精品解析：新疆乌鲁木齐市第126中学2025-2026学年第二学期九年级开学学情诊段数学学科

2025-2026学年第二学期九年级开学学情诊段数学学科 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，从左面看到的图是（ ） A B. C. D. 3. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 关于二次函数，下列说法正确的（ ） A. 函数图象开口向下 B. 函数图象的对称轴是：直线 C. 该函数有最大值 D. 当时，随的增大而增大 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 7. 某校组织部分学生步行2千米到纪念馆参加活动，要求学生队伍比原计划提前5分钟到达，这样学生队伍的实际行进速度比原计划的行进速度快，问学生队伍原计划的行进速度为多少？设学生队伍原计划的行进速度为米/分，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴相切于点，与轴的一个交点为．若的半径为5，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 对于多项式：，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作减法运算，并算出结果，称之为“双减操作”例如：，，， 给出下列说法： ① 为任意整数时，所有“双减操作”结果都能被2整除； ②至少存在一种“双减操作”，使其结果为； ③所有的“双减操作”共有5种不同的结果． 以上说法中正确的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 某芯片晶体管线宽约为0.0000000053米，数据0.0000000053米用科学记数法表示为__________米． 11. 学校为选拔数学竞赛选手，对甲、乙两名同学进行了4次模拟测试．已知两人成绩的方差分别为：，根据成绩的稳定性，应选___________同学参赛．（填“甲”或“乙”） 12. 已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为____ ． 13. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是________． 14. 图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_____． 15. 如图，抛物线与y轴交于点C，顶点为A，连接并延长交抛物线的另一个交点为点B，抛物线的对称轴交x轴于点E，交于点D，且，当时，则c的值是 ____________________． 三、解答题（共8小题，共90分） 16. 计算、化简求值： （1）． （2），其中． 17. 解决下列问题： （1）解不等式组，并写出非负整数解． （2）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3小时；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了5小时．已知船在静水中的速度是8千米/时，则水流的速度是多少？ 18. 预防传染病有以下常见的措施：①戴口罩；②勤洗手；③少出门；④重隔离；⑤捂口鼻；⑥谨慎吃．某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图．请你根据上面的信息，解答下列问题． （1）本次共调查了______名员工，_______，“基本了解”在扇形统计图中的圆心角度数______°； （2）若该公司共有员工1000名，请你估计“不了解”防护措施的人数； （3）在调查中，发现有4名员工对防护措施很了解，其中有3名男员工、1名女员工．若准备从他们中随机抽取2名，让其在公司群内普及防护措施，求恰好抽中一男一女的概率． 19. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：在线段上作点，使；作的角平分线，交于点，连接； （2）求证：四边形菱形． 20. 日月双塔是中国名塔，是桂林市的文化地标，某校九年级“综合与实践”小组开展了“日塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量对象 广西桂林日月双塔——日塔 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 无人机，测角仪等． 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得日塔的顶端A的俯角为； 2．再将无人机沿水平方向飞行到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求日塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 21. 为迎接我区文旅产业发展大会，九曲黄河万里情景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． （1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若经销商计划销售该纪念品每日获利800元，且尽可能让利于顾客，求该纪念品的销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天的获利最大，最大利润是多少？ 22. 如图，已知是的直径，A在上，点D是的内心，的延长线与相交于点E，过E作直线． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 是等边三角形． （1）以为边在其右侧作等边，连接． ①如图（1），若点在边上，连接，求证：； ②如图（2），若点在内部，，的延长线交于点，请探究与的数量关系，并说明理由； （2）如图（3），若点在边上，，点是延长线上一个动点，以为边在其左侧作等边，连接，交于点，当取最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级开学学情诊段数学学科 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 2. 如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，从左面看到的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体．从左面看到的图形是两列，其中左边一列2个正方形，右边一列有1个正方形，作出判断即可． 【详解】解：从左面看到的图形为： 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质（同底数幂的乘除、积的乘方）与合并同类项法则，需根据相关法则逐一判断选项计算的正确性． 【详解】解：A、，故A错误． B、，故B正确． C、，故C错误． D、，故D错误． 故选：B． 4. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角板中角度的计算，解题的关键是掌握平行线的性质． 根据三角板的角度特点得出，根据平行线的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 关于二次函数，下列说法正确的（ ） A. 函数图象开口向下 B. 函数图象的对称轴是：直线 C. 该函数有最大值 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，最值，增减性是关键． 根据二次函数顶点式得到图形开口，对称轴直线，最大值，增减性，由此即可求解． 【详解】解：二次函数， ∵，图象开口向上，顶点坐标为，对称轴直线为，最小值为，当时，随的增大而增大， ∴故A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项正确，符合题意； 故选：D ． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，解题需注意两个条件，一是一元二次方程二次项系数不为0，二是方程有实数根时根的判别式大于等于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 方程有实数根， 根的判别式， 解得：， 满足且． 7. 某校组织部分学生步行2千米到纪念馆参加活动，要求学生队伍比原计划提前5分钟到达，这样学生队伍的实际行进速度比原计划的行进速度快，问学生队伍原计划的行进速度为多少？设学生队伍原计划的行进速度为米/分，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题为行程问题列方程题，先统一单位，再根据“原计划用时实际用时提前到达的5分钟”的等量关系列方程即可． 【详解】解：2千米米， ∵实际行进速度比原计划快，原计划速度为米/分， ∴实际速度为 （米/分）， ∴原计划用时为分钟，实际用时为分钟， ∵队伍提前5分钟到达， ∴列方程得． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴相切于点，与轴的一个交点为．若的半径为5，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线性质、勾股定理应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出相关线段的长度． 过点作轴于点，连接、；由与轴相切于点，得轴，从而确定点的坐标；在中，利用勾股定理求出的长度，再结合的长度求出的长度，进而得到点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，连接、． 与轴相切于点，且半径为， ，，， 点的坐标为， ，． 在中，，， 由勾股定理得：， ， 点的坐标为． 故选：． 9. 对于多项式：，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作减法运算，并算出结果，称之为“双减操作”例如：，，， 给出下列说法： ① 为任意整数时，所有“双减操作”的结果都能被2整除； ②至少存在一种“双减操作”，使其结果为； ③所有的“双减操作”共有5种不同的结果． 以上说法中正确的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算，清晰的分类讨论是解本题的关键；令，，，，所有“双减操作”的结果就是在A、B、C、D四个整式前面增添两个“”号和两个“+”号，再分类计算，再根据结果进行判断即可. 【详解】解：令，，，， 所有“双减操作”的结果就是在A、B、C、D四个整式前面增添两个“”号和两个“+”号，则有以下几种计算结果： 第1种：， 第2种：， 第3种：， 第4种：， 第5种：， 第6种：， 由上可知，所有的“双减操作”，x为整数时，其结果均为能被2整除；故①说法正确； 不存在哪种“双减操作”，其结果为；故②说法错误； 所有的“双减操作”共有5种不同的结果；故③说法正确． 故选： B． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 某芯片晶体管的线宽约为0.0000000053米，数据0.0000000053米用科学记数法表示为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．依此求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 学校为选拔数学竞赛选手，对甲、乙两名同学进行了4次模拟测试．已知两人成绩的方差分别为：，根据成绩的稳定性，应选___________同学参赛．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】此题考查了方差的意义．方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，成绩越稳定；乙的方差较小，因此乙的成绩更稳定． 【详解】解：∵，且， ∴乙的成绩更稳定，故应选乙同学参赛． 故答案为：乙． 12. 已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角，掌握知识点是解题的关键． 利用多边形的外角和定理，每个外角为，外角和为，即可求出多边形的边数． 【详解】解：每个内角为，则每个外角为， ∵多边形的外角和为， ∴多边形的边数为． 故答案为：8． 13. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 先求得m值，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得，解得 ∴， 观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 14. 图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案． 【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 15. 如图，抛物线与y轴交于点C，顶点为A，连接并延长交抛物线的另一个交点为点B，抛物线的对称轴交x轴于点E，交于点D，且，当时，则c的值是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】设、，因为抛物线的顶点为A，连接并延长交抛物线的另一个交点为点B，只有点在线段上这个情况，由，利用相似三角形的性质可得出、间的关系，将、点坐标代入抛物线与抛物线对称轴联立方程组，解方程组即可求得的值．本题属于二次函数综合题型，主要考查了三角形的相似以及二次函数的性质，解题的关键是根据找到、点坐标的关系． 【详解】解：过点作轴， ∵， ∴ ∴设、点坐标分别为、， ， ，， ， 如图1所示． ， 点为线段的中点， ，， 点横坐标为． 由题意知、点均在抛物线的对称轴上， ，． 点坐标为， ，在抛物线上，且抛物线对称轴为， 把，，对称轴为分别代入 得出 ， 解得：，或， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共90分） 16. 计算、化简求值： （1）． （2），其中． 【答案】（1） 1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂的定义、指数幂的定义、绝对值的定义、特殊角的三角函数值，把算式中各部分分别计算出来，再根据运算法则进行计算； （2）根据分式的运算法则把分式化简，再把代入化简后的代数式中计算求值． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ， 当时， 可得：原式． 17. 解决下列问题： （1）解不等式组，并写出非负整数解． （2）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3小时；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了5小时．已知船在静水中的速度是8千米/时，则水流的速度是多少？ 【答案】（1）不等式组解集为，其非负整数解为； （2）水流的速度是2千米/时． 【解析】 【分析】（1）分别求出每个不等式的解集，并求出两个解集的公共部分即可，最后根据不等式组的解集即可求得不等式组的整数解； （2）设水流速度是千米/时，则这艘船顺流的速度是千米/时，逆流的速度是千米/时，根据路程等于速度乘以时间，以及来回路程相等，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 由①，解得， 由②，解得． 所以不等式组解集为， 其非负整数解为； 【小问2详解】 解：设水流速度是千米/时，则这艘船顺流的速度是千米/时，逆流的速度是千米/时， 根据题意得：， 解得：． 答：水流的速度是2千米/时． 18. 预防传染病有以下常见的措施：①戴口罩；②勤洗手；③少出门；④重隔离；⑤捂口鼻；⑥谨慎吃．某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图．请你根据上面的信息，解答下列问题． （1）本次共调查了______名员工，_______，“基本了解”在扇形统计图中的圆心角度数______°； （2）若该公司共有员工1000名，请你估计“不了解”防护措施的人数； （3）在调查中，发现有4名员工对防护措施很了解，其中有3名男员工、1名女员工．若准备从他们中随机抽取2名，让其在公司群内普及防护措施，求恰好抽中一男一女的概率． 【答案】（1）60，18，108 （2）估计“不了解”防护措施的人数为200名 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，利用列表法求概率： （1）用了解很少的人数除以所占的比例求出总人数，总人数减去其他组的人数，求出的值，用360度乘以基本了解的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （3）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（名）； ； ； 故答案为：60，18，108； 【小问2详解】 （名）； 答：估计“不了解”防护措施的人数为200名； 【小问3详解】 由题意，列表如下： 男1 男2 男3 女 男1 男1，男2 男1，男3 男1，女 男2 男2，男1 男2，男3 男2，女 男3 男3，男1 男3，男2 男3，女 女 女，男1 女，男2 女，男3 共12种等可能结果，其中一男一女的结果有6种， ∴． 19. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：在线段上作点，使；作的角平分线，交于点，连接； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）以为圆心为半径画弧交于，作的角平分线交于点，连接即可； （2）由四边形是平行四边形，可得，则，由是的平分线，可得，则，证明四边形是平行四边形，由，可证四边形是菱形． 【小问1详解】 解：作图如下； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了作线段等于已知线段，作角平分线，平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定等知识．熟练掌握作线段等于已知线段，作角平分线，平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定是解题的关键． 20. 日月双塔是中国名塔，是桂林市的文化地标，某校九年级“综合与实践”小组开展了“日塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量对象 广西桂林日月双塔——日塔 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 无人机，测角仪等． 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得日塔的顶端A的俯角为； 2．再将无人机沿水平方向飞行到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求日塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】日塔的高度约为 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．延长，交的延长线于，则，求得，由，求得，据此求解即可． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：日塔的高度约为． 21. 为迎接我区文旅产业发展大会，九曲黄河万里情景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． （1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若经销商计划销售该纪念品每日获利800元，且尽可能让利于顾客，求该纪念品的销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天的获利最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）40 （3）当销售单价为55元时，每天的获利最大，最大利润是1250元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和解析式，解一元二次方程，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设销售单价应定为元，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可； （3）令销售利润为，则，然后根据二次函数图象和性质进行求最值即可． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 将和代入解析式得， ， 解得 ∴与函数关系式为； 【小问2详解】 解：设销售单价应定为元，根据题意得， ， 整理得， 解得或， ∵尽可能让利于顾客， ∴取， ∴销售单价应定为40元； 【小问3详解】 解：令销售利润为，则， ∵， ∴抛物线顶点为最高点， ∴顶点横坐标为， 顶点纵坐标为， ∴当销售单价为55元时，每天的获利最大，最大利润是1250元． 22. 如图，已知是的直径，A在上，点D是的内心，的延长线与相交于点E，过E作直线． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为4 【解析】 【分析】（1）连接，交于点H，则，由是的直径，点D是的内心，得，，则，所以，则，而，所以，即可证明是的切线； （2）连接，则，由，得，则，因为，所以，由，利用三角函数的定义求得，求得，则，由，，得． 【小问1详解】 证明：连接，交于点H， 则， ， 是的直径，点D是的内心， ，． ． ． ． ， ． 是的半径，且， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接， 则， ， ． ． ， ． ，， ． ， ， 于点H， ， ， ， 的长为4． 23. 是等边三角形． （1）以为边在其右侧作等边，连接． ①如图（1），若点在边上，连接，求证：； ②如图（2），若点在内部，，的延长线交于点，请探究与的数量关系，并说明理由； （2）如图（3），若点在边上，，点是延长线上一个动点，以为边在其左侧作等边，连接，交于点，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】（1）证明见解析；，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形，等边三角形与含的直角三角形等知识点，准确作出辅助线是解题关键． （1）①根据两个等边三角形与，证明即可；②过点C作交延长线于点M，证明即可； （2）根据两个等边三角形与，证明，得出从而确定点M运动路径，得出当时，取最小值，再由等面积法得出，结合含的直角三角形计算即可． 【小问1详解】 ①证明：与为等边三角形， ，，， 在与中， ， ， ； ②，理由如下： 过点C作交延长线于点M， 与为等边三角形， ，，， ， ， ∵， ∴， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ∴ ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 过点N作，，过点B作， 与为等边三角形， ，，， ， ， 在与中， ， ， ， ，平分， ， 当时，取最小值， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 当取最小值时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $