专题03 第6章 解三角形（3考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

清单03 第6章 解三角形 （3个考点梳理+8题型解读+提升训练） 清单01 正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ④，，（可实现边到角的转化） ⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化） 清单02 三角形面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 清单03 余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 【考点题型一】解三角形（） 【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，已知，，，求角的正弦值． 【答案】或 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据条件，利用正弦定理得到，再利用平方关系得到，由正弦的和角公式，即可求出结果. 【详解】由， 得， 又，得或， 当时，， 当时，. 【变式1-1】.（23-24高一下·上海浦东新·期中）在中，若，，，则C的值为 . 【答案】或 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理可求得或，再由三角形面内角和可得C的值. 【详解】利用正弦定理可求得， 又，可得或； 因为，可得或. 故答案为：或 【变式1-2】.（23-24高三下·上海·阶段练习）在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，，，则 . 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据三角函数同角的平方关系和正弦定理计算即可. 【详解】因为在中，，，所以，， 又，， 所以，， 因为，， 所以. 故答案为：. 【变式1-3】.（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，．求B、C及c． 【答案】，， 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由已知利用正弦定理求出的值，进而可以求出的值，再利用正弦定理求出的值即可． 【详解】因为，，， 则由正弦定理可得：， 所以， 又，所以为锐角，则，则， 由正弦定理可得． 【变式1-4】.（23-24高一下·上海·假期作业）在中，若，求的值． 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由，求出，利用诱导公式和两角和的正弦求出，再运用正弦定理求出. 【详解】由，，知， 再由中，，，则， 则 ， 在中，由正弦定理， 则，解得. 【考点题型二】判断三角形的形状（） 【例2】（24-25高一·上海·随堂练习）下列命题：①正弦定理适用于任意三角形；②在中，，则是直角三角形；③在中，若，则是钝角三角形；④在中，若，则是钝角三角形，其中正确的序号是 ． 【答案】①②③④ 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由正弦定理、余弦定理的适用范围，即可判断①；运用正弦定理可得三边之比，即可判断三角形的形状，即可判断②；运用两角差的余弦公式，即可判断③；运用两角和的正切公式，即可判断④． 【详解】①正弦定理适用于任意三角形，故①正确； ②在中，，可得，则是直角三角形，故②正确； ③在中，若， 即有， 即，则是钝角三角形，故③正确； ④在中，若，即， 若中有一个小于0，成立；若都大于0，可得， 则是钝角三角形，故④正确． 故答案为①②③④． 【变式2-1】.（23-24高一上·上海·期末）对于，角A、B、C的对边分别为a、b、c，有如下判断：①若，则为等腰三角形；②若，则；③若，，，则符合条件的有两个：④若，则是钝角三角形．其中正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、正、余弦定理判定三角形形状、余弦函数图象的应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据余弦函数单调性判断①；根据正弦定理判断②；根据余弦定理判断③；根据两角和的余弦公式和余弦函数相关知识判断④. 【详解】对于①，若，由单调递减可知，，则为等腰三角形，故①正确； 对于②，若，则，由正弦定理可知，故②正确； 对于③，若，，，由余弦定理得，，则， 所以符合条件的有一个，故③错误； 对于④，若，则， 所以，因为，所以，所以是钝角三角形，故④正确. 综上所述，①②④正确，③错误，正确的个数为3. 故选：C 【变式2-2】.（23-24高二上·上海松江·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，则为（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用余弦定理化角为边即可得解. 【详解】因为， 由余弦定理可得， 所以， 即，所以， 所以为等腰三角形. 故选：C. 【变式2-3】.（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，已知，判断的形状． 【答案】直角三角形 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】展开后利用正弦定理化角为边，利用勾股定理即得. 【详解】由， 可得， 由正弦定理可得，即， 所以是直角三角形． 【考点题型三】边角互化的应用（） 【例3】（2024高一·上海·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且，求角. 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】 利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解. 【详解】 因为，由正弦定理可得， 所以， 所以， 即，又，所以， 所以，又，所以. 【变式3-1】.（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，，则 . 【答案】或 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形 【分析】由，，可得角角的大小，进而求得角，利用正弦定理求解. 【详解】中，由，可得，或， 由，所以，时或，时,， 由正弦定理，或. 故答案为：或. 【变式3-2】.（23-24高一下·上海·假期作业）在中，，则这个三角形一定是 三角形 【答案】等腰 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理边化角，进而利用进行化简可得的关系，从而可判断三角形的形状. 【详解】因为，利用正弦定理边化角，得， 又， 所以，即， 化简得，又，得， 所以△ABC为等腰三角形. 故答案为：等腰. 【变式3-3】.（23-24高一下·上海·假期作业）在中，角，，所对的边分别是，，，且，则 【答案】/ 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】借助正弦定理将边化为角即可得. 【详解】由正弦定理及，得， 因为，所以，所以. 故答案为：. 【变式3-4】.（2023·上海嘉定·三模）在中，已知，则角的大小为 . 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、二倍角的正弦公式 【分析】利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】因为， 由正弦定理得，即， 又因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 【考点题型四】三角形周长（定值）（） 【例4】（2023·上海松江·一模）在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出. (2)由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果. 【详解】（1）由正弦定理得，所以 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. （2）由的面积为，得，解得， 又,则，. 由余弦定理得，解得，， 所以的周长为. 【变式4-1】.（23-24高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、辅助角公式、余弦定理解三角形、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据题意，利用三角函数关系式和恒等变换，求得，进而求得的值； （2）根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式，求得和，结合余弦定理，列出方程，求得的值，进而得到三角形的周长. 【详解】（1）解：由题意知， 因为，可得， 所以，可得，即 由于，可得，所以，解得． （2）解：因为，由正弦定理得， 又因为的面积为，可得，解得， 所以，解得， 由余弦定理， 即，可得，所以的周长为． 【变式4-2】.（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知在中，分别为内角所对的边，且满足，． (1)若，求的面积； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)或 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）余弦定理结合已知可解得b，c，然后由面积公式可得； （2）根据已经边化角，然后求出，然后可得，结合正弦定理可得周长. 【详解】（1）由余弦定理得，即， 又，所以，解得，， 所以. （2）因为，所以， 又，所以，， 因为，所以，所以， 若B为锐角，则， 所以， 所以三角形周长为； 若B为钝角，则，， 所以三角形周长为. 综上，当B为锐角时，周长为； 当B为钝角时，周长为. 【变式4-3】.（22-23高一下·上海普陀·期末）在中，已知． (1)求角的大小； (2)设角、、的对边分别为、、．若，且边上的高为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、诱导公式五、六、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可得出关于的方程，结合角的取值范围先得出的值，进而可得出角的值； （2）设，则，利用余弦定理求得，利用三角形的面积公式求出的值，即可得出的周长. 【详解】（1）解：因为， 所以，，即. 因为，则，所以，，解得， 所以，，因此，. （2）解：因为，设，则， 由余弦定理可得，所以，， 因为边上的高为，则， 即，解得， 因此，的周长为. 【变式4-4】.（2025·河南安阳·一模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，点到直线的距离为，求的周长. 【答案】(1) (2)14. 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、二倍角的余弦公式 【分析】（1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. （2）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式列式求解. 【详解】（1）在中，，， 则，而，， 解得，则，所以. （2）由正弦定理得，不妨设，则， 由余弦定理得，解得， 由，得，解得， 所以，即的周长为14. 【考点题型五】三角形面积（定值）（） 【例5】（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期及函数在区间上的最大值； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，，求面积的大小. 【答案】(1)最小正周期为，最大值为2； (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求正弦（型）函数的最小正周期、三角形面积公式及其应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期，整体法得到，从而得到时，取得最大值2； （2）在（1）基础上，由求出，由余弦定理得到，由三角形面积公式求出答案. 【详解】（1） ， 故的最小正周期为， 时，，故当，即时， 取的最大值，最大值为2； （2），故， 因为，所以，故，解得， 又，， 由余弦定理得，即，解得，负值舍去， 故. 【变式5-1】.（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且，． (1)若的面积为，求a、b的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由余弦定理得出关于的方程，利用的面积求得，联立成方程组，计算即得； （2）由题设和正弦定理得出，与联立解得，即可求得. 【详解】（1）由余弦定理得，即． 又，所以． 由解得 （2）由和正弦定理，所以． 由（1）得． 由解得 所以． 【变式5-2】.（24-25高一上·上海·单元测试）在中，内角、、的对边分别为、、.已知，. (1)求的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2)或 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据三角恒等变换化简可得； （2）利用余弦定理可得，再利用面积公式可求得面积. 【详解】（1）由， 可得， 又， 即， 所以， 又，所以； （2）在中，由余弦定理可知， 则，即， 解得或， 所以，或. 【变式5-3】.（23-24高一下·上海·阶段练习）设分别是的三个内角所对的边，且， (1)求； (2)时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求解； （2）由正弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，，故， 因为，所以由正弦定理可知， 由大边对大角可得，故， 所以. （2）时，由正弦定理可得，， 所以. 【变式5-4】.（24-25高一下·上海松江·阶段练习）如图，我国南海某处的一个海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里．为钝角，且． (1)求小岛A与小岛D之间的距离； (2)已知与互补，求四个小岛所形成的四边形的面积． 【答案】(1)2海里； (2)18平方海里. 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据题意得出各边长和，利用余弦定理可解出的长； （2）利用余弦定理求出的长，再利用三角形面积公式求出两个三角形的面积，相加即为所求四边形面积. 【详解】（1）由题意，，且为钝角， 在中，由余弦定理，， 得，解得或（舍去）. 故，小岛A与小岛D之间的距离为2海里. （2）由题意，. 在中，由余弦定理，， 得，解得或（舍去）. 故. 所以 所以，四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里. 【考点题型六】三角形周长(边长）（最值+范围）问题（） 【例6】（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）锐角的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、求三角形面积的最值或范围、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）依题意可得，再由两角和的正切公式求出，即可得解； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，再由面积公式计算可得； （3）利用正弦定理得到，，从而转化为关于的三角函数，再结合的范围计算可得. 【详解】（1）由， 可得， 又为锐角三角形，则， 所以， 所以，又，所以. （2）由余弦定理知，， 当且仅当时，等号成立. 因为，所以， 故的面积， 所以面积的最大值为. （3）由正弦定理知， 所以，，则的周长为. 因为， 所以. 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 故周长的取值范围为. 【变式6-1】.（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本不等式求积的最大值、三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形 【分析】先求角，再结合基本不等式和余弦定理可求三角形周长的取值范围. 【详解】由， 因为为三角形内角，所以，所以，所以. 由余弦定理：，即. 所以，所以，所以. 又，所以. 故答案为： 【变式6-2】.（2025高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，为锐角三角形，，则周长的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理将边化为角，通过三角恒等变换将的周长用表示出来，再结合正切函数的性质求解即可. 【详解】由正弦定理， 得，， 则 ， 因为为锐角三角形，， 所以，解得，则， 又在上单调递增， 且， 故，则， 即周长的取值范围为． 故答案为：. 【变式6-3】.（22-23高二下·上海宝山·开学考试）在中，有，其中分别为角的对边. (1)求角的大小； (2)设点是的中点，若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】基本（均值）不等式的应用、用和、差角的余弦公式化简、求值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理边角关系将条件转化为，应用差角余弦公式及三角形内角性质求角的大小； （2）延长到满足，连接，易知为平行四边形，再应用余弦定理、基本不等式求上界，结合三角形三边关系求下界，即可得范围. 【详解】（1）在中，由正弦定理，可得， 由，得，即， 所以，可得，又，可得. （2）如图，延长到满足，连接，则为平行四边形， 则， 在中，由余弦定理得：，即 可变形为：，即， 由基本不等式得：，即，得（当且仅当取等号）. 又，有，故的取值范围是. 【变式6-4】.（2025·黑龙江·二模）记中，内角所对的边分别为.已知. (1)求； (2)若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）结合题意，利用角化边及余弦定理可得，利用同角关系式即可求解. （2）由（1）知，利用余弦定理、完全平方关系及基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得， 所以，即， 所以， 因为为三角形的内角，所以. （2）由（1）知，由余弦定理得， 所以，即， 又因为， 所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以. 所以的最大值为. 【考点题型七】三角形面积（最值+范围）（） 【例7】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）若锐角的内角、、的对边分别为、、，且，，则面积的取值范围为 . 【答案】 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求三角形面积的最值或范围 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值，利用正弦定理可求得的取值范围，再利用三角形的面积公式可求得面积的取值范围. 【详解】因为，所以，即， 由正弦定理得， 因为，则，所以， 由得，故，所以，故，故， 由为锐角三角形，得，解得， 因为，由正弦定理得， 因为，所以， . 故答案为：. 【变式7-1】.（23-24高一下·上海金山·阶段练习）在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为 【答案】 【知识点】求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用、余弦定理及辨析 【分析】使用余弦定理求出后，再使用余弦定理、基本不等式和三角形面积公式求解即可. 【详解】由余弦定理，， ∵，∴. 由余弦定理及基本不等式，， ∴，当且仅当时取等号， ∴当且仅当时，的面积的最大值为. 故答案为：. 【变式7-2】.（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知函数． (1)求的最小正周期和单调增区间； (2)在中，角、、的对边分别为、、．若，，求的面积的最大值． 【答案】(1)函数的最小正周期为，单调递增区间是 (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求正弦（型）函数的最小正周期、求三角形面积的最值或范围、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可得出函数的单调递增区间； （2）由结合角的取值范围可求得角的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】（1）解： ， 所以，函数的最小正周期为， 令，解得， 故函数的单调递增区间是. （2）解：，即， ，则，，可得， 由余弦定理以及基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 故，即面积的最大值为. 【变式7-3】.（23-24高一下·上海普陀·期末）已知函数． (1)求函数在区间上的严格减区间； (2)在中，所对应的边为，且，求面积的最大． 【答案】(1) (2) 【知识点】sinxcosx的降幂公式及应用、cos2x的降幂公式及应用、求三角形面积的最值或范围、求sinx型三角函数的单调性 【分析】化简， （1）方法1：先求单减区间，再给k赋值与题中所给的区间取交集； 方法2：先由x的范围求出整体的范围，再由单调性求出x的范围. （2）方法1：由余弦定理和重要不等式求得结果； 方法2：由正弦定理将边转化为角，将求面积转化为求三角函数在给定区间上求最值. 【详解】（1） 方法1：则： ，即：， 当k=0时， ∴ ∴在区间上的严格减区间为. 方法2：∵， ∴ ∵在区间上严格单减 ∴ ∴ ∴在区间上的严格减区间为. （2）由（1）知：，即： 又∵ ∴ ∴ 方法1：由余弦定理得： ， ∴  ① 又∵，当且仅当b=c时去等号.  ② 由①②得： ，当且仅当b=c时去等号. ∴△ABC的面积最大值为； 方法2：由正弦定理得： ， ∵ ∴ ， ∴ ∴当时，即：时，取得最大值为1， ∴ ， ∴ ， ∴△ABC的面积最大值为. 【考点题型八】正余弦定理的实际应用（） 【例8】（24-25高一上·上海·课后作业）甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近.如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向何方向航行？（注：） 【答案】海里/时，北偏东 【知识点】角度测量问题、距离测量问题 【分析】设为两船的相遇位置，画出满足题目条件的，设乙船速度为海里/时，根据图形运用余弦定理可得到的关系式，从而求出；再结合正弦定理，计算算出的大小即可得到乙船的航行方向. 【详解】设为两船的相遇位置，画出满足题目条件的，设乙船速度为v海里/时，如图. 在中，由余弦定理可知：， 即，解得. 又由正弦定理可知， ∴，∴， 即乙船应按北偏东的方向，以21海里/时的速度航行. 【变式8-1】.（2024·上海静安·一模）如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 . 【答案】 【知识点】高度测量问题 【分析】根据正切函数的定义得到方程，解出即可. 【详解】分别过点作的垂线，垂足分别为， 则根据正切函数的定义得，， 则，解得. 故答案为：. 【变式8-2】.（24-25高一上·上海·课后作业）一只蚂蚁沿东北方向爬行x后，再向右转105°爬行20，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么 . 【答案】 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形 【分析】先画出简图，得到各角的值，再由正弦定理可确定答案． 【详解】由题可得简图如下，可知，，，，， 根据正弦定理可得，． 故答案为：. 【变式8-3】.（24-25高一上·上海·随堂练习）一船以的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东方向，1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东方向，则灯塔S与B之间的距离为 . 【答案】66 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形 【分析】根据题意连接可得如图三角形，再由所给角度可得，利用正弦定理解即可得解. 【详解】 如图，， 根据航速为，则， 由正弦定理可得， 所以， 故答案为：66. 【变式8-4】.（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处. (1)求此时该外国船只与D岛的距离； (2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值.（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时） 【答案】(1)海里； (2)海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时. 【知识点】反三角函数、距离测量问题、角度测量问题、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）依题意，在中，，由余弦定理求得； （2）建立以点为坐标原点，为轴，过点往正北作垂直的轴．可得的坐标，设经过小时外国船到达点，结合，得，列等式求得，则，，再由求得速度的最小值． 【详解】（1）依题意，在中，， 由余弦定理得 ， ∴， 即此时该外国船只与D岛的距离为海里. （2）建立以点A为坐标原点，为x轴，过点A往正北方向为y轴的坐标系，如图， 则，，， 设经过t小时外国船只到达点. 又，所以. 由,解得或（舍去）, 故（小时）， 则， ∴， ∴海监船的航向为东偏北41.8°， ∴海监船的速度（海里/小时）. 又， 故海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一·上海·课堂例题）在中，“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【知识点】充要条件的证明、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】在中，令角所对边分别为， 由正弦定理得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：B 2．（23-24高一下·安徽宿州·期中）在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正弦定理以及两角和差的正弦公式得到，再求解即可. 【详解】在中，已知 由正弦定理得， 所以即 又，则，则， 所以所以该三角形为等腰三角形. 故选：B. 二、填空题 3．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）如图，与存在对顶角，且．则下列说法：①O是中点；②；③．正确的序号是 【答案】①② 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】设，，结合余弦定理，表示出与，利用化简判断①；借助全等三角形确定角的数量关系判断②；由求出，再利用正弦定理求出判断③. 【详解】设，，则，， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 由，得， 化简得：，因此为中点，①正确； 如图： 过点做，交与，则，而， ，则，，，②正确； 由，得，即， 整理得，而，解得，， ， 在中，由正弦定理，得，，③错误. 故答案为：①② 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）如图，要在A和D两地之间修建一条笔直的隧道．现从B地和C地测量得：，，，．若B、C的直线距离为5.8公里，则隧道长为 公里．（结果精确到0.1公里） 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、用和、差角的余弦公式化简、求值、反三角函数 【分析】设，在，，中利用正弦定理，可求，进而可求. 【详解】由题意：. 设，则. 在中，即. 在中，. 在中，，即. 将以上三式相乘，得：， 从而有：， 所以：. 所以. 在中，，, 所以. 在中，. 故答案为： 5．（24-25高三上·上海·阶段练习）某数学建模小组模拟"月距法"测量经度的一个步骤.如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表"月球"与"轩辕十四"（恒星名）.组员在地面处测得轩䢂十四的仰角，随后向着两"天体"方向前进4米至处，测得两"天体"的仰角分别为、.若"月球"距离地衣的高度为3米，则"轩辕十四"到"月球"的距离约为 . 【答案】米 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】根据题意先在直角三角形中求出，在中利用正弦定理求出，然后在中利用余弦定理可求出，从而可得答案. 【详解】在中，，，则， 因为，所以， 因为， 所以, 在中，由正弦定理得，， 所以， 在中，， 由余弦定理得 ， 所以米. 故答案为：米 6．（24-25高三下·上海·阶段练习）若的内角满足，则的最大值是 ． 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】由已知条件结合正弦定理可得出，利用余弦定理可求出的最小值，结合余弦函数的单调性可得出角的最大值. 【详解】设的内角、、的对边长分别为、、， 因为，由正弦定理可得， 所以， ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为且余弦函数在上单调递减，故， 所以，的最大值为. 故答案为：. 7．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本不等式求积的最大值 【分析】先求角，再结合基本不等式和余弦定理可求三角形周长的取值范围. 【详解】由， 因为为三角形内角，所以，所以，所以. 由余弦定理：，即. 所以，所以，所以. 又，所以. 故答案为： 8．（2025·上海·模拟预测）在中，若，，，则的长为 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理即可求解； 【详解】， 所以, 故答案为： 9．（24-25高二上·上海·期末）的内角，，的对边分别为，，，，，， 则等于 . 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理可得边长. 【详解】在中， 由正弦定理， 即，解得， 故答案为：. 10．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）在中，已知角所对的边分别为，若，则 . 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】根据正余弦定理边角互化即可求解. 【详解】由可得， 进而可得， 所以， 由于，故， 故答案为： 11．（24-25高三上·上海·期中）下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：，，则两点间距离为 cm.（精确到1cm） 【答案】14 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】延长交于点，由正弦定理得到，求出，在中，利用余弦定理求出，得到答案. 【详解】如图，延长交于点，因为，所以， 在中，由正弦定理得，， ， 由题意得， 在中，由余弦定理得， ， 故两点之间的距离为. 故答案为：14. 12．（24-25高三上·上海·开学考试）已知三角形的面积为，，，则 . 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】由已知，可得，由余弦定理可得，再由，可得，进而得，即可求得. 【详解】因为，所以， 则， 则， 则， 又，所以， 由正弦定理得，则， 因为三角形的面积为，， 又， 则， 则， 解得，或， 当时，则， 所以， 当时，则， 所以， 即，或. 故答案为：或. 13．（23-24高一下·上海闵行·期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本（均值）不等式的应用 【分析】由题知，底边上的高，又，可得，根据余弦定理和均值不等式得到，则计算可得答案. 【详解】 设中，定点到底边的距离为h， 已知，，，， 则 又， 则， 即， 在中，由余弦定理： ， 当且仅当时，等号成立， 故，而， 所以，则， 所以的最小值为. 故答案为：. 14．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，，则的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】由诱导公式及正弦定理化简后，由正弦函数的性质可得解. 【详解】由诱导公式可得，由正弦定理可得， 所以， 由，可得，即， 因为, 所以或（舍去）， 故三角形为等腰三角形. 故答案为：等腰三角形 三、解答题 15．（2024·上海杨浦·一模）已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）结合题设及余弦定理可得，进而结合三角形面积公式求解即可； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，进而结合平方关系求解即可. 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得，即， 所以，即， 所以的面积为. （2）由，由正弦定理得， 可得， 则， 因为，所以， 则，又， 所以. 16．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】(1) (2)2小时 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题、正、余弦定理的其他应用 【分析】（1）在中利用正弦定理，求出； （2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间． 【详解】（1）由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. （2）在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 17．（2024高一下·上海·专题练习）南海作为我国不可分割的蓝色领土，维护南海主权权益是我国必须坚持的基本立场，如图，南海某岛的海岸线为一段圆弧，其对应的圆心角．该岛为打击域外船只的骚扰，在海岸线外侧30海里内的海域对不明船只进行识别查证．在圆弧的两端点，分别建有监测站，已知两监测站的直线距离为120海里． (1)求海域的面积； (2)现海面上点处有一艘不明船只，在监测站测得不明船只距离点60海里处，在监测站测得不明船只距离点海里处，试判断该不明船只是否进入海域？并说明理由． 【答案】(1) (2)未进入海域，理由见解析 【知识点】扇形面积的有关计算、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据题意可得，，然后利用扇形的面积公式可求得结果； （2）根据题意结合余弦定理可求得，再利用余弦定理求出，与150比较可得结论. 【详解】（1）连接， ∵，，， ，， ， ； （2）由题意知，，， ， ∵， ， ∴， ， ， ， 则该船只未进入海域． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 第6章 解三角形 （3个考点梳理+8题型解读+提升训练） 清单01 正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ④，，（可实现边到角的转化） ⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化） 清单02 三角形面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 清单03 余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 【考点题型一】解三角形（） 【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，已知，，，求角的正弦值． 【变式1-1】.（23-24高一下·上海浦东新·期中）在中，若，，，则C的值为 . 【变式1-2】.（23-24高三下·上海·阶段练习）在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，，，则 . 【变式1-3】.（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，．求B、C及c． 【变式1-4】.（23-24高一下·上海·假期作业）在中，若，求的值． 【考点题型二】判断三角形的形状（） 【例2】（24-25高一·上海·随堂练习）下列命题：①正弦定理适用于任意三角形；②在中，，则是直角三角形；③在中，若，则是钝角三角形；④在中，若，则是钝角三角形，其中正确的序号是 ． 【变式2-1】.（23-24高一上·上海·期末）对于，角A、B、C的对边分别为a、b、c，有如下判断：①若，则为等腰三角形；②若，则；③若，，，则符合条件的有两个：④若，则是钝角三角形．其中正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】.（23-24高二上·上海松江·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，则为（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式2-3】.（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，已知，判断的形状． 【考点题型三】边角互化的应用（） 【例3】（2024高一·上海·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且，求角. 【变式3-1】.（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，，则 . 【变式3-2】.（23-24高一下·上海·假期作业）在中，，则这个三角形一定是 三角形 【变式3-3】.（23-24高一下·上海·假期作业）在中，角，，所对的边分别是，，，且，则 【变式3-4】.（2023·上海嘉定·三模）在中，已知，则角的大小为 . 【考点题型四】三角形周长（定值）（） 【例4】（2023·上海松江·一模）在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【变式4-1】.（23-24高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【变式4-2】.（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知在中，分别为内角所对的边，且满足，． (1)若，求的面积； (2)若，求的周长． 【变式4-3】.（22-23高一下·上海普陀·期末）在中，已知． (1)求角的大小； (2)设角、、的对边分别为、、．若，且边上的高为，求的周长． 【变式4-4】.（2025·河南安阳·一模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，点到直线的距离为，求的周长. 【考点题型五】三角形面积（定值）（） 【例5】（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期及函数在区间上的最大值； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，，求面积的大小. 【变式5-1】.（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且，． (1)若的面积为，求a、b的值； (2)若，求的面积． 【变式5-2】.（24-25高一上·上海·单元测试）在中，内角、、的对边分别为、、.已知，. (1)求的大小； (2)若，求的面积. 【变式5-3】.（23-24高一下·上海·阶段练习）设分别是的三个内角所对的边，且， (1)求； (2)时，求的面积． 【变式5-4】.（24-25高一下·上海松江·阶段练习）如图，我国南海某处的一个海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里．为钝角，且． (1)求小岛A与小岛D之间的距离； (2)已知与互补，求四个小岛所形成的四边形的面积． 【考点题型六】三角形周长(边长）（最值+范围）问题（） 【例6】（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）锐角的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若，求周长的取值范围. 【变式6-1】.（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为 ． 【变式6-2】.（2025高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，为锐角三角形，，则周长的取值范围是 ． 【变式6-3】.（22-23高二下·上海宝山·开学考试）在中，有，其中分别为角的对边. (1)求角的大小； (2)设点是的中点，若，求的取值范围. 【变式6-4】.（2025·黑龙江·二模）记中，内角所对的边分别为.已知. (1)求； (2)若，求的最大值. 【考点题型七】三角形面积（最值+范围）（） 【例7】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）若锐角的内角、、的对边分别为、、，且，，则面积的取值范围为 . 【变式7-1】.（23-24高一下·上海金山·阶段练习）在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为 【变式7-2】.（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知函数． (1)求的最小正周期和单调增区间； (2)在中，角、、的对边分别为、、．若，，求的面积的最大值． 【变式7-3】.（23-24高一下·上海普陀·期末）已知函数． (1)求函数在区间上的严格减区间； (2)在中，所对应的边为，且，求面积的最大． 【考点题型八】正余弦定理的实际应用（） 【例8】（24-25高一上·上海·课后作业）甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近.如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向何方向航行？（注：） 【变式8-1】.（2024·上海静安·一模）如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 . 【变式8-2】.（24-25高一上·上海·课后作业）一只蚂蚁沿东北方向爬行x后，再向右转105°爬行20，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么 . 【变式8-3】.（24-25高一上·上海·随堂练习）一船以的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东方向，1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东方向，则灯塔S与B之间的距离为 . 【变式8-4】.（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处. (1)求此时该外国船只与D岛的距离； (2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值.（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时） 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一·上海·课堂例题）在中，“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 2．（23-24高一下·安徽宿州·期中）在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定 二、填空题 3．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）如图，与存在对顶角，且．则下列说法：①O是中点；②；③．正确的序号是 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）如图，要在A和D两地之间修建一条笔直的隧道．现从B地和C地测量得：，，，．若B、C的直线距离为5.8公里，则隧道长为 公里．（结果精确到0.1公里） 5．（24-25高三上·上海·阶段练习）某数学建模小组模拟"月距法"测量经度的一个步骤.如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表"月球"与"轩辕十四"（恒星名）.组员在地面处测得轩䢂十四的仰角，随后向着两"天体"方向前进4米至处，测得两"天体"的仰角分别为、.若"月球"距离地衣的高度为3米，则"轩辕十四"到"月球"的距离约为 . 6．（24-25高三下·上海·阶段练习）若的内角满足，则的最大值是 ． 7．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为 ． 8．（2025·上海·模拟预测）在中，若，，，则的长为 . 9．（24-25高二上·上海·期末）的内角，，的对边分别为，，，，，， 则等于 . 10．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）在中，已知角所对的边分别为，若，则 . 11．（24-25高三上·上海·期中）下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：，，则两点间距离为 cm.（精确到1cm） 12．（24-25高三上·上海·开学考试）已知三角形的面积为，，，则 . 13．（23-24高一下·上海闵行·期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 14．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，，则的形状是 ． 三、解答题 15．（2024·上海杨浦·一模）已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 16．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 17．（2024高一下·上海·专题练习）南海作为我国不可分割的蓝色领土，维护南海主权权益是我国必须坚持的基本立场，如图，南海某岛的海岸线为一段圆弧，其对应的圆心角．该岛为打击域外船只的骚扰，在海岸线外侧30海里内的海域对不明船只进行识别查证．在圆弧的两端点，分别建有监测站，已知两监测站的直线距离为120海里． (1)求海域的面积； (2)现海面上点处有一艘不明船只，在监测站测得不明船只距离点60海里处，在监测站测得不明船只距离点海里处，试判断该不明船只是否进入海域？并说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$