整式的混合运算、以整式的乘除为背景的材料阅读类问题专项训练-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

整式的混合运算、以整式的乘除为背景的材料阅读类问题专项训练 整式的混合运算、以整式的乘除为背景的材料阅读类问题专项训练 考点目录 整式的混合运算 以整式的乘除为背景的材料阅读类问题 考点一 整式的混合运算 例1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 例2．（25-26八年级上·山西长治·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足 例3．（25-26八年级上·广东韶关·月考）先化简，再求值：，其中，． 变式1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算： (1)； (2)． 变式2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中． 变式3．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算：． 考点二 以整式的乘除为背景的材料阅读类问题 例1．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）阅读下列材料，利用完全平方公式将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求的最小值． 解：． 因为不论取何值，总是非负数，即 所以． 所以当时，有最小值，最小值是1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：______＝（______）2． (2)将变形为的形式，并求出的最小值． (3)如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为：如图所示的第二个长方形边长分别是5a、，面积为．试比较与的大小，并说明理由． 例2．（24-25七年级下·福建宁德·期中）阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； … 我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0． (1)请根据上述规律计算：________；________． (2)根据上述阅读材料，用含字母的等式表示这种速算规律：________． (3)请证明上述阅读材料中的结论． 例3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）【阅读材料】 对于任意实数x，都有． 当x分别取值1，2，3，4，…，n时，得到下列有一定规律的等式： 第1个等式   ； 第2个等式   ； 第3个等式   ； 第4个等式   ； …… 第n个等式   ； 把以上n个等式相加，并整理、化简， 得， 进一步化简，得． 【初步理解】 有一列数满足以下等式： ，…… （1）根据阅读材料、以上等式所包含的规律，解决问题： ①______； ②______；_____．（用含n的代数式表示） 【深化应用】 （2）结合阅读材料、等式，求的值． 例4．（24-25七年级下·福建三明·月考）阅读以下材料：利用整式的乘法知识，我们可以证明以下有趣的结论：“将两个有理数的平方和与另两个有理数的平方和相乘，得到的乘积仍然可以表示成两个有理数的平方和” 设为有理数，则 请你解决以下问题 (1)填空：（ ） (2)根据阅读材料，仿照这个过程将820写成两个正整数的平方和 变式1．（24-25八年级上·湖北襄阳·月考）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个 次 项式，各项系数和是 ； (2)写出的展开式： ；观察的展开式，各项系数和是 ； (3)利用材料中的规律计算：． 变式2．（24-25七年级下·广东揭阳·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 (2)比较的大小，并说明理由； (3)若，，，求a，b，c之间的等量关系． 变式3．（25-26九年级下·安徽安庆·月考）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中，，公比． 根据以上材料，解答下列问题： (1)等比数列3，9，27，…的公比为______，第5项是______； (2)【公式推导】如果一个数列是等比数列，且公比为，那么根据定义可得，，，，，所以，，，． 由此，请你填空完成等比数列的通项公式：______； (3)【拓广探究】等比数列的求和公式并不复杂，但是其推导过程-错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值所采用的方法： 设，① 则，② 得，． 【解决问题】请仿照小明的方法计算的值． 变式4．（24-25七年级下·广东深圳·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． (4)已知，化简 2 学科网（北京）股份有限公司 $整式的混合运算、以整式的乘除为背景的材料阅读类问题专项训练 整式的混合运算、以整式的乘除为背景的材料阅读类问题专项训练 考点目录 整式的混合运算 以整式的乘除为背景的材料阅读类问题 考点一 整式的混合运算 例1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，， ． 例2．（25-26八年级上·山西长治·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足 【答案】； 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式 例3．（25-26八年级上·广东韶关·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简为，值为 【详解】解： ， 当，时，原式． 变式1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ； 当时，原式． 变式3．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 考点二 以整式的乘除为背景的材料阅读类问题 例1．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）阅读下列材料，利用完全平方公式将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求的最小值． 解：． 因为不论取何值，总是非负数，即 所以． 所以当时，有最小值，最小值是1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：______＝（______）2． (2)将变形为的形式，并求出的最小值． (3)如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为：如图所示的第二个长方形边长分别是5a、，面积为．试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，最小值为－27 (3)，理由见解析 【详解】（1）解：． （2）解：， ∵不论取何值，总是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． （3）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵不论取何值，总是非负数，即， ∴， ∴． 例2．（24-25七年级下·福建宁德·期中）阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； … 我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0． (1)请根据上述规律计算：________；________． (2)根据上述阅读材料，用含字母的等式表示这种速算规律：________． (3)请证明上述阅读材料中的结论． 【答案】(1)5621，7224； (2)； (3)见解析． 【详解】（1）解：由上述规律可知，， ， 故答案为：5621，7224； （2）解：， 故答案为：； （3）证明：∵， ． 例3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）【阅读材料】 对于任意实数x，都有． 当x分别取值1，2，3，4，…，n时，得到下列有一定规律的等式： 第1个等式   ； 第2个等式   ； 第3个等式   ； 第4个等式   ； …… 第n个等式   ； 把以上n个等式相加，并整理、化简， 得， 进一步化简，得． 【初步理解】 有一列数满足以下等式： ，…… （1）根据阅读材料、以上等式所包含的规律，解决问题： ①______； ②______；_____．（用含n的代数式表示） 【深化应用】 （2）结合阅读材料、等式，求的值． 【答案】（1）①（或16）；②，；（2） 【详解】解：（1）①有一列数满足以下等式： ， ∴， ②由①归纳可得：； ∵， ， 把所有的等式相加可得： ； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴， 整理得：， ∴， ∴． 例4．（24-25七年级下·福建三明·月考）阅读以下材料：利用整式的乘法知识，我们可以证明以下有趣的结论：“将两个有理数的平方和与另两个有理数的平方和相乘，得到的乘积仍然可以表示成两个有理数的平方和” 设为有理数，则 请你解决以下问题 (1)填空：（ ） (2)根据阅读材料，仿照这个过程将820写成两个正整数的平方和 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）． 变式1．（24-25八年级上·湖北襄阳·月考）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个 次 项式，各项系数和是 ； (2)写出的展开式： ；观察的展开式，各项系数和是 ； (3)利用材料中的规律计算：． 【答案】(1)五；六；32 (2)；64 (3) 【详解】（1）解：由题意可得：， 故多项式的展开式是一个五次六项式， 各项系数和为：， 故答案为：五；六；32． （2）解：由题意可得：， 各项系数和为：， 故答案为：；64． （3）解：把，代入， 得：， ∴， ∴． 变式2．（24-25七年级下·广东揭阳·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 (2)比较的大小，并说明理由； (3)若，，，求a，b，c之间的等量关系． 【答案】(1)C (2)；理由见解析 (3) 【详解】（1）解：，，且， ， 上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）∵， ， ∴， 即． 故答案为：． 变式3．（25-26九年级下·安徽安庆·月考）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中，，公比． 根据以上材料，解答下列问题： (1)等比数列3，9，27，…的公比为______，第5项是______； (2)【公式推导】如果一个数列是等比数列，且公比为，那么根据定义可得，，，，，所以，，，． 由此，请你填空完成等比数列的通项公式：______； (3)【拓广探究】等比数列的求和公式并不复杂，但是其推导过程-错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值所采用的方法： 设，① 则，② 得，． 【解决问题】请仿照小明的方法计算的值． 【答案】(1)3；243 (2) (3) 【详解】（1）解：根据题意得：等比数列的公比为 3 ，第 5 项是； 故答案为： 3；243 ； （2）解：根据题意得：等比数列的通项公式：； 故答案为：． （3）解：设，① 则，② 得， ． 变式4．（24-25七年级下·广东深圳·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． (4)已知，化简 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：由题意得，第五个等式为； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ， 以此类推可知，； （3）解：由（2）可知， ． （4）解： ， 根据（ 2 ）的结论，， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $