2026年云南省中考数学复习专用 二次函数压轴专题—分离常数法+交点问题

二次函数压轴专题——分离常数法 姓名：___________班级：__________ 一．阅读材料，理解概念 材料1：如果是整数，那么整数可以取哪些值？ 解答过程如下： 解：因为是整数；于是的值为1、、3或； 所以，整数的取值是0、、2或． 材料2：分离整数法就是将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．例如： ①；②==+=x+3+ 阅读材料1、材料2，并解答下列问题． 问题1：如果分式的值是整数，那么整数的所有取值是__________． 问题2：如果分式的值是整数，那么所有满足条件的整数的和是多少？ 【答案】问题1：或或或；问题2： 【分析】本题考查的是分式的加减运算的逆用，分式的值为整数的含义； 问题1：把原式化为，再进一步解答即可； 问题2：把原式化为，再进一步解答即可； 【详解】解：问题1：， ∵分式的值是整数，是整数； ∴或， 解得：或或或； 问题2：∵， ∵分式的值是整数，是整数； ∴或； 解得：或或或； ∴所有满足条件的整数的和是． 【点睛】本题考查分式的加减法，求使分式值为整数时未知数的整数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 二．初步运用，深化概念 例1．如图，平面直角坐标系中，线段的端点为，． (1)求所在直线的解析式； (2)某同学设计了一个动画，如图，函数（，）的图象经过点时，会从C处弹出一个光点P，并沿射线飞行．若光点P击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段就会发光，当线段发光时，求此时整数m的个.数． 【答案】(1) (2)m的值有6个 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的几何应用： （1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意直线经过点，设线段上的整数点为，则，可得或或或，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把，代入，得：， 解得：， 直线AB的解析式为． （2）由题意直线经过点， ； 设线段上的整数点为，则， ， ， ， t为整数，m也是整数， 或或或， 即， ， ， ，， ，， ，， ，， ，， ，， 综上所述，符合题意的m的值有6个． 3． 对接中考，综合运用 例2：【云南23年中考真题】数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】（1）分与两种情况讨论论证即可； （2）当时，不符合题意，当时，对于函数，令，得，从而有或，根据整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，从而有或或或或或或或，解之即可． 【详解】（1）解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得， ∴一次函数与轴的交点为； 当时，，函数为二次函数， ∵， ∴ ， ∴当时，与轴总有交点， ∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点； （2）解：当时，不符合题意， 当时，对于函数， 令，则， ∴， ∴或 ∴或， ∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数， ∴或或或或或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去）， ∴或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键． 例3：（25年昆明市一模）已知抛物线的图象经过点． (1)求a的值； (2)点在抛物线上且m为整数，若的值为整数，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为：或或或 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键， （1）把代入表达式求出结论即可； （2）先得出表达式，把代入表达式，根据分析得出可取，进而求出结论． 【详解】（1）解：把代入中得： ， 解得：； （2）解：∵， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴， ， ∵为整数， ∴为整数， 又∵的值为整数， ∴为整数， ∴可取， ①当时，此时， ∴， ②当时，此时， ∴， ③当时，此时， ∴， ④当时，此时， ∴， 综上所述，点P的坐标为：或或或． 综合练习1：（市统测变式）已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交点为 求抛物线的解析式； 在该抛物线上且m为整数，若的值为整数，求出点P的坐标. 【答案】(1)抛物线的解析式为：； (2)或或或 【分析】首先设二次函数解析式为，然后把代入其中确定a的值即可求解； 首先把代入中解析式，得到关于m、n的关系式，然后代入所求代数式，利用整数的知识求出m、n的值即可求解． 此题主要考查了抛物线与x轴的交点，同时也利用了待定系数法求函数的解析式，综合性比较强． 解：抛物线的顶点坐标为， 设二次函数解析式为， 图象与x轴的交点为， 把代入中， ， 解得， 抛物线的解析式为：； 若在该抛物线上， 把代入中， ， ， ，T为整数， 而2的因数有或， 或， 或0或3或， 或8或5或5， 或或或  二次函数压轴专题——交点问题 姓名：___________班级：__________ 1、 复习引入，感受本质 例1：（23年中考真题变式）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非.切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”数形结合是解决数学问题的重要思想方法.请结合所学的数学解决下列问题. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点. 设函数实数k为常数的图象为图象 （1） 求证：无论k取什么实数，图象T与x轴总有公共点； （2）是否存在非负整数k，使图象T与x轴的公共点都是整点？若存在，求所有非负整数k的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)略 (2)m 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，其中还涉及了一次函数，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是理解整点的意义． （1）、证明：当时，函数；当时，证明，即可求解； 令，解得：或，进而求解． 【详解】（1）证明： 当时， 函数，该函数和x轴有交点； 当时， ， 故该函数和x轴有交点， 故图象T与x轴总有公共点； 解：存在，理由： 为非负整数， 则， 令， 解得：或， 而， 当，2，6时，，0，1，符合题意， 故或2或 2、 深入理解，强化认知 例2：已知抛物线 （1）当时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上； （2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标； （3）已知点、，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围． 【答案】（1）不在；（2）（2，5）；（3）x顶点 或x顶点或x顶点 【分析】（1）先求出函数关系式，再把（2，4）代入进行判断即可； （2）根据二次函数的顶点坐标公式求出抛物线顶点纵坐标，最大值即为顶点最高点的纵坐标，代入求解即可； （3）运用待定系数法求出直线EF的解析式，代入二次函数解析式，求出交点坐标，再根据题意分类讨论，求出m的值即可． 【详解】解：（1）把m=0代入得， 当x=2时， 所以，点（2，4）不在该抛物线上； （2） = ∴抛物线的顶点坐标为（，） ∴纵坐标为 令 ∵ ∴抛物线有最高点， ∴当m=3时，有最大值， 将m=3代入顶点坐标得（2，5）； （3）∵E（-1，-1），F（3，7） 设直线EF的解析式为 把点E，点F的坐标代入得 解得， ∴直线EF的解析式为 将代入得， 整理，得： 解得 则交点为：（2，5）和（m+1，2m+3）， 而（2，5）在线段EF上， ∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合， ∴m+1＜-1或m+1＞3或m+1=2（此时2m+3=5）， ∴此时抛物线顶点横坐标x顶点或x顶点=或x顶点= 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，解题关键是注意数形结合思想的运用． 三、数形结合，化繁为简 例3：在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是，与轴交于点，已知两点的坐标分别为． (1)当时，若和是抛物线上任意两点，且，当时，求的值； (2)若二次函数的图象与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是或或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）求出抛物线的对称轴为直线，根对称性得到，则，即可证明结论； （2）求出抛物线的顶点是，点，分和两种情况画出图象，进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 故抛物线的对称轴为直线， ， 和关于对称轴直线对称， 则， ， ． （2）抛物线的顶点是，点， ①当时，， 抛物线与轴交点在点下方，顶点在直线下方， 如图1： 在中，令，得， ， 当时抛物线过点， 由结合图可知，当时，二次函数的图象与线段只有一个公共点； ②当时， 若顶点在线段时，如图2： 此时， 解得； 若顶点在直线上方，即时，如图3： 二次函数的图象与线段只有一个公共点，， ，解得； 此时也满足， ； 综上所述，二次函数的图象与线段只有一个公共点，的取值范围是或或． 综合训练1：已知二次函数解析式为． (1)当抛物线经过点和点时，等式是否成立？并说明理由； (2)已知点和点，且线段与抛物线只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)成立，理由见解析； (2)或或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． （1）通过待定系数法求出函数解析式，再将代入解析式求解． （2）通过待定系数法求出直线解析式，联立抛物线与直线方程可得交点横坐标，进而求解． 【详解】（1）解：成立，理由如下： 将代入得， 解得， 二次函数解析式为， 将代入得， ； （2）解：设所在直线解析式为， 将，代入得， 解得， 直线解析式为． 令，整理得， 抛物线与直线交点横坐标为，， 当时，抛物线与直线只有1个交点， ， 抛物线与直线交点在线段上，符合题意． 将代入得， 抛物线与线段有一个交点为， 抛物线与直线的另一交点不在线段上， 或符合题意， 综上所述，或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数压轴专题——分离常数法 姓名：___________班级：__________ 一．阅读理解，理解概念 材料1：如果是整数，那么整数可以取哪些值？ 解答过程如下： 解：因为是整数；于是的值为1、、3或； 所以，整数的取值是0、、2或． 材料2：分离整数法就是将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．例如： ①；②==+=x+3+ 阅读材料1、材料2，并解答下列问题． 问题1：如果分式的值是整数，那么整数的所有取值是__________． 问题2：如果分式的值是整数，那么所有满足条件的整数的和是多少？ 二．初步运用，深化概念 例1．如图，平面直角坐标系中，线段的端点为，． (1)求所在直线的解析式； (2)某同学设计了一个动画，如图，函数（，）的图象经过点时，会从C处弹出一个光点P，并沿射线飞行．若光点P击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段就会发光，当线段发光时，求此时整数m的个.数． 3． 对接中考，综合运用 例2：【云南23年中考真题】 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 例3：（25年昆明市一模）已知抛物线的图象经过点． (1)求a的值； (2)点在抛物线上且m为整数，若的值为整数，求点P的坐标． 综合练习1：（市统测变式）已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交点为 求抛物线的解析式； 在该抛物线上且m为整数，若的值为整数，求出点P的坐标. 二次函数压轴专题——交点问题 姓名：___________班级：__________ 1、 复习引入，感受本质 例1：（23年中考真题变式）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非.切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”数形结合是解决数学问题的重要思想方法.请结合所学的数学解决下列问题. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点. 设函数实数k为常数的图象为图象 （1） 求证：无论k取什么实数，图象T与x轴总有公共点； （2）是否存在非负整数k，使图象T与x轴的公共点都是整点？若存在，求所有非负整数k的值；若不存在，请说明理由. 2、 深入理解，强化认知 例2：已知抛物线 （1）当时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上； （2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标； （3）已知点、，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围． 三、数形结合，化繁为简 例3：在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是，与轴交于点，已知两点的坐标分别为． (1)当时，若和是抛物线上任意两点，且，当时，求的值； (2)若二次函数的图象与线段只有一个公共点，求的取值范围． 综合训练1：已知二次函数解析式为． (1)当抛物线经过点和点时，等式是否成立？并说明理由； (2)已知点和点，且线段与抛物线只有一个交点，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $