3.专练三 一线三等角模型-【一战成名新中考】2026江西中考数学·二轮复习·专项分类提升练

专练三一线三等角模型(2021.17) 例1如图，△ABC中，AB=AC=4,BC=6,点D,E分别在BC,AC上(，点D不与B,C两点重合)，且 ∠1=∠C,若AD=DE,则AE的长为· 例1题图 思路点拨 由AB=AC得∠B=∠C,由∠1=∠C得BC(一线)上有∠B=∠1=∠C(三等角)，利用全等三角形的 判定与性质，即可求解. 例2[2025陕西]如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC,则 △CEF的面积为 () A E B 例2题图 A.10 B.8 C.5 D.4 女思路点拔 由正方形得∠A=∠B=∠CEF=90°，即AB线上有三个等角，利用相似三角形的判定与性质求解 纪归纳总结 一线三等角：一线：∠1，∠2，∠3的顶点在一条直线上；三等角：∠1=∠2=∠3. 类型 锐角型 直角型 钝角型 同侧 3 H B m 图 济」 两侧 23 25 D 利用三角形内外角关系找 利用三角形内外角关系 识图关键 利用同角的余角相等找等角 等角 找等角 有边对 图中两组三角形全等 应 应相等 用 无边对 图中两组三角形相似 应相等 6 专项分类提升练·江西数学 一战成名新中考 8综合训练5 1.多解法)如图，AB,BC,CD,DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线.若AC=6cm,CDL BC,则线段CE的长度是 () C 第1题图 A.6 cm B.7cm C.6√2cm D.8 cm 2.[2025赣州安远县期中改编]如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，AD⊥BD,CE⊥BD于点 E,AC与BD交于点F,若BE=2,CE=7,则DE= D B 第2题图 3如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=9,点P在BC上，BP=3BC=2,点D在AC上，且∠APD= ∠B,则CD= B P 第3题图 4如图，点H,A,B,E在同-直践上，LCHD=LCMB=LDBE若B=AC=4,则BDE B E A D 第4题图 5.多解法构造一线三等角如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AB=15,点D,E,F分别在边 AB,BC,AC上，连接DE,EF,DF,若BD=6,且△DEF是等边三角形，则CF=· B E 第5题图 专项分类提升练·江西数学 7△ADGC-0,4AD是∠BAC的平分线，∠BAD ∠DAC,.∠BAD=∠G,∴.AB=BG, BD BG AB 5 CD ACAC 3 1.D2.D 3.A【解析】解法一（截长法）：如解图①，在BC上截取CE =AC,连接DE,.·CD平分∠ACB,.∠ACD=∠ECD,在 (CD=CD. △ACD和△ECD中，了 ∠ACD=∠ECD,∴.△ACD≌△ECD AC=CE, (SAS),.∠A=∠DEC,AD=ED,.·∠A=2∠B,.∠DEC =2∠B=∠B+∠BDE,.∠B=∠BDE,BE=DE=AD, AD=BE=BC-CE=BC-AC. 解法二（补短法）点拨：如解图②，延长CA至点F使CF= CB,连接DF,可证△CDF≌△CDB,得∠F=∠B,得出∠F= ∠ADF,推出AD=AF,则可得出AD=BC-AC. D R B 图① 图② 第3题解图 4.4 5.A【解析】解法一：如解图①，延长BE,AC交于点P,: BE⊥AD,AD平分∠CAB,·BP=2BE,在△ABC中，∠ACB AC =90,∠CAB=30,BC5,LACB=90°，BE LAD, ∠ADC=∠BDE,∴.∠CAD=∠CBP,又.∠ACB=∠BCP= 0△40arc0C即0品5…82 AD =23. 图① 图② 第5题解图 解法二：如解图②，过点A作BE的平行线，过点D作AC 的平行线，两线交于点G,记DG与AB的交点为O,则 ∠GAD=∠BED=90°，∠GDB=∠C=90°，AD平分 ∠CAB,∠CAB=30°，.∠CAD=∠DAD=15°，.·D0∥AC, ∴.∠BOD=∠BAC=30°，∠AD0=∠CAD=15°=∠DAB, A0=0D=√3BD,∠OAG=∠OGA=75°，∴.OA=0D=0G √3BD,易得∠DBE=∠GDA=15°，.△ADG∽△EBD, AD DG 20A 23BD =25 EB BDBDBD 解法三：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，.AB= 2BC,AC=√3BC,设BC=x,则AB=2x,AC=√3x,:AD平 分∠CAB,∠ACB=90°，.点D到AC,AB的距离相等，均 1 -AC·CD CD 为CD的长，∠CAD=∠BAD,∴. 1 2AB·CD BD· 22 参考答案与重难 品-%-停m-c=(25-3x则0- 2+√3 √AC+CD=(32-√6)x,BE⊥AD,∠CAD=∠BAD, sin∠CAD=sin LBAD,.=使，即23-3=BE 32-V62元BE= 6-2.40_(35-6)=25. 2*BE 6-2、 2)x 解法四：如解图③，在BE上取点F,连接DF,使得DF= BF,在AE上取，点G,连接BG,使得BG=AG,易得∠DFE= 30°，∠EGB=30°，设DE=x,则BE=EF+BF=EF+DF= √3DE+2DE=√3x+2x,AE=EG+AG=EG+BG=√/3BE+2BE =3x+25x+2W5x+4x=43x+7x,.AD=AE-DE=4W3x+ ,AD_45x+6x=25. 6x,心BE5x+2x A 第5题解图③ 6.27.√/19 专练三一线三等角模型 例12例2C L.D【解析】解法一：由题意知，AB=BC=CD=DE=5cm, AC=6Cm,如解图①，过点B作BM⊥AC于点M,过点D 作DN⊥CE于点N,则∠BMC=∠CND=90°，AM=CM= 2AC=2×6=3,CN=EN,CD1BC,∠BCD=90°， ∠BCM+∠CBM=∠BCM+∠DCN=90°，∴.∠CBM= 1∠BMC=∠CND. ∠DCN,在△BCM和△CDN中， ∠CBM=∠DCN,∴. BC=CD △BCM≌△CDN(AAS),∴.BM=CN,在Rt△BCM中， BC=5,CM=3,.BM=√BC2-Cf=√5-3=4，.CN= 4,∴.CE=2CN=2x4=8(cm). 解法二（旋转法）点拨：如解图②，将△ABC绕，点C顺时针 旋转90°，构造直角三角形A'CE,.CE=√'E-A'C= √/102-6=8(cm). 图② 第1题解图 2.53.9 4.3 5.35【解析】解法一：如解图①，延长EB至点G,使EG= FC,:∠B=90°，∠A=30°，∴.∠C=60°，.△DEF是等边 三角形，.DE=EF,∠DEF=60°，∴.∠DEG+∠FEC=120° =∠EFC+∠FEC,.∠DEG=∠EFC,又：EG=FC,DE= EF,∴.△DEG≌△EFC(SAS),∴.∠G=∠C=60°，GD= CEBM-6iG-0=25,cE=G=2c=45 题解析·江西数学 ”LA=30,∠ABc=90,BC=5 =32×15=55 BE=BC-CE=√5，CF=GE=BE+BG=35, A E 图① 图② 第5题解图 解法二：如解图②，过点E作EH⊥AC于点H,.·△DEF是 等边三角形，.∠DEF=60°，DE=EF,∠A=30°，∠B= 90°，.∠C=90°-∠A=60°，.·∠BED+∠DEF=∠C+∠EFH =108°-∠CEF,∴∠BED=∠EFH,∠B=∠EIF=90°，DE =EF,∴.△EFH≌△DEB(AAS),∴.FH=BE,EH=BD=6 Hc= 3EH=25CE=20H=45,LA=30,∠B=90, ·Bcs 3 AB- x15-5FH=BE-BC-CE=.CF =FH+CH=3+25=35. 专练四 手拉手模型 例1解：AD=BE.理由略. 例2证明：略 1.证明：略 2.43.54.425.36.25 专练五对角互补模型 例18【解析】解法一：如解图①，过点A分别作AM⊥BC 于点M,AN⊥CD交CD的延长线于点N.,:∠BCD= 90°，.四边形AMCN为矩形，.∠MAN=∠AMB=90. ∠BAD=90°，.∠BAM=∠DAN,在△ABM与△ADN I∠BAM=∠DAN, 中，∠AMB=∠AND,.△ABM≌△ADN(AAS),∴.AM= \AB=AD. AN,△ABM与△ADN的面积相等，.矩形AMCN为正方 形，.S四边形BcD=S正方形wC在Rt△AMC中，由勾股定理 AC2=AM+MC2,.AC=6,..2AM=36,..AM=18,.. 四边形ABCD的面积为18. NB 图① 图② 例题解图 解法二：如解图②，将△ACD绕，点A顺时针旋转90°得到 △ABB,从而有等腰Rt△ACE,S边影D=S等楼a4= 1 ×6×6=18. 1.4 2.1【解析】解法一：如解图①，过点D作DG∥BC交AB于 点G,易得∠DGB=∠DCF=120°，∠GDC=∠EDF=120°， .∠GDE=∠CDF,等边三角形ABC的边长为4，D是 参考答案与重难题 一战成名新中考 4DG7BC=DC=BG=2,△GD (ASA),..GE=CF,.BE=1,..CF=GE=1. 图① 图② 第2题解图 解法二：如解图②，过，点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥ BC于点N,连接BD,:△ABC是等边三角形，D是AC的 中点，∠A=∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线， ∠MDN=120°，DM=DN,∠MDN=∠EDF=120°， ∠MDE+∠NDE=∠NDE+∠NDF,∴.∠MDE=∠NDF,.· ∠DME=∠DNF=90°，.△DME≌△DNF(ASA),.ME= NF,在Rt△ADM中，AD=2,∠A=60°，AM=1,同理可得 CN=1,∴.NF=ME=AB-AM-BE=2,∴.CF=NF-CN=1. 3.解：如解图，过点0分别作OG⊥ EG CD,OH⊥BC,垂足分别为G,H, ,点O是正方形ABCD的对角线 AC上一点， .∴.OG=OH,∠BCD=90°， .四边形CG0H是正方形， 第3题解图 ∴.∠G0H=90°，∴.∠G0F+∠FOH =90°， .OF⊥0E,∴.∠E0F=90°，即∠E0G+∠G0F=90°. .∴.∠EOG=∠FOH 又.∠OGE=∠0HF=90°， .∴.△OGE≌△OHF(ASA), ∴.S△oGs=S△or, 一.S四边形cB0F=S正方形c6Om AD=3, ∴.AC=3√2， C0=2A0, m子c=2g a=2c0=分x22jyr=4 1 专练六半角模型 例2 1.D 2.36【解析】解法一（旋转法）：如解图①，将△AEC绕点A 顺时针旋转90°得到△AFB,连接DF,:在等腰Rt△ABC 中，AB=AC,∠BAC=90°，.∠ABC=∠ACB=45°，由旋转 的性质可得△AEC≌△AFB,.∠ABF=∠ACD=45°， ∠BAF=∠CAE,AE=AF,BF=CE,.∠FBE=∠FBA+ ∠ABC=45°+45°=90°，∴.BD+BF2=DF2,∠DAE=45°， .∠BAD+∠CAE=45°，.∠BAD+∠BAF=45°，.∠DAE (AE=AF, =∠DAF,在△DAE和△DAF中， ∠DAE=∠DAF,∴ AD=AD. △DAE≌△DAF(SAS),∴.DE=DF,∴.BD+BF2=DE, BD=3,BF=CE=4,..DE=DF=V3+4=5,..BC=BD+ DE+CE=3+5+4=12.AB=AC=12x -=62,.△ABC 2 解析·江西数学 23