专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型 猪蹄模型与锯齿模型是初中几何平行线拐点问题的核心基础模型，二者本质都是利用 “过拐点作平行线” 转化内错角，快速推导角度关系，锯齿模型可看作猪蹄模型的多拐点进阶形态。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，帮助快速掌握并解题。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.猪蹄模型（M型） 4 模型2.锯齿模型 7 10 猪蹄模型与锯齿模型名称均源于生活观察，因图形类似猪蹄的开口形状而得名，是平行线拐点模型中最基础的形态。在猪蹄模型基础上增加多个拐点，形成左右交替的锯齿状结构。锯齿模型是猪蹄模型的扩展，两者均基于“见拐点作平行线”的通用解法。 （24-25七年级下·山东青岛·期中）【提出问题】（1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中，则与、度数之间有何等量关系？请说明你的理由． 【类比探究】（2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中，则、、、、的度数之间的等量关系是________． 【综合应用】（3）如图3，直线，，，，，则____． （4）如图4，直线，点、分别是上两点，点在之间，连接．点是下方一点，平分平分，已知，则______． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1），理由如下：如图1中，作， ∵，，∴，∴，， ∴，即． （2）如图2中，作，，，∵，∴， ∴，，，， ∴，即． 故答案为：． （3）如图3中，作，，， ∵，，， ∴，∴， ∵，∴，∴，， ∵，，∴，则， ∴．故答案为：； （4）如图，过点作 ∴即，∵，即 ∵平分平分，∴∴ ∵，∴∴∴ 由（1）可得∴ 故答案为：． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B； ②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN； 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2； 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.。 证明：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 模型1.猪蹄模型（M型） 例1（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，将一块含有的直角三角板的顶点A、B分别落在直线m、n上，．若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和和平行线的判定和性质． 根据三角形内角和求出，过C作，求出，根据平行线的性质得出，，可得，根据，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，过C作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 例2（25-26七年级下·全国·阶段练习）如图，已知，若，，，分别平分，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】利用平行线的性质（内错角相等）和角平分线的定义来求解．过点作，结合可得；再根据角平分线的定义求出和的度数，最后利用平行线的性质得到、，进而通过角的和求出． 【详解】解：过点作． ∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∵平分，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了知识点平行线的性质与角平分线的定义，解题关键是通过作辅助线构造平行线，将角进行转化，从而利用平行线的性质建立角之间的关系． 例3（24-25七年级下·广东惠州·期末）已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．过G点作，过E点作．如图设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解． 【详解】解：如图，过G点作，过E点作． ， ， 设，，则，，． ∵平分， ， ， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 例4（25-26七年级下·全国·周测）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图①，，点，分别在直线，上，点在直线，之间． (1)若，，求的度数． (2)如图②，已知直线，为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，根据平行线公理推论得到，再根据平行线的性质得到，最后根据角度的和差关系、等量代换即可求解； （2）过点作，根据平行线的性质可得，，则，代入即可解答． 【详解】（1）解：过点作，如图①， 则． ， ， ． （2）解：过点作，如图②，则． ， ， ． ，， ，， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 例5（25-26八年级上·山西晋中·期末）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，根据平行线的性质，进行推导即可； （2）结合（1）中的结论以及角平分线的定义，进行求解即可； （3）分点在直线的下方和上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）过点作， 如图1： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2： ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点在下方时，如图： 则，， ∵平分平分， ∴， ∴； 当点在上方时，如图： 作，则， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 综上：或． 模型2.锯齿模型 例1（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，，分别平分和，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质求角度，角平分线的计算，正确构造平行线是解题的关键． 延长交射线于点，过点分别作，则，那么，由角平分线得到，，则，再由得到内错角相等求解即可． 【详解】解：如图，延长交射线于点，过点分别作， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴ ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 例2（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）已知直线，E为两直线间一定点，，若点F为平面内一动点，且满足，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则 . 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质、角平线的定义．根据题意可分两种情况进行讨论，一种是点F在下方，一种是点F在上方，先作平行线，设出来角度，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义可得到结果． 【详解】解：当点F在下方时， 过点F作，过点E作，如图1所示： 设， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当点F在上方时，过点E作，如图2所示： 设， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上所示：的值为或， 故答案为：或． 例3（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 【答案】/88度 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解； 【详解】过点、、分别作， ∵ ， ， 平分，平分 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 例4（2026七年级下·全国·专题练习）根据图象完成题目：          (1)如图①，，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O，则，，的数量关系是__________________． (2)如图②，，则图中，，，，…，，之间的数量关系是______________________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图①，过点作，结合，得到，推出，，即可得到三个角之间的关系； （2）如图②，取有限个角，并过点作，则．过点作，则，．由（1）的结论得到，于是得到图中，，，，…，，之间的数量关系. 【详解】（1）解：如图①，过点作． ∵， ∴， ∴，， ∴， 即． （2）解：如图②，取有限个角，并过点作，则． 过点作，则，． ∵， ∴， ∴， ∴， 由此推得． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定，以及由特殊情况得到一般规律． 例5（25-26七年级上·云南红河·期中）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 【答案】(1)①；②；③；④内错角相等，两直线平行 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的规律应用，解题的关键是通过作辅助线转化角的关系，利用平行线性质推导，再根据角平分线的递推规律求解． （1）利用平行公理补全推理，通过角的等量代换得到内错角相等，从而判定平行； （2）作辅助线分析角的数量关系； （3）先根据（2）的结论得到初始角的关系，再结合角平分线的定义，依次推导每次操作后角的表达式，归纳出第次操作后角与原角的数量关系，进而递推得到与的关系． 【详解】（1）解：分别过点，作， 因为，所以 由两直线平行，内错角相等，可知，， 由题知，所以 则，即 由内错角相等，两直线平行，可得 （2）解： 理由：过点作（如图）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ， ． （3）解：由（2）的结论可知：． 第一次操作：平分，平分， 则，， 根据（2）的结论，． 第二次操作：平分，平分， 则，， 同理，． 以此类推，第次操作后，． 已知，代入得， 解得． 答：的大小为． 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点．若，分别平分，，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过作平行线，利用平行线的性质将角进行转化，结合角平分线的定义，推导出与的数量关系． 【详解】解:如图，过点作，过点作． ∵ ， ∴， ∴，． ∵ ，分别平分，， ∴，，， ∴． ∵ ， ∴， ∴． ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，解题关键是通过作平行线将角进行转化，结合角平分线的定义建立角之间的数量关系． 2．（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图是某建筑工程施工云梯的工作示意图，其中．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，合理做出辅助线是解题的关键． 过点作，过点作，利用平行线的性质进行角的等量代换求解即可． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级下·上海闵行·月考）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 【答案】（1），理由见解析（2）（3）或或 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解． （1）过点作，根据平行线定理及性质得出，，再根据角的和差即可得出答案； （2）设，则，设，则， 由（1）知，，，可列出，再代入化简即可得出答案； （3）将直线将直线的点M平移与直线的N点重合，根据运动的角度为，结合题意将角度转化为、、角度差，结合题意列出对应的角度和差关系求解即可得出答案． 【详解】解：（1）过点作， ， ， ，， ， 即； （2）如图， 设，则，设，则， 由（1）知，， 同理可得， ， ， ， 由，得， 由，得， 将，代入， 可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，， 则， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， ， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 综上所述，或或． 4．（24-25七年级下·河南周口·期中）【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．    （1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：； 【灵活运用】 （2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）． 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）过作，则，由平行线的性质可得、，再根据角的和差以及等量代换即可解答； （2）过M作，过N作，则，得到，，，由可得，计算得到； （3）作，，，由推出，即，由，推出，据此即可解答． 【详解】（1）证明：如图（1）过作，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： 如图（2）：过M作，过N作，    ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴； （3）解：． 作，，，    ∵， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即． 5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： ①如图②，，线段与线段相交于点，，，平分交直线于点，求的度数． ②如图③，，线段与线段相交于点，，，过点作交直线于点，平分，平分，直接写出的度数． 【答案】(1)，见解析． (2)①，②． 【分析】（1）过E作ETAB，由ABCD，得ETABCD，即有∠B=∠BET，∠D=∠DET，即可得∠BED=∠B+∠D； （2）①同（1）方法可知：∠AEC=∠BAD+∠BCD，即知∠AEC=116°=∠BED，根据EF平分∠BED，即得答案； ②延长DH交AG于K，由DGCB，∠BCD=80°，得∠CDG=100°，而DH平分∠CDG，即得∠CDH=∠CDG=50°，又ABCD，可得∠AKD=130°，根据∠BAD=36°，AH平分∠BAD，得∠KAH=∠BAD=18°，即可得∠AHD=148°． 【详解】（1），理由如下： 如图1：过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）①同（1）方法可知：， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ②延长DH交AG于K，如图3： ∵DGCB， ∴∠BCD+∠CDG=180°， ∵∠BCD=80°， ∴∠CDG=100°， ∵DH平分∠CDG， ∴∠CDH=∠CDG=50°， ∵ABCD， ∴∠CDH+∠AKD=180°， ∴∠AKD=130°， ∵∠BAD=36°，AH平分∠BAD， ∴∠KAH=∠BAD=18°， ∴∠AHK=180°-∠KAH-∠AKH=32°， ∴∠AHD=180°-∠AHK=148°， ∴ 故答案为：148． 【点睛】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理，并能熟练应用． 6．（24-25七年级上·山东青岛·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 【答案】（1），见解析， （2）①不成立，新的结论为   ②不成立，结论为:  （3） 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键. 过点作利用两直线平行内错角相等得到，根据 得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； ①过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； ②过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； （）过点作，点作，得到，，，然后根据等量代换即可． 【详解】（1），理由如下： 过点作，    ， ， ， ， ， ； （2）①不成立，新的结论为 理由为： 过作，   ， ， ， ， ， ； ②不成立，如图③所示， 结论为：； 过作， ， ， ， ， ， ；    （3）， 过点作，点作， 又∵， ∴， ∴，，， 即， ∴．    7．（24-25七年级上·河南南阳·期末）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明∶老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图，，E为之间一点，连接得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点E作 则 ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图所示，过点E作，过点F作， 则，由平行线的性质得到，进而推出，由此即可得到答案； （2）如图所示，过点P作，则，由平行线的性质得到，，推出，再由即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 8．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型—“猪蹄模型”． 已知：如图，， 为 ， 之间一点，连接 ， 得到 ． 求证：． 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点 作， ， ，， ， ． ， （ ） （1）请你补全推理过程． （2）利用上面“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题． 如图，若，，求 是多少? 【答案】（1），EF//CD，等量代换；（2）. 【分析】（1）根据平行线的性质，两直线平行内错角相等可得,根据平行线的性质可得EF//CD，再根据平行线的性质可得，由等量代换可得； （2）由EM∥AB，FN∥EM，FN∥CD分别得∠1=∠B，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，由角的和差计算∠B+∠C+∠F的度数为240°. 【详解】（1）解： 过点E作EF//AB， （两直线平行，内错角相等）， AB//CD，EF//AB， EF//CD（如果有两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线这互相平行）． ． ， （等量代换）． 故答案为：，EF//CD，等量代换. （2）过点E、F分别作EM∥AB，FN∥AB，如图2所示： ∵EM∥AB， ∴∠1=∠B， 又∵FN∥AB， ∴FN∥EM， ∴∠2=∠3， 又∵AB∥CD， ∴FN∥CD， ∴∠4+∠C=180°， 又∵∠BEF=∠1+∠2，∠EFC=∠3+∠4，∠BEF=60° ， ∴∠B+∠EFC+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C =（∠1+∠2）+（∠4+∠C） =60°+180° =240°； 【点睛】本题综合考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，角平分线的定义，等量代换等相关知识，解决本题的关键是要掌握平行线的判定与性质，难点作辅助线构建平行线． 9．（24-25七年级下·山东德州·期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，为、之间一点，连接，得到． 求证：， 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点作， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图2，若，，求的度数； (2)灵活应用：如图3，一条河流的两岸当小船行驶到河中点时，与两岸码头B、D所形成的夹角为（即），当小船行驶到河中点时，恰好满足，，请你直接写出此时点与码头B、D所形成的夹角＝_________． 【答案】(1)240° (2)32° 【分析】（1）过E点作，过F点作，易得，，，则有∠B=∠BEN，∠NEF=∠EFM，∠C+∠CFM=180°，根据∠BEN+∠NEF=∠BEF，∠EFM+∠CFM=∠EFC，∠BEF=60°，即有∠B+∠EFC+∠C=(∠B+∠EFM)+(∠CFM+∠C)=∠BEF+180°=240°； （2）根据题目的证明方法可得∠F=∠ABF+∠CDF，∠E=∠ABE+∠CDE，由∠ABF=∠EBF，∠EDF=∠CDF，可得∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，即有∠F=∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=，问题得解． 【详解】（1）过E点作，过F点作，如图， ∵，，， ∴，，， ∴∠B=∠BEN，∠NEF=∠EFM，∠C+∠CFM=180°， ∵∠BEN+∠NEF=∠BEF，∠EFM+∠CFM=∠EFC，∠BEF=60°， ∴∠B+∠EFC+∠C=(∠B+∠EFM)+(∠CFM+∠C)=∠BEF+180°=240°， 故答案为：240°； （2）根据题目中“猪蹄模型”的证明方法，同理可以证明：∠F=∠ABF+∠CDF，∠E=∠ABE+∠CDE， ∵∠E=64°， ∴∠ABE+∠CDE=64°， ∵∠ABF=∠EBF，∠EDF=∠CDF， ∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE， ∵∠F=∠ABF+∠CDF， ∴∠F=∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=， 故答案为：32°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补是解答本题的关键． 10．（24-25七年级下·新疆哈密·期中）【引入】在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图1所示，，点在直线与之间，连接、，嘉琪想到了过点作，证明：． 【思考】（1）当点在如图2所示的位置时，其他条件不变．写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 【应用】（2）如图3，延长线段交直线于点，已知，，求的度数． 【提升】（3）点、、在直线与之间，连接、、和，其他条件不变，如图4．若，则______．（直接写出答案） 【答案】（1），理由见解析（2）（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）过点作，得到， 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ， 即； （2）由（1）可知：， ， ， ； （3）如图，过点作，则， 由（1）的结论得：， ， ， ， ， ， ． 11．（24-25七年级下·广东佛山·期中）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”． (1)导入：如图1，已知，如果，，则　　； (2)发现：如图2，直线，请判断与，之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：如图3，已知，P在射线上运动（点P与点A、B、O三点不重合），，，请用含、的代数式表示，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）首先根据平行线的性质求出，，然后求和即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得到，，即可得到与，之间的数量关系； （3）根据题意分点P在线段上，点P在线段上和点P在射线上三种情况讨论，求出，，然后根据角的和差求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，过点P作， ∵， ∴，， ∴； （3）解：如图所示，当点P在线段上时，作交于点Q， ∵ ∴，， ∴； 如图所示，当点P在线段上时，作交于点Q， ∵， ∴，， ∴； 如图所示，当点P在射线上时，作交于点Q， ∵， ∴，， ∴； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 12．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”． (1)导入：如图①，已知，如果，，那么 ； (2)发现：如图②，已知，请判断与，之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：(i)如图③，已知，，点、分别在、上，，如果 ，那么 ； 如图④，已知，点、分别在、上， 、分别平分和． 如果，那么 ； 如图⑤，已知，点、分别在、上， 、分别平分和，且． 如果，那么 ．(用含的代数式表示) 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)(i)； (ii)； (iii) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，进而根据，即可求解； （2）过点作，根据（1）的方法即可求解； （3）（）由（2）可得， ，得出，根据，即可求解； （）由“猪蹄模型”，可得，，根据角平分线的性质得出，继而根据，即可求解； （）如图所示，延长交于点，设，，根据平行线的性质得出，，根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． （2）, 如图所示，过点作， ， ， ， ， ， ； （3）解：（）由（2）可得， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （）解：如图所示，∵ 由“猪蹄模型”，可得，； ∵、分别平分和 ∴ ∴ ∴， ∴, 故答案为：． （）解：如图所示，延长交于点， 设， ∵、分别平分和， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定求角度，掌握平行线的性质是解题的关键． 13．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，掌握知识点是解题的关键． （1）过点P作，则，可知，即可求出的度数； （2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系； （3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可； ②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图1，过点P作， 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图1，过点P作， ， ； （3）解：①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②．理由如下： 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得， ， ． 14．（25-26七年级上·四川乐山·期末）综合探究在课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图，，点、分别为直线、上的点，点为平行线间一点，猜想、与之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程： 解：，理由如下： 过点作， ∴，（___________） ∵， ∴，（___________） ∴， ∴（___________） ∴． (2)方法运用：如图，，猜想、与之间的关系，并说明理由： (3)深化拓展：如图，、的角平分线相交于点， ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；等量代换 (2)猜想，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质与判定条件结合已给推理过程求解即可； （2）同理可得，由平角的定义可得，则； （3）①根据（2）的结论得到，再由角平分线的定义和角之间的关系得到，，则；②仿照①求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 过点作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴， ∴（等量代换） ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；等量代换． （2）解：猜想，理由如下： 同理可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：①同理可得， ∵， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ②如图 ∵，， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 15．（25-26七年级上·江苏·假期作业）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“系数补角”是 ； 【初步认识】 （2）在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数补角”，求的大小． 【问题解决】 （3）连接．点、为直线与直线间的动点（点、不在直线上），， ．是的“系数补角”，当点、在直线异侧时，如图2，的度数为 ；若点、在线段同侧，其他条件不变，在备用图中画出对应的图形，此时的度数为 ． 【答案】（1）（2）（3）， 【分析】本题考查了平行线的性质、新定义“系数补角”的理解与应用，利用平行线转化角的关系、结合新定义建立方程是解题的关键． （1）设的“系数补角”是，由“系数补角”定义列方程即可得出； （2）过作，利用平行线的内错角相等得出，设，，则①，由“系数补角”定义得②，联立方程求解即可； （3）设，，则，，根据、的位置（异侧 / 同侧），结合平行线性质，用、表示和，代入“系数补角”的关系，求解，即可得的度数． 【详解】解：（1）设的“系数补角”是， ∵， ∴，即， 解得， ∴的“系数补角”是， 故答案为：； （2）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，， ∴①， 由条件可知，即②， 联立①②得，， 解得， ∴； （3）由“系数补角”定义可知， 设，，则，， 当点、在直线异侧时， 此时，， 同（2）中方法可得，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点、在线段同侧时， 同理可知∠，， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：，． 16．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 【答案】(1) (2)①；②当与三角形的一边垂直时，或24或30 【分析】本题考查平行线的性质与判定，对顶角相等，垂直的定义； （1）过点作，得到，结合，得到，则，即可得到； （2）①由（1）得，得到，再由角平分线得到，过点作，可以得到； ②当时，，，，，，，再分，，三种情况讨论，分别画出图形，结合图形列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴， 整理得， ∵的平分线和的平分线交于点， ∴，， ∴， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ②当时，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当时，如图，此时，， ∴， 解得； 当时，交于点，如图，此时，， ∵， ∴， 解得； 当时，交直线于点，如图，此时，， 由（1）同理可得， ∵，， ∴， 解得； 综上所述，当与三角形的一边垂直时，或24或30． 17．（25-26八年级上·山东青岛·期末）（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的计算，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质与判定可求解； （2）过P点作，则，可得，进而可得，即可求解； （3）过点G作的平行线，利用平行线的判定与性质、角平分线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1，过点作． ， ， ∵， ，． ， 故答案为：90； （2）．理由如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，， 又的平分线和的平分线交于点G，， ，， 由（2）得，， ∴， ， ． 故答案为：． 18．（25-26七年级上·四川攀枝花·期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图1，已知 ，，，则 ； (2)如图2，已知，平分，平分，、所在直线交于点E，若，，求 的度数； (3)将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若，，请你求出的度数（用含α，β的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，平行公理的推论，解决问题的关键是正确的作出辅助线． （1）过点E作，根据平行线的性质，得到，根据平行线的传递性，可得，从而可得，即得答案； （2）过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案； （3）过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点E作， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）解：过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）解：过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 19．（25-26七年级上·山东济南·月考）如图，已知直线，，分别是，上的点，点在直线，内部，且，． (1)求的度数． (2)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．当时，试探究与的位置关系，并说明理由． (3)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．射线绕点同时以每秒的速度顺时针旋转得到射线．当时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，解决本题的关键是根据平行线的性质找角之间的关系． (1)过点作，根据平行线的性质可知求出结果； (2)根据旋转的速度和时间可知，根据平行线的性质可得，根据同位角相等，两直线平行可知； (3)当时，要分射线绕点旋转小于和大于两种情况求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ，， ； （2）， 理由如下， 射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，， ， ， ， ， ， 又， ， ； （3）如图所示，当射线绕点旋转小于时， ，，，， ，， ， ， 又， ， ， 解得：， 如图所示，当射线绕点旋转大于时， ，，，， ，， ，， ∴， 又， ， ， 解得：， 综上所述，的值为或． 20．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．证明：过点B作， ∴___________（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（   ）， ∴___________， ∵， ∴． 【类比探究】 （2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线、之间的点，连接、、、，平分，平分，设，，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、，平分，平分，，已知，试探究的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行线的性质和判定填空作答即可． （2）因为平分，平分，所以，，根据（1）的，，进行角的等量代换，即可作答． （3）先根据平分，平分，所以，，因为，得，再结合以及（1）的结论进行角的等量代换，即可作答． 【解答】（1）证明：过点B作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，平行于同一直线的两直线平行，； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴由（1）可得，， ∴； ∴的度数为． （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴由（1）可得． ∴ ． ∴， ∴． 21．（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图1，已知，E，F分别是上的点，P为之间的一点，且始终在直线的左侧，连接． (1)求证：． (2)如图2，在内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧．若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过P作，利用平行线的性质，等量代换证明即可． （2）设，，则，，，根据已知，结合四边形的内角和，列式解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，三角形内角和定理，四边形内角和，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：设，，则，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 22．（25-26八年级上·全国·期末）综合探究 (1)【基本感知】如图①，，，，求的度数．小乐的解题方法如下，请补全下列过程． 解：如图①，过点作， 则 ∵ (已知)， ∴______  (平行于同一直线的两条直线平行)． 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换 ． (2)【深入探究】如图②，，，，的平分线和的平分线相交于点，求的度数． (3)【拓展应用】如图③，已知直线，点，在直线上点在点的右侧，点，在直线上点在点的左侧，连接，，分别作和的平分线，两条角平分线所在的直线相交于点．设，β（β），请直接用含，的式子表示的度数． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等，， (2)的度数为 (3)的度数为或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义．熟练掌握“作平行线，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补”的辅助线方法，以及分类讨论点的位置情况，是解题的关键． （1）通过作平行线，利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合已知角度计算． （2）先利用角平分线得到半角，再作平行线，结合平行线的性质（内错角相等），通过角度差计算． （3）分点的位置情况，作平行线，利用平行线的性质和角平分线的定义，推导与、β的关系． 【详解】（1）解：如图①，过点作， 则（两直线平行，内错角相等） ∵已知， ∴平行于同一直线的两条直线平行． 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换． 故答案为：两直线平行，内错角相等，，； （2）解：是的平分线，是的平分线， ， 如图，过点作 ， ， 的度数为 （3）解：的度数为或或或 分以下情况： ①如图，当点在上方时，直线交于点，过点作，则 ， ，，平分，平分， ， 当点在下方时，同理可得 ②如图，当点在和之间且点在右侧时，过点作，则 ， ，，平分，平分， ， 当点在和之间且点在左侧时，同理可得 综上，的度数为或或或 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型 猪蹄模型与锯齿模型是初中几何平行线拐点问题的核心基础模型，二者本质都是利用 “过拐点作平行线” 转化内错角，快速推导角度关系，锯齿模型可看作猪蹄模型的多拐点进阶形态。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，帮助快速掌握并解题。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.猪蹄模型（M型） 4 模型2.锯齿模型 7 10 猪蹄模型与锯齿模型名称均源于生活观察，因图形类似猪蹄的开口形状而得名，是平行线拐点模型中最基础的形态。在猪蹄模型基础上增加多个拐点，形成左右交替的锯齿状结构。锯齿模型是猪蹄模型的扩展，两者均基于“见拐点作平行线”的通用解法。 （24-25七年级下·山东青岛·期中）【提出问题】（1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中，则与、度数之间有何等量关系？请说明你的理由． 【类比探究】（2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中，则、、、、的度数之间的等量关系是________． 【综合应用】（3）如图3，直线，，，，，则____． （4）如图4，直线，点、分别是上两点，点在之间，连接．点是下方一点，平分平分，已知，则______． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B； ②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN； 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2； 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.。 证明：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 模型1.猪蹄模型（M型） 例1（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，将一块含有的直角三角板的顶点A、B分别落在直线m、n上，．若，则(   ) A． B． C． D． 例2（25-26七年级下·全国·阶段练习）如图，已知，若，，，分别平分，，则的度数为 ． 例3（24-25七年级下·广东惠州·期末）已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则 ． 例4（25-26七年级下·全国·周测）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图①，，点，分别在直线，上，点在直线，之间． (1)若，，求的度数． (2)如图②，已知直线，为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 例5（25-26八年级上·山西晋中·期末）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 模型2.锯齿模型 例1（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，，分别平分和，若，则的度数是 ． 例2（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）已知直线，E为两直线间一定点，，若点F为平面内一动点，且满足，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则 . 例3（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 例4（2026七年级下·全国·专题练习）根据图象完成题目：          (1)如图①，，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O，则，，的数量关系是__________________． (2)如图②，，则图中，，，，…，，之间的数量关系是______________________． 例5（25-26七年级上·云南红河·期中）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点．若，分别平分，，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图是某建筑工程施工云梯的工作示意图，其中．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海闵行·月考）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 4．（24-25七年级下·河南周口·期中）【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．    （1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：； 【灵活运用】 （2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： ①如图②，，线段与线段相交于点，，，平分交直线于点，求的度数． ②如图③，，线段与线段相交于点，，，过点作交直线于点，平分，平分，直接写出的度数． 6．（24-25七年级上·山东青岛·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 7．（24-25七年级上·河南南阳·期末）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明∶老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图，，E为之间一点，连接得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点E作 则 ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，，若，求的度数． 8．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型—“猪蹄模型”． 已知：如图，， 为 ， 之间一点，连接 ， 得到 ． 求证：． 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点 作， ， ，， ， ． ， （ ） （1）请你补全推理过程． （2）利用上面“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题． 如图，若，，求 是多少? 9．（24-25七年级下·山东德州·期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，为、之间一点，连接，得到． 求证：， 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点作， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图2，若，，求的度数； (2)灵活应用：如图3，一条河流的两岸当小船行驶到河中点时，与两岸码头B、D所形成的夹角为（即），当小船行驶到河中点时，恰好满足，，请你直接写出此时点与码头B、D所形成的夹角＝_________． 10．（24-25七年级下·新疆哈密·期中）【引入】在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图1所示，，点在直线与之间，连接、，嘉琪想到了过点作，证明：． 【思考】（1）当点在如图2所示的位置时，其他条件不变．写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 【应用】（2）如图3，延长线段交直线于点，已知，，求的度数． 【提升】（3）点、、在直线与之间，连接、、和，其他条件不变，如图4．若，则______．（直接写出答案） 11．（24-25七年级下·广东佛山·期中）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”． (1)导入：如图1，已知，如果，，则　　； (2)发现：如图2，直线，请判断与，之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：如图3，已知，P在射线上运动（点P与点A、B、O三点不重合），，，请用含、的代数式表示，并说明理由． 12．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”． (1)导入：如图①，已知，如果，，那么 ； (2)发现：如图②，已知，请判断与，之间的数量关系，并说明理由； (3)运用：(i)如图③，已知，，点、分别在、上，，如果 ，那么 ； 如图④，已知，点、分别在、上， 、分别平分和． 如果，那么 ； 如图⑤，已知，点、分别在、上， 、分别平分和，且． 如果，那么 ．(用含的代数式表示) 13．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 14．（25-26七年级上·四川乐山·期末）综合探究在课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图，，点、分别为直线、上的点，点为平行线间一点，猜想、与之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程： 解：，理由如下： 过点作， ∴，（___________） ∵， ∴，（___________） ∴， ∴（___________） ∴． (2)方法运用：如图，，猜想、与之间的关系，并说明理由： (3)深化拓展：如图，、的角平分线相交于点， ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示） 15．（25-26七年级上·江苏·假期作业）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“系数补角”是 ； 【初步认识】 （2）在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数补角”，求的大小． 【问题解决】 （3）连接．点、为直线与直线间的动点（点、不在直线上），， ．是的“系数补角”，当点、在直线异侧时，如图2，的度数为 ；若点、在线段同侧，其他条件不变，在备用图中画出对应的图形，此时的度数为 ． 16．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 17．（25-26八年级上·山东青岛·期末）（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 18．（25-26七年级上·四川攀枝花·期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图1，已知 ，，，则 ； (2)如图2，已知，平分，平分，、所在直线交于点E，若，，求 的度数； (3)将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若，，请你求出的度数（用含α，β的式子表示）． 19．（25-26七年级上·山东济南·月考）如图，已知直线，，分别是，上的点，点在直线，内部，且，． (1)求的度数． (2)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．当时，试探究与的位置关系，并说明理由． (3)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．射线绕点同时以每秒的速度顺时针旋转得到射线．当时，请直接写出的值． 20．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．证明：过点B作， ∴___________（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（   ）， ∴___________， ∵， ∴． 【类比探究】 （2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线、之间的点，连接、、、，平分，平分，设，，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、，平分，平分，，已知，试探究的度数． 21．（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图1，已知，E，F分别是上的点，P为之间的一点，且始终在直线的左侧，连接． (1)求证：． (2)如图2，在内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧．若，，，求的度数． 22．（25-26八年级上·全国·期末）综合探究 (1)【基本感知】如图①，，，，求的度数．小乐的解题方法如下，请补全下列过程． 解：如图①，过点作， 则 ∵ (已知)， ∴______  (平行于同一直线的两条直线平行)． 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换 ． (2)【深入探究】如图②，，，，的平分线和的平分线相交于点，求的度数． (3)【拓展应用】如图③，已知直线，点，在直线上点在点的右侧，点，在直线上点在点的左侧，连接，，分别作和的平分线，两条角平分线所在的直线相交于点．设，β（β），请直接用含，的式子表示的度数． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $