2.专题二 二次函数综合题-【一战成名新中考】2026江西中考数学·二轮复习·专项分类提升练

专题二二次函数综合题 (每年在22题或23题考查，9~12分) 考情时间轴 23.正方形与三角形中 22.“不动点函数” 动点函数图象分析 22.二次函数对称变换 2024 2022 2025 2023 2021 22.小球在斜坡飞行 22.滑雪 典例精讲 )>类型1二次函数的实际应用(2024.22,2022.22) 例1[北师九下P123第26题改编]如图，在某中学的一场篮球赛 中，心李明在距离篮圈中心5m(水平距离)处跳起投篮，球出手 时离地面2.2m,当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的 最大高度4m.已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈 中心距地面3m.建立如图所示的平面直角坐标系。 宁点拨 (1)求篮球运行路线所在抛物线的解析式； (1)设合适的解析式，利用待 定系数法进行求解 4 m 2.2m 3m 5m 例1题图 (2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能空心入网.请通过计 (2)结合条件①，转化为数学 算说明小丽判断的正确性； 语言：当球距离篮圈中心的水 平距离为5时，球的高度是否 为3. (3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦载下来称为盖帽， (3)已知y最大为3.2，则计算 防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为3.2m, y=3.2时对应的自变量x的 则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦载才能盖帽成功？ 值.张亮想要盖帽成功，则其 与李明的距离（即x的值）应 小于3. (4)若球运行路径的形状、最大高度均保持不变，则李明应该带球向(4)转化为数学语言：抛物线 正后方移动多少米才能正中篮圈中心？（√5≈2.24，结果取小 解析式中a=- 数点后两位) 5,顶点纵坐标 为4，故可设抛物线解析式为 1 y=5(x-3+m)+4.要正中篮 圈中心，则抛物线过点(5,3)， 代入求解m的值即可. 46 专项分类提升练·江西数学 一战成名新中考 @针对训练 1.[2025贵州节选]用石块打水漂是一项有趣的活动.抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空 中近似地形成一组抛物线的运动路径.如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石 块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示.石块第一次与水面接触于点F,运 动路径近似为抛物线C,且C,:y=ax2+bx+c,石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点G,运动 路径近似为抛物线C,且C:y=专m+机（小星所在地面、水面在同一平面内，且石形状大 小、空气阻力等因素忽略不计)》 (1)如图②，当a=,b=时，若点F坐标为(2,0)，求越物线C的表达式： (2)在(1)的条件下，若FG=4,在水面上有一个截面宽AB=1,高BC=0.5的矩形ABCD的障碍 物，点A的坐标为(4.5,0)，判断此时石块沿抛物线C2运动时是否能越过障碍物？请说明 理由。 C C2 C D、 0 F A BG 图① 图② 第1题图 专项分类提升练·江西数学 47 2.[2025抚州市期中]综合与实践 问题情境：如图①，是学校操场一角的学生课外劳动基地示意图，∠AOB=90°，其外轮廓可以近似 看成一条抛物线的一部分，经测量OA=10米，0B=20米，根据学校开展劳动教育的需要，现要对 该土地进行种植区域划分，设计方案如下： 方案设计：如图②，①取OB的中点C,在△OAC的区域内种植西红柿；②过点C作OB的垂线交抛 物线于点D,测得CD=17.5米，又分出的两个区域分别种植菠菜和豆角. 方案实施：学校课程中心的老师以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面 直角坐标系，如图②. (1)请求出抛物线的函数表达式： (2)为了保证种植前期菠菜和豆角幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点E,安装一个△ACE 形状的遮阳网，AE交CD于点F,如图③.当菠菜育苗区△ACF的面积是豆角育苗区△CEF的 面积的2倍时，请求出此时点E的坐标； (3)为方便师生培育蔬菜，需要在CD上设置一个喷灌点P,按B→P→E的路径铺设水管，当图③ 中遮阳网△ACE的面积最大，水管BP+PE的长度最短时，请你直接写出点P的位置坐标 D B C B 图① 图② 图③ 第2题图 48 专项分类提升练·江西数学 一战成名新中考 3.[2025上饶市一模]滑板项目自入选奥运会正式比赛项目后便吸引了无数的目光.该项目自诞生 起，便在年轻的运动爱好者中迅速传播开来某商场为吸引顾客，举办了一场滑板挑战游戏.将滑 板场地建立在如图所示的平面直角坐标系中，参赛选手从点D出发，沿着斜坡DE进入“U”型碗 池，再从点F处滑出，“U”型碗池池面与滑出碗池后的飞行路线均可看成抛物线的一部分，在终点 处有一截面为直角三角形ABC的斜坡，点M为斜坡AB的中点，若参赛选手从点F滑出以后，着 陆点在斜坡上的AM段，即为成功.已知碗池边缘EW,FO均垂直地面，点N与点B关于原点对称， EN=0F=1米，0C=3米，BC=2AC=1米，“U"型碗池池面DEF近似看成抛物线y=7（x-h)2+k 的一部分 (1)求“U”型碗池最低点到地面的距离； (2)①若甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，着陆点恰好为 点M,求此抛物线的解析式； 4 ②若乙选手从点F滑出后飞行路线抛物线解析式为y=2++1,若此次挑战成功，求6的 取值范围 出发，点D A 0 CB地面x 第3题图 专项分类提升练·江西数学 49 >类型2与基本性质有关的二次函数性质探究(2025.22,202022) 例2新定义[2025江西22题9分]问题背景：对于一个函数，如果 存在自变量x。=m时，其对应的函数值y。=m,那么我们称该函数 为“不动点函数”，点(m,m)为该函数图象上的一个不动点.例 如：在函数y=x2中，当x=1时，y=1,则我们称函数y=x2为“不 动点函数”，点(1,1)为该函数图象上的一个不动点.某数学兴趣 小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究 探究1 C点拔 (1)对一次函数y=x+b(k≠0)进行探究后，得出下列结论： (1)根据不动点函数的定义 ①y=x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点； 求解 ②=-3x+2是“不动点函数”，且不动点是()，0)： ③y=x是“不动点函数”，且有无数个不动点 以上结论中，你认为正确的是（填写正确结论的序号）： (2)若一次函数y=x+b(k≠0)是“不动点函数”，请直接写出k, (2)根据不动点函数的定义， b应满足的条件； 将点(m,m)代入，分两种情况 探究2 讨论 (3)对二次函数y=ax+bx+c(a≠0)进行探究后，该小组设计了 (3)求出抛物线y=x2-2bx+c 以下问题，请你解答.若抛物线y=x2-2bx+c的顶点为该函数 的顶点坐标即可求解。 图象上的一个不动点，求b,c满足的关系式； 探究3 (4)求出y关于x的函数表达 (4)某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元 出售，可卖出(12-x)件，获得利润y元.请写出y关于x的函 式，将(x,x)代入即可求解 数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若 该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点 表达的实际意义。 50 专项分类提升练·江西数学 一战成名新中考 @针对训练 4.[2025江西样卷八·2020江西22题改编]小明和小芳学习了二次函数知识，准备用相互提问的方 式来考查对方对二次函数知识的掌握情况.他们找到一个二次函数问题的一部分： 已知二次函数y=x2+bx+c,下面表格中给出了部分x,y的对应数据： -2 0 2 m 0 0 小明首先提出问题： (1)根据表格可知，二次函数图象的对称轴为 m的值可以为3吗？请说明理由； 小芳也提出问题： (2)将函数的一次项系数作为二次项系数，常数项作为一次项系数，二次项系数作为常数项，得到 的新函数解析式是 :请在同一个坐标系中大致画出原函数和新函数的图象，并 直接写出两个函数的函数值都随x值的增大而减小的x的取值范围： 共同探讨问题： (3)如果直线y=m和这两个函数图象有三个交点，求出m的值 54321 3 4 153 第4题图 专项分类提升练·江西数学 51 5.新定义[2025南昌三中期末]定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的 三倍，则称该点为“纵三倍点”.例如(1,3)，(-2，-6)都是“纵三倍点” (1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是；（填序号） ①=-2+1，②y=+1,d=-3 (2)已知抛物线y=2x2+mx+n(m,n均为常数)与直线y=x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍 点”，求抛物线的解析式； 3 (3)若抛物线y=ar+b+)（a,b是常数，u>0)上有且只有-个“纵三倍点”，令w=b-2b+6a,是否 存在一个常数t,使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t?若存在，求出t的值；若不存在， 请说明理由. 52 专项分类提升练·江西数学 一战成名新中考 6.新定义[2025乐山]在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一 点P成中心对称，则称这两个函数关于点P互为“对称函数”.请同学们解决以下问题： (1)求函数y=x-1关于点(0,0)的“对称函数”.小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数y=x-1的图象上取两点(1,0)和(0，-1)： 第二步：分别求出这两个点关于点(0,0)的对称点 和 第三步：函数y=x-1关于点(0,0)的“对称函数”为 ； (2)多解法是否存在点P,使得函数y=+1关于点P的“对称函数”就是它本身？如果存在， 请求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由； (3)函数C1:y=ax2-2ax+2a(a>0)关于点(2,2)的“对称函数”为C2,函数C1与函数C2所围成的 区域（包括边界）记作W,横坐标、纵坐标都为整数的点叫作“整点” ①若a=),求W内的“整点”个数： ②若W内至少有9个“整点”，至多有13个“整点”，求a的取值范围 -2-10123456x -2-10123456x -2-10123456x 备用图1 备用图2 备用图3 专项分类提升练·江西数学 53 >类型3与图象变换有关的二次函数性质探究(2021.22,2019.23,2018.23) 例3已知抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a>0) C宁点拔 (1)当a=1时，求抛物线C,与x轴的交点坐标及对 (1)将a=1代入解析式，即可求得抛物 称轴； 线与x轴的交点坐标及对称轴】 (2)化简抛物线解析式，即可求得两个定 点的横坐标。 【方法归纳】含参抛物线的定点问题 先将参数提出来作为一个因式，再令含x (2)试说明无论α为何值，抛物线C,一定经过两个定点， 的因式为0，则无论x取何值都与参数无 并求出这两个定点的坐标； 关，解出的x值即为定，点的横坐标 (3)①根据抛物线翻折的特点，即可求解； ②由题意可知，当直线y=a过抛物线C 或C2的顶点时，正好共有三个交点，利 用抛物线的顶点坐标可求出结果. 【方法归纳】两个抛物线与直线y=1的交 (3)将抛物线C,沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物 点问题（以关于x轴对称的两个抛物线 线C2 为例) ①直接写出C,的解析式； 交点 t的取 图象 ②分类讨论若直线y=a与抛物线C,C2共有三个 个数 值范围 交点，求a的值； c-b2 7 Aa 2个 或1<4c-b _Aa 或t=0 4ac-b2 3个 Aa 且t≠0 t在两个抛物 线的顶点纵 (4)若将(3)中的抛物线C2向右平移t(t>0)个单位后， 4个 坐标之间，且 与抛物线C,有且只有一个交点，求t的值 t≠0 (4)【方法归纳】抛物线与抛物线的交点 问题 ①判断交点个数：联立两个抛物线的解 析式并化简，根据一元二次方程根的判 别式判断交点的个数 ②求交点坐标：先判断交点个数，若△≥ 0,则可解该一元二次方程，求得的根即为 交点的横坐标，再把横坐标代入任意一个 抛物线解析式，即可求得交点的纵坐标 54 专项分类提升练·江西数学 一战成名新中考 7.[2024江西师大附中期中]已知抛物线y=ax2+bx(a,b是常数，a≠0，x≥0)的自变量x与函数值y 的部分对应值如下表： 0 0 0 3 (1)根据以上信息，可知抛物线开口向 ,对称轴为直线 (2)求抛物线的解析式和m的值； (3)利用描点法在图中画出抛物线y=ax2+bx(x≥0)的图象，并将该图象绕点0旋转180°，画出旋 转后的图象.设两图象合并后对应的函数为y。,完成以下问题： ①若直线y=k与函数y。的图象有两个交点，则k=; ②若对于函数y。图象上的两点P(x1,y),Q(2,y2),当t≤x,≤t+1,x2≥2时，y1<y2,请结合图 象，直接写出t的取值范围. 43210234元 2 3 第7题图 专项分类提升练·江西数学 55中，AB=4cm,AE=AB=4=45(em):③如解图 tan30° 3 ③，当∠DEA'=30时，由折叠的性质可知，AE=A'E,A'B =AB=4cm,过点A'作FG⊥BC于点G,交AD于点F,易 证FG=AB=4cm,Rt△A'GB∽Rt△EFA',..∠BA'G ∠A'EF=30,BG=A'B=2m,:an∠BA'G=BG 2 A'G' BG ∴.A'G= tan LBA'G√5 2=25(cm）AP=FG-AG=(4 -2W5)cm,.在Rt△A'EF中，A'E=2A'F=(8-4V5)cm, :AB=AE=(8-45)am综上所述，AB的长为45或 3 4v3或(8-4W3)cm ED 30°9 309 图① 图② 309 G 图③ 第12题解图 13.√5或25或3√5【解析】①当CD=AC,且点D在BC下 方时，如解图①，.AB=AC=3,∠BAC=120°，∴.∠B= ∠ACB=30°，由折叠的性质得AB=AD,∠BAP=∠DAP, .CD=AC=AD,.△ACD为等边三角形，.∠DAC= 60°，∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-60°=60°， ∠BAP=∠DP=子∠BAD=30=∠B,AP=BP,∠CAD =∠DAP+∠DAC=90°，.BP=AP=AC·tan∠ACB=AC· ian30°=3x3 =√5：②当CD=AC,且点D在BC上方时， 如解图②，由折叠的性质得AB=AD,∠BAP=∠DAP,∴ CD=AC=AD,.△ACD为等边三角形，∴.∠CAD=∠ACD =60°，·∠BAC=120°，∴.∠BAC+∠CAD=180°，∴.点B, 4,D共线∠BAP=90°.BPA●2：③当Cd =BC时，点C与点P重合，如解图③，过点A作AE⊥ BC,垂足为EE=Aa0=3:AB=ACr =2BE=3√5.综上所述，BP的长为5或25或35. B< 图① 图② 30 参考答案与重难 B C(P) E 图③ 第13题解图 14.30°或120°或165°【解析】如解图①，当AD∥BC时. ∠BCD=∠D=30°，.∠ACE+∠ECD=∠ECD+∠BCD= 90°，∴.∠ACE=∠BCD=30°：如解图②，当AD∥CE时. ∠DCE=∠D=30°，此时∠ACE=90°+30°=120°：如解图 ③，当AD∥BE时，延长BC交AD于点M,则∠AMC=∠B =45°，.∠ACM=180°-450-60°=75°，.∠ACE=90°+ 75°=165°.综上所述，∠ACE=30或120°或165°. D 图① 图② 图③ 第14题解图 15.√0或3√0或5【解析】如解图，四边形ABCD是 矩形，AD=5,AB=3,∴.CD=AB=3,AD=BC=5,∠ABC= ∠DCB=90°，当AD绕A旋转，AD=AE1=AE2=5时，BE, =BE,=V5-3=4,..CE BC-BE =1,CE,=BC+BE, =9,DE,=√CD+CE=√I0,DE,=√CD+CE= 3√I0;当AD绕D旋转时，DE,=DE,=5.综上所述，满足 条件的DE的值为√0或3√0或5. D E, B E E C E 第15题解图 专题二 二次函数综合题 例1解：(1)抛物线顶点坐标为(3,4)， .设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+4(a≠0) 把022)代人得94=22.解得a=号 ·篮球运行路线所在抛物线的解析式为)=5（x-3)尸 +4: (2)把x=5代人抛物线解析式)=-5（x-3)+4,得y= 3.2. 3.2≠3此球不能空心入网，小丽的判断是正确的： (3)当y=3.2时，3.2=- 5(-3)2+4. 解得x=1或x=5. .5>3,.x=1. 答：他应该在李明前面1m范围内跳起拦截才能盖帽 成功： (4)设李明应该带球向正后方移动m(m>0)米，则移动 题解析·江西数学 后的抛物线解析式为y=一 (x-3+m)2+4, 1 将点(5,3)代人上述解析式得(5-3m)户+4=3。 解得m=√5-2≈0.24（负值已舍去）. 答：李明应该带球向正后方移动约0.24m才能正中篮圈 中心 1 1解：(1)当a=2,b= 1 2x+c, 1时，C:y=-2t4 点F坐标为(2,0)， 0=-2x2+22+c, .c=1, :抛物线C,的表达式为y=2+2+1 1,1 (2)不能，理由如下： FG=4,点F坐标为(2.0)， ∴.G(6,0), 六6y=5(-2)(x-6)=3 1 82 +55, 点A的坐标为(4.5,0)，AB=1, .B(5.5,0), 当=55时，y=-5+x-长=0.35<0.5 +5x5 .此时石块沿抛物线C,运动时不能越过障碍物. 2.解：(1)设抛物线的函数表达式为y=ax+bx+c(a≠0)， (c=10 8 由题意，得{400a+206+c=0,解得6=2， 100a+106+c=17.5, c=10, 抛物线的函数表达式为y=g+2x+10: (2)由条件可得OC=10,△ACF的面积是△CEF的面积 的2倍， .点E到直线CD的距离为5，即xe=10+5=15, 95 将xe=15代入抛物线的函数表达式中，得y=g, 时5管： (3ro9 3.解：(1)点N与点B关于原点对称，OC=3米，BC= 1米 .0N=0B=0C+BC=4(米)， .·EN=OF=1米， .E(-4,1),F(0,1), E,P两点关于地物线y(:A话的对称轴对称 h=4+0 -2 2 之将0,1》代人y产宁426得1与4 解得=弓 “U~型豌池最低点到地面的距离为弓米： (2)①由(1)知“U”型碗池抛物线解析式为y=7(x+2)2 参考答案与重难题 一找成名新中考 7 :甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大 小相同，方向相反， ·设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为y=一 1 +mx+n, 如解图，过，点M作MH⊥BC于点H, 出发点D E CHB地面x 第3题解图 易得△ACB△MHB AC BC AB MH-BH MB' 1 由中点性质可知4B 2 1 2.MH-B-2. 4 0M=0B-BM=子（米）. 71 M24) F(0,1), 1 7 7 2 47×( 2m+n, m= 解得 1=n, y= + 7 7t*1: 71 2油0知M(2,4),A(3,2） -4x32+36+1≥2 1 21 根据题意得 4,7 1 解得 9 42s6s 2 21 ×(2 )2+ b+1≤ 4 17 若此次挑战成功，6的取值范围为42≤6≤4 19 例2解：(1)③： (2):一次函数y=x+b(k≠0)是“不动点函数”， .代入点(m,m),得m=mk+b, 整理得(1-k)m=b, 当1-k≠0即k≠1且k≠0时，b为任意实数： 当1-k=0即k=1时，b=0: (3)由抛物线y=x2-2bx+c=(x-b)2+c-b2得， 顶点坐标为(b,c-b2), .·抛物线y=x2-2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不 动点， b=c-b2即C=b2+h: (4)根据题意得，y=(x-6)(12-x)=-x2+18x-72, ∴.令x=-x2+18x-72 整理得x2-17x+72=0. 解得x1=8,2=9, .该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义：在 这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与 销售单价相等. 4.解：(1)直线x=1, 解析·江西数学 31 m的值不可以为3.理由： 由表格知，二次函数的解析式为y=x+bx+c=(x-1)2+k, 把(0,0)代入，解得k=-1, ∴.二次函数的解析式为y=(x-1)2-1=x2-2x 当x=-2时，m=8, .m的值不可以为3： (2)y=-2x2+1: 两个函数的图象如解图所示， 3 543.24仅2345x f作2 上---- 作3 2 第4题解图 由图象知，两个函数的函数值都随x值的增大而减小的x 的取值范围是0≤x≤1； (3)原二次函数的解析式为y=(x-1)2-1=x2-2x,顶点坐 标为(1，-1)， 新函数的解析式是y=-2x2+1,顶点坐标为(0,1)， x= 联立-2x+1解得红=1或 31 (y=x2-2x, (y=-1 7 y=9' .·直线y=m和这两个函数图象有三个交点， 根据图象，可知直线y=m过点(0,1)或(-了，。)时 与这两个函数图象有三个交点， 7 .m=1或m=9 5.解：(1)①③； (2):抛物线y=2x2+mx+n与直线y=x+4只有一个 交点， ∴.方程2x2+(m-1)x+n-4=0有两个相等的实数根， 即4=(m-1)2-8(n-4)=0①， .:抛物线y=2x2+mx+n与直线y=x+4交点是“纵三倍 点”， .该交点的坐标为(2,6) .∴.8+2m+n=6. ∴.n=-2m-2② 联立①2得{(m-1)2-8(n-4)=0, (n=-2m-2, e2 .抛物线的解析式为y=2x2-7x+12: (3)存在 抛物线上有且只有一个“纵三倍点”， 3 联立 3=a+bx+2'得a2+(6-3)x+2=0, 3 y=3x, 32 参考答案与重难 4=(6-3)2-4x34=0. 2 .6a=(b-3)2. .0=b2-2b+6a=2(b-2)2+1, 根据题意，假设存在一个常数t,使得当t≤b≤t+1时，w 的最小值怡好等于t, ①当t+1≤2，即t≤1时，当b=+1时，w取最小值， ∴.t=2(t+1-2)2+1,即2r2-5t+3=0, 解得子（含去）或11 .此时存在常数t=1,使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰 好等于t; ②当tK2<t+1,即1<t<2时，当b=2时，w取最小值1，不 符合题意： ③当t≥2时，当b=t时，地取最小值！ t=2(t-2)2+1,即22-9t+9=0, 解得1子（舍去）或4-3， .此时存在常数t=3,使得当t≤b≤+1时，w的最小值恰 好等于t, 综上所述，t的值为1或3. 6.解：(1)(-1,0)，(0,1)；y=x+1; (2)存在， 解法一函数y=】+1的图象可看成是反比例函数y= L的图象向上平移1个单位后得到的，且反比例函数y L的图象关于原点(0,0)成中心对称。 函数y=1的图象关于点(0,1)成中心对称， .点P的坐标为(0,1)： 解法二：设点4(，+1)为函数y=+1图象上任意 点，P(m,n), 则点A关于P(m,n)成中心对称后的对应点为A'(2m-t, 2m110. t 由题意知A点在函数y=上+1的图象上， 则有2n- 112 t +1,整理得(2m-t-1)(2m-t)=(2m 2m- -t+1), 去括号进一步整理可得(2-2n)?+(4mn-4m)t-2m=0, 由题意可知此方程有无数解， 12-2n=0, 故-2m=0, 解得1， 4mn-4m=0, (m=0, 故点P的坐标为(0,1)； (3)①函数C1:y=ax2-2ax+2a=a(x-1)2+a图象的顶点 坐标为(1，a), 则(1，a)关于点(2,2)成中心对称的点为(3,4-a), 故函数C2可设为y=-a(x-3)2+4-a=-ax2+6a.x+4-10a 当a=时函数Gy=之+1，函数C43-1 1 题解析·江西数学 画出两个函数图象如解图①： C 第6题解图① 则W区域内的“整点”为(1,1)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、 (3,3),共计5个“整点”； ②联立C,和C2表达式，即ax2-2ax+2a=-ax2+6ax+4 -10a, 整理得ax2-4ax+6a-2=0, .C,和C,要围成区域W, 4=(-4a)2-4a(6a-2)>0,∴.0<a<1 ·C,和C,关于点(2,2)成中心对称 点(2,2)必为W区域内一个“整点” 当W内有9个“整点”时，须以，点(2,2)为中心，再向外找 出4对关于(2,2)成中心对称的点， 由解图②可知，另外4对“整点”只能是(1,1)和(3,3)、 (2,1)和(2,3)、(0,1)和(4,3)、(1,2)和(3,2)， TY -2 0123456x 第6题解图② 此时函数C,过点(0,1)，即4-10a=1,满足题意 可得a=10 当W内有13个“整点”时，须以点(2,2)为中心，再向外 找出6对关于(2,2)成中心对称的点， 由解图③可知，即在前面9个“整，点”的基础上再增加2 对关于(2,2)成中心对称的点的坐标，即增加(0,2)和 (4,2)、(3,1)和(1,3)， -2-1 0123456x 第6题解图③ 此时，函数C,过点(0,2)，即4-10a=2, 解得a=5 1 3 综上可得a的取值范围为5≤a≤1O 例3解：(1)当a=1时，抛物线C,解析式为y=x2-4x-5= (x-2)2-9. .对称轴为直线x=2, ∴.当y=0时，x-2=3或x-2=-3,即x=5或x=-1, 参考答案与重难题 一战成名新中考 ∴.抛物线C,与x轴的交点坐标为(-1,0)，(5,0)： (2)抛物线C1的解析式为y=ax2-4ax-5, 整理得y=ax(x-4)-5, .当ax(x-4)=0,即x=0或x=4时，y恒为-5 抛物线C,一定经过两个定点，这两个定点的坐标为 (0.-5),(4,-5): (3)①y=-ax2+4ax-5; ②由题意可知，当直线y=a过抛物线C,或C,的顶，点 时，正好共有三个交点，分情况讨论： 当直线y=a过抛物线C,的顶点时，由y=ax2-4ax-5可 得抛物线C,的顶点坐标为(2，-4a-5), 则-4a-5=a,解得a=-1<0,不符合题意，舍去： 当直线y=a过抛物线C,的顶点时，由y=-a2+4ax-5 可得抛物线C,的顶，点坐标为(2,4a-5), 则4a-5=a,解得a=3 综上所述，0的值为： (4)将抛物线C,向右平移t个单位， 得y=-a(x-t)2+4a(x-t)-5. 联立=ar-4r-5, (y=-a(x-t)2+4a(x-t)-5 化简得2x2-(2t+8)x+t2+4t=0. 4=(2t+8)2-4×2×(t2+4t)=-4t2+64, 抛物线C,向右平移t个单位后，与抛物线C,有且只 有一个交点，.△=0，即-4t+64=0. 解得t=4(负值已舍去)， .t的值为4. 7.解：(1)上，x=1: (2)把(2,0)，(3,3)代人y=ax2+bx, 码出解释名1 .抛物线的解析式为y=x2-2x, 当x=1时，m=1-2=-1: (3)画出函数图象如解图所示 432 234龙 2 3 第7题解图 ①±1； ②t的取值范围是0<t<1或tK-3. 8.解：(1)①1：(2，-9)： ②6： (2).y=ax2-4ax-5=a(x-2)2-4a-5. .顶点坐标为P(2,-4a-5), ·将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位 长度，得到的抛物线恰好经过，点P, .平移后的抛物线解析式为y=a(x-2+2)2-4a-5-8=ax -4a-13, 将点P的坐标代入得-4a-5=4a-4a-13. 解得a=2: (3)①：y1=, 解析·江西数学 33 :抛物线的对称轴为直线x=m+1+m-1=m, 2 -4=2,m=25 又“对称轴为直线x=2 ②存在实数a,使得△MNP为等边三角形 m=2,.M(3,-3a-5),N(1,-3a-5),.MN=2, 又.·顶点P的坐标为(2，-4a-5), ∴.点P到MN的距离为a, 又.·△MNP为等边三角形 ∴.∠MNP=60°，PM=PN=MN=2, a√3 sin60°=22' ∴.a=3; ③m的取值范围为m>2. 例4解：(1)①③： (2=n-2r2)+=宁-m4) -2+3. 2 “族抛物线”.的顶点坐标为以(2.号+3).则M 2,n*1 +3] 2 Ma3-分3=24 2 (3)点P1,P,P…,Pn在同一条直线上.把x=2代人 =-2+子，得=子则(2,子： 把x=3代入为=(x-2)+5,得=号，则B(3, 1 : 把=4代人为=之(-2)+5，得为-号则2(4. : 把=5代入=(x2)41,得=只，则P(5, 13、 : 把=1代入=子2户分8，得=宁则 P.(n+1,nt2); 设直线P,P,的解析式为y=k+b(k≠0)，把P,(2,), 7 P(3,号)代人 2k+b=2 7 k=1, 得 解得 3 9 3k+b=2 b= 2 .3 .直线P,P2的解析式为y=x+2, 拒=4代人y+号得号把5代人y+得于 13 34 参考答案与重难 把=1代人y=+得y= .5 点P3,P4,…Pn在直线P,P2上点P,P2,P,…,P 在同一条直线上 9.解：(1)由定义得抛物线y=-x2+bx+c的“衍生直线”的解 析式为y=-x+1, 当y=0时，-x+1=0,解得x=1,.B(1,0), 将B点、C点的坐标代入y=-x2+bx+c, 。将两子 (c=3, ∴.抛物线的解析式为y=-x2-2x+3, 当-x2-2x+3=-x+1时，解得x=1(舍去)或x=-2, 当x=-2时，y=-(-2)+1=3,.A(-2,3)； (2)①(-1,1)，(-3,2)，(-7,4)，(1-2,2-)； ②点E1,E2,…,E。在同一条直线上 设直线E,E,的解析式为y=kx+m(k≠0)， 1 (-k+m=1,解得 k=- 2 （-3k+m=2, 1 m22 六直线E,E,的解析式为)=2+2 11 当x=1-2时y=x1-2)+-2, .点E在直线E,E,上， 点E1,E2,…,E。在同一条直线上，直线的解析式为y= 11 2+2 例5解：(1)①3；②S=t2+2. (2)解法一：由图象可知，当点P运动到点B时，S=6, 将=6代人S=+2, 得6=t+2,解得t=2或t=-2(舍去)， .当点P运动到点B时的坐标为(2,6)， 当点P由点B运动到点A时，设S关于t的函数解析式 为S=a(t-4)2+2(a≠0)， 将(2,6)代入，得6=a(2-4)2+2,解得a=1, .S关于t的函数解析式为S=(t-4)2+2: 由图象可知，当点P运动到点A时，S=18. 由18=(t-4)2+2,解得t=8或t=0(舍去)， .AB=(8-2)×1=6; 解法二：由图象可知，当点P运动到点B时，S=6, 即BD=6,BD=V6, 在Rt△DBC中，由勾股定理得BC=√BD-CD=2, ∴.点P由点C运动到，点B的时间为2÷1=2(s), .当点P运动到点B时的坐标为(2,6)， 当点P由点B运动到，点A时，设S关于t的函数解析式 为S=a(t-4)2+2(a≠0). 将(2,6)代入，得6=a(2-4)2+2.解得a=1. .S关于t的函数解析式为S=(t-4)2+2; 当点P运动到，点A时，S=PD=AD=18, 则AD=3√2，.AC=AD+CD=42, 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=√AC2+BC=6: (3)①4；【解法提示】解法一：由(1)(2)可得S= (t+2,0≤t<2, (t-4)2+2,2≤t≤8， 如解图①，补全0≤t<2时的图象， 根据图象可知，0≤t≤2时的图象与2≤t≤4时的图象关 题解析·江西数学 于直线t=2对称，t1+i,=4 解法二：如解图②，过点D作DH L AB于点H,则∠AHD =90°=∠C,:∠DAH=∠BAC,△ADI∽△ABC,BC DH 治以装0 264w2 DH=反，A=4.BH= 2,DH=CD,存在3个时刻t1,2,(t1<2<)对应的正 方形DPEF的面积均相等，DP,=DP=DP,∴CP,= ,PH=4-,在R△CDP,和R△HDP,中DP=DP, (CD=HD. .Rt△CDP,≌Rt△HDP2(HL),.CP=HP2,∴.t1=4-t2, .∴.t1+t2=4. 18 Olt tit: 图① 图② 例5题解图 ②解法一：函数S=t2+2的图象向右平移4个单位与函 数S=(t-4)2+2的图象重合， 当t=t1和t=3时，S的值相等，t3t1=4, 又6=41心41-，=4，解得4=3 4 此时正方形DPEF的面积S=疗+2=34 解法二：根据二次函数的对称性，可知t2+t,=8. 由①可知t1+52=4,.t3-41=4, 同“解法一”得正方形DPEF的面积为 9 解法三：如解图②， .·DP,=DP,DH=DC,∠DHP3=∠C=90° .Rt△DHP≌Rt△DCP(HL),.PH=CP1, .P3H=t3-4,∴.t3-4=t1, 同“解法一”得正方形DPEF的面积为 9 10.解：(1)4,5： (2)如解图，过点Q作QD⊥AB,垂足为D. 当点P在边AB上时，BP=AQ=t-4. 20 在R△AD0中，D0= 2(4), S.00= 4 (t-4)2(4<t≤8)： 第10题解图 (3)由(1)可知，当0≤t≤4时，抛物线的顶点坐标为(2， 5), 当0≤t≤4时，设抛物线的解析式为S=a(t-2)2+√3(a ≠0)， 参考答案与重难题) 一战成名新中考 将(4,0)代入解析式，得0=4a+3, 第得á=年 5=年-2》w5. 由(2)可知，当4<t≤8，S随t的增大而增大 存在三个时刻t1,i2,t(,<2<t)对应的△BPQ的面积 均相等， ∴.0<t1<t2<4,4<t3<8, 根据二次函数的对称性可知t,+t2=4, 63-t2-t1=5….t3=4+5, 5=5x(4+w5-4=3535 4 =44=4 (t-2)2+√3」 解得1=1,2=3，t1=1. 专题三综合与实践一几何探究题 例1解：(1)AD⊥BE,AD=BE: (2)BE=mAD,AD⊥BE, 证明：∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE, 器-8得aAc△股C BE BC 六ADAC=m,∠CBE=∠A,BE=mMD, ·.·∠A+∠ABC=90°，.∠CBE+∠ABC=90°， ∴.∠ABE=90°，∴.AD⊥BE: (3)①解法一：由(1)知：当m=1时，BE=AD=x,BE⊥AD, CB=CA=6,CD=CE, .:∠ACB=∠DCE=90°， .AB=√CA+CB=√6+6=62， .∴.BD=AB-AD=6N2-x, .DE=BE2+BD2=x2+(62-x)2=2x2-12√2x+72, .·点C与点F关于DE对称， .CD=CE=EF=DF,.四边形CDFE是正方形， 六y=2DB=-62x+36=(x-32)2+18, 当x=32时，y取得最小值18； 解法二：如解图①，过点D作DPL AC于点P, 则∠DPA=90° 由(1)知，CB=CA,.∠A=45°， DP=AP= 2,4CP=6-2, 同“解法一”易得四边形CDFE是正例1题解图① 方形， 在Rt△CDP中，CD2=CP2+DP2. y=x2-62x+36=(x-32)2+18, 当x=32时，y取得最小值18； 解法三：如解图②，过点C作CGLAB于点G, 则∠AGC=90°，同“解法二”易得∠A=45°，四边形CDFE 是正方形 AC=6,..CG=AG=32,..DG=3 DG=x-32. 在Rt△CGD中，CD=DG+CG2, .CD2=(32-x)2+(32)2或CD2=(x-32)2+ (32)2, 军析·江西数学 35