6.专练六 半角模型&专练七 十字模型-【一战成名新中考】2026江西中考数学·二轮复习·专项分类提升练

专练六半角模型(2022.23) 例如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E,F分别在CD,BC上，∠EAF=45°.若S△cr=1,则 SAAEF= D E C 思路点拨 由正方形ABCD得∠DMB=90°，则∠EF=45=7∠DAB,可联想半角模型，构造 全等三角形进行求解， 绍归纳总结 例题图 类型 90°含45 120°含60° 459 15 图示 609 B D E C E D B D (∠BAC=90°，AB=AC) (四边形ABCD (∠BAC=120°，AB=AC) 为正方形) 作法1：将△BAD作法2：将△ABD, 作法：将△BAF绕 作法：将△BAD绕，点A 绕，点A逆时针旋转 △ACE分别沿AD, 点A递时针旋转 逆时针旋转120°得到 90°得到△CAF,连 AE翻折，点B,C在90°得到△DAH △CAF,连接EF 接EF ,点F处重合 辅助线 作法 459 △ADE≌△AFE, BD=DF.CE=EF. △AFE≌△AHE, △DAE≌△FAE, ∠ECF=90°， ∠DFE=90°， AG=AD, ∠FCE=60° 结论 BD2+CE2 CF2+BD2+CE2=DF2+EF2 FE=EH=BF+DE CE2=EF2=DE2 =DE2 8综合训练 1.如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，D是BC下方一点，∠BDC=120°，BD=CD,点M,N分 别是AB,AC边上的点，且∠MDN=60°，连接MN,则△AMN的周长是 () A.5 B.6 C.9 D.12 M D 第1题图 第2题图 2.多解法如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D,E是斜边BC上两点，∠DAE=45°， BD=3,CE=4,则△ABC的面积为 12 专项分类提升练·江西数学 一战成名新中考 专练七十字模型 例多解法)如图，在正方形ABCD中，AB=12,点E,F分别在边BC,CD上，AE与BF相交于点G, 若BE=CF=5,则BG的长为 B E 例题图 攻思路点拨 由正方形ABCD及BE=CF联想十字模型，由全等可得BF⊥AE 解法一：利用相似、勾股定理，即可求解.解法二：利用等面积法，即可求解 松归纳总结 基本图形 演变图形 D D D N 图示 B E (正方形ABCD) (正方形ABCD) (正方形ABCD) (矩形ABCD) △ABG≌△DAF, △ABE≌△BCF, △ABE≌△MFN, △ABF∽△DAF∽ △ABG∽△BEGA 结论 △ABG∽△BEGA △AOM∽△ABE∽ △DBA∽△BEFA △AEB, △BFC △MOH △AEB FG=DF-BG 纪综合训练 1.如图，在正方形ABCD中，M,N分别为边AB,AD上一点，AN=BM,CM,BN相交于点O,连接CN 若C0=15,N0=12,则阴影部分的面积为 N D B F B 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，E,F,G,H分别是矩形ABCD四条边上的点，已知EF⊥GH,若AB=2,BC=3,则EF:GH的值 为 3.如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，点F,G分别在BC,AD上，且GF⊥BE,若四边形 BFEG的面积为5，则AB的长为 专项分类提升练·江西数学 13”LA=30,∠ABc=90,BC=5 =32×15=55 BE=BC-CE=√5，CF=GE=BE+BG=35, A E 图① 图② 第5题解图 解法二：如解图②，过点E作EH⊥AC于点H,.·△DEF是 等边三角形，.∠DEF=60°，DE=EF,∠A=30°，∠B= 90°，.∠C=90°-∠A=60°，.·∠BED+∠DEF=∠C+∠EFH =108°-∠CEF,∴∠BED=∠EFH,∠B=∠EIF=90°，DE =EF,∴.△EFH≌△DEB(AAS),∴.FH=BE,EH=BD=6 Hc= 3EH=25CE=20H=45,LA=30,∠B=90, ·Bcs 3 AB- x15-5FH=BE-BC-CE=.CF =FH+CH=3+25=35. 专练四 手拉手模型 例1解：AD=BE.理由略. 例2证明：略 1.证明：略 2.43.54.425.36.25 专练五对角互补模型 例18【解析】解法一：如解图①，过点A分别作AM⊥BC 于点M,AN⊥CD交CD的延长线于点N.,:∠BCD= 90°，.四边形AMCN为矩形，.∠MAN=∠AMB=90. ∠BAD=90°，.∠BAM=∠DAN,在△ABM与△ADN I∠BAM=∠DAN, 中，∠AMB=∠AND,.△ABM≌△ADN(AAS),∴.AM= \AB=AD. AN,△ABM与△ADN的面积相等，.矩形AMCN为正方 形，.S四边形BcD=S正方形wC在Rt△AMC中，由勾股定理 AC2=AM+MC2,.AC=6,..2AM=36,..AM=18,.. 四边形ABCD的面积为18. NB 图① 图② 例题解图 解法二：如解图②，将△ACD绕，点A顺时针旋转90°得到 △ABB,从而有等腰Rt△ACE,S边影D=S等楼a4= 1 ×6×6=18. 1.4 2.1【解析】解法一：如解图①，过点D作DG∥BC交AB于 点G,易得∠DGB=∠DCF=120°，∠GDC=∠EDF=120°， .∠GDE=∠CDF,等边三角形ABC的边长为4，D是 参考答案与重难题 一战成名新中考 4DG7BC=DC=BG=2,△GD (ASA),..GE=CF,.BE=1,..CF=GE=1. 图① 图② 第2题解图 解法二：如解图②，过，点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥ BC于点N,连接BD,:△ABC是等边三角形，D是AC的 中点，∠A=∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线， ∠MDN=120°，DM=DN,∠MDN=∠EDF=120°， ∠MDE+∠NDE=∠NDE+∠NDF,∴.∠MDE=∠NDF,.· ∠DME=∠DNF=90°，.△DME≌△DNF(ASA),.ME= NF,在Rt△ADM中，AD=2,∠A=60°，AM=1,同理可得 CN=1,∴.NF=ME=AB-AM-BE=2,∴.CF=NF-CN=1. 3.解：如解图，过点0分别作OG⊥ EG CD,OH⊥BC,垂足分别为G,H, ,点O是正方形ABCD的对角线 AC上一点， .∴.OG=OH,∠BCD=90°， .四边形CG0H是正方形， 第3题解图 ∴.∠G0H=90°，∴.∠G0F+∠FOH =90°， .OF⊥0E,∴.∠E0F=90°，即∠E0G+∠G0F=90°. .∴.∠EOG=∠FOH 又.∠OGE=∠0HF=90°， .∴.△OGE≌△OHF(ASA), ∴.S△oGs=S△or, 一.S四边形cB0F=S正方形c6Om AD=3, ∴.AC=3√2， C0=2A0, m子c=2g a=2c0=分x22jyr=4 1 专练六半角模型 例2 1.D 2.36【解析】解法一（旋转法）：如解图①，将△AEC绕点A 顺时针旋转90°得到△AFB,连接DF,:在等腰Rt△ABC 中，AB=AC,∠BAC=90°，.∠ABC=∠ACB=45°，由旋转 的性质可得△AEC≌△AFB,.∠ABF=∠ACD=45°， ∠BAF=∠CAE,AE=AF,BF=CE,.∠FBE=∠FBA+ ∠ABC=45°+45°=90°，∴.BD+BF2=DF2,∠DAE=45°， .∠BAD+∠CAE=45°，.∠BAD+∠BAF=45°，.∠DAE (AE=AF, =∠DAF,在△DAE和△DAF中， ∠DAE=∠DAF,∴ AD=AD. △DAE≌△DAF(SAS),∴.DE=DF,∴.BD+BF2=DE, BD=3,BF=CE=4,..DE=DF=V3+4=5,..BC=BD+ DE+CE=3+5+4=12.AB=AC=12x -=62,.△ABC 2 解析·江西数学 23 的面积为2×6,5×6w2=36, 图① 图② 第2题解图 解法二（翻折法）：如解图②，将△ACE和△ABD分别沿 AE,AD翻折，，·∠CAE+∠BAD=90°-∠DAE=45°= ∠DAE,AB=AC,.AB,AC翻折后重合在AM上，.MD= BD=3,CE=ME=4,∠EMA=∠C,∠AMD=∠B,.·∠B= ∠C=45°，.∠EMD=∠EMA+∠DMA=90°，.EMP+MD =ED2,DE=√32+4=5，.BC=BD+DE+CE=3+5+4= 12,AB=AC=12x 2 =62,△4BC的面积为2×62× 6√2=36. 专练七十字模型 例g【解析】解法一：四边形ACD是正方形，· 60 ∠ABE=∠C=90°，AB=BC,·BE=CF,.△ABE兰 △BCF,.∠BAE=∠CBF,∠CBF+LABG=90°， ∠BAE+LABG=90°，.∠BGE=90°，.∠BGE=∠C,又 ∠BG=∠BC△BG△aCCg=BC- 12,CF=BE=5,.BF=√BC+CF=√I22+5=13, g言6台 BG 5 解法二点拨：由△ABE≌△BCF可得BF⊥AE,在 Rt△ABE中，利用等积法即可求解. 1.902.2:33.22 专练八利用等面积法解题 :【解析】如解图，过点A作AF⊥BC于点F,连接 AP,在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,.BF=4,.在 Rt△ABF中，AF=√AB-BF=3.解法一：SA1C=SAP +S△Acp. 5PD+5PE.12x5(PD 24 +PE),∴.PD+PE= 5 E 例题解图 解法二点拔：特殊值法.当点P在B处时，2BC·AF= 2AC·PE,PE的值即为所求 1.B 2.D【解析】解法一：四边形ABCD是正方形，∴.OA⊥ OB,∠OAD=45°，：PE⊥AC,PF⊥BD,.四边形0EPF为 矩形，△AEP是等腰直角三角形，PF=OE,PE=AE, 24 参考答案与重难 PE+PF=AE+OE=OA,.正方形ABCD的边长为1，.OA= AB=即Pg+PF的直为 2 2 解法二点拔：等面积法. 专练九“12345”模型 例证明：：四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三 角形， ∠ABE=∠ECF=∠AEF=90°，AE=EF, ·∠BAE+LAEB=LAEB+∠CEF=90°， ∠BAE=∠CEF,△ABE≌△ECF(AAS), ∴.AB=EC,BE=CF, 1 设BE=k,tana=2, .AB=CD=EC=2k,CF=BE=k, .AD=BC=BE+CE=3k,DF=CD-CF=k, DF 1 .∴.tanB= AD 3 11【解标】解法-：m∠MW=子an∠VCN=分根据 “12345”模型可知，∠MAN+∠MCN=45°，∠APC= ∠MAN+90°+∠MCN=135°，∴.∠CPN=45°，.∴.tan∠CPW =1. 解法二：如解图，取格点B,连接AB,则AB∥MC,连接BN, 则AB=√+2=√5，BN=√+2=√5，AN=√+3= √I0,.AB+BN=AN2,△ABN是等腰直角三角形， ia∠BMN=B5 =1,·AB∥MC,.∠BAN=∠CPN, AB√5 ∴.tan∠CPW=tan∠BAN=l. G B 第1题解图 第2题解图 24 【解析】解法一：如解图，连接4C,CF,则AC=AB 4W2,CF=√2CE=2W5,∠ACD=∠DAC=∠DCF=45° .∠ACF=90°，∠DAM+∠CAF=45°，在Rt△ACF中， tan∠CAF=CF-1 AC2,心由“12345”模型的结论知，在 △1w中∠DW=号m=寸0-号 1 DM 解法二：：·四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形， ∴.AD=CD=4,GF=CG=2,AD∥BE∥GF,∴.△ADMn AFav08微p号-2Dn=2aDc-Gm- 2DG2今 CG=4-2=2,.DM= 4 专练十辅助圆模型 例1(9492 )1智27345 .95 例29545 5.2√/10-2 例32736.B7.24√3 例4658.429.3 题解析·江西数学