精品解析：湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

高二数学5月月考卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知随机变量服从二项分布，且，则（ ） A. 10 B. 16 C. 18 D. 20 3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是函数的极值点，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 无数多个 7. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确是（ ） A. 可表示为 B. 5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手10次 C. 若把英语单词“happy”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种 D. 将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有8种不同的分派方法 10. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ） A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06 B. 任取一个零件是次品概率为0.053 C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》中．“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第行的各项从左往右依次是二项式展开式中各项的二项式系数．下列结论正确的是（ ） A. B. 第2024行中从左往右第1013个数是该行中所有数字中最大的 C. 记第行的第个数为，则 D. 记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，则______. 13. 对相关系数，给出下列结论：①越大，线性相关程度越强；②若所有样本点都在直线上，则；③越大，线性相关程度越弱，越接近，线性相关程度越强；④且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱， 其中说法正确的是______填序号 14. 已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中各二项式系数的和为64． （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中各项系数的和； （3）若把展开式中所有的项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率． 16. 为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下列联表： 成绩有进步 成绩没有进步 合计 参加周六到校自主自习 55 20 75 未参加周六到校自主自习 30 45 75 合计 85 65 150 （1）依据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联? （2）从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人.若从这10人中随机抽取2人，记为成绩有进步的学生人数，求的分布列及数学期望. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 某品牌汽车4S店对2020年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用表示2020年第月份该店汽车成交量，得到统计表格如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 14 12 20 20 22 24 30 26 （1）求出关于的线性回归方程.(，精确到整数) （2）利用回归方程预测九月份的汽车成交量，并预测哪个月份成交量开始突破35辆. 参考数据及公式：，，，. 18. “摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则是：第一次在装有红色、白色球各两个共4个球的A袋中随机取出2个球；第二次在装有红色、白色、黑色球各一个共3个球的B袋中随机取出1个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3个球的颜色与获得的积分对应如下表： 所取球情况 三球均为红色 三球均不同色 恰有两球为红色 其他情况 所获得的积分 100 80 60 0 （1）求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率； （2）设一次摸奖中所获得的积分为X，求X的数学期望； （3）某人摸奖三次，求至少有两次获得积分为60的概率． 19. 已知函数． （1）当时，求在曲线上的点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若有两个极值点，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学5月月考卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据排列数公式和组合数公式列式解方程即可得答案. 【详解】由得：， 故选：C 2. 已知随机变量服从二项分布，且，则（ ） A. 10 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】应用二项分布的方差，计算求得，结合二项分布的期望计算可得结果. 【详解】因为，解得， 所以，则 故选：D 3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】由于服从正态分布，则， 故. 故选：B 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先将变形为，然后根据二项式定理分别求出与的展开式通项，再通过分析两个展开式相乘得到的系数即可. 【详解】先将变形为， 根据二项式定理，的展开式的通项为（）.  同理，的展开式的通项为（）.  要得到，则有以下几种情况： 当中取项（此时），中取常数项（此时），则该项系数为. 当中取项（此时），中取项（此时），则该项系数为. 当中取项（此时），中取项（此时），则该项系数为. 当中取常数项（此时），中取项（此时），则该项系数为. 将上述各项系数相加，可得的系数为.  的展开式中的系数为1560. 故选：B. 5. 某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由题意可知，事件为“比赛进行两局，甲获得冠军”，所以，， ， 由条件概率公式可得. 故选：C. 6. 已知是函数的极值点，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 无数多个 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，计算，求出的值即可. 【详解】， 由是函数的极值点， 则，即，解得. 经检验，符合题意. 故选：B. 7. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是. 故选：D. 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题. 8. 定义在上函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究单调性，比较函数值的大小. 【详解】由，得． 设函数，则， 所以在上单调递减，从而， 即，即． 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手10次 C. 若把英语单词“happy”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种 D. 将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有8种不同的分派方法 【答案】BC 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式可判断A；两两握手，即随便选出两人握手的所有可能结果数，再通过计算即可判断B；先对h，a，y进行排列，再将p放入位置中即可，列出式子计算即可判断C；按3，1分组和2，2分组两种情况，分别求出对应的安排方法，相加即可判断D． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，5人两两握手，即从5人中随便选出2人握手，即共握（次），故B正确； 对于C，在5个位置中选3个位置填入h，a，y，剩下2个位置填入p，共有（种），其中正确的只有1种，则可能出现的错误共有（种），故C正确； 对于D，将4人按3，1分派，共种；将4人按2，2分派，共有种， 故每个学校至少派1人，共有14种分派方法，故D错误． 故选：BC． 10. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ） A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06 B. 任取一个零件是次品的概率为0.053 C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，则，，，，，再依次求选项中的概率即可． 【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件， 则，， ，，， 对于选项，任取一个零件是第1台生产出来次品概率为，故错误； 对于选项，任取一个零件是次品的概率为 ，故正确； 对于选项，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 ，故正确； 对于选项，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 ，故正确； 故选：． 11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》中．“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第行的各项从左往右依次是二项式展开式中各项的二项式系数．下列结论正确的是（ ） A. B. 第2024行中从左往右第1013个数是该行中所有数字中最大的 C. 记第行的第个数为，则 D. 记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由的性质判断A；根据二项式系数的特点判断B；将求和式化为二项式即可判断C；由结合裂项相消法判断D. 【详解】解：由可得 ，故A错误； 第2024行是偶数，中间一项最大，即，也就是第2024行中第1013个数，故B正确； 第行的第个数为， 所以，故错误； 由题意知 ，故D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题A选项的解决关键是，利用组合数的性质进行添项减项即可得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，再赋值求出. 【详解】，则， 解得. 故答案为： 13. 对相关系数，给出下列结论：①越大，线性相关程度越强；②若所有样本点都在直线上，则；③越大，线性相关程度越弱，越接近，线性相关程度越强；④且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱， 其中说法正确的是______填序号 【答案】④ 【解析】 【分析】根据相关系数的性质依次判断即可. 【详解】相关系数可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱时， 而，当越接近于，表示两个变量的线性相关性越强， 越接近于时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系， 故①③错误，④正确； 若所有样本点都在直线上，则，故②错误. 故综上所述，④正确. 故答案为：④. 14. 已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意转化为在区间上恒成立，得到在区间上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解. 【详解】因为函数在区间上没有零点，且趋向正无穷时，趋向正无穷， 所以在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 设，可得， 因为，，可得，所以， 所以在区间上单调递减，所以，所以， 所以，实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中各二项式系数的和为64． （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中各项系数的和； （3）若把展开式中所有的项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质，求出； （2）用赋值法求出各项系数的和； （3）利用二项式展开式的通项公式确定有理项的项数，根据插空法排列有理项，再根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【小问1详解】 二项式系数之和为，解得. ，令解得， 则常数项为. 【小问2详解】 令 则展开式中各项系数的和为. 【小问3详解】 由（1）可知， 令，则即展开式中有理项有4项， 把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，即把其它的3个无理项先任意排，再把这4个有理项插入其中的4个空中，方法共有种， 设事件“有理项互不相邻”，. 16. 为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下列联表： 成绩有进步 成绩没有进步 合计 参加周六到校自主自习 55 20 75 未参加周六到校自主自习 30 45 75 合计 85 65 150 （1）依据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联? （2）从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人.若从这10人中随机抽取2人，记为成绩有进步的学生人数，求的分布列及数学期望. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联； （2）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据公式求得，再对照临界值表即可得解. （2）按分层随机抽样先得到成绩有进步同学和成绩没有进步同学的人数，得到的可能取值为0，1，2和对应的概率，得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 经计算得. 所以有99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联. 【小问2详解】 按分层随机抽样，成绩有进步同学抽取4人，成绩没有进步同学抽取6人 的所有可能取值是的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 所以的期望为：. 17. 某品牌汽车4S店对2020年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用表示2020年第月份该店汽车成交量，得到统计表格如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 14 12 20 20 22 24 30 26 （1）求出关于的线性回归方程.(，精确到整数) （2）利用回归方程预测九月份的汽车成交量，并预测哪个月份成交量开始突破35辆. 参考数据及公式：，，，. 【答案】（1）；（2）预计9月份成交量为30辆，从12月份起成交量开始突破35辆. 【解析】 【分析】（1）求出，，结合给出公式计算可得所求的线性回归方程. （2）利用（1）中的结果可预测九月份的汽车成交量，并可预测12月份起成交量开始突破35辆. 【详解】解：（1）由题意得：， ， ∴， ∴，所以回归直线方程为. （2）当时，即预计9月份的成交量为30辆， 由得：，∴即从12月份起成交量开始突破35辆. 18. “摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则是：第一次在装有红色、白色球各两个共4个球的A袋中随机取出2个球；第二次在装有红色、白色、黑色球各一个共3个球的B袋中随机取出1个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3个球的颜色与获得的积分对应如下表： 所取球的情况 三球均为红色 三球均不同色 恰有两球为红色 其他情况 所获得的积分 100 80 60 0 （1）求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率； （2）设一次摸奖中所获得的积分为X，求X的数学期望； （3）某人摸奖三次，求至少有两次获得积分为60的概率． 【答案】（1）. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）所取三个球中恰有两个红球，包含两类基本事件：一类是A袋中取出2个红球，B袋中取出一个不是红球；另一类是A袋中取出1个红球和1个白球，B袋中取出一个是红球；然后利用古典概型概率计算公式及互斥事件的加法公式可求得结果. （2）求出X的取值及取各个值的概率，列出分布列，再由期望公式求得结果. （3）由二项分布的定义知，三次摸奖中获得积分为60的次数，再运用互斥事件的概率公式计算即可. 【小问1详解】 一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率：. 【小问2详解】 由题意得，X的可能取值为100，80，60，0. ，， ，. 所以X的分布列为： X 100 80 60 0 P 则X的数学期望为：. 【小问3详解】 由二项分布的定义知，三次摸奖中获得积分为60的次数，则， 故所求概率. 19. 已知函数． （1）当时，求在曲线上的点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若有两个极值点，，证明：． 【答案】（1）； （2）详见解析； （3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出； （2）求出导函数，在定义域内分类讨论解含参不等式即可求出； （3）由题意得，，，而，只需证明，即证：，即证：对任意的恒成立即可． 【小问1详解】 由题可知，当时，， ，，切点为，切线的斜率为， 切线方程为：，即； 【小问2详解】 对函数求导可得，． 当时，．则在上单调递增． 当时，．则，． 令，则，或．，则， 综上：当时，在上单调递增， 当时，在和上单调递增， 在上单调递减． 【小问3详解】 有两个极值，， ，是方程的两个不等实根， 则，，， ． 要证：．即证：． 不妨设，即证：． 即证：对任意的恒成立． 令，．则． 从而在上单调递减，故． 所以． 【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，训练了构造函数法证明不等式的成立，属难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$