6.3.1二项式定理 同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3.1二项式定理 同步练习 解答 细目表 南宁市第三中学 命题教师：陶新军 一、单选题 1．的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 2．在的展开式中，含项的系数为（    ） A．50 B．35 C．24 D．10 3．展开式中的常数项是 A． B． C．8 D． 4．的展开式中第3项的系数与二项式系数分别为（    ） A．84，21 B．21，84 C．35，280 D．280，35 二、多选题 5．已知的展开式共有8项，则（   ） A． B．无常数项 C．含项的系数为92 D．所有项的二项式系数之和为128 6．已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（    ） A． B．的展开式中项的系数为56 C．奇数项的二项式系数和为128 D．的展开式中常数项的系数为1 7．已知的展开式中含有常数项，则的可能取值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 三、填空题 8．的展开式中，的系数是______． 9．展开式中的系数为___________________. 10．若的展开式中的常数项为，则________________. 四、解答题 11．已知的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求该展开式中的常数项． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《6.3.1二项式定理 同步练习 解答 细目表 》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D D B A ABD ACD AC 1．D 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可. 【详解】对于，由二项展开式的通项得， 令解得， 则所求系数为， 故选：D 2．D 【分析】根据多项式乘法法则，分析计算即可作答. 【详解】展开式的项是4个因式中任取3个用x，另一个因式用常数项相乘积的和， 则展开式中的项为， 所以含项的系数为10. 故选：D 3．B 【详解】由展开式的第项，得展开式的通项为或，则当或，即或时，为展开式的常数项，即.故选B. 4．A 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得的展开式中第3项，即可求解. 【详解】因为的展开式中第3项为， 所以的展开式中第3项的系数为， 的展开式中第3项的二项式系数为. 故选：A 5．ABD 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式和展开式的性质，逐项判定即可求解. 【详解】对于A，因为的展开式共有8项，所以，故A正确； 对于B，展开式通项为， 设，此时无解，所以不存在常数项，故B正确； 对于C，令，解得，所以项的系数为，故C错误； 对于D，展开式二项式系数和为，故D正确. 故选：ABD 6．ACD 【分析】根据已知条件，利用二项式定理求解判定AB；利用二项式系数的性质计算判定C；仿照二项式定理的组合意义，研究三项式的展开中的常数项，即可判定D. 【详解】第3项对应 ，第7项对应 ，根据组合数的性质 ，解得 .因此选项A正确； 展开式中 项的系数为 ，而选项B中给出的系数为56，因此选项B错误； 奇数项的二项式系数和为 ，当 时，和为 ，因此选项C正确； 在 的展开式中，常数项仅在所有括号中都选择1时产生，因此常数项系数为 ，选项D正确. 故选： ACD. 7．AC 【分析】求出展开式的通项，再令，可得与的关系，用赋值法从而可得出结论. 【详解】展开式的通项为：，其中； 令，则，可知n为4的倍数，故B、D错误； 当 时， 最小为 4；当 时， 为8； 故选：AC. 8． 【分析】写出展开式通项，对照所求项，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 由可得， 因此展开式中的系数为. 故答案为：. 9． 【分析】利用展开式通项公式即得. 【详解】∵， ∴展开式通项为， 令，， 故系数为． 故答案为：． 10．1 【分析】法1：根据二项式定理的定义，写出展开式通项，利用赋值法，可得答案；法2：根据多项式乘法，结合组合的计数原理，结合题意，可得答案. 【详解】法1：因为的展开式的通项， 令，解得，所以常数项为，解得. 法2：的展开式中，常数项为从4个因式中1个取， 其余3个取，即常数项为，由，解得. 故答案为：. 11．（Ⅰ）10（Ⅱ）180 【分析】（Ⅰ）由二项展开式第五项和第七项二项式系数相等，列方程可解得； （Ⅱ）在二项展开式通项公式中令的指数为0，得出常数项的项数，从而可得常数项． 【详解】解：（Ⅰ）的展开式中，第五项与第七项的二项式系数相等：， ． （Ⅱ）的通项为，令得，展开式为常数项180． 【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数，求展开式中指定的项，可由二项展开式通项公式求解．掌握二项展开式通项公式是解题关键． 考查范围：6.3.1二项式定理 题号 难度 知识点 一、单选题 1 全部 求二项展开式 2 全部 多项式的展开式 3 全部 求二项展开式的第k项 4 全部 求指定项的二项式系数 二、多选题 5 全部 求指定项的系数 6 全部 求指定项的二项式系数 7 全部 求二项展开式的第k项,根据二项式的第k项求值 三、填空题 8 全部 三项展开式的系数问题 9 全部 求指定项的系数 10 全部 根据二项式的第k项求值 四、解答题 11 全部 二项展开式的应用,求二项展开式的第k项,求指定项的系数 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $