相交线重点题型归纳 2026年人教版数学七升八暑假专项提升

**基本信息** 以相交线核心概念为纲，通过定义辨析、性质应用、综合计算构建三阶训练体系，渗透数学眼光观察现实情境、数学思维推理角度关系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-4、7|定义验证法（对顶角/内错角定义）|从角的位置关系（对顶角/邻补角/内错角）到数量关系（互补/互余）递进| |性质应用|填空12、14，解答17|垂线段最短原理、角平分线性质|性质推导（垂线→垂线段最短）到实际应用（跳远测量、最短距离）| |综合计算证明|解答19-27|代数方程法（设未知数求角度）|概念+性质融合（对顶角+角平分线+垂直），构建逻辑推理链条|

暑假专项提升--相交线重点题型归纳 2025-2026学年初中数学人教版（2024）七年级下学期 一、单选题 1．下列图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，将一把剪刀张开一定的角度，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．中国在科学领域取得了很多举世瞩目的成就，世界上第一个小孔成像的实验就是由我国古代的墨子和他的学生完成的（得出了光沿直线传播的结论）．如图，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点在直线上，，下列说法错误的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与互补 D．与互补 5．如图，已知，为的中点，点在上，且，到的距离为，的面积为，求的长（   ） A．20 B．12 C．32 D．36 6．如图，直线、交于点，过点作，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．《天工开物》中记载我国古代的提水工具“桔槔（）”，它是由竖立的架子和一根细长的杠杆组成．如图是“桔槔”的简易装置图，图中与是内错角的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，O为直线上一点，是的平分线，在的内部，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，已知直线相交于点O，平分，平分，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 10．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则的值为_____． 11．如图，直线交于点是的平分线，，则________． 12．数学来源于生活，服务于生活．下面生活现象体现的数学原理是________． 现象：测量跳远成绩 13．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是_________． 14．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为______． 15．如图，是直线上一点，，射线平分，，则______． 16．中国古代重要文献《淮南万毕术》中记载了古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图，为了将深井照亮，井口放置一平面镜，太阳光线与地面的夹角，反射光线恰好垂直于地面（反射角等于入射角，），则平面镜与地面的夹角______． 三、解答题 17．如图，点在的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点作边的垂线，交线段的延长线于点； (2)过点作边的垂线段，垂足为点； (3)比较线段，，的大小，并用“”连接得_____，得此结论的依据是_____． 18．如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 19．如图，直线，交于点，已知，在右侧，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明与互余． 20．如图，直线与相交于点O，平分．   (1)的对顶角是_________，的邻补角是_________； (2)如果，求的度数； (3)若平分，与垂直吗？请说明理由． 21．直线相交于点平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数． 22．如图，直线，交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 23．如图，直线相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 24．如图，直线，相交于点O，过点作，在内部作射线． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 25．如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分．若，求的度数． 26．直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 27．如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D B D D C B A A A 1．D 由对顶角定义逐项验证即可． 解：D选项的图形中，与是对顶角；A、B、C选项的图形中，与不是对顶角． 2．B 解：由图知与是对顶角，则． 3．D 根据题意，和是对顶角，，又因为和是邻补角，邻补角的定义是两个角相邻且它们的和为．因此，我们可以得出的度数． 解：和是对顶角， ， ∵， ， 和是邻补角， ， ． 4．D 本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是理解余角和补角的定义． 根据题意可得，再根据余角和补角的定义求解即可． ， ，即， ， ， 为直线， ， ，即与互补，故A正确，不符合题意； ， 与互余，故B正确，不符合题意； ，， ， 则与互补，故C正确，不符合题意； ， 与互补， 又与不一定相等， 与互补说法错误，故D错误，符合题意． 故选：D． 5．C 本题考查了点到直线的距离，过点作于点，根据题意得出，根据的面积为，，得出的面积为，根据三角形的面积公式求得，由为的中点，即可求解． 解：如图，过点作于点 ∵到的距离为， ∴， ∵的面积为，， ∴的面积为， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：C． 6．B 本题考查了对顶角相等的性质及垂线的定义，根据图形找出角度间的关系是解题关键，由对顶角相等可得，由垂直可得，进而利用角的和差关系求解． 解： 直线、交于点， （对顶角相等）， ， ， ． 7．A 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，根据定义判断即可． 解：图中与是内错角的是． 8．A 设，由题意可得，，再根据平角的定义列方程，求出，即可得解． 解：设， ，， ，， 是的平分线， ， ， ， ， ． 9．A 利用角平分线的有关计算，邻补角的定义，对顶角相等分别计算求解． 解：平分，， ， ，故①正确； ， ． 平分， ， ，即，故②正确； ，， ，故③正确； ，， ，故④正确． 综上所述，正确的有个． 10．或 分这两个角是对顶角和邻补角两种情况讨论，根据对顶角的性质和邻补角的定义列方程求解即可． 解：当这两个角是对顶角时， 可得，即， 解得； 当这两个角是邻补角时， 可得，即， 解得， 综上，的值为或． 11． 先根据邻补角求出，再根据角平分线定义求出角，最后根据邻补角定义求得． 解：， ， 是的平分线， ， ． 12．垂线段最短 根据生活现象：测量跳远成绩体现的数学原理是垂线段最短，进行作答即可． 解：依题意，测量跳远成绩体现的数学原理是垂线段最短． 13． 解：∵，， ∴点到直线的距离是． 14．4.8 本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，解题关键是熟练掌握利用线段的性质解决最短路径问题．根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短，过点作于点，交于点，利用已知条件和直角三角形的面积公式，列出关于的方程，解方程即可． 解：如图所示，过点作于点，交于点， 根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短， ， ， ，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 15．/20度 根据条件先求出，设，则，根据列出方程，求出的值即可． 解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 16．68 由题意可得，，再结合求出，即可得出结果． 解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 （1）根据垂直的定义作图即可； （2）根据垂直的定义作图即可； （3）先结合两处垂直条件，连续运用垂线段最短分步比较线段大小，最后得出． （1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 得此结论的依据是垂线段最短． 18．(1)是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角 (2)，理由见解析； 本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角相等、邻补角互补，熟练掌握有关定义和性质是解决问题的关键． （1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论； （2）由对顶角相等和邻补角互补等量代换即可得出结论． （1）解：是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角； （2）解：，理由如下： ， ； ， ． 19．(1) (2)见解析 （1）先根据对顶角相等和已知条件，求出，从而求出即可； （2）先根据垂直定义和已知条件求出，再根据已知条件求出，进而求出即可证明． （1）解：，， ， ， ； （2）证明：， ． ， ， ∴， ， ， 与互余． 20．(1)； (2) (3)与垂直，理由见解析 （1）根据对顶角定义直接求解即可； （2）根据角平分线的定义可得，再根据邻补角的定义可得的度数； （3）根据角平分线的定义可得，，再根据邻补角的定义可得． （1）解：的对顶角是，的邻补角是； （2）平分，， ， ， 的度数为； （3）与垂直，理由如下： 平分，平分， ，， 又， ， ． 21．(1) (2) （1）由对顶角相等得到，再由角平分线的定义得到，进而根据即可求解； （2）设 ，由角平分线的定义得到，因此 ．由，得到，即可列出方程，求得，因此，根据对顶角相等即可解答． （1）解：和是对顶角， ． 平分， ， （2）解： ， 设 ． 平分， ， ． ， ， ， ， 解得， ， ， ． 22．(1) (2) （1）根据角平分线的定义得到，根据对顶角相等得到，根据垂线的定义得到，即可求出的度数； （2）根据求出，根据对顶角相等得到，根据角平分线的定义即可求出的度数． （1）解：∵且平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 23．(1) (2) （1）解：， ， ， ， ， 平分， ； （2）解：设，则． 平分， ， 又， ， 解得， ． ， ， ． 24．(1)见解析 (2) （1）利用等角的余角相等即可求得； （2）设，则，根据，列式计算即可求解． （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 设，则， ∴，解得， ∴， ∵， ∴． 25． 设，则，则，再由角平分线得到，最后根据建立方程求解即可． 解：∵ ∴设，则， ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ 解得 ∴． 26．(1) (2) (3)，理由见解析 此题考查的是角的和差倍分的综合题，熟悉掌握角平分线、补角的性质是解题的关键． （1）根据补角的定义以及角的和差关系计算即可； （2）根据补角的定义解答即可； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可． （1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴与互补的角有； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． 27．(1) (2)是，理由见解析 (3)定值， （1）根据对顶角可知,然后根据比例关系即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可判断； （3）设未知数，列方程，根据等量关系即可求解． 本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系是解题关键． （1）解：,, , ∵， ; 故答案为：． （2）解：由（1）知当，， , ∵平分， , , 是的平分线． （3）解：设，则， ∵， , , , , ． 故答案为：定值， 学科网（北京）股份有限公司 $