精品解析：新疆乌鲁木齐市第七十中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

乌鲁木齐市第七十中2023-2024学年第二学期期末考试 高二年级数学试卷 分值：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2 设向量，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 3. 下列函数中，在区间上单调递增是（ ） A. B. C. D. 4. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ） A. 当，时，二氧化碳处于液态 B. 当，时，二氧化碳处于气态 C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态 D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态 5. 用这6个数字可以组成个无重复数字六位数，其中偶数有个，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 新型冠状病毒（2019-NCoV）因2019年肺炎病例被发现，2020年1月12日被世界卫生组织命名，为考察某种药物预防该疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表： 患病 未患病 总计 服用药 10 45 55 未服药 20 30 50 总计 30 75 105 下列说法正确的是（ ） 参考数据：， 0.05 0.01 3.841 6.635 A. 有95%的把握认为药物有效 B. 有95%把握认为药物无效 C. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物无效 D. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效 8. 已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ） A. 存在是偶函数 B. 存在在处取最大值 C. 存在是增函数 D. 存在在处取到极小值 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列选项正确的有（ ） A. 若，则有最小值3 B. 若，则有最大值1 C. 若，则 D. 若，则 10. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C. D. 11. 在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 是的一个周期 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设．若，则__________． 13. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 14. 某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为____________. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 某互联网公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量（单位：万元）和收益（单位：万元）的数据如表： 月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量 2 4 6 8 10 12 收益 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67 他们用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值． 7 30 1464.24 364 （1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型拟合？并说明理由； （2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除． （i）剔除异常数据后求出（1）中所选模型的回归方程； （ii）若广告投入量时，（1）中所选模型收益的预报值是多少？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； 17. 设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 18. 如图，在四棱台中，，，． （1）记平面与平面的交线为，证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 19. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第七十中2023-2024学年第二学期期末考试 高二年级数学试卷 分值：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 2. 设向量，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 4. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ） A. 当，时，二氧化碳处于液态 B. 当，时，二氧化碳处于气态 C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态 D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态 【答案】D 【解析】 【分析】根据与的关系图可得正确的选项. 【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误. 当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误. 当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误. 当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确. 故选：D 5. 用这6个数字可以组成个无重复数字的六位数，其中偶数有个，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列组合知识求出，代入可得结果. 【详解】从中任选一个数字排在首位，其余5个数字全排可得， 排在个位的无重复数字的六位偶数有个， 不排在个位的无重复数字的六位偶数有个， 故. 所以． 故选：B 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案. 【详解】设，则为增函数，因为 所以， 所以，所以. ， 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误. 故选：B. 【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题. 7. 新型冠状病毒（2019-NCoV）因2019年肺炎病例被发现，2020年1月12日被世界卫生组织命名，为考察某种药物预防该疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表： 患病 未患病 总计 服用药 10 45 55 未服药 20 30 50 总计 30 75 105 下列说法正确的是（ ） 参考数据：， 0.05 0.01 3.841 6.635 A. 有95%的把握认为药物有效 B. 有95%的把握认为药物无效 C. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物无效 D. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效 【答案】A 【解析】 【分析】根据列联表计算，对照临界值即可得出结论． 【详解】根据列联表，计算， 由临界值表可知， 有95%的把握认为药物有效，A正确 故选：A 8. 已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ） A. 存在是偶函数 B. 存在在处取最大值 C. 存在是增函数 D. 存在在处取到极小值 【答案】B 【解析】 【分析】A选项利用偶函数性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合与已知条件矛盾；D选项由集合的定义找到矛盾. 【详解】对于A选项：时，， 当时，， 任意的，恒成立， 若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误； 对于B选项：若函数图像如下： 当时，，时，，当，， ∴存在在处取最大值，故B选项正确； 对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是， 而是全体定义域，故C选项错误； 对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合定义矛盾，故D选项错误. 故选：B 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列选项正确的有（ ） A. 若，则有最小值3 B. 若，则有最大值1 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A、B，借助基本不等式及其性质即可得；对C、D，借助不等式的性质即可得. 【详解】对A：， 当且仅当，即时，等号成立，由，故不能取等，故A错误； 对B：当时，，当时，， 当且仅当时，等号成立，当时，，故有最大值1， 故B正确； 对C：若，则，故，故C正确； 对D：若，则，故，即，故D正确. 故选：BCD. 10. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 11. 在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 是的一个周期 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，根据奇偶函数得定义判断；对B，计算可判断；对C，计算可判断；对D，根据周期函数定义判断. 【详解】由题意得，， 对于A，， ， ∴函数是奇函数，故A错误； 对于B， ， ∴的图象关于点对称，故B正确； 对于C， ， ∴的图象关于直线对称，故C正确； 对于D， ， ∴不是的周期，故D错误. 故选：BC. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数各区间上函数的性质有且，即可求结果. 【详解】由在上递增，在上递增， 所以，由，则， 故，可得. 故答案为： 13. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用多项式乘法进行运算，再由二项式定理找到通项，再赋值即可求解 【详解】因， 其中展开式的通项为，， 令，；令，. 所以展开式中的系数为. 故答案为：. 14. 某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为____________. 【答案】0.18 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】设事件“任取一名同学，成绩为优秀”，“抽取的选修第门选修课的同学”（）， 则，且两两互斥，依题意，， ， 所以成绩是优秀的概率为 . 故答案为：0.18 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 某互联网公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量（单位：万元）和收益（单位：万元）的数据如表： 月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量 2 4 6 8 10 12 收益 14.21 20.31 31.8 3118 37.83 44.67 他们用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值． 7 30 1464.24 364 （1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型拟合？并说明理由； （2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除． （i）剔除异常数据后求出（1）中所选模型的回归方程； （ii）若广告投入量时，（1）中所选模型收益的预报值是多少？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 【答案】（1）选择模型①，理由见解析 （2）（i）；（ii）6204万元 【解析】 【分析】（1）根据残差图的分布比较可得结论； （2）（i）求出剔除异常数据后的平均数，即可求得和，即得回归方程；（ii）将代入回归直线方程，即可得答案. 【小问1详解】 选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中， 且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄， 所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高． 【小问2详解】 （i）剔除异常数据，即组号为3的数据，剩下数据的平均数为； ， ． ． ∴所选模型的回归方程为； （ⅱ）若广告投入量时，该模型收益的预报值是万元． 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，利用导数的几何意义得切线的斜率即可得到切线方程. （2）求出导函数，由恒成立，当，讨论即可. 【小问1详解】 当时，，得， ，则， 所以切线方程为：，即. 【小问2详解】 由题其定义域为R，可得， 当时，，，在上单调递减， ，，在上单调递增， 当时，由，解得， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时，在区间上，； 在区间上，； 所以在上单调递增；在上单调递减； ③当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以在上单调递增；在上单调递减. 17. 设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解. 【小问1详解】 ，，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . 【小问2详解】 为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 18. 如图，在四棱台中，，，． （1）记平面与平面的交线为，证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线线平行证明线面平行，再由线面平行即可证线线平行； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量法来求两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为 平面，平面 ， 所以 平面 . 又 平面 ，平面 平面，所以 . 【小问2详解】 在 中， . 由余弦定理得， ，则 ，得 . 又 ，则 .因为 平面 ， 所以，又 ，所以 平面 ， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 ，得，所以. 又是平面 的一个法向量. 记平面 与平面 的夹角为 ，则 ， 所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 19. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出； （3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【小问1详解】 记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . 【小问2详解】 设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． 【小问3详解】 因为，， 所以当时，， 故． 【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $