专题05 第7章 函数y=Asin(wx+ψ)的图象及其应用（2考点清单，知识导图+7个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

清单05 第7章 函数的图象及其应用 （2个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 三角函数图象变化 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 清单02 求三角函数解析式 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 【考点题型一】三角函数图象变化（） 【例1】（24-25高一上·上海·课堂例题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【变式1-1】.（24-25高二上·上海·阶段练习）把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【变式1-2】.（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【变式1-3】.（24-25高一上·上海·课后作业）要得到函数的图象，只需将函数的图象向 平移 个单位. 【变式1-4】.（24-25高一上·上海·课堂例题）要得到的图象，只要将的图象向 平移 个单位长度. 【考点题型二】求三角函数解析式（） 【例2】（23-24高三上·上海虹口·期末）已知函数，的部分图象如图所示，则 ． 【变式2-1】.（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）下图是函数的部分图像，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（23-24高三上·上海虹口·期中）设函数（其中，），若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的图象的一部分如图所示，则的初相为 ． 【变式2-4】.．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知函数（，，）的图像与y轴的交点为，并已知其在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．求此函数的表达式． 【考点题型三】函数性质的综合（选填） 【例3】（24-25高一下·湖南永州·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则正确的有 ． ①的最小正周期为 ②当时，的值域为 ③将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 ④将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【变式3-1】.（24-25高一上·上海·课堂例题）下面有五个命题： ①函数的最小正周期是； ②终边在y轴上的角的集合是； ③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点； ④把函数的图象向右平移得到的图象； ⑤函数在上是减函数. 其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号） 【变式3-2】.（2024·宁夏石嘴山·一模）已知，下列四个结论正确的序号是 . ①函数在区间上是减函数； ②点是函数图象的一个对称中心； ③函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到； ④若，则的值域为. 【变式3-3】.（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数在上恰有两个零点，且在上单调递减，则下列说法正确的是 ． ①若，则的图象向右平移个单位长度后得到的图象 ② ③在上有且仅有两条对称轴 ④不存在，使得在上单调递减 【变式3-4】.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则下列说法正确的是 . ①的最大值是②向左平移个单位后为奇函数 ③的图象关于对称④在上是递增的 【考点题型四】函数性质的综合（解答题） 【例4】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，，且函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)设，若函数与在上有相同的最大值，求a的取值范围. 【变式4-1】.（24-25高一下·上海宝山·开学考试）已知函数. (1)求； (2)求函数的单调递增区间. 【变式4-2】.（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数， (1)若，函数在区间上单调递增，求的取值范围； (2)若，，求函数在上的值域； (3)若，函数在内没有对称轴，求的取值范围 【变式4-3】.（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数. (1)把f（x）表示为的形式，并写出函数的振幅和初始相位； (2)求函数的单调递增区间； (3)记函数在上的值域为A，若，求实数a的取值范围． 【考点题型五】函数中的零点个数问题 【例5】（2024高一下·上海·专题练习）某同学用“五点法”画函数，在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 (1)请填写上表的空格处，并写出函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数的值. 【变式5-1】.（22-23高一下·上海虹口·期中）已知数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)将的图象先向左平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解，求实数的取值范围． 【变式5-2】.（2023·上海宝山·二模）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调区间； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【变式5-3】.（23-24高一下·上海浦东新·期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 (1)请直接写出表中的值，并求出函数的解析式和最小正周期； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【考点题型六】函数中的零点代数和问题 【例6】（23-24高一下·上海宝山·期末）已知函数的部分图像如图所示： (1)求函数的表达式； (2)当时，求方程的所有根的和． 【变式6-1】.（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，若关于的方程在上有两解，求. 【变式6-2】.（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当，方程有解，求实数的取值范围； (3)若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 【变式6-3】.（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值； (3)若的图象与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，求的取值范围． 【考点题型七】函数中的恒成立问题 【例7】（23-24高一下·山东日照·阶段练习）已知函数，满足，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得的函数为偶函数. (1)求的解析式： (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数的图象在区间且上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 【变式7-1】.（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知函数的部分图象如下图所示．    (1)求的解析式及单调减区间； (2)要得到的图象，需要将的图象作怎样的变换？（详细写出每步变换） (3)对于（2）中的函数，若对任意，有，求实数a的最小值． 【变式7-2】.（24-25高一下·河南·开学考试）已知函数在区间上单调递减，且直线和为函数的图象的两条对称轴． (1)求的一个解析式； (2)将的图象先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式7-3】.（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移，再向上平移m（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 【变式7-4】.（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知函数的图象如图所示. (1)求函数的对称中心和单调递增区间； (2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，，若函数，的最大值为1，但最小值不为，则的取值范围是 . 2．（24-25高一·上海·课堂例题）若函数的图像在同一周期内有一个最高点的坐标是，最低点的坐标是，则这个函数的解析式是 ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，若函数的图像如图所示，则 ．    4．（24-25高一上·上海·课后作业）设函数，，以为最小正周期，若，则的值为 . 5．（2023高一下·上海·专题练习）将函数的图像向左平移个单位后得到函数，若函数是上的偶函数，则 ． 6．（23-24高三上·上海浦东新·期末）如图，已知函数（）的图像与轴的交点为 ，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则 ．    7．（24-25高三上·上海·开学考试）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是（其中，，），则 8．（24-25高一·上海·随堂练习）某港口水深y（米）是时间（单位：小时）的函数，下表是水深数据： t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1 根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象，则这段函数的解析式是 ． 9．（23-24高一下·上海静安·期末）函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则 ． 10．（23-24高一下·湖北·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数在内不是单调函数，则的取值范围是 . 11．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为 . 12．（22-23高二下·上海宝山·期中）设常数使方程在闭区间上恰有三个不同的解，则实数的取值为 . 二、单选题 13．（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）若函数的图象向左平移个单位长度，恰好得到函数的图象，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·湖北·阶段练习）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 三、解答题 15．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）已知函数的部分图象大致如图所示． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若当时，恒成立，求的取值范围． 16．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数的最大值为 (1)求常数a的值; (2)求函数在的单调递增区间; (3)若在区间上有9个零点，求实数a的取值范围. 17．（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，若关于的方程在上有两解，求. 18．（24-25高一下·江西·阶段练习）若函数满足，且，则称函数为“函数”.已知函数为“函数”. (1)求函数的解析式； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，求的最小值； (3)讨论在上零点的个数. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 第7章 函数的图象及其应用 （2个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 三角函数图象变化 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 清单02 求三角函数解析式 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 【考点题型一】三角函数图象变化（） 【例1】（24-25高一上·上海·课堂例题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【答案】C 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点纵坐标伸长到原来的2倍； 【详解】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到， 故选：C． 【变式1-1】.（24-25高二上·上海·阶段练习）把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据两角和的正弦函数，将表达式化为一个三角函数的形式，然后根据左加右减的原则，判断平移的方向与单位. 【详解】 ， 则， 将向右平移个单位可得到， 故选：D. 【变式1-2】.（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】D 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】直接利用函数的图象的平移变换求出结果. 【详解】因为， 所以为了得到函数的图象， 只需把函数的图象上所有的点右平行移动个单位长度，故D正确； 经检验，其他选项都不正确. 故选：D. 【变式1-3】.（24-25高一上·上海·课后作业）要得到函数的图象，只需将函数的图象向 平移 个单位. 【答案】 右 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】,再根据三角函数的图象变换即可求解. 【详解】， 故要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位. 故答案为:右；. 【变式1-4】.（24-25高一上·上海·课堂例题）要得到的图象，只要将的图象向 平移 个单位长度. 【答案】 左； . 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程、诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式将化为正弦函数，再由三角函数平移规则即可得出结果. 【详解】， 若设， 则， ∴应向左平移个单位长度. 故答案为：左；. 【考点题型二】求三角函数解析式（） 【例2】（23-24高三上·上海虹口·期末）已知函数，的部分图象如图所示，则 ． 【答案】 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据图象得到函数周期，进而得到的值，再结合特殊点函数值求得答案. 【详解】由题意得，函数周期为，所以， 所以，由， 得，即， 又因为，所以，所以. 故答案为： 【变式2-1】.（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）下图是函数的部分图像，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据图象先求出函数的周期和ω，利用五点法求出函数的φ的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可. 【详解】解：由图象知函数的周期 ， 即 即   当 时，，解得， 所以， ， 当 时， ，解得， 所以， 故选： C. 【变式2-2】.（23-24高三上·上海虹口·期中）设函数（其中，），若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求正弦（型）函数的最小正周期、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】由题设且求参数，即可得解析式. 【详解】由题设，，则， 则，， 所以，，而，故， 综上，. 故选：B 【变式2-3】.（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的图象的一部分如图所示，则的初相为 ． 【答案】/ 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】由图象利用“五点法”求出函数的解析式，从而可求出初相. 【详解】由图可知， 周期，所以，所以， 因为点在函数图象上， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以初相为， 故答案为： 【变式2-4】.．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知函数（，，）的图像与y轴的交点为，并已知其在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．求此函数的表达式． 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由图象可知且，根据求出，将点代入解析式求出，进而求出函数的解析式. 【详解】由题意知，函数图象在y轴的右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为， 则，且，得， 又因为，且，则， 所以， 又函数图象过点，则，可得， 由，且点在单调递增区间之内，解得， 所以. 【考点题型三】函数性质的综合（选填） 【例3】（24-25高一下·湖南永州·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则正确的有 ． ①的最小正周期为 ②当时，的值域为 ③将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 ④将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】①④ 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由图象及三角函数的性质可得函数的解析式，进而判断出所给命题的真假． 【详解】对于①：由图可知：，故①正确； 由，知， 因为，所以，所以，即，， 又因为，所以， 所以函数为； 对于②：当时，，所以，故②错误； 对于③，由题意得到的图象，故③错误； 对于④：由题意得到的图象， 因为当时，，可得到的图象关于点对称，故④正确． 故选：①④． 【变式3-1】.（24-25高一上·上海·课堂例题）下面有五个命题： ①函数的最小正周期是； ②终边在y轴上的角的集合是； ③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点； ④把函数的图象向右平移得到的图象； ⑤函数在上是减函数. 其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号） 【答案】①④ 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】对于①,由二倍角公式化简表达式结合周期公式验算即可；对于②，由任意角的定义即可判断；对于③，结合三角函数线、三角函数最值对分类讨论即可判断；对于④，由函数平移法则即可得解；对于⑤，由诱导公式以及余弦函数单调性即可判断. 【详解】对于①，函数的最小正周期是，故①正确； 对于②，终边在y轴上的角的集合是，故②错误； 对于③，当时，， 当时，由三角函数线可知， 当时，， 这意味着函数的图象和函数的图象在内没有公共点， 同理函数的图象和函数的图象在内没有公共点， 综上所述，函数的图象和函数的图象只有一个公共点，故③错误； 对于④，把函数的图象向右平移得到的图象，故④正确； 对于⑤，函数在上是增函数，故⑤错误. 故答案为：①④. 【变式3-2】.（2024·宁夏石嘴山·一模）已知，下列四个结论正确的序号是 . ①函数在区间上是减函数； ②点是函数图象的一个对称中心； ③函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到； ④若，则的值域为. 【答案】②④ 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据二倍角公式及辅助角公式，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】. 对于①，因为，所以，所以函数在区间上是增函数，故①错误； 对于②，当时，，所以点是函数图象的一个对称中心，故②正确； 对于③，函数的图象向左平移个单位长度得到，所以，故③错误； 对于④，因为，所以，所以，即，所以的值域为，故④正确. 故答案为：②④. 【变式3-3】.（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数在上恰有两个零点，且在上单调递减，则下列说法正确的是 ． ①若，则的图象向右平移个单位长度后得到的图象 ② ③在上有且仅有两条对称轴 ④不存在，使得在上单调递减 【答案】②③④ 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式 【分析】利用函数图象变换和诱导公式可以判定①错误；根据零点条件和单调性，列出不等式组，求解得到的范围，从而判定②正确；利用三角函数的对称轴求得的对称轴，根据②中被判定正确得的范围，对称轴条数判断 ③；根据三角函数的单调性，列出方程组，求得的范围，再与②中的范围对照，无交集，得出矛盾，判断④错误. 【详解】对①： 当时，的图象向右平移个单位， 得的图象，故①错； 对于②：当时，． 余弦函数在的零点依次是， 在上恰有两个零点， 所以（i）． 由，解得， 所以函数的单调递减区间为 因为已知函数在上递减， 所以存在实数使得，整理的. 又，所以，解得， 又因为，所以，所以（ii）， 由（i）（ii）得，故②正确； 对③：由于余弦函数的零点为, 所以函数的零点对应，解得，. 由，得，所以， 当时，； 当时，， 当时， ， 所以函数在上有2条对称轴，故③正确； 对④：若函数在区间上单调递减， 则存在整数使得成立， 整理的. 所以，解得，又因为，所以. ，解得，又因为又因为，所以. 所以，所以：， 因为，所以与②的结论矛盾． 满足条件的不存在，故④正确． 故答案为：②③④. 【变式3-4】.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则下列说法正确的是 . ①的最大值是②向左平移个单位后为奇函数 ③的图象关于对称④在上是递增的 【答案】②③ 【知识点】辅助角公式、函数奇偶性的定义与判断、求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式，即可判断①，再利用图像平移以及奇函数的判断，即可判断②，根据三角函数最值性质，即可判断③，利用函数单调性，即可判断④. 【详解】由辅助角公式可知：， ①，故错误； ②向左平移个单位得到， 又， 定义域为关于原点对称，所以是奇函数，故正确； ③因为为最大值， 所以的图象关于对称，故正确； ④因为，所以， 因为在上不是单调函数， 所以在上不是单调函数，故错误； 故答案为：②③ 【考点题型四】函数性质的综合（解答题） 【例4】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，，且函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)设，若函数与在上有相同的最大值，求a的取值范围. 【答案】(1)2 (2). 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得正数的值； （2）当时，求出函数在区间上的最大值，可知，当时，函数在内取得最大值，可得出，然后对整数的取值进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，求解后结合，即得实数的取值范围． 【详解】（1） ， 因为且函数的最小正周期为，故. （2）由（1）可知. 若，时，， 当时，函数取得最大值，即. 而函数与存在相同的最大值， 故当时，函数在内取得最大值， 因此可得. ①当时，可得，则有，解得； ②当时，可得，，则有，解得. 当时，，此时，， 当时，，此时，. 综上所述，a的取值范围为. 【变式4-1】.（24-25高一下·上海宝山·开学考试）已知函数. (1)求； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【知识点】辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性、二倍角的余弦公式 【分析】（1）先利用二倍角公式与辅助角公式，化简函数，再求函数值. （2）结合函数的单调性，利用换元思想求三角函数的单调区间. 【详解】（1）， 所以. （2）由， , 解得：， 所以函数的单调增区间为. 【变式4-2】.（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数， (1)若，函数在区间上单调递增，求的取值范围； (2)若，，求函数在上的值域； (3)若，函数在内没有对称轴，求的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1），，可求的取值范围； （2），时，，由正弦函数单调性求函数在上的值域； （3）由题可得， 根据三角函数的性质可得或，进而可求的取值范围. 【详解】（1）时，， 函数在区间上单调递增，由，， 则，解得， 所以的取值范围为； （2）若，，， 时，，， 所以函数在上的值域为； （3）若，函数， 因为在内没有对称轴，则，由，得， 所以，， 因为在内没有对称轴，且，， 所以或， 因为，解得或 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 正弦型函数在区间内没有对称轴，则区间为函数的单调区间，区间长度小于半个周期. 【变式4-3】.（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数. (1)把f（x）表示为的形式，并写出函数的振幅和初始相位； (2)求函数的单调递增区间； (3)记函数在上的值域为A，若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)振幅为，初始相位为； (2)， Z； (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦公式恒等变形即可求解； （2）利用整体法求函数的单调递增区间； （3）利用函数单调性求出的值域，再利用集合之间的关系求解即可. 【详解】（1）, 由此可知的振幅为，初始相位为； （2）令，Z， 解得，Z， 则函数的单调递增区间为， Z； （3）因为，所以， 因为函数在区间上单调递增，在上单调递减， 所以，， 所以的值域为， 又因为，所以， 解得， 即实数a的取值范围为. 【考点题型五】函数中的零点个数问题 【例5】（2024高一下·上海·专题练习）某同学用“五点法”画函数，在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 (1)请填写上表的空格处，并写出函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数的值. 【答案】(1)表格见解析， (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、复合函数的单调性 【分析】（1）根据表中的数据列方程组可求出的值，由函数的最值可求出，从而可求出函数解析式和表格中的数据； （2）先根据三角函数图象变换规律求出，然后得，求出函数定义域后，再利用换元法可求出函数的增区间； （3）由于的周期为，所以当时，令，考虑方程的根情况，设在必有两个不同的实数根，，，然后分，且，，且三种情况分析可得或，从而可求得结果. 【详解】（1）解：根据表中的数据可得，解得， 令表格空格从左到右依次为，故，所以， 又，所以完表如下： 0 0 1 0 0 0 0 0 所以. （2）解：将函数的图象向右平移个单位，所得图象的解析式为：， 再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，故. 此时， 令，则，故. 当时，为增函数，故为减函数； 当时，为减函数，故为增函数. 所以的增区间为. （3）解：，的周期为， 当时，令，考虑方程的根情况， 因为，故在必有两个不同的实数根， 因为在有奇数个零点，故. 若，则方程，在共有4个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或个根，与有奇数个零点矛盾，舍去. 若，，则在共有2个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或，与有奇数个零点矛盾，舍去. 同理,，也不成立，所以或， 若，则，此时的根为， 方程在共有3个不同的实数根，而在上，有两个不同的根，无解， 所以在有个根，与有奇数个零点矛盾，舍去； 若，则，方程的根， 方程在共有3个不同的实数根，而在上，无解，有一个根， 所以在有个根，符合题意. 综上，，在共有3031个不同的零点. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的图象与性质，考查复合函数的单调性，考查函数与方程的综合问题，第（3）问题解题的关键是分类讨论在一个周期上零点的情况，考查计算能力和分类思想，属于难题. 【变式5-1】.（22-23高一下·上海虹口·期中）已知数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)将的图象先向左平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦函数图象的应用、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用降幂公式、诱导公式以及辅助角公式可化简函数的解析式； （2）利用正弦型函数的基本性质求出函数在上的最大值和最小值，由参变量分离法可得出，即可求得实数的取值范围； （3）利用三角函数图象变换求出函数的解析式，分析可知直线与函数在上的图象只有一个公共点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解： . （2）解：因为，则，所以，， 所以，，， 因为不等式对任意恒成立，则， 所以，对任意恒成立， 则，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）解：将的图象向左平移个单位，可得到函数， 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）， 可得到函数的图象， 当时，， 因为关于的方程在上有且只有一个实数解， 所以，直线与函数在上的图象只有一个公共点，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点. 因此，实数的取值范围是. 【变式5-2】.（2023·上海宝山·二模）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调区间； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小正周期；单调递增区间为；单调递减区间为. (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入法求函数单调区间； （2）由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数的取值范围． 【详解】（1）， 则函数的最小正周期； 令，解得 ， 可得函数的单调递增区间为· 令 ，解得 ， 可得因数的单调递减区间为 ； （2）由（1）可知，时，在上单调递增，在上单调递减， 当，，由增大到1， 当，，由1减小到， 若关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为 【变式5-3】.（23-24高一下·上海浦东新·期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 (1)请直接写出表中的值，并求出函数的解析式和最小正周期； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)，最小正周期为 (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）利用周期可求得，利用五点作图法的第二个关键点可求，进而求得解析式可求； （2）由题意可得与的图象在上有两个交点，结合图象可求实数的取值范围. 【详解】（1）根据表中的数据，得， ，又，， 函数的解析式为， 令，解得， 可得， 数据补全如下表： 0 0 1 0 0 则最小正周期为 （2） 关于的方程在上有两个不同的实数解， 则与的图象有两个交点， 作出两函数的图象如图所示： 结合函数图像可知. 实数的取值范围为. 【考点题型六】函数中的零点代数和问题 【例6】（23-24高一下·上海宝山·期末）已知函数的部分图像如图所示： (1)求函数的表达式； (2)当时，求方程的所有根的和． 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数图象的综合应用 【分析】（1）由函数的图象，得到，求得，再由，求得，即可求解； （2）由，求得或，结合，分类讨论，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，可得，所以， 因为，即， 可得，即， 又因为，可得，所以. （2）解：由，可得或， 因为，可得， 当时，，设方程的解为， 则，可得； 当时，，则，可得， 综上所述，方程的所有根的和为. 【变式6-1】.（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，若关于的方程在上有两解，求. 【答案】(1)， (2)当时，；当时，. 【知识点】三角函数图象的综合应用、三角恒等变换的化简问题、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用两角和差的正弦和余弦公式，二倍角公式，辅助角公式化简函数的解析式可得，再利用周期公式求周期，结合正弦函数的单调性求函数的单调递增区间； （2）根据函数图象变换结论可求，结合条件求的范围，讨论求结论. 【详解】（1）因为， ， 所以 ， 所以的最小正周期为. 由，解得， 所以的单调递增区间为. （2）将的图象向左平移个单位，得 从而， 因为，所以， 令， 由已知可得当时， 方程有两个不同的解， 所以当时，函数与的图象有两个不同的交点， 作函数，的图象可得， 结合的图象可得或. 当时，，故； 当时，，故. 【变式6-2】.（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当，方程有解，求实数的取值范围； (3)若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析； （2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围； （3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围． 【详解】（1）设的最小正周期为，由题意得，得周期， 所以，得， 因为，所以， 所以， 因为的图象过点，所以，得， 因为，所以， 故． （2）， 即有解， 由，得， 所以，所以， 所以，即． （3），设，则， 由“方程在区间上恰有三个实数根”， 得“方程在区间上恰有三个实数根”， 则的图象如下： 即， 由图得，，， 即， 综上． 【点睛】关键点点睛：此题考查由正弦函数的性质求正弦函数的解析式，考查函数与方程的综合问题，考查正弦函数和余弦函数的图象与性质，第（3）问解题的关键是通过换元后，将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，再结合正弦函数的图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题. 【变式6-3】.（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值； (3)若的图象与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】二倍角的余弦公式、求sinx型三角函数的单调性、正、余弦型三角函数图象的应用、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】1）利用倍角公式及正弦的和角公式得到，把看成一整体，利用的性质，得，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系求出，再通过构角，利用正弦的差角公式，即可求解； （3）利用（1）结果得到在区间上的单调性，进而得出图象，再数形结合，即可求解. 【详解】（1）因为， 由，得到， 所以的单调递增区间为，． （2）由（1）知，则， 又，所以， 又，所以， 则， 又，． （3）当时，由（1）知在区间和上单调递增，在区间上单调递减，且， 则在区间上的图象如图所示， 又直线与的图象有三个交点．则， 不妨设三个交点为，且，则， 又易知，所以， 所以的取值范围为． 【考点题型七】函数中的恒成立问题 【例7】（23-24高一下·山东日照·阶段练习）已知函数，满足，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得的函数为偶函数. (1)求的解析式： (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数的图象在区间且上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦函数图象的应用、三角函数图象的综合应用、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）分析可知，函数的最小正周期为，可求出的值，利用三角函数的图象变换可求出函数的解析式，利用函数的奇偶性结合的取值范围可求出的值，即可得出函数的解析式； （2）参变分离进行处理，将问题转化为，只需求出不等式右边的最小值，结合对勾函数的单调性进行辅助求解； （3）先求出零点的一般形式，结合零点的个数求出区间长度的最小范围. 【详解】（1）因为，则， 所以，函数的最小正周期为，则，则， 将函数的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 所得的函数为偶函数， 则为偶函数， 所以，，可得， 因为，可得，所以，. （2）因为，所以，， 故，， 而恒成立， 即，整理可得. 令，， 设，，设、，且， 则， 由于，，则，所以， 即区间上单调递增，故，故， 即实数的取值范围是. （3）由题意知， 由得， 故或，， 解得或，， 故的零点为或，， 所以相邻两个零点之间的距离为或， 若最小，则和都是零点，此时在区间、、、分别恰有、、、个零点， 所以在区间上恰有个零点， 从而在区间上至少有一个零点，所以， 另一方面，在区间上恰有个零点， 所以的最小值为. 【变式7-1】.（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知函数的部分图象如下图所示．    (1)求的解析式及单调减区间； (2)要得到的图象，需要将的图象作怎样的变换？（详细写出每步变换） (3)对于（2）中的函数，若对任意，有，求实数a的最小值． 【答案】(1)，减区间为 (2)答案见解析 (3) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）利用图象可得出的值，求出函数的最小正周期，可求出的值，再由结合的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式，然后利用正弦型函数的单调性可求出函数的减区间； （2）根据三角函数图象变换规律求解； （3）利用正弦型函数的基本性质求出函数在上的最小值和最大值，可得出，即可得解. 【详解】（1）由图可得， 函数的最小正周期为，则， 所以，， 因为，可得， 因为，则，所以，，所以，， 因此，， 由解得， 所以，函数的单调递减区间为. （2）将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 继续将图象纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象， 最后将图象向上平移1个单位得到的图象； （3）当时，， 则，则， 对任意的、，， 则，故实数的最小值为. 【变式7-2】.（24-25高一下·河南·开学考试）已知函数在区间上单调递减，且直线和为函数的图象的两条对称轴． (1)求的一个解析式； (2)将的图象先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、函数不等式恒成立问题、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据题设有且，求出参数，即可写出一个符合要求的解析式； （2）由（1）所得解析式，结合图象平移得，则有在上恒成立，令并应用辅助角公式化简求出值域，进一步把问题化为上恒成立，确定右侧最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由题意，则，所以， 显然，则，可得， 所以是满足题设的一个解析式. （2）根据（1）所得解析式，图象先向右平移个单位长度有， 再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，则， 所以，即， 故， 令，且，则， 所以，且， 综上，上恒成立， 由在上单调递减，则， 所以. 【变式7-3】.（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移，再向上平移m（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由图象结合正弦函数的周期，最值，单调递减区间可得； （2）由图象平移得到，再将问题转化为当时，恒成立，然后结合正弦函数的单调性求解即可； 【详解】（1）由图象可得，， 所以，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 令，可得， 所以单调递减区间为. （2）， 因为对任意的，都有成立，即当时，恒成立， 由可得，此时， 由可得，此时， 所以，解得. 【变式7-4】.（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知函数的图象如图所示. (1)求函数的对称中心和单调递增区间； (2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)对称中心为，；单调递增区间为 (2) 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据函数图象求得的解析式，然后利用整体代入法求得的对称中心和单调递增区间； （2）利用三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据在区间上的值域转化不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）由图可知：，所以，所以，， 又， 所以，. 所以. 令，，则，. 所以的对称中心为，. 令，即， 所以函数的单调递增区间为. （2）由题. 当时，. 因为对任意的恒成立， 则. 所以. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，，若函数，的最大值为1，但最小值不为，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据正弦函数的单调性，可得，求解可得结果. 【详解】当时，， 由题意可知，，解得. 故答案为：. 2．（24-25高一·上海·课堂例题）若函数的图像在同一周期内有一个最高点的坐标是，最低点的坐标是，则这个函数的解析式是 ． 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据已知条件依次求得 的值, 即可得解. 【详解】设， 依题意可知 . 由于 , 所以 . 所以 . 故答案为: 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，若函数的图像如图所示，则 ．    【答案】0 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】利用函数的图像求出解析式，然后利用周期性的特点来求解． 【详解】∵， ∴由题中图像知，， ∴，． , 由图结合对称性可知 ， ∴， ∴， ∴，，，，，，，， ∴， 又， ∴， 故答案为：0． 4．（24-25高一上·上海·课后作业）设函数，，以为最小正周期，若，则的值为 . 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据最小正周期得及函数解析式，再由得值，然后根据同角三角函数平方关系计算. 【详解】因为的最小正周期为，， 所以，即， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 5．（2023高一下·上海·专题练习）将函数的图像向左平移个单位后得到函数，若函数是上的偶函数，则 ． 【答案】，． 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】由图象的平移变换可得到的表达式，结合其奇偶性，即可求得的表达式，即得答案. 【详解】将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象， 则， 函数是上的偶函数， 则，得，， 得，， 故答案为：， 6．（23-24高三上·上海浦东新·期末）如图，已知函数（）的图像与轴的交点为 ，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则 ．    【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数图象的综合应用 【分析】由图象可知且，根据求出，将点代入解析式求出，进而求出的解析式，即可求解. 【详解】由题意知，函数图象在y轴的右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为， 则，且，得， 又，所以， 所以，又函数图象过点， 所以，由解得， 故， 所以. 故答案为： 7．（24-25高三上·上海·开学考试）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是（其中，，），则 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、三角函数在生活中的应用 【分析】根据题意，结合余弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】由于抵消噪声，所以振幅没有改变，周期没有改变，即，， 即，要想抵消噪声，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是， 即，又因为，所以令，即， 故答案为：. 8．（24-25高一·上海·随堂练习）某港口水深y（米）是时间（单位：小时）的函数，下表是水深数据： t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1 根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象，则这段函数的解析式是 ． 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在生活中的应用 【分析】设，由图象可得，可求出，求出周期，从而可求出，再将代入函数中可求出，从而可求出函数的解析式. 【详解】根据题意设函数的解析式为， 由图象可得，解得， ，得， 所以，得， 所以， 将代入得，， 所以，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 9．（23-24高一下·上海静安·期末）函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则 ． 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数图象的综合应用 【分析】借助图象结合三角函数的周期性可计算出函数解析式，再由所给条件可得，代入计算即可得解. 【详解】由图可得，又，故， ，又，故， 则有，，即，， 又，则，即， 由，则， 即， 故或，， 即或，， 又，故， 则. 故答案为：. 10．（23-24高一下·湖北·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数在内不是单调函数，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先求出平移后图象对应的解析式，根据单调性可求参数的取值范围. 【详解】由题设可得平移后图象对应的函数解析式为， 因为，故， 因为在不单调，故或， 即或， 所以或，故. 故答案为：. 11．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为 . 【答案】 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】根据函数的对称性求出的值，利用图象变换关系求出，构造函数，将条件转化为当,，为增函数，利用函数的单调性进行求解即可． 【详解】一个对称中心是， ，，即，， ，当时，，即， 将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像， 即， 由，得， 设，则不等式等价为当时，， 即若对任意,，为增函数． ， 当,时，,，所以,， 因为对任意,，为增函数， 所以，所以，所以， 即的最大值为． 故答案为：． 12．（22-23高二下·上海宝山·期中）设常数使方程在闭区间上恰有三个不同的解，则实数的取值为 . 【答案】 【知识点】三角函数图象的综合应用、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用辅助角公式得到方程的解的个数即为在上直线与三角函数图象的交点的个数，画出图象，数形结合得到当且仅当时，直线与三角函数图象恰有三个交点，得到答案. 【详解】∵， ∴方程的解即为在上直线与三角函数图象的交点的横坐标， ∵， ∴， 令， 画出函数在上的图象，如下： 由图象可知当且仅当时，直线与三角函数图象恰有三个交点. 故答案为： 二、单选题 13．（24-25高一下·山东聊城·阶段练习）若函数的图象向左平移个单位长度，恰好得到函数的图象，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】诱导公式五、六、正弦函数图象的应用、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先对变形为，再由的图象的平移求得，两式对照可求出的所有可能值，再根据选项检验即得. 【详解】因， 将的图象向左平移个单位长度，得， 所以，即， 当时，，当时，，当时，， 结合题意和选项，可知只有D正确． 故选：D. 14．（24-25高一下·湖北·阶段练习）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【知识点】诱导公式五、六、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】由条件利用诱导公式，的图象变换规律，得出结论. 【详解】， ， 所以只需把函数的图象，向左平移个单位，得到的图象. 故选：A. 三、解答题 15．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）已知函数的部分图象大致如图所示． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【知识点】求含cosx的函数的单调性、解余弦不等式、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）根据图象求出函数的解析式，即可求出在的单调增区间； （2）由题意有，令，即，得，令，，利用函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由图可知，，则，，所以， 又因为点在函数图象上， 所以，即，解得， 又，所以，即． 令，解得，， 又， 所以的单调递增区间为． （2）恒成立， 即， 即， 令，当时，， 即，恒成立， 因为，所以， 令，， 因为在单调递减， 所以，故． 16．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数的最大值为 (1)求常数a的值; (2)求函数在的单调递增区间; (3)若在区间上有9个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、二倍角的余弦公式、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式、余弦正弦的两角差及辅助角公式先化简，再求解的值； （2）利用正弦函数的单调性计算即可求解单调递增区间； （3）利用正弦函数的图象与性质计算即可. 【详解】（1）由题意可知： ， 当时，， 故 （2）令，t在上单调递增，且， 而在和上单调递增， 因此，，解得，， 在的单调递增区间为， （3）令，，，则 由题可知：在上有9个根，即， 因此，即 故实数的取值范围是 17．（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，若关于的方程在上有两解，求. 【答案】(1)， (2)当时，；当时，. 【知识点】三角函数图象的综合应用、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用两角和差的正弦和余弦公式，二倍角公式，辅助角公式化简函数的解析式可得，再利用周期公式求周期，结合正弦函数的单调性求函数的单调递增区间； （2）根据函数图象变换结论可求，结合条件求的范围，讨论求结论. 【详解】（1）因为， ， 所以 ， 所以的最小正周期为. 由，解得， 所以的单调递增区间为. （2）将的图象向左平移个单位，得 从而， 因为，所以， 令， 由已知可得当时， 方程有两个不同的解， 所以当时，函数与的图象有两个不同的交点， 作函数，的图象可得， 结合的图象可得或. 当时，，故； 当时，，故. 18．（24-25高一下·江西·阶段练习）若函数满足，且，则称函数为“函数”.已知函数为“函数”. (1)求函数的解析式； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，求的最小值； (3)讨论在上零点的个数. 【答案】(1) (2) (3)详见解析 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、函数新定义 【分析】（1）由题意可得函数的周期性以及对称轴，可得答案； （2）由函数变换可得新函数的解析式，根据余弦函数的奇偶性以及诱导公式，可得答案； （3）由函数解析式以及零点定义，建立方程，求得零点，分情况建立不等式组，可得答案. 【详解】（1）由，得， 所以是周期为6的函数， 由，得， 所以是的一条对称轴， 因为函数为“函数”，所以， 是的一条对称轴，所以. 因为，所以， 所以函数的解析式为. （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 得到函数， 再将所得图象向左平移个单位长度， 得到， 因为的图象关于轴对称， 所以，解得. 因为，所以时，取最小值，为. （3）由（1）知，. 令，得， 所以或， 解得或. 因为的最小正周期，所以时至多有2个零点. 若，则，此时在上零点的个数为2； 若，则，此时在上零点的个数为1； 当时，，此时在上零点的个数为0； 当时，此时，此时在上零点的个数为1. 综上，，则： 当时，在上零点的个数为0； 当或时，在上零点的个数为1； 当时，在上零点的个数为2. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$