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里在数羊．如果乙给甲9只羊，则甲的羊数为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数相同．设甲有羊只，乙有羊只，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设甲有羊只，乙有羊只． 根据题意得：，故C正确． 故选：C． 5.解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：， 由，得，解得． 将代入，得，解得． 原方程组的解是． （2）解：， 由，得，解得． 将代入，得，解得． 原方程组的解是． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（22-23七年级下·河北邯郸·期末）已知方程组的解为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】解：∵方程组的解为， ∴， ∴， 故选：B． 2.刘老师为鼓励学习成绩优秀的同学，计划用60元钱全部购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本3元，乙种笔记本每本5元，则刘老师购买笔记本的方案共有（   ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】D 【解析】解：设刘老师购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本， 根据题意可得， ∴， ∵均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案． 故选：D． 3.（22-23九年级下·河北保定·月考）有若干片相同的拼图，其形状如图1所示，且拼图沿水平方向排列时可紧密拼成一行，此时底部可与直线贴齐．当4片拼图紧密拼成一行时长度为，如图2所示．当10片拼图紧密拼成一行时长度为，如图3所示．设图1中的两部分的长度分别为，，则正确的是（    ） A．依题意， B．1片拼图的长度为 C．将拼图紧密拼成一行时，每增加一片拼图，总长度增加 D．将片拼图紧密拼成一行时，总长度为 【答案】D 【解析】解：当4片拼图紧密拼成一行时长度为， ①，故A错误，不符合题意； 当10片拼图紧密拼成一行时长度为， ②， 由①②可得，， 片拼图的长度为，故B错误，不符合题意； 将拼图紧密拼成一行时，每增加一片拼图，总长度增加，故C错误，不符合题意； 将片拼图紧密拼成一行时，总长度为，故D正确，符合题意． 故选：D． 4.先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 【答案】 【解析】解：由①，得③， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得，解得， 故原方程组的解为． 5.（22-23七年级下·河北石家庄·月考）某班部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．由班长统计后去商店购买，班长和售货员的对话信息如图所示： (1)根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，求足球和跳绳的单价； (2)由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进足球a个（）和跳绳b根，且恰好花费1800元，已知足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？ (3)若（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的相同，为了使销售获利最多，应选择那种购进方案？ 【答案】(1)足球和跳绳的单价分别为100元，20元 (2)共有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；方案二，购进足球21个，跳绳8根 (3)应该选择方案一，购进足球18个，跳绳24根 【解析】（1）解：设足球和跳绳的单价分别为元， 由题意得，，解得， ∴足球和跳绳的单价分别为100元，20元； （2）解：由题意知，， 当全买足球时，可买足球的数量为， ∴， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，（舍去）； ∴共有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；方案二，购进足球21个，跳绳8根； （3）解：方案一的利润为：（元）， 方案二的利润为：（元）， ∵， ∴应该选择方案一，购进足球18个，跳绳24根． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（2023·河北张家口·一模）某人采集A，B两种树籽，出售价格分别比采集成本高，，采集到的都能全部售出．若采集A，B两种树籽的数量之比为．则总利润是总成本的；若采集A种树籽的数量是B的2倍，则总利润是总成本的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设采集单位数量的A，B两种树籽的成本分别为，， 则利润分别为，． 设采集A，B两种树籽的数量分别为，， 则，化简得． 设采集A，B两种树籽的数量分别为，，总利润是总成本的， 则， 解得：． 故选：B． 2.已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【解析】解：①当时，方程组为 ①②得， 解得： 将代入②得， 解得： 方程组的解为：， ∴是方程的一个解，符合题意； ②关于，的方程组 ①②得， 解得： 将代入②得， 方程组的解为：， 当当x与y互为相反数时，， 解得：，故②不符合题意； ③，不论取什么实数，的值始终不变，③符合题意； ④当时，方程组的解为：， 则，④不符合题意． 所以以上四种说法中正确的有①③． 故选：B． 3.阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组时，小明发现采用下面的方法比较简单： ②-①，得，即．③ ③，得．④ ①-④，得，解得． 把代入③，得， 所以这个方程组的解是 (1)请你运用小明的方法解方程组： (2)已知，试根据上面的解题过程猜想关于x，y的方程组的解是________． 【答案】(1) (2) 【解析】（1） ②-①，得，即．③ ③，得．④ ①-④，得，解得． 把代入③，得， 所以这个方程组的解是. （2） ①-②，得，即．③ ③，得．④ ①-④，得，解得． 把代入③，得， 所以这个方程组的解是. 4.已知关于x ，y 的方程组． (1)请写出方程 的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求 m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m 的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或2 【解析】（1）解：方程 的所有正整数解为：或； （2）解：， ，即， 将③代入①得，，， 将，代入②得，； （3）解；， 由得：，得， 将代入①得，， ∵方程组有正整数解，则或或， 或或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，m的值为或2． 5.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元 (2)方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆；方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆；方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆 (3)购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元 【解析】（1）解：设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元， 由题意得，， 解得：， 答：A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元； （2）解：设购买A型汽车辆，B型汽车辆， 由题意得，， 整理得，， 是整数， 是5的倍数，且， ， 当，， 当，， 当，， 购买方案有3种，分别是： 方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆； 方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆； 方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆； （3）解：方案一获利：（元）， 方案二获利：（元）， 方案三获利：（元）， ， 购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二元一次方程组（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 代入消元法解方程组 题型02 加减消元法解方程组 题型03 复杂方程组化简求解 题型04 已知方程组的解求参数 题型05 已知解的关系求参数 题型06 整体代入/换元法解方程组 题型07 和差倍分实际应用 题型08 行程问题（相遇/追及/顺逆水） 题型09 工程/经济/方案选择问题 题型10 几何图形综合题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程的定义与判定 1. 能准确识别二元一次方程，掌握 “整式方程、两个未知数、次数为 1” 三大判定条件；2. 能区分二元一次方程与一元一次方程、分式方程、二元二次方程；3. 能写出二元一次方程的任意一组解，理解其有无数组解的特点 基础考点，常以选择题、判断题形式出现，易错点集中在 “整式方程” 和 “次数为 1” 的判定 二元一次方程组的定义与解 1. 能识别二元一次方程组（含含一元一次方程的特殊形式）；2. 能判断一组数是否为方程组的解（需同时满足两个方程）；3. 能规范书写方程组的解的格式 基础考点，常以选择题、填空题形式出现，易错点为 “只满足一个方程的解不是方程组的解” 代入消元法解二元一次方程组 1. 能识别适合代入法的方程组（某未知数系数为 ±1 或易变形）；2. 能按 “变形→代入→求解→回代→写解” 步骤规范解题；3. 能避免代入时漏乘、符号错误等问题 核心解法考点，必考计算题，是解方程组的基础方法 加减消元法解二元一次方程组 1. 能识别适合加减法的方程组（某未知数系数相等或互为相反数）；2. 能通过变形将未知数系数化为相等或互为相反数，再按 “加减→求解→回代→写解” 步骤解题；3. 能避免加减时常数项漏算、符号错误等问题 核心解法考点，必考计算题，与代入法并列为本章计算核心 二元一次方程组的实际应用 1. 能从实际情境中提取两个等量关系；2. 能设未知数（直接设 / 间接设）并列出方程组；3. 能解方程组并检验解是否符合实际意义（如正整数、正数等）；4. 能规范作答 本章重点难点，常出现在解答题，是中考应用题的基础原型，易错点为等量关系找错、未检验解的合理性 三元一次方程组（拓展） 1. 能识别三元一次方程组；2. 能通过消元法将三元方程组转化为二元方程组求解 选学/拓展考点，部分地区会考查，为后续学习多元方程组铺垫 知识点01 二元一次方程的定义 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 标准形式：（，，为常数） 三大判定条件（缺一不可）： 整式方程：分母不含未知数，根号下不含未知数 两个未知数：未知数个数为2，不能多也不能少 次数为1：含未知数的项的最高次数是1，无未知数的平方、乘积项 示例：、是二元一次方程 易错点：：分母含未知数，不是整式方程 ：未知数次数为2，不符合次数要求 ：未知数乘积项，次数为2，属于二元二次方程 ：只有一个未知数，是一元一次方程 知识点02 二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 易错点：二元一次方程有无数组解，切勿当成唯一解；解要写成的形式，不能单独写一个数值。 示例：方程的解有、、等无数组 知识点03 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了二元一次方程组。 易错点：方程组中总共含有两个未知数，每个方程都是一次整式方程即可（不一定每个方程都含两个未知数）。 示例：标准二元一次方程组： 特殊二元一次方程组：（含一元一次方程，仍符合定义） 知识点04 二元一次方程组的解 二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做方程组的解。 易错点：方程组的解必须同时满足两个方程，只满足一个方程的不是方程组的解；解的书写格式必须规范。 示例：判断是否为的解：代入第一个方程成立，代入第二个方程成立，故是方程组的解。 知识点05 代入消元法 适用场景：方程组中有一个方程的某未知数系数为±1，或式子便于变形用一个未知数表示另一个未知数。 核心步骤： 变形：选系数简单的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示（如） 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值 回代：将求出的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值 写解：规范写出方程组的解 示例：解方程组 解：由(1)得： (3) 把(3)代入(2)： 展开： → → 把代入(3)： ∴ 方程组的解为 易错点：代入时漏乘常数项、符号出错；回代时代入原方程而非变形后的方程，导致计算复杂出错。 知识点06 加减消元法 适用场景：方程组中两个方程的某未知数系数相等或互为相反数，或通过变形可实现系数相等/互为相反数。 核心步骤： 变形：将两个方程中某一未知数的系数化为相等或互为相反数 加减：系数相等用减法，系数互为相反数用加法，消去一个未知数 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值 回代：将值代入原方程，求出另一个未知数的值 写解：规范写出方程组的解 示例：解方程组 解：(1)-(2)得： 化简： 把代入(2)： → → ∴ 方程组的解为 （系数需变形）：解方程组 解：①×3：；②×4： 两式相加： → 代入求： → ∴ 解为 易错点：加减时常数项忘记同步运算；方程两边同乘一个数时，漏乘某一项；系数互为相反数时误用减法，系数相等时误用加法。 知识点07 二元一次方程组的应用 解题核心步骤 审：审题，找出两个等量关系 设：设两个未知数（直接设/间接设） 列：根据等量关系列二元一次方程组 解：解方程组，求出未知数的值 验：检验解是否符合题意（实际问题中解为正数、整数等） 答：规范作答 易错点：找错等量关系、设未知数漏单位、检验环节缺失（如人数、物品数不能为负数和小数）。 实际应用中未检验解的合理性，答非所问 知识点08 三元一次方程组 三元一次方程组：含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程组，叫做三元一次方程组。 三元一次方程组的解：三元一次方程组中三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解，必须同时满足三个方程。 易错点：① 只满足其中1个或2个方程的解，不是方程组的解； ② 解的书写必须规范，三个未知数的值一一对应，用大括号包裹，不能遗漏； ③ 切勿把“三个方程”当作判定三元一次方程组的唯一条件，忽略“三个未知数”“一次整式方程”两个核心条件。 题型一 代入消元法解方程组 解｜题｜技｜巧 1. 选系数简单的方程，变形为 y=ax+b 或 x=ay+b 2. 将变形式代入另一方程，消去一个未知数 3. 解一元一次方程得一个未知数，再回代求另一个 易｜错｜点｜拨 变形时符号出错（如 错写成） 代入时漏乘常数项（如 错写成 ） 回代时选原复杂方程，增加计算错误概率 【典例1】下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法方程组的步骤，其中开始出现错误的是（　　） A． 步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 【变式1】（2026·河北秦皇岛·一模）（1）把方程写成用含的代数式表示的形式； （2）将（1）的结果代入，消去未知数，求出的值； （3）直接写出方程组的解． 【变式2】（24-25七年级下·河北唐山）老师在黑板上写了一道题目：求二元一次方程组的解． 琪琪同学进行了板演，过程如图： 解：把①变形为：③…………第一步 把③代入②中得：…………第二步 解这个方程，得第三步…………第三步 把代入①中，得…………第四步 所以，方程组的解为…………第五步 (1)琪琪在解方程组时，使用了________消元法； (2)琪琪在解方程组时，首次出现错误在第________步； (3)请写出正确的解答过程． 题型二 加减消元法解方程组 解｜题｜技｜巧 把某未知数系数化为相等或互为相反数 系数相等用减法，互为相反数用加法，消去该未知数 解一元一次方程后回代求另一个未知数 易｜错｜点｜拨 方程两边同乘时漏乘某一项（如 乘 2 时，只乘前两项） 加减时符号搞反（系数互为相反数时误用减法，相等时误用加法） 常数项未同步参与加减运算 【典例1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）下列是关于方程组的两种解法： 方法一：由①②可消去． 方法二：由①②可消去． 下列判断正确的是（   ） A．方法一对，方法二不对 B．方法一不对，方法二对 C．方法一对，方法二也对 D．方法一不对，方法二也不对 【典例2】（2024·河北·一模）甲乙两人在解方程组时，有如下讨论：甲：我要消掉，所以；乙：我要消掉，所以．则下列判断正确的是（    ） A．甲乙方法都可行 B．甲乙方法都不可行 C．甲方法可行，乙方法不可行 D．甲方法不可行，乙方法可行 【变式1】（23-24七年级下·河北邢台·月考）老师留的作业中有这样一道解方程组的题：，小明同学完成的过程如下： 得，        第一步 把代入②得，    第二步 解得，        第三步 则方程组的解为，    第四步 (1)老师发现小明同学的解答有错误，小明同学的解答从第______步开始出现错误． (2)请给出此题的正确解答过程． 题型三 复杂方程组化简求解 解｜题｜技｜巧 先去分母、去括号、移项、合并同类项，整理为标准形式 ax+by=c 再根据系数特点选择代入法或加减法 易｜错｜点｜拨 去分母时漏乘不含分母的项 去括号时符号处理错误（尤其是括号前是负号） 【典例1】解下列方程（组） (1)； (2)． 【典例2】解方程组： 【变式1】解方程（组）： (1)； (2)． 题型四 已知方程组的解求参数 解｜题｜技｜巧 将已知解代入方程组 得到关于参数的一元一次方程或二元一次方程组 解新方程/组，求出参数值 易｜错｜点｜拨 代入时把参数和未知数混淆，计算方向错误 解参数方程时符号出错 【典例1】若是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2】小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题. 【变式1】解方程组时，小红同学把看错了，得到的错误解是，而正确的解是；求、的值． 题型五 已知解的关系求参数 解｜题｜技｜巧 先把参数当常数，用消元法解出 （用参数表示） 根据题目条件（如 ）列新方程 解新方程，求出参数值 易｜错｜点｜拨 解含参数方程组时消元方向错误，导致表达式复杂 未将 用参数表示，直接联立原方程与条件式，增加计算量 【典例1】二元一次方程组的解的值相等，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【典例2】已知是关于、的二元一次方程组． (1)①当时，该方程组的解为_____； ②该方程组的解为_______（用含的式子表示）． (2)若方程组的解也满足方程，求的值． 【变式1】m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，求的值． 题型六 整体代入/换元法解方程组 解｜题｜技｜巧 观察方程组中是否有重复出现的代数式（如 ） 将该代数式设为新未知数（换元），转化为简单二元一次方程组 求出新未知数后，再回代求原未知数 易｜错｜点｜拨 找不到可整体代入的代数式，强行拆分为单个未知数 换元后忘记回代求原未知数，导致答案不完整 【典例1】（1）观察发现：材料：解方程组． 将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为______； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值______． 【典例2】在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题． 【类比观察】（1）求下列方程组的解 方程组的解为：________； 方程组的解为：________； 【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________； 【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【变式1】换元法又称变量替换法，是我们解题常用的方法之一、利用换元法，可以化繁为简，化难为易，从而找到解题的捷径． 【初步思考】（1）已知的解是，求二元一次方程组的解． 【拓展应用】（2）若关于的二元一次方程组的解是，求关于的二元一次方程组的解． 题型七 和差倍分实际应用 解｜题｜技｜巧 圈画关键词（“共”“比… 多”“是… 倍”），找出两组等量关系 设两个未知数，列方程组 求解后检验解是否为正整数 / 正数（符合实际意义） 易｜错｜点｜拨 找错等量关系，列错方程 忽略实际意义，接受负数 / 小数解（如人数、物品数） 【典例1】某班举行了演讲活动，班长安排淇淇去购买奖品，下图是淇淇与班长的对话： 请根据淇淇与班长的对话，解答下列问题： (1)若找回55元钱，则淇淇买了两种笔记本各多少本？ (2)可能找回68元钱吗？若能，求出此时买了两种笔记本各多少本；若不能，说明理由． 【典例2】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）某公司购买了一批物资并安排两种货车运抵某市．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物资？ (2)现有3200件物资需要再次运往该市，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案． 【变式1】某超市购进甲、乙两种型号的空气加湿器进行销售，已知购进4台甲型号空气加湿器和6台乙型号空气加湿器共用1820元，购进6台甲型号空气加湿器比购进4台乙型号空气加湿器多用520元． （1）求甲、乙两种型号的空气加湿器每台的进价． （2）超市根据市场需求，决定购进这两种型号的空气加湿器共60台进行销售，甲种型号每台售价260元，乙种型号每台售价190元，若超市购进的这两种空气加湿器全部售出后，共获利2800元，则该超市本次购进甲、乙两种型号的空气加湿器各多少台？ 题型八 行程问题（相遇/追及/顺逆水） 解｜题｜技｜巧 核心公式：路程 = 速度 × 时间 相遇问题：路程和 = 速度和 × 时间 追及问题：路程差 = 速度差 × 时间 顺逆水问题：顺流速度 = 船速 + 水速，逆流速度 = 船速 - 水速 易｜错｜点｜拨 混淆相遇与追及的路程关系 顺逆水速度公式记反，导致方程列错 【典例1】（25-26七年级上·河北沧州·月考）甲、乙两人在环形跑道上匀速跑步，跑道一圈长米．若两人从同一地点同时出发，背向而行，经过分钟相遇；若两人从同一地点同时出发，同向而行，经过分钟甲第一次追上乙．则甲的速度为（   ）米/分钟 A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级下·河北唐山·月考）一条船顺流航行，每小时行驶；逆流航行，每小时行驶．若设船在静水中的速度为，水流速度为，则列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·海南海口·期中）甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 题型九 工程/经济/方案选择问题 解｜题｜技｜巧 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间（常设工作总量为 1） 经济问题：利润 = 售价 - 成本，折扣后价格 = 原价 × 折扣率 方案选择：分别列方程组计算各方案成本 / 收益，再比较大小 易｜错｜点｜拨 工程问题中未统一工作时间单位 方案选择时只计算不比较，或比较时逻辑错误 【典例1】（23-24七年级下·河北承德·期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天， (1)小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意， 小华同学：设整治任务完成后，m表示__________，n表示__________； 得 请补全括号及横线部分的内容． (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【典例2】（25-26七年级上·河北唐山·月考）某商场销售一种流行玩具，分为A，B两种款式，已知A款玩具每个的进价是50元，售价是80元，B款玩具每个的进价是40元． (1)该商场购进A，B两款玩具共计200个，总进货款8400元，请你计算一下，A，B两款玩具各进货多少个？ (2)春节临近，该商场推出如下优惠促销活动．小张按照优惠活动方案在该商场一次性购买A款玩具若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小张在该商场购买了多少个A款玩具？ 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过900 不优惠 超过900元，但不超过1200元 按总售价打九折 超过1200元 其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折 【变式1】每年的4月23日是世界读书日，今年读书日的主题是“阅读改变未来．”阅读能够让我们获得知识，扩展视野，还可以激发思考，增加创造力，对个人成长和社会发展有深远影响．八年级（1）班的班长小明通过微信团购群为班级网购图书，他在2个团购群中看到同款图书销售情况如下： 团购群1 客服：各位亲，读书日优惠活动，全场满150元包邮，买10本以上一律八折！ 客人1：3本《骆驼祥子》和2本《傅雷家书》多少钱？客服：亲，您这个没达到150元，需要加上邮费12元，共120元． 客人2：4本《骆驼祥子》和3本《傅雷家书》多少钱？ 客服：亲，您这个可以包邮，共154元． 团购群2 客服：读书日优惠活动开始啦！每满300元减30元，全场包邮！ 客服：1本《骆驼祥子》＋1本《傅雷家书》，一套42元． 根据以上内容，解决下列问题： (1)团购群1中每本《骆驼祥子》和《傅雷家书》各多少元？ (2)小明所在班级一共有15名同学团购《骆驼祥子》和《傅雷家书》这两本书，且这15人均要两本书各一本，选择在哪一个团购群购买更合算？ 题型十 几何图形综合题 解｜题｜技｜巧 1. 结合几何公式（周长、面积、边长关系）列方程 2. 联立方程组求解几何量（边长、角度等） 3. 结合几何性质（如三角形三边关系）检验解的合理性 易｜错｜点｜拨 几何公式记错（如长方形周长=2×(长+宽)，而非长×宽） 忽略几何图形对边长的限制（如边长必须为正数） 【典例1】（24-25七年级下·河北邢台·期末）嘉嘉在拼图时，发现5个大小一样的小长方形，恰好可以拼成一个大的长方形（如图1）．淇淇也随手用8块同规格的小长方形拼成了如图2所示的正方形，中间还留下了一个洞，经测量小洞恰好是边长为的小正方形．根据图中信息，计算出小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）七年级某数学兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬纸片，组员小亮用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪的每张长方形硬纸片长与宽分别是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：） （1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材________张，B型板材_______张； ②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2.已知关于的二元一次方程中的系数让墨迹盖住了，但是知道它一组解是，那么的值是（    ） A．1 B．3 C．0 D． 3.小明和小亮两人分别从相距24千米的A、B两地同时匀速出发，若同向而行，小亮5小时追上小明；若相向而行，3小时后两人相遇．设小明、小亮两人每小时分别走x、y千米，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 4.我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里在数羊．如果乙给甲9只羊，则甲的羊数为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数相同．设甲有羊只，乙有羊只，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 5.解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（22-23七年级下·河北邯郸·期末）已知方程组的解为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 2.刘老师为鼓励学习成绩优秀的同学，计划用60元钱全部购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本3元，乙种笔记本每本5元，则刘老师购买笔记本的方案共有（   ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 3.（22-23九年级下·河北保定·月考）有若干片相同的拼图，其形状如图1所示，且拼图沿水平方向排列时可紧密拼成一行，此时底部可与直线贴齐．当4片拼图紧密拼成一行时长度为，如图2所示．当10片拼图紧密拼成一行时长度为，如图3所示．设图1中的两部分的长度分别为，，则正确的是（    ） A．依题意， B．1片拼图的长度为 C．将拼图紧密拼成一行时，每增加一片拼图，总长度增加 D．将片拼图紧密拼成一行时，总长度为 4.先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 5.（22-23七年级下·河北石家庄·月考）某班部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．由班长统计后去商店购买，班长和售货员的对话信息如图所示： (1)根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，求足球和跳绳的单价； (2)由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进足球a个（）和跳绳b根，且恰好花费1800元，已知足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？ (3)若（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的相同，为了使销售获利最多，应选择那种购进方案？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（2023·河北张家口·一模）某人采集A，B两种树籽，出售价格分别比采集成本高，，采集到的都能全部售出．若采集A，B两种树籽的数量之比为．则总利润是总成本的；若采集A种树籽的数量是B的2倍，则总利润是总成本的（   ） A． B． C． D． 2.已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 3.阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组时，小明发现采用下面的方法比较简单： ②-①，得，即．③ ③，得．④ ①-④，得，解得． 把代入③，得， 所以这个方程组的解是 (1)请你运用小明的方法解方程组： (2)已知，试根据上面的解题过程猜想关于x，y的方程组的解是________． 4.已知关于x ，y 的方程组． (1)请写出方程 的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求 m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m 的值． 5.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $