精品解析：湖北黄梅县育才高级中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题

高二数学3月月考 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知某质点的运动方程为，其中s的单位是m，t的单位是s，则该质点在末的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 2. 设为等差数列的前项和，若，，则 A. B. C. D. 3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A B. C. D. 4. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 7. 已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 8. 已知函数在上单调递增，则a最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 二、多选题：本大题共3小题，共18分. 9. 下列求导运算正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，下列命题正确的是（ ） A. 函数的图像在点处的切线为； B. 函数有个零点； C. 函数在处取得极大值； D. 函数图像关于点对称． 11. 在各项均为正数的等比数列中，已知，，数列前项积为，则（ ） A. 是单调递减数列 B. 是单调递增数列 C. 中的项为整数的只有2个 D. 的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 已知函数的导函数为，且，则 ______. 13. 若函数的图象与直线相切，则________. 14. 已知数列的前项和为，则的通项公式为______. 四、解答题：本大题共5小题，共71分. 15. 已知函数（）的导数为. （1）当时，求曲线在处切线的方程； （2）解关于的不等式. 16. 已知等差数列中，，． （1）求值； （2）若数列满足：，证明：数列是等差数列． 17. 已知函数是函数的一个极值点. （1）求函数的单调递增区间； （2）当，求函数的最小值. 18. 已知函数. （1）求函数极值； （2）证明：，. 19. 已知是函数的一个极值点. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学3月月考 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知某质点的运动方程为，其中s的单位是m，t的单位是s，则该质点在末的瞬时速度为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据瞬时变化率的定义计算． 【详解】 ， 所以该质点在末的瞬时速度为. 故选：C. 2. 设为等差数列的前项和，若，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：首先设出等差数列公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果. 详解：设该等差数列的公差为， 根据题中的条件可得， 整理解得，所以，故选B. 点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果. 3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A. 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：. 4. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递减， 所以，即，则在上恒成立， 因为在上单调递减，所以，故. 故选：A. 5. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由图像判断出的单调性，得到的正负，解不等式即可. 【详解】由图像可得：在上单增，在上单减，在上单增，所以 在上，在上，在上. 不等式可化为： 或，解得：或. 故原不等式的解集为. 故选：A 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式得到数列的周期，结合周期性求解即可. 【详解】因为，，所以，，， ， 所以是以3为周期的数列，则. 7. 已知函数在x=1处取得极大值，则m值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令，即可得求导m值，分别代入导函数检验，当时，在x=1处取得极小值，故舍去，当时，在处取得极大值，即可得答案. 【详解】由题意得：，因为在x=1处取得极大值， 所以，解得或， 当时，， 令，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去， 当时，， 令，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以在处取得极大值，故满足题意 综上. 故选：B 【点睛】易错点为，通过，解得或，需代回导函数检验，x=1处为极大值点还是极小值点，方可得答案. 8. 已知函数在上单调递增，则a的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数，求出的最小值作答. 【详解】函数，求导得：，因在上单调递增， 则对任意的，成立，设，则， 由，得，由，得，从而在上单调递减，在上单调递增， 即，因此， 所以a的最大值是. 故选：C 二、多选题：本大题共3小题，共18分. 9. 下列求导运算正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据求导公式及四则运算法则与复合函数求导的方法，逐一计算，即可得出答案. 【详解】对于A：若，则，故A错误； 对于B：若，则，故B正确； 对于C：若，则，故C错误； 对于D：若，则，故D正确. 10. 已知函数，下列命题正确的是（ ） A. 函数的图像在点处的切线为； B. 函数有个零点； C. 函数在处取得极大值； D. 函数的图像关于点对称． 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出的导函数，求出和，利用点斜式求得切线方程，即可判断A；利用导数求出函数的单调性，从而可求得极值点，即可判断C；由函数的单调性以及零点存在定理即可判断B；令，可得为奇函数，结合平移，即可判断D． 【详解】对于选项A：因为，则，且， 所以函数的图像在点处的切线为，即为，故A正确； 对于选项B：令，解得或；令，解得； 可知函数在和上单调递增，在上单调递减， 且，，，， 可知函数在内各有一个零点， 所以函数有个零点，故B正确； 对于选项C：由选项B知函数在处取得极小值，故C错误； 对于选项D：令，则的定义域为， 且，则函数为奇函数，其图像关于原点对称， 将函数的图像向右平移一个单位再向上平移一个单位可得函数， 所以函数的图像关于点对称，故D正确． 11. 在各项均为正数的等比数列中，已知，，数列前项积为，则（ ） A. 是单调递减数列 B. 是单调递增数列 C. 中的项为整数的只有2个 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合题意求出等比数列的通项公式，再逐项判断即可. 【详解】设等比数列的公比为． 由，得， 即，解得或（舍去）． 因为，所以，则A正确，B错误． 因为，，，，， 又，所以当时，不为整数，所以C正确． 因为，且，所以最大，D正确． 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 已知函数的导函数为，且，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的运算法则和求导公式计算即可得答案. 【详解】解：由于是常数，故根据导数的运算法则得：， 所以，解得：. 故答案为： 【点睛】本题考查导数的计算，是基础题. 13. 若函数图象与直线相切，则________. 【答案】2 【解析】 【详解】根据导数的意义列方程组求解即可. 因为，所以. 设切点为，由题意知，，解得. 所以. 14. 已知数列的前项和为，则的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用计算即可，注意求时，的值. 【详解】由已知当时， ， 又时，， 故的通项公式为， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共71分. 15. 已知函数（）的导数为. （1）当时，求曲线在处切线的方程； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，解集为，当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义结合直线点斜式求解即可； （2）求导,对分类讨论，进而求解的解集. 【小问1详解】 当时，，则，， 所以曲线在处切线的斜率， 所以曲线在处切线的方程为，即. 【小问2详解】 由题意知，， 当时，对恒成立，故解集为， 当时，令，解得或（不符合题意舍去）， 若，则，即； 若，则，即， 故解集为， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为. 16. 已知等差数列中，，． （1）求的值； （2）若数列满足：，证明：数列是等差数列． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质易得，由等差数列的通项公式求得公差，再由基本量运算求得结论； （2）由（1）求得通项公式，从而可得，计算可得结论． 【小问1详解】 ，， ； 【小问2详解】 由（1）可知 ， ∴数列是等差数列，首项是1，公差是2. 17. 已知函数是函数的一个极值点. （1）求函数的单调递增区间； （2）当，求函数的最小值. 【答案】（1）和；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由极值点求出参数，再代入，解不等式求递增区间 （2）求在上的极值，与端点值比较得出最小值. 【详解】（1）由题意 ，则 ，当时，； 当时，；当时，. 所以，函数的单调递增区间为和 （2）当时，的变化情况如下表 x 0 1 2 ＋ 0 － 0 ＋ 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 当 当. 所以当时，函数的最小值为. 【点睛】用导数法求最值方法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； 18. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）证明：，. 【答案】（1）极小值，无极大值；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式求得导函数，可由的符号判断函数的单调性，并由极值点求得极值. （2）将函数的解析式代入不等式，并构造函数，求得，再构造函数，并求得，由可知在上单调递增，由零点存在定理可知在内有唯一解，记为，满足.进而由的符号判断单调性，即可求得的函数表达式，根据二次函数在定区间上的值域即可判断恒成立，即证明不等式成立. 【详解】（1）函数，， 则， 由可知在上单调递增，且， 故当时，， 当时，， 故函数有极小值，无极大值； （2）证明：依题意对，，即； 设，则，设. 因为，所以在上单调递增. 又因为，， 所以在内有唯一解，记为，即. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，. 设，，则， 所以， 所以，即，. 【点睛】本题考查了由导数判断函数的单调性与极值，导数在证明不等式中的应用，构造函数法的综合应用，函数零点存在定理的应用，二次函数性质的应用，综合性强，属于难题. 19. 已知是函数的一个极值点. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的取值范围为 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求导，再由是函数的一个极值点即求解；（2）由（2）确定，再由和求得单调区间；（3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，，可得的极大值为，极小值为，再由直线与函数的图象有个交点则须有求解． 试题解析：（1）因为， 所以，因此 （2）由（1）知， ， ． 当时，， 当时，， 所以的单调增区间是， 的单调减区间是 （3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时， 所以的极大值为，极小值为， 当时， 所以在在三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当， 因此，的取值范围为 考点：（1）函数在某点取得极值的条件；（2）利用导数研究函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $