精品解析：新疆乌鲁木齐市2024-2025学年高二年级第二学期期末联考数学试卷

乌鲁木齐市2024—2025 学年高二年级第二学期期末联考数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间 120分钟，满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若是上的可导函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的定义运算求解即可. 【详解】由导数的定义可得.故选:B. 2. 记为等差数列前n项和.若则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 3. 如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合正态分布的密度函数图象性质判断即得. 【详解】令对应的正态密度函数分别为， 则函数图象的对称轴分别为，且， 观察图象，得，，所以，. 故选：C 4. “ 142857 ” 这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当 142857 与 1 至 6 中任意 1 个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这 6 个数字组成. 若从 1，4，2，8，5，7这 6 个数字中任选 4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中， 大于 5700 的偶数个数是（ ） A. 66 B. 75 C. 78 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】按千位数分别是5，7，8进行分类讨论即可. 【详解】若千位数字是5，则百位数字只能是7或8，故共有（个）； 若千位数字是7，则共有（个）； 若千位数字是8，则共有（个）． 故符合条件的四位数共有（个）． 故选：B. 5. 一家银行有VIP客户和普通客户，VIP客户占客户总数的，普通客户占客户总数的.已知VIP客户的信用卡欺诈概率为，而普通客户的信用卡欺诈概率为.现在随机抽取一个发生信用卡欺诈的客户，请问这个客户是VIP客户的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设事件E为“客户发生信用卡欺诈”，由全概率公式得，再由条件概率公式即可求解. 【详解】记事件A为“客户是VIP客户”，事件B为“客户是普通客户”，事件E为“客户发生信用卡欺诈”，则，，，， 由全概率计算公式得， 由条件概率公式得， 故选：A. 6. 已知数列的前n项和Sn满足，则数列的前12项和为（　　） A. 112 B. 48 C. 80 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】根据，先求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前12项的和即可. 【详解】由，得当时，， 当时，满足上式，则，当时，；当时，， 所以 ． 故选：C 7. “杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ） A. 第10行中第5个数最大 B. 第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C. D. 第12行中第8个数与第9个数之比为 【答案】D 【解析】 【分析】利用图中所给杨辉三角结合组合数的性质即可判断A，B，D，利用组合数的性质计算即可判断C. 【详解】对于A，由杨辉三角性质得在第行里，有共个数， 所以第10行中正中间即第个数最大，故A错误， 对于B，由杨辉三角性质得第行第个数为， 则在第行中，第个数为，第1013个数为， 由组合数性质得，故B错误， 对于C，由组合数运算性质得，故C错误. 对于D，由已知得第12行中第8个数为，第9个数为， 则它们的比为，则第8个数与第9个数之比为，故D正确. 故选：D 8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将函数有两个零点转化为方程有两个不同的解，然后分情况讨论去掉绝对值符号，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值，进而确定实数的取值范围. 【详解】函数有两个零点，即方程有两个不同的解，等价于有两个不同的解. 令，对求导，可得. 令，即，解得. 当时， ，在上单调递增； 当时， ，在上单调递减. 则在处取得极大值，也是最大值，. 当时，；当时，. 并且在处的切线斜率为，切线方程为. 的图象是将v型函数图象左右平移得到， 要使有两个不同的解，即与的图象有两个不同的交点. 画出和的图像（由图象左右平移得到）. 当时，此时与的图象无交点，不符合题意. 当时，与的图象也最多有一个交点，切线切点处，不符合题意. 当时，要使与的图象有两个不同的交点，则. 实数的取值范围为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（ ） A. B. 展开式中奇数项的二项式系数和为256 C. 二项式系数最大项为第5项 D. 展开式中常数项为45 【答案】AD 【解析】 【分析】由二项式系数和的性质可判断A；由奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等可判断B；由二项式系数最大值可判断C；由展开式通项公式可判断D. 【详解】由的展开式中二项式系数之和为1024，可得，故A正确； 由奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，可得展开式中奇数项的二项式系数和为，故B错误； 易知是最大的二项式系数，所以二项式系数最大项为第6项，故C错误； 由，故D正确； 故选：AD. 10. 记为等比数列的前项和，为的公比，；若，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用等比数列的基本量逐项计算判断. 【详解】对于A：由，解得，A正确； 对于B：，B错误； 对于C：，C错误； 对于D： ，D正确； 故选：AD. 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 银行卡的密码由6位数字组成.某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.如果记得密码的最后一位数字是奇数，则连续3次都没按对的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定密码最后一位数字是奇数情况下，密码的数字可能性为1，3，5，7，9，然后计算第一次没按对的概率是，计算第二次没按对的概率是，计算第三次没按对的概率是，从而可计算出连续3次没按对的概率. 【详解】设事件为“连续3次都没按对”， 事件为“密码的最后一位数字是奇数”， 由条件概率的性质可得，. 故答案为：. 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 14. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知函数是上的增函数，也是奇函数，可将所求不等式等价变形为在上恒成立，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】显然函数是上的增函数，也是奇函数， 因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，其中，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 故． 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记数列的前n项和为，已知，. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，即可求解； （2）由（1）可得，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【小问1详解】 由， 当时，， 两式相减得，即，① 则，② 由①②整理得，， 所以； 又，则当时，， 当时，，则， 所以，满足， 所以，故数列为等差数列，且首项为，公差为. 【小问2详解】 由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 则， 所以. 16. 甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将将这些零件混合放在一起，则合格率为88%. （1）设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，求证：； （2）从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率； （3）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用频数、频率、样本容量的关系列式推理得证. （2）由（1）的结论，利用条件概率公式计算即得. （3）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 甲工厂试生产件零件的合格率为80%，则合格零件为件； 乙工厂试生产的件零件的合格率为90%，则合格零件为件， 混合后，总零件为件，合格率为88%，则混合后合格零件为件， 依题意，，化简得，即. 【小问2详解】 设甲工厂试生产零件有件，乙工厂试生产的零件有件，由（1）知， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂”， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自乙工厂”， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件是合格品”， 则，， 所以所求概率. 【小问3详解】 由（2）知，任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂的概率是， 依题意，的可能取值为0，1，2，3，且， ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望. 17. 已知函数 （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求实数a的取值集合． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）求导即可得到，再由极值的定义，代入计算，即可得到结果； （2）求导即可得到，然后分与讨论，即可得到结果； （3）根据题意，分以及讨论，然后结合（2）中的结论，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以． 令，得；令，得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 因为，所以． 当时，在上单调递增． 当时，令，得，令，得． 故在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 由（2）知，当时，在上单调递增． 因为，所以当时，，不满足题意． 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以．若，则． 令，则，所以在上单调递增， 在上单调递减， 所以，所以，即实数的取值集合为． 18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其技术在多领域的普惠应用：智能客服实现高效人机交互，企业场景中赋能数据分析与决策优化；教育领域支持个性化学习，医疗场景辅助诊断与知识管理；跨模态模型驱动图像、文本、视频的智能生成与创作工具开发．其开源模型被开发者广泛集成，降低AI应用门槛，推动金融、科研、工业等行业的智能化升级，以高性能技术加速产业创新与效率提升．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的全体员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有5名部门负责人参加，恰有2人来自A部门．从这5名部门负责人中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）在培训闭幕式上，公司举行了一次DeepSeek专业知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两名员工组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．时，求甲、乙两名员工在每轮答题中取胜的概率的最大值． 【答案】（1）分布列见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）的可能取值为，由超几何分布的概率公式代入计算可得随机变量对应概率，再利用期望公式即可得到结果； （2）由二项分布的概率公式，结合独立事件的概率公式可得的表达式，再利用基本不等式，由换元法结合二次函数的值域代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 的可能取值为， ，， ， 分布列为 所以. 【小问2详解】 设甲，乙答对题数分别为， 则， 设事件表示甲、乙两名员工在每轮答题中取胜， 则 ， 又，则， 令，则，即，且， 当且仅当时，取等号， 则，其中， 其对称轴为，所以当时，即时，取得最大值， 且. 19. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】（1） （2）且. 【解析】 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即，故， 故原不等式的解为. 【小问2详解】 在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市2024—2025 学年高二年级第二学期期末联考数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间 120分钟，满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若是上的可导函数，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 记为等差数列的前n项和.若则（ ） A. B. C. D. 3. 如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. “ 142857 ” 这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当 142857 与 1 至 6 中任意 1 个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这 6 个数字组成. 若从 1，4，2，8，5，7这 6 个数字中任选 4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中， 大于 5700 的偶数个数是（ ） A 66 B. 75 C. 78 D. 90 5. 一家银行有VIP客户和普通客户，VIP客户占客户总数的，普通客户占客户总数的.已知VIP客户的信用卡欺诈概率为，而普通客户的信用卡欺诈概率为.现在随机抽取一个发生信用卡欺诈的客户，请问这个客户是VIP客户的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前n项和Sn满足，则数列的前12项和为（　　） A. 112 B. 48 C. 80 D. 64 7. “杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ） A. 第10行中第5个数最大 B. 第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C. D. 第12行中第8个数与第9个数之比为 8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（ ） A B. 展开式中奇数项的二项式系数和为256 C. 二项式系数最大项为第5项 D. 展开式中常数项为45 10. 记为等比数列的前项和，为的公比，；若，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 银行卡的密码由6位数字组成.某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.如果记得密码的最后一位数字是奇数，则连续3次都没按对的概率为______. 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 14. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记数列的前n项和为，已知，. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前n项和. 16. 甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将将这些零件混合放在一起，则合格率为88%. （1）设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，求证：； （2）从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率； （3）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望. 17 已知函数 （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求实数a的取值集合． 18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其技术在多领域的普惠应用：智能客服实现高效人机交互，企业场景中赋能数据分析与决策优化；教育领域支持个性化学习，医疗场景辅助诊断与知识管理；跨模态模型驱动图像、文本、视频的智能生成与创作工具开发．其开源模型被开发者广泛集成，降低AI应用门槛，推动金融、科研、工业等行业的智能化升级，以高性能技术加速产业创新与效率提升．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的全体员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有5名部门负责人参加，恰有2人来自A部门．从这5名部门负责人中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）在培训闭幕式上，公司举行了一次DeepSeek专业知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两名员工组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．时，求甲、乙两名员工在每轮答题中取胜的概率的最大值． 19. 已知． （1）若，求不等式解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $