求数列最值（单调性法和不等式法）专项训练-2026届高三数学二轮复习

单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 考点目录 单调性法求数列最值 不等式法求数列最值 考点一 单调性法求数列最值 例1.(2025·天津河西·二模)已知数列{an}为等差数列或等比数列，前n项和为Sn,且满足a4=8,a。=32 (I)当数列{an}为等差数列时，求{an}的通项公式及Sn; ②当S,在n∈N单调递增时，设么，-a,求∑i-6-1 会(6+14，+的值： ③)当数列口，为等比数列且为摆动数列时，设c,-三，求C,的最大值和最小值 a. 例2.(25-26高三上湖北孝感·月考)(1)已知数列{a,}的前项和Sn=-n2+10n-8neN),求数列{a,}的通项公 式： 2》已知数列Q,的通项公式a机5武判断0，是否有最大值并说明理由 单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 例3.(25-26高三上福建厦门月考)记等差数列{an}的前n项和为Sn,己知a=5,S,=49. (I)求数列{an}的通项公式： ②)若数列{c满足c,=1 -,记数列cn}的前n项和为Tn,求Tn; anan (3)若an+1<man恒成立，求实数m的取值范围. 例4.(25-26高三上湖南邵阳·月考)设{an}是等差数列，a,=-4,且a2+5,a+3,a4+1成等比数列. (I)求{an}的通项公式： (2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值 2 单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 变式1.(2025广东江门模拟预测)已知数列a,的前项和为，4-21-川S=2na (1)证明： 是等比数列. (2)求数列{Sn}的前n项和T. (3)若2≤an,求2的取值范围. 变式2.2526商三上裤十据月考)已知数列a中，。=1*a+2l-可(（weNaeR1u:0) (1)若a=-9,求数列an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n∈N,，都有an≤a6成立，求a的取值范围. 单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 变式3.(25-26高二上浙江舟山-期末)已知数列{a,}中，a,=1a1=0(neN). a。+3 (1)证明数列 是等比数列，并求{an}的通项公式a: ②数列6，满足6，=(3”-刂小分a,设工为数列b,}的前项和，求使k<工恒成立的最大的整数无. 2a 10 变式+.2526商三上：重肤月考)已知数列2满定a4-中8日 的前n项和为Sn (1)证明 1-1 为等比数列，并求数列{a}的通项公式； ②记6-1-a",b的前顶和为Z若存在nN,使得S,-4+4-T--cos(m)≤0成立，求正实数A的最 小值 单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 考点二 不等式法求数列最值 1 例1.(25-26高三上~安徽合肥月考)已知数列a,}各项均为正数，4=2，且对任意的neN，有 a=a+ca(c>0). 0球rtra+约， 1 2若c三，06是香存在nGN,使得a,>?若存在，试求出的最小值；若不存在，请说明理 2.2526高三上江苏苏州：期中D）已数列a的前n项和为S,且。=4eN,其中aa (1)求数列{an}的通项公式 (2)设数列{bn}满足(2an-1)2-1=1,Tn为bn}的前n项和，求证：2Tn>log2(2an+1,neN∴. 黄.发na得广得-得， =恒成立，正整数k的最 大值为8，求m和d的值. 单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 例3.(24-25高三下…上海月考)已知数列{an}的前n项和为Sn=12-12 2 3 (I)求数列{an}的通项公式： (2)若数列{bn}满足b,=(2n-1)an,问是否存在正整数m,使得bm≥9成立，并说明理由. 例4.(25-26高三上·广东广州月考)若一个数列由两个变量k和n共同控制，则称这样的数列为“双数列”，当 k≤n时，可记为a,在研究这样的数列问题时，一般将一个变量视为固定值，已知数列{an}中，a=1,an1=nan ，给定双数列b=a， Qkan+1-k (1)求数列{an}的通项公式： 2现固定的值且≥2，求2， k石 ③)设双数列工_-baL,固定的值且满足4n+1=(21+1,teN,则当k取何值时，疗取得最大值（结果 n利 用含t的表达式表达) 6 单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 变式1.(25-26高三上安徽宣城月考)已知每项均不为0的数列a}满足：a,=1, a1+1a1-a,-2)=0 a (1)若a4=-5,求a2的值； @若→0e.么-(8 ·an,求数列{b}的最大项； (3)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在满足条件的数列an},使得So25=2025？如存在，求出这样的数列的一个 通项公式；若不存在，请说明理由 变式2.(24-25高三上福建厦门期中)己知数列{an}的前n项和为Sn,2an=Sn+2,(n∈N), (1)求数列{an}的通项公式： 2)记c,=1og:a,数列9的前项和为7,1≥n2-T,)恒成立，求实数2的取值范围 a 单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 变式3.(24-25高三上~辽宁丹东·期中)记Sn为等差数列{a,}的前n项和，4S,=a,a1+1,a,≠0，n∈N. (I)求{an}的通项公式： (②若b,=S,求使b取得最大值时的值. 变式4.(25-26高三上山西运城月考)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3am-2n+1. (1)计算a2,a,猜想{an}的通项公式并加以证明； ②设，=受，求使数列，}取得最大值时n的值. 34单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 考点目录 单调性法求数列最值 不等式法求数列最值 考点一 单调性法求数列最值 例1.(2025·天津河西·二模)已知数列an}为等差数列或等比数列，前n项和为Sn,且满足a4=8,a6=32 (I)当数列{an}为等差数列时，求{an}的通项公式及Sn; ②)当8，在n∈N单调递增时，设6，-a,求之任-6-】 台(6+(，+的值： ③)当数列口，为等比数列且为摆动数列时，设c,-三，求c,的最大值和最小值 a. 【答案】(1)an=12n-40,Sn=6n2-34n 站别 ③)最大值为1，最小值为时 【详解】(1)当数列{an}为等差数列时，设其公差为d, a,+3d=8 由题意得 (a+5d=32'所以 a1=-28 d=12’ 所以a,=-28+12(n-1=12n-40, 9.-28m+nn-×12=6m2-34n 2 (2)若数列{an}为等差数列，由(1)知S。=6n2-34n,显然Sn在n∈N不单调； {ag=32解得81或a=-1 数数列a,为等比数列，设公比为9，则a9=8, 9-2或日=-2 当4=1,9=2时，0，=2,9-11-2 =2”-1,易知Sn在n∈N单调递增； 1-2 当a,=-1,9=-2时，a,=-(-2，Sn 。（-1)-(-2）_-2-1,易知5，在neN不单调， 1-(-2) 3 所以bn=an=2", 单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 (n-1)b,-1(n-1)2--1nn+1 由6.+b+1(2+12”+12+12+灯' 可交6隐导岩别 nn+1_1n+1 (3)当数列{a,}为等比数列时，由(2)知a,=2"-或a。=-(-2, 又，为摆动数列，所以a,=(-2,3=-2”, 3 所以cn a. 当n为奇数时，Cn= 引+司单减当=时取最大值1。且， 3 当n为偶数时， Cn= 引司)单调塔当=2时取得最小值与，且 2 所以c,的最大值为1，最小值为 例2.(25-26高三上湖北孝感·月考)(1)已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+10n-8neN),求数列{a,}的通项公 式 (2)已知数列a,的通项公式a,=2n-5 n-2 试判断a,是否有最大值并说明理由 1,n=1 【答案】(1)an= -2n+1,n≥2neN)（2)有最大值，理由见解析 【详解】(1)因为数列an}的前n项和Sn=-n2+10n-8(neN), 所以当n≥2时，S-1=-(n-1)2+10(n-1-8=-n2+12n-19, 所以an=Sn-Sn-1=-2n+11, 当n=1时，a,=S,=-12+10×1-8=1不符合上式， 1,n=1 所以an= -2n+1l,n≥2(n∈N】 ②》因为g,22-15 2=1+11」 2n-152n-152"2(2n-15) 1111 当1≤n≤7时，2n-15<0,则a,=2+22n-152' 合数-”可单调鞋可时发2单调老成 2 单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 11 当n28时，2n-15>0,则a,=2+22n-15>2 酷合函数八专+22”5单调雅可知，此两数列口单调油减 故a1>a2>…>a1<ag>ag>a1>…, 故数列{an}最大项为a=6.故an的最大值为6 例3.(25-26高三上·福建厦门月考)记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a=5,S,=49. (1)求数列{an}的通项公式： 2若数列c,满足c,=1, ,记数列cn}的前n项和为T,求Tn; anan (3)若an+1<man恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)an=2n-1 04 (3)m>3 【详解】(1)设等差数列{an}的首项为a,公差为d, a3=a1+2d=5 则 s,=7a+al.72a+6d-49' 2 2 a=1 解得 d=2' 所以数列{an}的通项公式为an=1+2(n-1=2n-1: (2)由an=2n-1, dl动 可得Cn= 11 所以Tn=C+C2+…+Cn -传引…】 2n+13 单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 (3)因为a+1<man,且an=2n-1>0, 所以m>0=2+!=1+,2 a,2n-11+2m-1' 2 易知f(n= 2n一neN单调递减， 所以f(m)= 2e0,2], 2n- 所以u=1+f(n)∈(1,3]， 故实数m的取值范围为m>3。 例4.(25-26高三上·湖南邵阳·月考)设{an}是等差数列，a,=-4,且a2+5,a+3,a+1成等比数列. (I)求{an}的通项公式： (2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值 【答案】(1)an=2n-6 (2)-6 【详解】(1)因为a,=-4,且a2+5,a+3,a4+1成等比数列， 所以(-4+2d+3)2=(-4+d+5)(-4+3d+1), 解得d=2, 所以an=-4+2(n-1)=2n-6. 即{an}的通项公式为an=2n-6; (2)因为a1=-4,an=2n-6, 所以s.4+2-6--- 2 可知当n=2或n=3时，Sn最小， 最小值为2=S,=-6 变式1.(202s广东江门-校拟预测)已知数列a,/的前碳和为Sa1-m小S,=2a (1)证明： 各}是等比收列。 (2)求数列{Sn}的前n项和Tn· 单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 (3)若元≤a,求1的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； -2-a*2j ⑧≤日 【详解】(1)因an= S,n=1 S,-Snn22’ 则1-mS,=2na1=2nSa-S)→(n+1)S.=2S→=2.S nn+l S 受-：从后侣}是比 (2:由1侣}是以片4为首或。公比为的等比数列 则-得8=，从而元=+5+8+45 -1gg++ →，=1+2+3兮++a,两式相减呵： -g-唱g里目g 则-2+2： 3由2,4==方≥2-8=n9-a- =2-份又4=2-兮}则=2- 1≤a,≤(a,n,当1≤n≤2时，易得a=7a=0, 当2,40.。a=-小-2---3 单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 1 即a4=a,当n之4时，a1-an>0,则{a}为递增数列，则(am=a,=a=- 8 即日 1 变式2.(25-26高三上湖北十堰月考)已知数列{an}中，an=1+ a+2n-l(neN,aeR且a≠0). (1)若a=-9,求数列{an}中的最大项和最小项的值： (2)若对任意的n∈N,都有an≤a6成立，求a的取值范围， 【答案】(1)最大项为a6=2,最小项为a=0 (2)-10,-8 1 【详解】(1)yan=1+ a+2n-),(n∈N，aeR且a≠0) 1 又a=-9,a,=1+2n-(neN) 因为数=1+2x(》利侣+o小上单调难减。 可知l>a1>a2>a3>a4>a5,a6>a,>ag>…>an>1（n∈N), ∴数列{an}中的最大项为a6=2,最小项为a=0 1 (2)an=1+ 1 2 a+2n-11+2-a7 2 己知对任意的n∈N,都有an≤a6成立， 1 因为函数f=1+,子-。在， 2-a x- 2 可知5<2,0<6，即-10<a<-8. 2 故a的取值范围是(-10，-8). 变式3.(25-26高二上浙江舟山期末)已知数列{a,}中，a=1,a1=8,neN). a +3 (1)证明数列 上+是等比数列，并求{a,的通项公式a: 2数列6，满足么，=(3”-小艺a,设乙为数列6，的前项和，求使太<工，恒成立的最大的整数太. 6 单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 【斧案】0详明见销折：。，=，之 (2)0 1+10+3+1 1+ 【详解】(1)因为02=，2_ （an2 11 13 1+1+111 =3,且+=1+= a1222’ a 2 a 2 a 2 所以数列 1,1 。十方是以号为首项，以3为公比的等比数列 02*33 1,13 所以二+ 2 2 →u,=3”-1 2》由题意，-g小兰品只 123 n 所以7=2+2+京+…+2， +2-可+2 1 111 两式相减得： =1+2 2 2+2++”1 222 1- 202、0+2 2” 2 所以7，=4-n+2 21 20241+2 由7127→4-n+33 2斤→n2-1. 所以T≤T≤T≤…，所以Tn≥T=1, 由k<T,恒成立得k<1,所以整数k的最大值为0. 变式4.(2526高三上重庆月考)已知数列{a,}满足4=3a-1 2 2a,1 的前n项和为Sn 1+anan) (1)证明 11 为等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)记bn= -a,,b的前项和为若有在neN,使得S。-4利+4-了.-22，c0sm)≤0成立，求正实数的最 小值 【答案】()a,= 2" 2"+1 o号 单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 【详解】1)已知4品。，两边同时欧倒数可释。 1=1+a=1+} an2a,20+2, 则1-1=+-1=1- a2a。22a 311 ,所以-1 1 又a=3 2 2 是以)为首项，子为公比的等比数列 由等比数列适项公式可等1 a 则1，所以。= 2" 1 n 2)由8,2可得6=-6/”-（2+1 n an 2” 2分， 2"+1 123 1,2,n-1n 2+++2分+2，@ 111 ①-②得：Tn=2 1 n 22+2++2”2m, 根据等比数列求和公式可得：工=22 1 n 2n 1 2m122, 1- 2 所以T=2-”+2 2” a 1 1- 2N 将8和五代入不式可得：a+1-4小4--”生eoa到0， 化简得：-3n+2+”+2-”-2cosm)s0, 2 a-a-2小+2-2eos网s0. 当n为奇数时，c0s(nm列=-1，则(m-10m-2)+2+22≤0， 因为a-a-2+220,所以≤-a-a-2小+引： 单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 当=1时，-a-a-2+ 取得最大值-1，所以入2≤-1，无解： 小于2的偶数时，c0sa=1，则n-n-2)十专 即2≥a-Ww-2*2 因为(m-D0n-2)+随着力的增大而增大 所以当1=2时，a-m-2+子取得最小值 所以，路A心号成号 2 又因为1为正实数，所以元≥ 2 综上，实数入的最小值为巨 2 0 单调性法求数列最值、不等式法求数列最值专项训练 考点二 不等式法求数列最值 1 例1.(25-26高三上：安徽合肥月考)已知数列a,}各项均为正数，4=2，且对任意的n∈N,有 a=a,+ca2(c>0). wia*1rm+a c一+的值： 1 (2)若c=、 2016'是否存在neN,使得a,>1?若存在，试求出的最小值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2 (2)存在，2018. 【详解】(1)因为1=1 1 do d ca 所以 11c 11c anan 1+ca ,即 。aH1+ca,' 11 a az 1+ca 11c az a I+ca, … 11 anan 1+ca 累加得 11 aa 1+ca 1+ca, 1+can 1=.c+c++.c 1 所以 a 1+ca 1+caz 1+ca ai c+,c+1-1=2 可得1+ca+1+caaa 2)因为a4=at016之≥a> 1 所以{an}单调递增，得。=4<a2<…<a2o16, 2 由a4=g,+g得1 1 一三 2016a,a+1an+2016' 则21 1 1 1 十…十 2017a1+2016a2+2016 a2016+2016' 因为a>0(1=1,2,，2016),则 1 a,+20162016’ 所以2-1<06×2016，解得0m<1, 020172016 此时，a1<a2<…<a2017<1, 10