专题1.7 整式的除法（2大考点+6大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题1.7 整式的除法 教学目标 1. 掌握单项式除以单项式的运算法则，能根据系数相除、同底数幂相除的规则进行计算。 2. 掌握多项式除以单项式的运算法则，能准确运用分配律将每一项分别相除再求和。 3. 理解整式除法与乘法的互逆关系，能进行简单的验算与化简，发展代数运算能力。 教学重难点 重点： 1. 单项式除以单项式的计算，正确完成系数与字母部分的运算。 2. 多项式除以单项式的运算法则应用，确保运算过程不遗漏项、符号准确。 难点： 1. 多项式除以单项式时，对每一项进行相除的完整性与准确性，避免漏项或运算错误。 2. 商式中字母系数的确定与指数运算，特别是在含有负号或多个字母时的综合处理。 知识点01 单项式除以单项式 单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 注意：首先确定结果的系数(即系数相除)，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑. 【即学即练】1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式除以单项式法则，单项式除以单项式法则：把系数、相同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式． （1）利用单项式除以单项式法则进行计算即可； （2）利用单项式除以单项式法则进行计算即可； 【详解】（1）解：. （2）解：. 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，145 【分析】本题考查的是整式的化简求值，根据平方差公式、积的乘方、单项式除以单项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可． 【详解】 ∵， ∴原式 ． 知识点02 多项式除以单项式 多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 即（a+b+c）÷m=a÷m+b÷m+c÷m 多项式除以单项式其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，另外还要特别注意符号. 多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号. 【即学即练】3．（25-26八年级上·新疆和田·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可； （）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可； （）先进行乘方运算，再进行括号内的加减运算，最后进行除法运算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 4．（25-26八年级上·山东德州·月考）先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的化简求值． （1）先处理多项式除法，根据多项式除以单项式的法则，用多项式的每一项分别除以单项式b，得到，然后处理完全平方公式并展开括号，合并同类项得到化简式子，最后代入求值部分即可； （2）先处理平方差公式，然后处理多项式除法后展开括号，合并同类项得到化简式子，最后代入求值部分即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当，时， 原式． （2）解：原式 ， 当，时， 原式． 题型01 单项式除以单项式 【典例1】（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 根据单项式除以单项式法则计算即可得； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了单项式除以单项式和积的乘方的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式的知识，进行作答，即可求解； （2）先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式的知识，进行作答，即可求解； （3）先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式的知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： 【变式2】（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算律、整式的乘除混合运算、单项式除以单项式、幂的乘方运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）根据乘除法的交换律分别计算与，然后将结果相乘即可； （2）根据单项式除以单项式法则计算，即常数与常数相除，相同字母指数相减即可解答； （3）先计算幂的乘方，然后按同底数幂除法法则计算即可； （4）根据整式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、单项式乘以单项式、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据单项式除以单项式法则计算即可得； （2）先计算括号内的单项式除以单项式，再计算单项式除以单项式即可得； （3）先计算积的乘方与幂的乘方、单项式乘以单项式，再计算单项式除以单项式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 题型02 多项式除以单项式 【典例2】（25-26八年级上·北京门头沟·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 运用法则将多项式的每一项分别除以单项式，再结合同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】解： 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除单项式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据整式多项式除单项式法则求解即可． 【详解】 解：原式 【变式2】（25-26八年级上·吉林·期末）计算: ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先利用平方差公式去小括号，然后计算括号内，最后计算整式的除法即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3】（25-26八年级上·四川广安·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟记运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除即可； （2）运用多项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， =， ． 题型03 含整式除法的整式四则混合运算 【典例3】（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算 ． 【答案】13m 【分析】本题考查了整式的混合运算，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算积的乘方，单项式除以单项式，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·广东东莞·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，解题关键是熟练运用整式的运算法则进行正确计算． 按照整式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）多项式除以单项式用多项式的每一项分别与单项式相除即可，根据法则计算即可； （2）先计算积的乘方，然后再利用多项式除以单项式的法则进行计算即可； （3）多项式除以单项式用多项式的每一项分别与单项式相除即可，根据法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式3】（25-26八年级上·天津·月考）计算 (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，单项式除以单项式，单项式乘单项式，多项式除以单项式的运算法则，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法运算法则进行计算，即可求解； （2）根据单项式除以单项式的运算法则进行计算，即可求解； （3）根据单项式乘单项式，单项式除以单项式的运算法则进行计算，即可求解； （4）根据多项式除以单项式的运算法则进行计算，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型04 整式的混合运算之化简求值 【典例4】（25-26八年级上·福建福州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【分析】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．根据完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式的运算法则化简式子，再代入的值即可求解． 【详解】解： ， 代入，原式． 【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再合并同类项，然后运用多项式除以单项式，得，最后把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式2】（25-26八年级上·河南南阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的运算——化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式等计算中括号内的、再利用多项式除以单项式化成最简，然后将的值代入化简后的式子即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 【变式3】（25-26八年级上·四川眉山·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的运算，涉及到乘法公式等知识，掌握相关知识并熟练使用，同时注意计算过程中需注意的事项，是本题的解题关键． 先使用完全平方公式和整式的乘法对小括号内的式子进行计算，然后合并同类项，再做除法即可化简完毕，最后将x、y的值代入即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 题型05 含整式除法的新定义型问题 【典例5】（24-25七年级下·山东青岛·期末）定义新运算：，． (1)计算： (2)求 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查负整数指数幂，整式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）利用定义的新运算列式，再利用负整数指数幂计算即可； （2）利用定义的新运算列式，再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， 原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·月考）定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为______； (2)若的代数式中不含的一次项，当，求的值； (3)若中的满足，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【分析】本题考查了新定义下整式的运算． （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 的代数式中不含的一次项， ，， ， ， 时，； （3）解：， ， ， ， ，， ，即， ． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）爱思考的方方同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义：对于三个多项式：，，（，，都是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据方方同学给出的定义，判断是不是平衡多项式？说明理由． (2)已知是平衡多项式，求平衡因子． 【答案】(1)不是平衡多项式 (2) 【分析】本题考查了整式混合运算，理解平衡多项式的定义，列出算式是解题关键． （1）根据平衡多项式定义，计算即可判断； （2）根据平衡多项式定义分三种情况分别计算即可． 【详解】（1）解： ， ∴由定义可知，不是平衡多项式 （2）解：∵是平衡多项式， 分三种情况： 当时， ∴， ∵是一个常数，即取值与无关， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵是一个常数，即取值与无关， ∴， ∴与，，都是非零常数相矛盾，不合题意舍去； 当时， ∴， ∵是一个常数，即取值与无关， ∴， ∴， ∴； 综上所述，平衡因子． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)化简：； (3)若，，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】题目主要考查新定义运算及整式的乘法运算，理解新定义运算及整式的乘法运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算，得出方程求解即可； （2）根据新定义运算求解计算即可； （3）根据新定义分别确定m，n，然后作差即可判断． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． （2） ， ． （3）． 理由：， ， ， ． 题型06 利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式 【典例6】（25-26八年级上·重庆·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 【答案】(1)，1 (2)能被整除，理由见解析 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照题干求解方法求解即可； （2）根据题干求解方法，得到余式为0可得结论； （3）根据题干求解方法和余式为0得到对应系数关系，，进而求得a、b值，代值求解即可． 【详解】（1）解：（1）的商式是，余式是1； 故答案为：，1； （2）解：能被整除，理由如下： （3）解：， 若多项式能被整除，如图， 所以，， 解得，， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)的商是 ，余式是 ． (2)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形B，另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长． 【答案】(1)， (2)长方形C的另一边长为 【分析】本题考查多项式除以多项式，根据题意找出计算的规则是解决此题的关键． （1）根据题目中给出的方法列竖式计算即可求解． （2）先根据题目中的条件算出长方形C的面积，再通过面积求长方形的另一边长． 【详解】（1）解：，用竖式计算如下， 的商是，余式是． （2）解：根据题意，可知长方形B的长为，宽为， 长方形B的面积为， 长方形C的面积为， 长方形C的另一边长为， 用竖式计算如下， 长方形C的另一边长为． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)计算： ． (2)计算，商式是 ，余式是 ． (3)已知是一个整式，，是常数，，，则的值是 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查了多项式除以多项式的计算方法、多项式的乘法运算以及多项式的系数比较． （1）多项式除法需按降幂排列被除式与除式， 缺项补零，用被除式最高次项除以除式最高次项，得商的第一项，乘以除式后从被除式中减去，得到第一次余式，用第一次余式最高次项除以除式最高次项，得商的第二项，乘以除式后减去，余式为，商式为两次项之和； （2）同样按照多项式除以多项式的计算方法，用被除式的最高次项除以除式的最高次项，得到商的第一项，用乘以除式，得到，将结果从被除式中减去，得到第一次余式，接着用第一次余式的最高次项除以除式的最高次项，得到商的第二项，再用乘以除式，从第一次余式中减去，得到第二次余式，此时余式的次数低于除式的次数，所以商式是，余式是； （3），且是一个整式，，设，为常数，把代入，可得，根据多项式相等的条件（对应项的系数相等）可得，，即可求得的值． 【详解】（1）解：用竖式进行计算： 故答案为：； （2）用竖式进行计算： 故商式是，余式是； （3），且是一个整式，， 设，为常数， 把代入， 根据多项式乘法法则， ， ， ，， ， 故的值是． 【变式3】（24-25七年级下·河北保定·期中）阅读材料 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算．可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴可以整除． 解决问题 (1)请在竖式的两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)用竖式计算求的余式和商； (3)若多项式，则______． 【答案】(1)， (2)余式是，商是7 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能用竖式计算多项式除以多项式． （1）用竖式计算即可得到答案； （2）用竖式计算即可得到答案； （3）由，得，用竖式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可得： 故答案为：，； （2）解：竖式如下： 即余式是，商是7； （3）解：∵， ∴， 竖式如下： ∴． 一、单选题 1．（2025七年级上·上海·专题练习）下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单项式除法法则，系数相除，同底数幂相减；对于积的乘方，先计算乘方再除法，逐项计算判断． 本题考查了单项式除法的运算，积的乘方，熟练运用除法法则以及积的乘方是解题的关键． 【详解】A、， 故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26八年级上·山西长治·期末）若，则代数式的值为（   ） A．5 B．-5 C．10 D．-10 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先简化代数式，发现它等于，然后代入已知条件即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 3．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，通过多项式除以单项式计算即可. 【详解】解：长方形的面积为，一边长为， 另一边长为． 故选： D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，且，则式子的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整体代入法是解题关键．先根据多项式除以单项式以及合并同类项法则，得出，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）弟弟不小心把小华的作业本撕掉了一角，留下了一道不完整的题目，如图所示，这是一道整式乘法题，被撕掉的是一个一次三项式，则被撕掉的多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式，解题关键是根据题意，列出算式，熟练掌握多项式除以单项式法则、单项式除以单项式法则和同底数幂相乘法则． 根据乘数积另一个乘数，列出算式，利用多项式除以单项式法则、单项式除以单项式法则和同底数幂相乘法则进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ， 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·新疆和田·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据积的乘方运算法则，单项式除以单项式运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·广东梅州·期中）若的结果中不含x项与项，则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算－化简求值，利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含和项，求出与的值，再化简代数式，然后代入求解即可，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵的积中不含项与项， ∴，， ∴，， ∴ ； 8．（25-26七年级上·上海·期中）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案，掌握多项式除以单项式的法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知A是一个多项式，单项式B等于2x，某学生计算时，把误写成，结果得，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，整式的加减，先求得该多项式，然后根据整式的除法进行计算即可求解，解题的关键是掌握整式的四则运算． 【详解】解：，， ， 则. 故答案为：. 10．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）深圳科技馆中“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如表所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ． 账号：shulishijie，密码 【答案】1622 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式， 根据单项式除以单项式法则计算，按照顺序各字母的指数组成了答案． 【详解】解：原式． 故答案为：1622． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式的乘除法、多项式的乘法和多项式除以单项式等知识，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． （1）先计算单项式的乘法和积的乘方，再计算单项式的除法即可； （2）先计算积的乘方，然后按照从左到右的顺序进行乘除运算； （3）先计算多项式的乘法和多项式除以单项式，再计算整式的加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式以及求值，熟练掌握运算法则是解题关键． 先计算积的乘方与幂的乘方、单项式除以单项式，再计算单项式除以单项式，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． 13．（25-26八年级上·河南南阳·月考）化简求值：已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式中括号中利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】 当，时，原式 14．（2025七年级上·全国·专题练习）化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项化简，再计算多项式除以单项式得到最终化简的结果，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 15．（25-26八年级上·贵州毕节·月考）先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，多项式除以单项式，完全平方公式，积的乘方，平方差公式，绝对值的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先运算多项式除以单项式，完全平方公式，平方差公式，积的乘方，再去括号，合并同类项，得，根据，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ∵， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·北京海淀·月考）（1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）0；（2）5 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式和多项式除以单项式以及求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，然后计算同底数幂的除法，然后合并即可； （2）首先将变形为，然后利用完全平方公式和多项式除以单项式化简，然后整体代入求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵ ∴ ∴ ． 17．（25-26八年级上·山东日照·期中）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了幂的运算、整式的混合运算（完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式等），熟练掌握幂的运算法则和整式运算的各种公式是解题的关键． （1）小题按照幂的运算法则，先分别计算同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法，再进行加减运算． （2）小题先根据完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式法则分别化简各项，再合并同类项，最后代入求值． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时，原式． 18．（25-26八年级上·河南南阳·期中）阅读下面这位同学的解答过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式  第一步   第二步   第三步 当，时，原式  第四步 任务： (1)第一步运用到了乘法公式：____________________________； (2)以上步骤从第_____步开始出现了错误，错误的原因是___________________________________； (3)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)完全平方公式 (2)一，去负括号时括号内的第二项没有变号 (3)见解析 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，单项式乘以多项式，多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据题意可得第一步运用了完全平方公式； （2）第一步去负括号时括号内的第二项没有变号； （3）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式去小括号，然后合并同类项，接着计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，第一步运用了完全平方公式； 故答案为：完全平方公式； （2）解：观察解题过程可知，第一步开始出现错误，错误原因是去负括号时括号内的第二项没有变号； 故答案为：一，去负括号时括号内的第二项没有变号； （3）解： ， 当，时，原式． 19．（25-26八年级上·广东广州·期中）学习了《整式的乘除》这一章之后，小明类比小学除法的运算法则，推理出多项式除法法则：被除式除式商余式．请根据以上法则，解决下列问题： (1)如果一个多项式（设该多项式为）除以的商为，余式为，那么这个多项式是多少？请求出多项式； (2)已知关于的多项式除以的商为，余式为，求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据多项式除法法则列式计算即可； （）根据多项式除法法则得到，再化简左式，然后根据多项式相等的条件列式求出的值即可求解； 本题考查了整式的除法，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴多项式为； （2）解：由题意得，， 即， ∴，， ∴，， ∴． 20．（2025八年级上·全国·专题练习）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此除以，商式为，余式为0． 请根据上述材料完成下列问题： (1)用竖式计算； (2)的余式为______； (3)若除以的余式为0，则______，______． 【答案】(1) (2)7 (3)1，0 【分析】本题考查整式的除法，解题的关键是理解被除式除式商式余式，学会模仿解题，属于中考常考题型． （1）模仿例题，可用竖式计算； （2）模仿例题，可用竖式计算； （3）设商式为，则有，根据对应项系数相等即可解决问题． 【详解】（1）解：， 列竖式如下：商是； （2）解： 列竖式如下：商是，余式为7． （3）解：设商式为， 则有， ， ， ， 故答案为：1，0． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.7 整式的除法 教学目标 1. 掌握单项式除以单项式的运算法则，能根据系数相除、同底数幂相除的规则进行计算。 2. 掌握多项式除以单项式的运算法则，能准确运用分配律将每一项分别相除再求和。 3. 理解整式除法与乘法的互逆关系，能进行简单的验算与化简，发展代数运算能力。 教学重难点 重点： 1. 单项式除以单项式的计算，正确完成系数与字母部分的运算。 2. 多项式除以单项式的运算法则应用，确保运算过程不遗漏项、符号准确。 难点： 1. 多项式除以单项式时，对每一项进行相除的完整性与准确性，避免漏项或运算错误。 2. 商式中字母系数的确定与指数运算，特别是在含有负号或多个字母时的综合处理。 知识点01 单项式除以单项式 单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 注意：首先确定结果的系数(即系数相除)，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑. 【即学即练】1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）先化简，再求值：，其中，． 知识点02 多项式除以单项式 多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 即（a+b+c）÷m=a÷m+b÷m+c÷m 多项式除以单项式其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，另外还要特别注意符号. 多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号. 【即学即练】3．（25-26八年级上·新疆和田·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 4．（25-26八年级上·山东德州·月考）先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 题型01 单项式除以单项式 【典例1】（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型02 多项式除以单项式 【典例2】（25-26八年级上·北京门头沟·期末）计算：． 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）计算：． 【变式2】（25-26八年级上·吉林·期末）计算: ． 【变式3】（25-26八年级上·四川广安·期中）计算 (1)； (2)． 题型03 含整式除法的整式四则混合运算 【典例3】（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算 ． 【变式1】（25-26八年级上·广东东莞·月考）计算： 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【变式3】（25-26八年级上·天津·月考）计算 (1)； (2) (3)； (4) 题型04 整式的混合运算之化简求值 【典例4】（25-26八年级上·福建福州·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式2】（25-26八年级上·河南南阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式3】（25-26八年级上·四川眉山·期末）先化简，再求值：，其中，． 题型05 含整式除法的新定义型问题 【典例5】（24-25七年级下·山东青岛·期末）定义新运算：，． (1)计算： (2)求 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·月考）定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为______； (2)若的代数式中不含的一次项，当，求的值； (3)若中的满足，且时，求的值． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）爱思考的方方同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义：对于三个多项式：，，（，，都是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据方方同学给出的定义，判断是不是平衡多项式？说明理由． (2)已知是平衡多项式，求平衡因子． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)化简：； (3)若，，判断与的大小关系，并说明理由． 题型06 利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式 【典例6】（25-26八年级上·重庆·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)的商是 ，余式是 ． (2)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形B，另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)计算： ． (2)计算，商式是 ，余式是 ． (3)已知是一个整式，，是常数，，，则的值是 ． 【变式3】（24-25七年级下·河北保定·期中）阅读材料 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算．可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴可以整除． 解决问题 (1)请在竖式的两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)用竖式计算求的余式和商； (3)若多项式，则______． 一、单选题 1．（2025七年级上·上海·专题练习）下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西长治·期末）若，则代数式的值为（   ） A．5 B．-5 C．10 D．-10 3．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的另一边长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，且，则式子的值为（    ） A． B． C． D．2 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）弟弟不小心把小华的作业本撕掉了一角，留下了一道不完整的题目，如图所示，这是一道整式乘法题，被撕掉的是一个一次三项式，则被撕掉的多项式是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·新疆和田·期末）计算： ． 7．（24-25七年级下·广东梅州·期中）若的结果中不含x项与项，则代数式的值为 ． 8．（25-26七年级上·上海·期中）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为 ． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知A是一个多项式，单项式B等于2x，某学生计算时，把误写成，结果得，则的值为 ． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）深圳科技馆中“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如表所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ． 账号：shulishijie，密码 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 13．（25-26八年级上·河南南阳·月考）化简求值：已知，，求代数式的值． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）化简求值：，其中，． 15．（25-26八年级上·贵州毕节·月考）先化简，再求值：，其中，满足． 16．（25-26八年级上·北京海淀·月考）（1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 17．（25-26八年级上·山东日照·期中）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 18．（25-26八年级上·河南南阳·期中）阅读下面这位同学的解答过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式  第一步   第二步   第三步 当，时，原式  第四步 任务： (1)第一步运用到了乘法公式：____________________________； (2)以上步骤从第_____步开始出现了错误，错误的原因是___________________________________； (3)请你写出正确的解答过程． 19．（25-26八年级上·广东广州·期中）学习了《整式的乘除》这一章之后，小明类比小学除法的运算法则，推理出多项式除法法则：被除式除式商余式．请根据以上法则，解决下列问题： (1)如果一个多项式（设该多项式为）除以的商为，余式为，那么这个多项式是多少？请求出多项式； (2)已知关于的多项式除以的商为，余式为，求出的值． 20．（2025八年级上·全国·专题练习）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此除以，商式为，余式为0． 请根据上述材料完成下列问题： (1)用竖式计算； (2)的余式为______； (3)若除以的余式为0，则______，______． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $