6.3.1 二项式定理 同步练习题-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3.1 二项式定理 同步练习题 2025-2026学年第二学期高二数学人教A版选择性必修第三册 【例题精炼】 【例1】（1）求的展开式； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）法一：直接利用二项式的展开式即可得到结果；法二：整理可得，结合二项式的展开式即可得到结果； （2）根据题意，反向利用二项式定理，即可得到结果. 【详解】法一： ． 法二：． （2）原式． 【例2】已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，即可求得展开式的第4项； （2）令的指数为整数，即可求得展开式中的有理项； （3）令的指数为0，即可求得展开式中的常数项. 【详解】（1）的二项展开式通项是： ， 当时，展开式的第4项为. （2）由（1）知 的二项展开式通项是， 有理项是使变量的指数为整数的项，故只需，且， 解得，因此有理项分别为： ， ， ， . （3）由（1）知 的二项展开式通项是， 常数项即为变量的指数为0的项，令，解得， 因此常数项为. 【例3】在的二项展开式中， (1)若，且第3项与第6项相等，求实数x的值； (2)若第5项系数是第3项系数的10倍，求n的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求得展开式的通项，根据题意列出方程，即可求解； （2）求得展开式的通项，根据题意，得到方程，结合组合数的计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得展开式的通项， 令，可得，令，可得， 因为第3项与第6项相等，可得，解得. （2）解：由二项式展开式的通项， 可展开式中第5项的系数为，第3项的系数为， 因为第5项系数是第3项系数的10倍，可得， 即，即， 可得，解得或（舍去）， 所以的值为. 【A组基础达标】 一、单选题 1．的展开式共12项，则等于（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】利用二项展开式的性质易得. 【详解】因为的展开式有项， 由，可得． 故选：C. 2．的展开式中的第4项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式的通项公式代值计算即得. 【详解】的展开式中的第4项为. 故选：A. 3．展开式中含项的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式可求含项的系数. 【详解】由题意知，展开式的通项公式为， 令，得，故含项的系数为. 故选：B. 4．的展开式中的系数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用二项式定理的通项公式求出展开式中含的项，即可求解. 【详解】多项式的展开式中含的项为， 所以的系数是4. 故选：C. 5．设，化简（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式定理化简即可． 【详解】， 故选：C． 6．如果的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用二项展开式的通项公式中的指数为0,得到,由此可得正整数n的最小值是5. 【详解】因为的展开式的通项公式为,, 令,则,因为,所以时,取最小值. 故选: 【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式,利用通项公式是解题关键,属于基础题. 二、多选题 7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为（mod m）．若，（mod 10），则b的值可以是（　　） A．2011 B．2012 C．2020 D．2021 【答案】AD 【分析】对变形为，得到其被10除得的余数为1，即可得到答案. 【详解】， ∴被10除得的余数为1，而2011与2021被10除得的余数是1， 故选：AD． 8．对于二项式，下列说法正确的是（    ） A．展开式中的常数项为 B．展开式中的常数项为 C．展开式中的有理项有3项 D．展开式中的有理项有4项 【答案】AD 【分析】利用二项式的展开式，根据要求求出的值即可判断. 【详解】的展开式的第项 ， 令，则， 常数项为，故正确； 当，，，，展开式中有有理项， 所以有理项有4项，故正确. 故选：. 三、填空题 9．若二项式展开式中的常数项为160，则______． 【答案】2 【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于零，再根据题意建立等量关系，即可求出. 【详解】由题二项式展开式的通项公式为：， 所以当时的项为常数项，解得. 故答案为：2. 10．的展开式中，的系数为______. 【答案】 【分析】本题首先可以写出二顶式的展开式的通项，然后令，即可得出结果. 【详解】二顶式的展开式的通项， 令，即，，的系数为， 故答案为：. 11．若(a，b为有理数)，则a＋b＝________. 【答案】44 【分析】根据二项式定理将展开，根据a，b为有理数对应相等求得的值即得解. 【详解】因为， 所以， 因为，且a，b为有理数， 所以a＝28， 所以. 故答案为：44 12．若展开式中第5项为常数项，则________； 【答案】7 【分析】根据二项展开式的通项公式可得. 【详解】为常数项，所以. 故答案为：7. 四、解答题 13．已知的展开式中，第四项的二项式系数与第三项的二项式系数的比为． (1)求的值； (2)求展开式中所有有理项． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）利用第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为，建立方程，可求 的值； （2）写出通项公式得，时，的指数为整数，所以展开式中第，项是有理项，即得结果. 【详解】（1）第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为，则， 所以，则． （2）其通项公式为， 根据，，，可得，， 故第，项是有理项，即有理项分别为，． 【B组能力提升】 1．的展开式中，共有多少项？（ ） A．45 B．36 C．28 D．21 【答案】A 【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数． 【详解】当展开式的项只含有1个字母时，有3项， 当展开式的项只含有2个字母时，有项， 当展开式的项含有3个字母时，有项， ∴的展开式共有45项. 故选:A． 2．的展开式的常数项为（    ） A．6 B．10 C．15 D．16 【答案】D 【分析】先根据二项展开式通项公式求含系数，再根据多项式法则求常数项. 【详解】由题意得的展开式的通项为， 令，则， 所以的展开式的常数项为. 故选：D. 【点睛】本题考查二项式定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．的展开式中，常数项为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】中将看成一项，两次展开，求出展开式的通项，令的指数为0，即可求解. 【详解】，展开式通项为 ， 令，当时， 为常数项即. 故选:A. 【点睛】本题考查二项展开式求特定项，解题关键要求出通项，属于中档题. 4．在的展开式中，x的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用两个计数原理列式求解即得. 【详解】的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x， 另外3个因式中选择常数项相乘积的和，则的展开式中，含x的项为： ， 所以x的系数为． 故选：A 5．若，则的值为______． 【答案】80 【分析】由，结合二项展开式的通项公式，得解. 【详解】由，则. 故答案为：80. 6．在的展开式中．求： (1)第六项的系数； (2)含的项． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）求出二项式的展开式的通项公式，代入可得结论； （2）结合通项公式确定含项的项数，再求结论. 【详解】（1）的通项公式为， 第六项系数即时对应项的系数，其值为； （2），，含的项为． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.1 二项式定理 同步练习题 2025-2026学年第二学期高二数学人教A版选择性必修第三册 【学习目标】 1.通过运用多项式运算法则和计数原理对二项展开式的项的研究，能推导出二项式定理.(重难点) 2.通过对二项展开式结构的分析与研究，能归纳二项式系数的特征. 3.能用二项式定理解决一些简单的数学问题. 【例题精炼】 【例1】（1）求的展开式； （2）化简：． 【例2】已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 【例3】在的二项展开式中， (1)若，且第3项与第6项相等，求实数x的值； (2)若第5项系数是第3项系数的10倍，求n的值. 【A组基础达标】 一、单选题 1．的展开式共12项，则等于（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．的展开式中的第4项为（   ） A． B． C． D． 3．展开式中含项的系数为（   ） A． B． C． D． 4．的展开式中的系数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．设，化简（    ）． A． B． C． D． 6．如果的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为（mod m）．若，（mod 10），则b的值可以是（　　） A．2011 B．2012 C．2020 D．2021 8．对于二项式，下列说法正确的是（    ） A．展开式中的常数项为 B．展开式中的常数项为 C．展开式中的有理项有3项 D．展开式中的有理项有4项 三、填空题 9．若二项式展开式中的常数项为160，则______． 10．的展开式中，的系数为______. 11．若(a，b为有理数)，则a＋b＝________. 12．若展开式中第5项为常数项，则________； 四、解答题 13．已知的展开式中，第四项的二项式系数与第三项的二项式系数的比为． (1)求的值； (2)求展开式中所有有理项． 【B组能力提升】 1．的展开式中，共有多少项？（ ） A．45 B．36 C．28 D．21 2．的展开式的常数项为（    ） A．6 B．10 C．15 D．16 3．的展开式中，常数项为（     ） A． B． C． D． 4．在的展开式中，x的系数为（    ） A． B． C． D． 5．若，则的值为______． 6．在的展开式中．求： (1)第六项的系数； (2)含的项． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $