专题02 三角函数（期中复习知识清单，7题型3易错3技巧）高一数学下学期沪教版

专题02 一元二次方程 正弦函数、余弦函数的图像与性质 1. 正弦函数 𝑦=sin𝑥 定义域：（全体实数） 值域：（最大值为1，最小值为-1） 最值情况： 当 （）时， 取得最大值1； 当 （）时， 取得最小值-1。 周期：最小正周期 （周期可表示为 ， 且 ） 奇偶性：奇函数，满足 ，图像关于原点对称。 对称性： 对称轴：直线 （）； 对称中心：点（）。 单调性： 单调递增区间：（）； 单调递减区间：（）。 2. 余弦函数 𝑦=cos𝑥 定义域：（全体实数） 值域：（最大值为1，最小值为-1） 最值情况： 当 （）时， 取得最大值1； 当 （）时， 取得最小值-1。 周期：最小正周期 （周期可表示为， 且 ） 奇偶性：偶函数，满足 ，图像关于 轴对称。 对称性：对称轴：直线 （）； 对称中心：点 （）。 单调性：单调递增区间：（）； 单调递减区间：（）。 3. 五点作图法（核心考点） 绘制正弦、余弦函数一个周期内的图像，关键抓住5个关键点（横坐标），结合值域确定纵坐标，快速作图：（）：关键点横坐标为 ； （）：关键点横坐标为 。 正切函数的图像与性质 正切函数 定义域：（分母不能为0，避免正切无意义） 值域：（全体实数，无最大值、最小值） 周期：最小正周期 （周期可表示为 ， 且 ） 奇偶性：奇函数，满足 ，图像关于原点对称。 对称中心：点 （），无对称轴。 单调性：在每个单调区间 （）上单调递增，无递减区间（注意：不能说在定义域上单调递增）。 函数 y=Asinω (ωx+φ)（A>0,ω>0） 1. 核心概念（必记） 振幅：，决定函数图像的纵向伸缩幅度，值域为 ； 周期：（与 成反比， 越大，周期越小）； 频率：（周期的倒数，描述振动快慢）； 相位：； 初相：（当 时的相位）。 2. 图像变换（从 到 ） 变换顺序（推荐，避免出错）：平移 → 横坐标伸缩 → 纵坐标伸缩，具体步骤： 平移变换： ：图像向左平移 个单位； ：图像向右平移 个单位（“左加右减”，针对 本身）。 横坐标伸缩变换： 横坐标变为原来的 倍，纵向不变（ 压缩， 拉伸）。 纵坐标伸缩变换： 纵坐标变为原来的 倍，横向不变（ 拉伸， 压缩）。 易错点：先伸缩后平移时，平移量为 ，与先平移后伸缩的平移量不同，需注意区分，避免混淆。 3. 解析式求解方法 求 ：由函数的最大值和最小值求解，； 求 ：由函数的周期求解，（已知周期直接代入，未知周期可通过图像观察）； 求 ：代入函数图像上的特殊点（如最高点、最低点、零点），结合 的取值范围（通常为 或 ）求解。 三角函数的应用 1. 刻画周期现象：用于描述自然界中具有周期性变化的现象，如单摆运动、声波、交变电流、昼夜更替等； 2. 解简单三角不等式：结合三角函数图像，确定不等式的解集（关键是找到对应区间，结合周期性拓展）； 3. 综合应用：结合三角函数的单调性、奇偶性、对称性、最值、零点，解决简单实际问题和数学综合题，培养数学建模、直观想象和数学运算核心素养。 求含sinx(型)函数的值域和最值（共4小题） 【例1】（24-25高一下·上海宝山·期中）关于函数的判断，正确的是（   ） A．振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B．振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C．振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D．振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 【答案】D 【分析】由二倍角公式得，再结合余弦型函数的相关性质逐项判断即可． 【详解】， 则振幅为，值域为， 当，即时，函数单调递减， 则时，函数在上是单调减函数，在区间上不单调， 故在上是单调增函数，在区间上不单调， 故选：D． 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）已知函数，.当时，则的最大值为_____. 【答案】2 【分析】应用正弦型函数的性质求区间最大值即可. 【详解】由，则，故， 所以的最大值为2. 故答案为：2 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）函数，的值域为________． 【答案】 【分析】由的范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以，所以， 所以函数，的值域为. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知，且的内角A满足为函数最大值． (1)求函数的值域及角A的值； (2)在（1）的条件下，又，求边的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据正弦型函数值域及最值，利用整体法计算即可； （2）由题意可得，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）， ， 当，即时，取得最大值， ， 为函数最大值时，； （2）由（1）知，设，角对应边为， ，解得， 由余弦定理，即， （当且仅当时取等）， 即边的最小值为． 求含sinx（型）的二次式的最值（共4小题） 【例2】（24-25高一下·上海长宁·期中）函数，的值域是______． 【答案】 【分析】设，则，可得出，由此得出，结合二次函数的基本性质可求得函数的值域. 【详解】因为， 设，则， 且，所以， 则， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，取最大值，即， 当时，；当时，，所以. 因此，函数的值域为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海·月考）函数的值域为_______． 【答案】 【分析】利用换元法，结合正弦函数的值域与二次函数的性质即可得解. 【详解】令，则， 易知开口向上，对称轴为， 当时，， 当时，， 所以的值域为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海奉贤·期中）函数的值域为__________． 【答案】 【分析】由诱导公式得，设，结合二次函数图象即可求解． 【详解】，设， 则， 故答案为：． 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，设函数，． (1)当时，求，的值； (2)求的单调增区间； (3)函数，的最小值为，求实数的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】（1）利用三角函数定义计算. （2）利用给定关系列式，再利用和角的正弦及辅助角公式化简，借助正弦函数的单调性求出单调递增区间. （3）利用二倍角的余弦公式变形，换元转化为求解二次函数在指定区间上的最值问题. 【详解】（1）依题意，，. （2）依题意， ， 由，解得， 所以的单调递增区间为. （3）由（2）得， 令，则， 函数的图象是开口方向向下，对称轴为的抛物线， ①当，即时，，解得； ②当，即时，，解得， 所以实数的值为或. 求正弦（型）函数的最小正周期（共4小题） 【例3】（24-25高一下·上海闵行·期中）函数的最小正周期是_________． 【答案】 【分析】由周期公式即可求解. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）若函数的最小正周期是，则__________． 【答案】 【分析】用二倍角公式化简得，再根据最小正周期的计算方法求解即可. 【详解】函数化简为，所以函数的最小正周期为，所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，是函数的最大值，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为________. 【答案】/ 【分析】首先从而求得及函数的最小正周期，再根据，可知的最小值为. 【详解】因为，所以，即， 且的最小正周期， 又存在实数、，对任意实数总有成立， ∴，， 的最小值为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知. (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)函数的最小正周期为，单调减区间为（） (2) 【分析】（1）利用正弦函数的周期性和单调性，可得结果； （2）先由关于x的方程在上有解，可得方程在上有解，求出函数在上的值域，即得结果. 【详解】（1），所以函数的最小正周期为， 由，得：， 所以函数的单调减区间为（）. （2）由，可得， 即，由，可得， 则，，即. 所以的取值范围为. 求正弦（型）函数的对称轴及对称中心（共4小题） 【例4】（24-25高一下·上海长宁·期中）下列说法中错误的个数是（   ） ①在锐角中，不等式恒成立 ②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称 ③若为斜三角形，则成立 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用正弦函数的单调性可判断①，利用辅助角公式结合最小值性质以及正弦函数对称性可判断②，利用正切的和角公式可判断③. 【详解】对于①，由在锐角中，由，可知，则， 根据锐角可知，， 又因为正弦函数在上单调递增，所以，故①正确； 对于②，由，其中， 因为在处取得最小值， 所以， 即，则， 所以有函数， 由于正弦函数关于点对称，可得函数的图像关于点对称，故②正确； 对于③，由为斜三角形，则，根据内角和定理有：， 再由两角和正切公式得：， 去分母得：， 整理得：，故③正确； 故选：A. 【变式1】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称 【答案】C 【分析】根据三角函数图像及性质，可求得其解析式，进而可判断A、B选项错误，再结合三角函数的对称性即可判断C选项正确，D选项错误. 【详解】设的周期为，根据函数图像可得，解得，故B错误； 又，解得， 因为当时，取得最小值，且，所以， 所以，即， 所以，解得， 又，取，得，所以，故A错误； 对于C，当时，，可得， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，，取不到最大值或最小值， 所以直线不是图象的对称轴，故D错误． 故选：C. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）函数的对称中心为_________． 【答案】 【分析】根据正弦函数对称中心列式即可得到答案. 【详解】令，解得， 所以函数的对称中心为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）函数图像的对称中心的坐标是_____ 【答案】 【分析】根据诱导公式，化简得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，令，解得， 所以函数的对称中心的坐标为. 故答案为：. 求余弦（型）函数的最小正周期（共4小题） 【例5】（24-25高一下·上海长宁·期中）三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】利用函数周期的定义判断①②即可. 【详解】对于①，设，该函数的定义域为， 因为， 故函数是周期函数，①对； 对于②，因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 若函数是周期函数，设为该函数的一个周期， 则存在非零整数、，使得，，可得，所以，， 因为为无理数，而为有理数，故等式不成立， 所以函数不是周期函数，②错. 故选：C. 【变式1】（24-25高一下·上海宝山·期中）函数 的最小正周期是_____. 【答案】 【分析】由题意利用余弦型函数的周期性，得出结论． 【详解】由余弦函数的周期公式， 得到函数 的最小正周期是. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海杨浦·期中）下列函数 的最小正周期是 的序号是_____. ① ；② ； ③ ； ④ ； ⑤ . 【答案】 ②⑤ 【分析】应用诱导公式及二倍角公式，同角三角函数关系，正弦及余弦函数的周期判断各个选项即可. 【详解】① ① 不正确； ② ，函数周期为 ，②正确； ③ ，，所以最小正周期不是 ，③不正确； ④ ④不正确 ； ⑤ ，函数周期为 ，⑤正确. 故答案为：②⑤. 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】已知对任意都有成立，说明是函数的最小值，是函数的最大值，而的最小值就是半个周期. 【详解】对于余弦函数，其周期公式为， 因为对任意的都有成立，所以是函数的最小值，是函数的最大值， 根据余弦函数的性质，相邻的最大值点与最小值点之间的水平距离是半个周期，所以的最小值为, 已知，则. 故答案为：. 由图象确定正（余）弦型函数解析式（共4小题） 【例6】（24-25高一下·上海青浦·期中）已知，的图像如图所示，则在的解析式中，其“初始相位”为_________． 【答案】. 【分析】根据图像求出周期和振幅，再根据最大值点求出. 【详解】由图可知，， 当时，函数取得最大值2， 故， 所以，又， 所以， 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海普陀·期中）函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，则参数和要同时满足______. 【答案】， 【分析】求函数的最小正周期，条件可转化为与关于对称，且，由此可求的值，的范围. 【详解】因为，所以函数的最小正周期， 所以函数在区间上的图象为一个周期的图象， 又函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，， 所以与关于对称，且， 所以，即， 故，所以， 故答案为：，. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）如图是函数图象的一部分，则函数的解析式为：_______________    【答案】 【分析】先由图像可得，然后将代入解析式可得，即可得到结果. 【详解】由图像可知，，，则，所以， 即， 将代入可得，即， 解得，且， 当时，， 所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）已知（，，），函数的部分图象如图所示. (1)求，，，的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据函数图象可知函数的最大值和最小值，代入解析式，解方程组可得和的值，根据图象代入点和，结合图中周期的范围及题中，的范围即可求解； （2）由（1）可得函数的解析式，代入，利用诱导公式和二倍角公式化简可得，利用换元法，令，则，，根据二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由图可知：，解得， . 又，∴. ∵，∴，∴. ∵，∴， ∴，解得. 由图可知函数周期，∴. ∵，∴，∴，. 综上，，，，. （2）由（1）知， ∴. 令，则，. 由二次函数性质可知函数的图象开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，函数取得最小值，最小值为； 当时，函数取得最大值，最大值为. 综上，函数的值域为. 【点睛】本题第（1）问的解题关键是根据函数图象可知周期求解的值； 本题第（2）问的解题关键是与的关系，利用诱导公式和二倍角公式化简可得后，利用换元法和二次函数的性质即可求解，注意新元的范围. 求图象变化前（后）的解析式（共4小题） 【例7】（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知下列命题，其中假命题有（   ） A．要得到函数的图像，需把函数的图像上所有点向左平行移动个单位长度． B．已知函数，当时，函数的最小值为． C．已知角、、是锐角的三个内角，则点在第二象限． D．对任意角均有：． 【答案】C 【分析】对A，利用平移变换求出解析式判断；对B，利用二次函数求出最小值判断；对C，利用正弦函数单调性推理判断；对D，根据三角恒等变换化简即可.. 【详解】对于A，把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度， 得的图象，而， 即得到函数的图象，故A正确； 对于B，，，而，， 所以当时，函数的最小值为，故B正确； 对于C，在锐角中，，且， 因此， 而正弦函数在上单调递增，则，即，于是， 同理，即，所以点在第四象限， 故C错误； 对于D， ，故D正确. 故选：C 【变式1】（24-25高一下·上海杨浦·期中）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的单调增区间为________. 【答案】 【分析】根据平移得出函数解析式，再由余弦函数的单调性得解. 【详解】由题意，， 令，解得， 所以函数的单调增区间为 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）把函数图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到函数的图象，则的最小正周期为________. 【答案】 【分析】由题得到函数的解析式，再根据最小正周期计算公式计算即可. 【详解】函数图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到函数的图象， 则函数，所以函数的最小正周期为. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海徐汇·期中）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，则最后得到的图象对应的函数解析式可以写为．其中． (1)分别求和的值． (2)对于正实数a，设函数在上恰有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数图象变换可得解析式，进而可得； （2）以为整体，结合正弦函数零点可得，运算求解即可. 【详解】（1）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到； 再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到； 所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 若函数在上恰有两个零点， 则，解得， 所以a的取值范围为. 定义域 / 值域表述不完整（共4小题） 【例1】（24-25高一下·上海·期中）已知数列满足，其中，设集合，对任意正整数恒成立，则（    ） A．为空集 B．为有限集，且仅有一个元素 C．为有限集，且至少有两个元素 D．为无限集 【答案】A 【分析】要判断集合的情况，需要分析对于任意正正数恒小于0是否可能成立，这就需要考虑余弦函数的正负性与角度的关系. 【详解】假设存在使得对任意正整数恒成立. 那么. 求解上面不等式得. 随着的增大，与之间的区间会不断缩小，不存在使得对任意正整数恒成立. 所以集合为空集. 故选：A. 【变式1】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知实数、满足方程，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据指数函数和三角函数的性质可得，从而得解. 【详解】由得， 因为，所以， 所以，故， 所以，故. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·广东·期末）函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】由正切函数的定义得出定义域. 【详解】由，即， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期中）对于函数且. (1)求函数的定义域D； (2)判断π是否是的周期(不需要说明理由)；并证明2π是的一个周期. 【答案】(1) (2)π不是的周期，证明见解析 【分析】（1）根据解析式及正切函数的性质求定义域； （2）只需判断、是否成立即可. 【详解】（1）由解析式知：且，故的定义域. （2）由，故π不是的周期； 由，故2π是的一个周期； 单调性概念理解不准确（共4小题） 【例2】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知x、，，且a是常数，且，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据题意化简方程组可得，令，即，结合函数单调性可得，再代入计算即可． 【详解】, ，得， 即， 令， 在上均为增函数， 在上单调递增， 又，即， 且，， ，即， ． 故选：C ． 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的严格增区间为______. 【答案】 【分析】根据正弦函数的单调区间求解函数在区间上的严格增区间即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以当时，即时，函数严格递增， 所以函数的严格增区间为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）函数 在 上的单调递减区间为_____. 【答案】 【分析】由，计算结合条件可求单调递减区间. 【详解】由，可得， 又，所以的单调递减区间为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知函数． (1)求的严格增区间； (2)求在闭区间上的最大值和最小值及此时x的值． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）根据三角恒等变换整理可得，以为整体，结合三角函数的单调性运算求解即可； （2）以为整体，结合三角函数的有界性运算求解即可. 【详解】（1）由题意可得：， 令，解得， 所以函数的严格增区间为. （2）由（1）知 因为，可得， 当时，即，函数取得最大值，最大值为； 当或时，即或，函数取得最小值，最小值为2. 对称轴 / 对称中心记错（共4小题） 【例3】（24-25高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： ① 函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是； ③函数的零点为； ④若函数是偶函数，则的最小值为； 其中正确的命题个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，得到，再根据正弦函数的性质对个命题逐一判断，即可求解. 【详解】因为 ， 对于命题①，因为， 所以函数的图象不关于点对称，故命题①错误； 对于命题②，令，解得， 所以函数的对称轴是，，故命题②正确； 对于命题③，令，解得， 所以函数的零点为，故命题③正确， 对于命题④，因为为偶函数， 所以，解得， 所以的最小值为，故命题④正确； 故选：D. 【变式1】（24-25高一下·上海长宁·期中）已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则这两个解的和为________ 【答案】 【分析】应用辅助角公式化简可得，将问题转化为直线在上的图象有两个不同的交点，再根据正弦型函数图象对称性即可求解. 【详解】因为， 所以， 关于的方程在上有两个不同的实数解， 即直线在上的图象有两个不同的交点， 设关于的方程两相异实数根为， 因为函数的图象在区间上的对称轴为， 所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海长宁·期中）直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则_____． 【答案】2 【分析】利用正弦函数的周期性得到，再利用整体代入法求出对称轴，进而求出的横坐标，再代入解析式中结合诱导公式求解参数即可. 【详解】由正弦函数性质得的周期为， 如图，由题意得直线与函数图像的相邻的三个交点， 从左自右依次为、、， 则，因为，所以， 解得，令，解得， 由正弦函数性质得、关于对称，且设的横坐标为， 则， 而的纵坐标为，代入解析式中得到， . 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数 (1)求的最小值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心； (3)当时，的值域为，求的值. 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）利用三角恒等变换化简解析式，从而可得正弦型三角函数的最大值； （2）根据图象变换得函数，结合正弦型三角函数的性质解方程求得的值，利用整体代换法求解函数的对称轴和对称中心即可； （3）根据正弦型函数的性质确定函数的值域列不等式即可求得的值. 【详解】（1）由题意可得：. 因为，所以的最小值为. （2）由平移变换知， 又因为，则，解得， 又因为，可得，所以， 令，对称轴为， 令，对称中心为 （3）当时，则，此时的值域为， 因为，可知， 且，可得， 则，解得，可得， 由可知，解得， 且，或，解得，或，所以的值为或. 求周期（共4小题） 【例1】（24-25高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正余弦函数的最小正周期公式计算求解判断即可. 【详解】由题意知周期为，周期为， 周期为，周期为. 故选：C 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）已知函数，则的最小正周期为_________． 【答案】 【分析】利用二倍角正切公式化简，再根据周期函数的定义求解. 【详解】因为， 设是的周期，则，即， ，故或，， 即或，， 所以的最小正周期为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海奉贤·期中）若函数满足，则__________. 【答案】 【分析】求出函数周期，利用公式即可得到的值. 【详解】因为函数满足， 故的周期为，故，其中为正整数，故， 而，故. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）若，是函数两个相邻的零点，则实数的值为______． 【答案】/ 【分析】根据条件，可得，即可求解. 【详解】由题知，又，则， 解得， 故答案为：. 判断奇偶性（共4小题） 【例2】（24-25高一下·上海长宁·期中）下列函数中是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出各个函数的定义域，再根据与的关系即可做出判断. 【详解】对于A，函数的定义域为， 且，所以是偶函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为 且，所以是偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为， 且，所以是奇函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为， 且， ，，所以是非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 【变式1】（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设，根据偶函数的性质，即可求解函数的解析式. 【详解】设，，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以. 故选：B 【变式2】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由为偶函数，其图象关于轴对称，得到一个零点为，求得，得到函数的零点，转化为与的图象交点个数，结合余弦函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 可得，可得函数为偶函数，其图象关于轴对称， 因为有5个零点，所以必有一个零点为， 则，可得， 所以函数的零点， 等价于函数与的图象在上的交点个数， 由，可得， 要使得函数与的图象在上有5个交点， 则满足，解得，即实数的范围为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由． (1)； (2)； 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)偶函数，理由见解析 【分析】（1）根据奇偶函数的定义判断； （2）根据奇偶函数的定义判断. 【详解】（1）定义域为，关于原点对称，又， 所以是奇函数. （2）定义域为，关于原点对称， 又， 所以是偶函数. 正切函数性质（共4小题） 【例3】（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，若存在，使得，则（    ） A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【答案】D 【分析】由题意可得，利用两角差得正切公式及的范围求出的范围，从而可得出结论. 【详解】解：由，得， 则， 因为，所以， 所以，， 所以， 即， 所以既无最大值，又无最小值. 故选：D. 【变式1】（24-25高一下·上海青浦·期中）函数的最小正周期为______． 【答案】 【分析】根据正切函数最小正周期公式，即可求解. 【详解】函数的最小正周期为. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海嘉定·期中）下列关于函数的说法：①在区间上为严格增函数；②最小正周期为；③图像的对称中心为.其中正确的说法是______.（只填写正确说法的序号） 【答案】①③ 【分析】直接利用正切函数的图象和性质的应用即可判断. 【详解】对于①，令，解得， 当时，，所以函数在区间上为严格增函数，①正确； 对于②，函数的最小正周期为，②错误； 对于③，令，解得， 所以函数图象的对称中心为，③正确. 故答案为：①③ 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期； （2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围； （3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为. （2）由，且，得， 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，则， 则的范围为． （3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则， 得， 所以的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 正弦函数、余弦函数的图像与性质 1. 正弦函数 𝑦=sin𝑥 定义域：（全体实数） 值域：（最大值为1，最小值为-1） 最值情况： 当 （）时， 取得最大值1； 当 （）时， 取得最小值-1。 周期：最小正周期 （周期可表示为 ， 且 ） 奇偶性：奇函数，满足 ，图像关于原点对称。 对称性： 对称轴：直线 （）； 对称中心：点（）。 单调性： 单调递增区间：（）； 单调递减区间：（）。 2. 余弦函数 𝑦=cos𝑥 定义域：（全体实数） 值域：（最大值为1，最小值为-1） 最值情况： 当 （）时， 取得最大值1； 当 （）时， 取得最小值-1。 周期：最小正周期 （周期可表示为， 且 ） 奇偶性：偶函数，满足 ，图像关于 轴对称。 对称性：对称轴：直线 （）； 对称中心：点 （）。 单调性：单调递增区间：（）； 单调递减区间：（）。 3. 五点作图法（核心考点） 绘制正弦、余弦函数一个周期内的图像，关键抓住5个关键点（横坐标），结合值域确定纵坐标，快速作图：（）：关键点横坐标为 ； （）：关键点横坐标为 。 正切函数的图像与性质 正切函数 定义域：（分母不能为0，避免正切无意义） 值域：（全体实数，无最大值、最小值） 周期：最小正周期 （周期可表示为 ， 且 ） 奇偶性：奇函数，满足 ，图像关于原点对称。 对称中心：点 （），无对称轴。 单调性：在每个单调区间 （）上单调递增，无递减区间（注意：不能说在定义域上单调递增）。 函数 y=Asinω (ωx+φ)（A>0,ω>0） 1. 核心概念（必记） 振幅：，决定函数图像的纵向伸缩幅度，值域为 ； 周期：（与 成反比， 越大，周期越小）； 频率：（周期的倒数，描述振动快慢）； 相位：； 初相：（当 时的相位）。 2. 图像变换（从 到 ） 变换顺序（推荐，避免出错）：平移 → 横坐标伸缩 → 纵坐标伸缩，具体步骤： 平移变换： ：图像向左平移 个单位； ：图像向右平移 个单位（“左加右减”，针对 本身）。 横坐标伸缩变换： 横坐标变为原来的 倍，纵向不变（ 压缩， 拉伸）。 纵坐标伸缩变换： 纵坐标变为原来的 倍，横向不变（ 拉伸， 压缩）。 易错点：先伸缩后平移时，平移量为 ，与先平移后伸缩的平移量不同，需注意区分，避免混淆。 3. 解析式求解方法 求 ：由函数的最大值和最小值求解，； 求 ：由函数的周期求解，（已知周期直接代入，未知周期可通过图像观察）； 求 ：代入函数图像上的特殊点（如最高点、最低点、零点），结合 的取值范围（通常为 或 ）求解。 三角函数的应用 1. 刻画周期现象：用于描述自然界中具有周期性变化的现象，如单摆运动、声波、交变电流、昼夜更替等； 2. 解简单三角不等式：结合三角函数图像，确定不等式的解集（关键是找到对应区间，结合周期性拓展）； 3. 综合应用：结合三角函数的单调性、奇偶性、对称性、最值、零点，解决简单实际问题和数学综合题，培养数学建模、直观想象和数学运算核心素养。 求含sinx(型)函数的值域和最值（共4小题） 【例1】（24-25高一下·上海宝山·期中）关于函数的判断，正确的是（   ） A．振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B．振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C．振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D．振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）已知函数，.当时，则的最大值为_____. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）函数，的值域为________． 【变式3】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知，且的内角A满足为函数最大值． (1)求函数的值域及角A的值； (2)在（1）的条件下，又，求边的最小值． 求含sinx（型）的二次式的最值（共4小题） 【例2】（24-25高一下·上海长宁·期中）函数，的值域是______． 【变式1】（24-25高一下·上海·月考）函数的值域为_______． 【变式2】（24-25高一下·上海奉贤·期中）函数的值域为__________． 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，设函数，． (1)当时，求，的值； (2)求的单调增区间； (3)函数，的最小值为，求实数的值． 求正弦（型）函数的最小正周期（共4小题） 【例3】（24-25高一下·上海闵行·期中）函数的最小正周期是_________． 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）若函数的最小正周期是，则__________． 【变式2】（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，是函数的最大值，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为________. 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知. (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围. 求正弦（型）函数的对称轴及对称中心（共4小题） 【例4】（24-25高一下·上海长宁·期中）下列说法中错误的个数是（   ） ①在锐角中，不等式恒成立 ②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称 ③若为斜三角形，则成立 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）函数的对称中心为_________． 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）函数图像的对称中心的坐标是_____ 求余弦（型）函数的最小正周期（共4小题） 【例5】（24-25高一下·上海长宁·期中）三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【变式1】（24-25高一下·上海宝山·期中）函数 的最小正周期是_____. 【变式2】（24-25高一下·上海杨浦·期中）下列函数 的最小正周期是 的序号是_____. ① ；② ； ③ ； ④ ； ⑤ . 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为____________． 由图象确定正（余）弦型函数解析式（共4小题） 【例6】（24-25高一下·上海青浦·期中）已知，的图像如图所示，则在的解析式中，其“初始相位”为_________． 【变式1】（24-25高一下·上海普陀·期中）函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，则参数和要同时满足______. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）如图是函数图象的一部分，则函数的解析式为：_______________    【变式3】（24-25高一下·上海·期中）已知（，，），函数的部分图象如图所示. (1)求，，，的值； (2)求函数的值域. 求图象变化前（后）的解析式（共4小题） 【例7】（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知下列命题，其中假命题有（   ） A．要得到函数的图像，需把函数的图像上所有点向左平行移动个单位长度． B．已知函数，当时，函数的最小值为． C．已知角、、是锐角的三个内角，则点在第二象限． D．对任意角均有：． 【变式1】（24-25高一下·上海杨浦·期中）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的单调增区间为________. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）把函数图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到函数的图象，则的最小正周期为________. 【变式3】（24-25高一下·上海徐汇·期中）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，则最后得到的图象对应的函数解析式可以写为．其中． (1)分别求和的值． (2)对于正实数a，设函数在上恰有两个零点，求a的取值范围． 定义域 / 值域表述不完整（共4小题） 【例1】（24-25高一下·上海·期中）已知数列满足，其中，设集合，对任意正整数恒成立，则（    ） A．为空集 B．为有限集，且仅有一个元素 C．为有限集，且至少有两个元素 D．为无限集 【变式1】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知实数、满足方程，则的取值范围是________． 【变式2】（24-25高一上·广东·期末）函数的定义域为__________. 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期中）对于函数且. (1)求函数的定义域D； (2)判断π是否是的周期(不需要说明理由)；并证明2π是的一个周期. 单调性概念理解不准确（共4小题） 【例2】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知x、，，且a是常数，且，则（   ） A． B． C．1 D． 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的严格增区间为______. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）函数 在 上的单调递减区间为_____. 【变式3】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知函数． (1)求的严格增区间； (2)求在闭区间上的最大值和最小值及此时x的值． 对称轴 / 对称中心记错（共4小题） 【例3】（24-25高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： ① 函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是； ③函数的零点为； ④若函数是偶函数，则的最小值为； 其中正确的命题个数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海长宁·期中）已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则这两个解的和为________ 【变式2】（24-25高一下·上海长宁·期中）直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则_____． 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数 (1)求的最小值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心； (3)当时，的值域为，求的值. 求周期（共4小题） 【例1】（24-25高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ）. A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）已知函数，则的最小正周期为_________． 【变式2】（24-25高一下·上海奉贤·期中）若函数满足，则__________. 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）若，是函数两个相邻的零点，则实数的值为______． 判断奇偶性（共4小题） 【例2】（24-25高一下·上海长宁·期中）下列函数中是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是_________． 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由． (1)； (2)； 正切函数性质（共4小题） 【例3】（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，若存在，使得，则（    ） A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【变式1】（24-25高一下·上海青浦·期中）函数的最小正周期为______． 【变式2】（24-25高一下·上海嘉定·期中）下列关于函数的说法：①在区间上为严格增函数；②最小正周期为；③图像的对称中心为.其中正确的说法是______.（只填写正确说法的序号） 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $