乘法公式5种高频考点专项训练-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

乘法公式5种高频考点专项训练 乘法公式5种高频考点专项训练 考点目录 完全平方公式的计算 平方差公式的计算 整式乘法混合运算 乘法公式与面积计算 利用乘法公式进行化简求值 考点一 完全平方公式的计算 例1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 例2．（25-26八年级上·山西朔州·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 例3．（24-25七年级下·山东青岛·月考）利用完全平方公式计算：__________． 【答案】1 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为 1． 例4．（25-26八年级下·重庆·月考）若多项式可以用完全平方公式分解因式，则a的值为________． 【答案】 【详解】解：， 根据完全平方公式， ∴， ． 变式1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】解：解法一： ∵ ∴． 解法二： ∵ ∴ ∴． 变式2．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）的结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 变式3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若是完全平方式，则的值为______． 【答案】或 【详解】解：∵是完全平方式， 根据完全平方公式的结构特征，一次项系数的绝对值应等于二次项系数与常数项系数的算术平方根乘积的倍，即， ∴可得， 整理得， 当时，解得， 当时，解得． 综上，的值为或． 变式4．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）若，则的值为__________； 【答案】 【详解】解：根据完全平方公式展开等式左边得 ， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 考点二 平方差公式的计算 例1．（24-25七年级下·宁夏中卫·期中）下列算式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵平方差公式的使用条件是：两个二项式相乘，存在相同项和互为相反数的项， ∴A选项，没有相同项也没有互为相反数的项，不能用平方差公式计算， B选项，，不存在互为相反数的项，不能用平方差公式计算， C选项，，不存在互为相反数的项，不能用平方差公式计算， D选项，中，相同项是，互为相反数的项是和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算． 例2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 例3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）计算______． 【答案】 【详解】解： 例4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）运用简便方法计算：＝______． 【答案】 【详解】原式 ． 变式1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意； B、 ，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意； C、 ，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意； D、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算，符合题意． 变式2．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 变式3．（25-26八年级上·广东韶关·月考）化简的结果是_____ ． 【答案】9 【详解】解：原式 变式4．（25-26七年级下·广东茂名·开学考试）若，，则________． 【答案】3 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 考点三 整式乘法混合运算 例1．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 例2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 变式1．（24-25七年级下·贵州黔南·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； ． （2） ． 变式2．（25-26八年级上·天津河西·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点四 乘法公式与面积计算 例1．（24-25七年级下·广西桂林·月考）[背景阅读]在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． [问题解决] （1）填空：根据图1所示图形的面积关系．可以写出的一个乘法公式是 ； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； [拓展应用] （3）如图3，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y（），且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28．现将三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）62 【详解】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28，即，， ∴， ∴ ． 例2．（25-26七年级下·河北张家口·月考）两个边长分别为和的正方形如图放置（图1），其阴影部分的面积为．若再在图1中大正方形的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图2），其阴影部分的面积为． (1)________、_________．（用含有、的代数式表示） (2)若，求的值； (3)当时，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)48 (3)10 【详解】（1）解：由图可得，， ； （2）解：， ， ． （3）解：由图可得，， ， ． 例3．（25-26八年级上·四川眉山·期中）【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： （1）若x满足，则的值为 ． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【详解】解：（1）设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）设正方形边长为， ∵，， ∴，， 令，， ∴， ∵长方形的面积是24， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 例4．（24-25七年级下·广东河源·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①，②，③ 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 变式1．（25-26八年级上·重庆万州·月考）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图1，可以表示为公式①：． (1)观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式的序号） 公式②：； 公式③：； 公式④：； 图2对应公式_____，图3对应公式_____，图4对应公式_____（填序号）； (2)如图3，若，，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长的值．为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为，小敏运用“整体思想”，设，，结合公式②，利用与的值，则可计算出的值，从而求出边长的值，请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程： (3)如图6，若，空白部分的面积为121，且正方形与正方形的面积之差为165，求正方形与正方形的面积之和． 【答案】(1)③；④；② (2)大正方形的边长的值为 (3) 【详解】（1）解：由题意可得：图2对应公式， 图3对应公式， 图4对应公式； 故答案为：③；④；②； （2）解：设，， ∴，， 由题意可得：， ∴， 由公式①可得：，即， ∴， ∴或， ∴或， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴大正方形的边长的值为； （3）解：由题意可得，，， ∴或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴， 由，解得：， ∴． 变式2．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 【答案】(1)； (2) ① ② 【详解】（1）解：图1中的阴影面积可以看作两个正方形的面积差， ∴， 图2中的阴影面积为长方形的面积，其长为，宽为， ∴； （2）①∵， ∴； ②． 变式3．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________． (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①________；②________． (3)观察图2你能写出三个代数式之间的等量关系________． (4)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)； (3) (4) 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分小正方形的边长为：； （2）解：①根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为， ②还可以用总面积减去四个相等的长方形的面积，即表示为； （3）解：阴影部分的面积相等，结合（2）可得出； （4）解：由（3）得：， ∵，， ∴， ∴． 变式4．（25-26八年级上·广西桂林·月考）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为___________． (2)根据图②所得的公式，若，求的值． (3)如图③，某学校有一块梯形空地于点，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】(1)； (2)； (3)种草区域的面积和为60平方米． 【详解】（1）解：∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）解：由（1）的结论得：， 又， ； （3）解：设， 于点E，米， （平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 考点五 利用乘法公式进行化简求值 例1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，求： (1)； (2)的值 【答案】(1)13 (2)1 【分析】（1）化为，代值计算即可； （2）化为，代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 例2．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2）解：设 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即 例3．（25-26八年级上·天津蓟州·月考）已知，，求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ； （3）解：，， ． 变式1．（25-26七年级上·上海·月考）已知，求的值． 【答案】53 【详解】解：， ， 不是方程的解， 方程两边同时除以， ， ， ， ． 变式2．（25-26八年级上·天津宁河·月考）（1）若，求，的值； （2）若，，求，． 【答案】（1）， （2）， 【详解】（1）解： ； ． （2）解： ； ． 变式3．（25-26八年级上·重庆·月考）（1）已知，，求的值； （2）已知关于的多项式与的乘积不含的一次项和二次项，求，的值． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）； （2） ， ∵乘积不含的一次项和二次项， ∴， 解得：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $乘法公式5种高频考点专项训练 乘法公式5种高频考点专项训练 考点目录 完全平方公式的计算 平方差公式的计算 整式乘法混合运算 乘法公式与面积计算 利用乘法公式进行化简求值 考点一 完全平方公式的计算 例1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·山西朔州·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25七年级下·山东青岛·月考）利用完全平方公式计算：__________． 例4．（25-26八年级下·重庆·月考）若多项式可以用完全平方公式分解因式，则a的值为________． 变式1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 变式2．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）的结果是(   ) A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若是完全平方式，则的值为______． 变式4．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）若，则的值为__________； 考点二 平方差公式的计算 例1．（24-25七年级下·宁夏中卫·期中）下列算式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）计算______． 例4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）运用简便方法计算：＝______． 变式1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·广东韶关·月考）化简的结果是_____ ． 变式4．（25-26七年级下·广东茂名·开学考试）若，，则________． 考点三 整式乘法混合运算 例1．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)； (2)． 例2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 变式1．（24-25七年级下·贵州黔南·月考）计算： (1)； (2)． 变式2．（25-26八年级上·天津河西·月考）计算： (1) (2) 考点四 乘法公式与面积计算 例1．（24-25七年级下·广西桂林·月考）[背景阅读]在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． [问题解决] （1）填空：根据图1所示图形的面积关系．可以写出的一个乘法公式是 ； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； [拓展应用] （3）如图3，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y（），且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28．现将三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 例2．（25-26七年级下·河北张家口·月考）两个边长分别为和的正方形如图放置（图1），其阴影部分的面积为．若再在图1中大正方形的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图2），其阴影部分的面积为． (1)________、_________．（用含有、的代数式表示） (2)若，求的值； (3)当时，求图3中阴影部分的面积． 例3．（25-26八年级上·四川眉山·期中）【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： （1）若x满足，则的值为 ． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 例4．（24-25七年级下·广东河源·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 变式1．（25-26八年级上·重庆万州·月考）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图1，可以表示为公式①：． (1)观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式的序号） 公式②：； 公式③：； 公式④：； 图2对应公式_____，图3对应公式_____，图4对应公式_____（填序号）； (2)如图3，若，，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长的值．为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为，小敏运用“整体思想”，设，，结合公式②，利用与的值，则可计算出的值，从而求出边长的值，请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程： (3)如图6，若，空白部分的面积为121，且正方形与正方形的面积之差为165，求正方形与正方形的面积之和． 变式2．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 变式3．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________． (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①________；②________． (3)观察图2你能写出三个代数式之间的等量关系________． (4)已知，求代数式的值． 变式4．（25-26八年级上·广西桂林·月考）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为___________． (2)根据图②所得的公式，若，求的值． (3)如图③，某学校有一块梯形空地于点，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 考点五 利用乘法公式进行化简求值 例1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，求： (1)； (2)的值 例2．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 例3．（25-26八年级上·天津蓟州·月考）已知，，求下列各式的值： (1) (2) (3) 变式1．（25-26七年级上·上海·月考）已知，求的值． 变式2．（25-26八年级上·天津宁河·月考）（1）若，求，的值； （2）若，，求，． 变式3．（25-26八年级上·重庆·月考）（1）已知，，求的值； （2）已知关于的多项式与的乘积不含的一次项和二次项，求，的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $