精品解析：内蒙古赤峰市2025届高三下学期3·20模拟考试数学试题

赤峰市高三年级3⋅20模拟考试试题 数学 2025.3 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 如图，向量对应的复数是，则的值为（ ） A. 6 B. C. 13 D. 2. 已知集合，其中表示不超过的最大整数，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量和满足与的夹角为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知锐角满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆面，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，且，若，则（ ） A. B. 是公差为2的等差数列 C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是周期为的函数 B. 与函数是同一函数 C. 是的一条对称轴 D. 在区间上的取值范围是 11. 数学里常研究一些形状特殊的曲线，常用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线（如图所示），则下列关于曲线的说法正确的有（ ） A. 周长大于25 B. 共有4条对称轴 C. 围成的封闭图形面积小于14 D. 围成的封闭图形内能放入圆的最大半径为1 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 展开式的常数项为______. 13. 锐角中，分别为角所对的边，且，若，则周长的取值范围是__________. 14. 已知函数在上的最大值比最小值大，则______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，随机抽取了200名高三年级学生，整理数据得到如下列联表，并画出身高的频率分布直方图： 性别 身高 合计 低于 不低于 女 20 男 50 合计 200 （1）根据身高的频率分布直方图，求列联表中的，的值； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为“高三年级学生的性别”与“身高是否低于”有关联？ （3）将样本频率视为概率，在全市不低于的学生中随机抽取6人，其中不低于的人数记为，求的期望. 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）若函数有两个极值点，求的取值范围. 17. 已知数列中，. （1）若依次成等差数列，求； （2）若，证明数列为等比数列，并求数列的前项和. 18. 如图所示，三棱柱中，平面平面，，，点为棱的中点，动点满足. （1）当时，求证：； （2）若平面与平面所成角的正切值为，求的值. 19. 已知点为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若过点的直线与曲线相切，且与直线分别交于点. （i）证明：点为线段的中点； （ii）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰市高三年级3⋅20模拟考试试题 数学 2025.3 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 如图，向量对应的复数是，则的值为（ ） A. 6 B. C. 13 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的几何意义和复数的四则运算法则计算即得. 【详解】由题意，向量对应的复数是， 则. 故选：C. 2. 已知集合，其中表示不超过的最大整数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得到集合，，根据交集的定义即可求解. 【详解】由题意，，，则. 故选：D. 3. 已知向量和满足与的夹角为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方法即可求解. 【详解】由题意，. 故选：D. 4. 已知锐角满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合已知条件和求出，从而联立方程可求出，再根据即可求得答案. 【详解】由题意，①， 则，又， 所以， 所以， 因为为锐角，所以，所以②， 由①和②联立可解得， 所以. 故选：B. 5. 在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设点，根据求出点的轨迹方程，结合圆的周长公式可求得结果. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则点、， 设点，由可得， 整理可得，化为标准方程得，如下图所示： 所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 因此，点轨迹的长度为. 故选：A. 6. 某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】由题意，设王同学第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件， 第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件， 则，， 则根据全概率公式，. 故选：C. 7. 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆面，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到椭圆的半短轴长，结合平面图形的性质求出半长轴长，在根据，解出，由此即可求解. 【详解】 设圆的半径为，椭圆方程为， 由题意，截面椭圆的半短轴长等于圆柱的底面半径，即， 因为，，所以， 在中，，，所以， 所以椭圆的半长轴长等于，即， 所以， 因此椭圆的离心率. 故选：D. 8. 结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量. 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 故选：A. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，且，若，则（ ） A. B. 是公差为2的等差数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等差中项的的知识点可知数列为等差数列，再根据已知条件求出首项公差即可判断A选项，再根据等差数列的通项公式可求出数列的通项公式，确定其为等差数列并求出公差来判断B选项，再根据等差数列的求和公式计算出CD. 【详解】因为，所以数列为等差数列，且，则，又，则.故A选项正确； ，则，即为公差的等差数列，故B选项错误； 由，故C选项正确； ，则，故D正确. 故选ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 是周期为的函数 B. 与函数是同一函数 C. 是的一条对称轴 D. 在区间上的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质判断ACD选项；结合诱导公式判断B选项. 【详解】由题意，，故A正确； ， 故B错误； 因为， 所以不是的一条对称轴，故C错误； 当时，，则， 则， 即在区间上的取值范围是，故D正确. 故选：AD. 11. 数学里常研究一些形状特殊的曲线，常用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线（如图所示），则下列关于曲线的说法正确的有（ ） A. 周长大于25 B. 共有4条对称轴 C. 围成的封闭图形面积小于14 D. 围成的封闭图形内能放入圆的最大半径为1 【答案】ABC 【解析】 【分析】分析曲线在第一象限内的性质，可判断ABD的真假，根据曲线方程的特点，可判断B的真假. 【详解】对A：由题意，在第一象限曲线的方程为， 即， 当时，曲线在圆的下方，理由如下： 因为，可设，， 则 而 （只有当或时取“”）. 所以（只有和时取“”）. 故时，曲线在圆的下方. 即第一象限曲线的长度大于圆周长的， 即曲线的周长大于圆的周长，而，则A选项正确； 对B：由曲线的方程为可知， 因为，，，代入方程，方程都不变， 所以曲线关于轴，轴，直线和对称，共有4条对称轴，则选项B正确； 对C：由A选项的推证可知：曲线围成的封闭图形的面积， 则选项C正确； 对D：第一象限曲线的方程为， 所以，，（都是当且仅当时取“”）. 所以曲线上距离原点的最短距离为，因此围成的封闭图形内最大能放入半径为的圆， 则选项D错误. 故选：ABC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 展开式的常数项为______. 【答案】60 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】的常数项为, 故答案为： 13. 锐角中，分别为角所对的边，且，若，则周长的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理可得，根据正弦定理结合三角恒等变换可得，由角的范围结合三角函数的性质即可求解. 【详解】由已知得，所以， 解得， 由正弦定理得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以锐角周长的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数在上的最大值比最小值大，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和和对勾函数的性质可知在上单调减，在上单调递增，分和两种情况讨论，求出最值即可求解. 【详解】， 所以为奇函数，且在上的最大值比最小值大， 所以在上的最大值比最小值大. 由对勾函数的性质可得在上单调减，在上单调递增. 当时，即时，在上单调递增. 则， 解得. 当时，即时，在上单调递减，在上单调递增. ， 因为，所以， 所以， 解得（舍去）或9（舍去）. 综上， 故答案为：1 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，随机抽取了200名高三年级学生，整理数据得到如下列联表，并画出身高的频率分布直方图： 性别 身高 合计 低于 不低于 女 20 男 50 合计 200 （1）根据身高的频率分布直方图，求列联表中的，的值； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为“高三年级学生的性别”与“身高是否低于”有关联？ （3）将样本频率视为概率，在全市不低于的学生中随机抽取6人，其中不低于的人数记为，求的期望. 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2）关联 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图即可求解频率得解； （2）计算卡方的值，即可与临界值比较作答； （3）根据二项分布的期望公式即可求解. 【小问1详解】 由图，低于的学生有人，则不低于170cm的学生有人. 从而，； 【小问2详解】 零假设为：性别与身高没有关联， 计算可得 根据的独立性检验，推断不成立，因此该市高三年级学生的性别与身高是否低于170cm有关联； 【小问3详解】 样本中抽中不低于175cm的频数为人 样本中抽中不低于175cm的频率为 将样本频率视为概率，在全市不低于170cm的学生中随机抽取6人， 其中不低于175cm的人数记为，则 . 16. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）若函数有两个极值点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）分析可知，方程有两个不等的正根，令，参变分离可知，直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围，再结合函数极值点的定义检验即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 故，， 所以，在点处切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，且， 有两个极值点等价于有两个不等正根， 即有两个不等正根， 设，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 如下图所示： 当时，直线与函数的图象有两个交点， 设这两个交点的横坐标分别为、， 由图可知，当或时，，则， 当时，，则， 所以，函数的增区间为、，减区间为， 此时，函数的极大值点为，极小值点为， 故当时，有两个极值点， 综上，的取值范围为. 17. 已知数列中，. （1）若依次成等差数列，求； （2）若，证明数列为等比数列，并求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 证明：因为， 且，所以是首项为1，公比为2的等比数列. 【解析】 【分析】（1）利用递推公式，由首项表示第二、三项，结合等差数列的性质，建立方程，可得答案； （2）根据等比数列的定义，结合首项，可写出通项，利用等比数列求和以及分组求和，可得答案. 【小问1详解】 ， 又依次成等差数列，所以， 即，解得. 【小问2详解】 可得，则， . 18. 如图所示，三棱柱中，平面平面，，，点为棱的中点，动点满足. （1）当时，求证：； （2）若平面与平面所成角的正切值为，求的值. 【答案】（1） 方法一：由可得，， 即，即. 如图： 当时，在中，，，，因为，所以，又，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又平面，所以. 又在平行四边形中，，，为中点，所以， ，平面， 所以平面. 又平面，所以. 方法二：（向量方法） 因为平面平面，平面平面，所以过作于，则平面； 连接，因为，所以. 在中，，，. 所以，则， . ， 当时，. . 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：先根据条件，确定点的位置，再通过面面垂直转化为线面垂直：平面，再进一步得到线面垂直：平面，再根据线面垂直可得线线垂直. 方法二：可以用向量结合平面向量的数量积的运算法则，证明线线垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法，结合所给的二面角，可确定的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，由（1）得：两两垂直，故可以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系. 平面中，，. ， 设平面的法向量为：， 则, 令，则； 平面中，由（1）可知，， 设，因为，， 所以. ， 设平面的法向量为， 则, 令，则； 由题意，设平面与平面所成角为，且，则.，解得. 即平面与平面所成角的正切值为时，的值为. 19. 已知点为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若过点的直线与曲线相切，且与直线分别交于点. （i）证明：点为线段的中点； （ii）求的取值范围. 【答案】（1） （2） （i）设， 双曲线的渐近线方程为①，② 当直线的斜率存在时，设过点且与相切的直线的方程为， 与双曲线联立 由，且，故可得. 由； . . 点为线段的中点. 当直线的斜率不存在时，直线的方程是，根据双曲线的对称性可知， 此时直线即是双曲线的切线，同时满足点为线段的中点. 综上，点为线段的中点. （ii） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的定义求解即可； （2）（i）设，分类讨论，当直线的斜率存在时，设过点且与相切的直线的方程为，与双曲线的方程联立，求得，的坐标证明即可； （ii）由（i）知，求得，然后利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 为的垂直平分线上一点，则. . 点的轨迹为以为焦点的双曲线，且 故点的轨迹方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知，. . 当且仅当，即时取等号. 又， 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $