精品解析：内蒙古自治区赤峰市2026届高三下学期3·20模拟测试数学试题

秘密★启用前 赤峰市2026年高三模拟测试 数学 2026.03 本试卷共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合是小于10的素数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定集合A，根据集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】由题意知集合是小于10的素数，结合， 故. 2. 复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】因， 则. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦公式，联立方程组的值，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由，可得， 又由，可得， 联立方程组，可得， 则. 4. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了多次试验，得到了试验数据的线性回归方程为，其中x（单位：个）表示加工零件的个数，y（单位：小时）表示加工零件所花费的时间，又已知试验数据的样本中心点为，估计加工1500个零件所花费的时间为（ ） A. 540小时 B. 542小时 C. 548小时 D. 600小时 【答案】B 【解析】 【详解】将样本中心点代入线性回归方程，得，解得， 所以线性回归方程为，当时，. 所以估计加工1500个零件所花费的时间为542小时. 5. 已知函数，则方程根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的组成，分别求解方程计算即得. 【详解】因， 当时，即，解得或，均符合题意； 当时，即，解得，符合题意. 故方程根的个数为3. 6. 为等差数列的前项和，若，且，则（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，即，即，所以， 又，由等差数列的性质得，解得. 7. 为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为（ ） A. 20% B. 30% C. 40% D. 50% 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率关系设未知数，根据高茎中抗倒伏比例和抗倒伏中高茎比例分别表示出高茎和抗倒伏的占比，再利用既不高茎也不抗倒伏的比例得到和事件的概率，由概率加法公式列方程求解. 【详解】设高茎作物占比为，抗倒伏作物占比为， 既不高茎也不抗倒伏的占比为，两种性状兼备的占比为， 由题意得，则， ，则， ，则， 则，解得， 即两种性状兼备的占比为. 8. 在梯形中，，，，，分别以该梯形的四条边为直径向外作半圆，是四个半圆上的动点，则的最大值为（ ） A. 18 B. 36 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，求得，分别求得以为直径的圆的方程，得到的最大值，即可求解. 【详解】如图所示，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为梯形中，，且， 过点作于点，所以，且， 所以， 设，可得，则， ①当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为， 可得以为直径的圆方程为，可得， 所以的最大值为； ②当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为， 可得以为直径的圆方程为，可得， 所以的最大值为； ③当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为， 可得以为直径的圆方程为，可得， 所以的最大值为； ④当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为， 可得以为直径的圆方程为，可得， 所以的最大值为, 综上可得，的最大值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. 的极大值为2 C. 有两个零点 D. 的图象关于原点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数可判断AB选项，根据零点的定义可直接解函数的零点，再根据奇偶性判断D选项. 【详解】由函数，， 当或时，,当时，. 所以函数在上单调递增,在上单调递减，在上单调递增，所以A正确； 所以是的极大值点，且,所以B正确； 令,解得或或,所以函数有三个零点，故C错误； 对任意实数x，满足， 因此函数是奇函数，所以函数图象关于原点对称，D正确. 10. 若双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的虚轴长是实轴长的倍 C. 双曲线与双曲线有相同渐近线 D. 以双曲线实轴和虚轴端点为顶点的椭圆的离心率为 【答案】ABC 【解析】 【详解】因双曲线渐近线方程为：，则. 对于A，双曲线离心率，故A正确； 对于B，虚轴长为，实轴为，则双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，故B正确； 对于C，双曲线的渐近线方程为，故C正确. 对于D，双曲线C实轴端点为,虚轴端点为. 则对应椭圆方程为：，离心率为，故D错误. 11. 函数的图象过点，该函数图象在轴右侧的第一个对称中心为，且为一条对称轴，下列有关函数正确的表述是（ ） A. B. 图象的对称轴为 C. 图象的对称中心为 D. 在上的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】先由函数经过的点及对称中心、对称轴可得，，进而再整体代入判断各个选项可得. 【详解】由函数的图象在轴右侧的第一个对称中心为，得，即， 由为函数的一条对称轴，得，则， 由，得，则或， 由函数的图象过点，得， 当时，，，不符合题意， 当时，，，符合题意，因此，A正确； 对于B，，， 不是函数的对称轴，B错误； 对于C，，则是函数的对称中心，C正确； 对于D，当时，，， 所以函数在上的最大值为2，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 以抛物线（）的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，则抛物线的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【详解】记抛物线（）的焦点为， 设准线上的两点与构成边长为的等边三角形， 则由正三角形的对称性，可得. 所以焦点到准线的距离为， 所以抛物线的标准方程为. 13. 正数m，n满足，则的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【详解】因，则，当且仅当时取等号. 则 即，解得，（舍去） 当且仅当时等号成立，故的最小值为2. 14. 如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点E，由已知可得为二面角的平面角，利用余弦定理求出，利用勾股定理的逆定理可得为直角三角形，则得的中点O为三棱锥的外接球的球心，即可得到外接球的半径，进而求出表面积. 【详解】 如图，取的中点E，连接， 已知，，所以，， 又，所以，， 所以为二面角的平面角，其余弦值为， 在中，由余弦定理得 ， 即，则， 所以为直角三角形， 则的中点O为三棱锥的外接球的球心， 外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求B； （2）若的面积且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理的推论及可得； （2）由三角形的面积公式及正弦定理可求得，再根据余弦定理求得，即可得的周长． 【小问1详解】 由，根据余弦定理，得， 化简得，即. 所以. 因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得. 由三角形的面积公式可得， 所以. 由（1）得，所以. 所以， 所以. 所以的周长为． 16. 如图所示，⊥平面，四边形为矩形，，. （1）求证：∥平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 四边形为矩形， ∴，又，平面，平面ADE， 故平面ADE，平面ADE， 又平面BFC， ∴平面BFC平面ADE， ∵平面BFC， ∴∥平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由面面平行判断定理证平面BFC平面ADE，再证∥平面即可； （2）建立空间直角坐标系如图，由向量法即可求 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立空间直角坐标系如图，则， 设平面CDF的法向量为，则，取得， 平面的法向量为，设平面与平面所成锐二面角为，则， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为 17. 平面直角坐标系中，动点P到点的距离与它到直线的距离之比为． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过点M的直线l与轨迹C交于A，B两点，且点A在第一象限，点，与的面积之比为，求的内切圆半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出动点，由题意列出等式，再化简得到轨迹方程. （2）首先判断斜率存在和不存在的情况，斜率存在时设出直线l的方程，然后将直线方程与轨迹C的方程联立，利用韦达定理得到纵坐标的和与积，结合面积关系求出参数；再求出三角形的面积和周长，进而解出三角形内切圆半径. 【小问1详解】 设动点P的坐标为，由题意可得， 即，化简得， 即动点P的轨迹C的方程为； 【小问2详解】 设，，点A在第一象限，则，， 若直线l的斜率不存在，由椭圆对称性可知与的面积之比为1，不符合题意； 故直线l的斜率必存在且不为0，可设直线l的方程为， 联立，得：， 直线l经过椭圆内一点，必有， ∴， 由于点，与的面积之比为， 故，即，即， 则，则， 结合，可得， 化简得，结合，则，故， 故，则， 又为椭圆的两焦点， 的面积为, 的周长为 ， 设的内切圆半径为r，则， 即，故. 18. 为备战校园篮球赛，某校高三年级开展“三分球挑战”测试，测试规则如下：每位选手最多有次投篮机会，在投篮过程中，一旦投中，立即结束测试，并公布投篮次数.现有某位选手，单次投中的概率为． （1）若，求该选手恰好投篮次的概率； （2）设该选手结束测试时的投篮次数为，求的数学期望． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）该选手恰好投篮4次意味着前3次投篮都未投中，第4次投篮投中，结合独立事件概率乘法公式计算概率即可； （2）先求出该选手投篮次数的分布列，利用期望公式求期望表达式，选择对应的数列求和方法求结论. 【小问1详解】 记该选手恰好投篮4次为事件， 该选手恰好投篮4次，意味着前3次投篮都未投中，第4次投篮投中. 由该选手单次投中的概率为，那么单次未投中的概率为 因为每次投篮的结果相互独立，所以. 【小问2详解】 由题意的取值可能为， 当时，意味着该选手前次投篮均未投中，第次投篮投中，故， 当时，意味着该选手前次投篮均未投中，第次投篮是否投中都结束测试，故. 则 记 得， 即 从而. 故. 19. 已知，，其中，函数与关于直线对称． （1）若函数在区间上递增，求a的取值范围； （2）证明：； （3）设，其中恒成立，求满足条件的最小正整数b的值． 【答案】(1) ； (2) 由（1）可知当时，函数在区间上递增， 所以，即， 所以. 所以； (3) 2. 【解析】 【分析】（1）求出的导函数，由函数在区间上递增，则在上恒成立. (2)由（1）可知当时，函数在区间上递增，则可得，然后可证明. (3)由恒成立，即，求出的导函数，然后再对求导，判断符号，得出函数的单调性，求出最小值，列出不等式然后求解. 【详解】(1) ，则. 由函数在区间上递增， 所以在区间上恒成立. 即在区间上恒成立. 设，则在区间上恒成立. 所以在单调递.增，则， 所以. (2) （3）函数与关于直线对称,则. 所以，即. 恒成立即, 又，设，则 由，所以，即在上单调递增. 所以在上单调递增.且， 则一定存在，使得.即， 所以 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增. 则， 所以 由，，得. 设 ，则， 设，则在上恒成立. 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，. 又为整数，所以. 所以最小正整数b的值为2. 【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，二次导数的应用，考查构造法以及转化思想的应用，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 赤峰市2026年高三模拟测试 数学 2026.03 本试卷共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合是小于10的素数，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了多次试验，得到了试验数据的线性回归方程为，其中x（单位：个）表示加工零件的个数，y（单位：小时）表示加工零件所花费的时间，又已知试验数据的样本中心点为，估计加工1500个零件所花费的时间为（ ） A. 540小时 B. 542小时 C. 548小时 D. 600小时 5. 已知函数，则方程根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 为等差数列的前项和，若，且，则（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 7. 为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为（ ） A. 20% B. 30% C. 40% D. 50% 8. 在梯形中，，，，，分别以该梯形的四条边为直径向外作半圆，是四个半圆上的动点，则的最大值为（ ） A. 18 B. 36 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. 的极大值为2 C. 有两个零点 D. 的图象关于原点对称 10. 若双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的虚轴长是实轴长的倍 C. 双曲线与双曲线有相同渐近线 D. 以双曲线实轴和虚轴端点为顶点的椭圆的离心率为 11. 函数的图象过点，该函数图象在轴右侧的第一个对称中心为，且为一条对称轴，下列有关函数正确的表述是（ ） A. B. 图象的对称轴为 C. 图象的对称中心为 D. 在上的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 以抛物线（）的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，则抛物线的标准方程为________． 13. 正数m，n满足，则的最小值为________． 14. 如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求B； （2）若的面积且，求的周长． 16. 如图所示，⊥平面，四边形为矩形，，. （1）求证：∥平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 17. 平面直角坐标系中，动点P到点的距离与它到直线的距离之比为． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过点M的直线l与轨迹C交于A，B两点，且点A在第一象限，点，与的面积之比为，求的内切圆半径． 18. 为备战校园篮球赛，某校高三年级开展“三分球挑战”测试，测试规则如下：每位选手最多有次投篮机会，在投篮过程中，一旦投中，立即结束测试，并公布投篮次数.现有某位选手，单次投中的概率为． （1）若，求该选手恰好投篮次的概率； （2）设该选手结束测试时的投篮次数为，求的数学期望． 19. 已知，，其中，函数与关于直线对称． （1）若函数在区间上递增，求a的取值范围； （2）证明：； （3）设，其中恒成立，求满足条件的最小正整数b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $