2026年九年级数学中考复习 图形变换综合解答题 专题提升训练

2026年九年级数学中考复习《图形变换综合解答题》专题提升训练（附答案） 一、轴对称 1.按照下列要求作图.（保留作图痕迹） (1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点P,Q在直线AB同侧，在直线AB上求作一 点M,使MP+MQ最短； ●P …Q y B (2)【“一定两动”型】如图，∠ABC内有一点P,分别在BA,BC边上各取一点P1,P2, 使△PP,P的周长最小： A B (3)【“两定两动”型（异侧）】如图，A,B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上 造一座桥MN,使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸 垂直) A• B (4)【“两定两动”型（同侧）】如图，MN的长度为定值，在直线1上分别取点E,F,使 EF=MN,连接AE,BF,当AE+EF+BF最小时，求点E,F的位置. A· M N 2.在综合与实践活动课上，小明以矩形为主题开展研究性学习. 【动手操作】作矩形ABCD,使BC>AB,连接BD,作点A关于BD的对称点E,连接AE, BE,CE,DE,AE与BD交于点F. 【观察发现】 (1)如图1，当CE=CD时，小明发现，∠CDE的度数是确定的，请直接写出这个度数： (2)如图2，当CF=CD时，小明又发现，线段BC与AB的比是确定的，请求出这个比值： 【实践探究】(3)如图3，设AE,DE与BC的交点分别为G,H,小明进一步发现，线 段GH与HC始终保持相等，请予以证明 A 图1 图2 图3 3.如图1，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是边AD上的一点，且 AF=1AE,连接CE、EF. 图1 图2 图3 (1)求证：CE⊥EF; (2)如图2，将△AEF沿EF翻折，得到△GEF,其中，点G是点A的对应点. ①连接CG,求证：C、G、F三点在同一条直线上： ②如图3，连接BG,请直接写出线段BG与线段CE的数量关系 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx-2的函数图象与x轴交于 A-4,0,B2,0两点，与y轴交于点C. 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)在直线AC下方的抛物线上有一动点P,连接AP,CP,点D是点C关于x轴的对称点， 过点D作直线l‖x轴，点M为直线l上一动点，MN⊥x轴，垂足为N,连接PN,MB,当 △APC的面积取得最大值时，求PN+MN+MB的最小值： (3)将抛物线y=ax2+bx-2沿射线AC方向平移2VS个单位长度得到新的抛物线y',D为 BC的中点，在新抛物线y'上存在一点Q使得∠CDQ=∠ACB,请直接写出所有符合条件 的点Q的坐标. 5.(1)如图1，正方形ABCD中，E为AB边上一点，AE=6,连接DE,过点E作 EF⊥DE交BC边于点F,将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点A处，连接DF,当 点A恰好落在DF上时，直接写出AF的长(； (2)如图2，在(1)的条件下，若把正方形ABCD改成矩形ABCD,且AD=mAB,其 他条件不变，直接写出AF的长(_（用含m的代数式表示）： (3)如图3，在(1)的条件下，若把正方形ABCD改成菱形ABCD,且∠B=60°， ∠些(120°，其他条件不变，当BE=AF时，求AF的长. D BF CB F 图1 图2 图3 6.如图，将△ABC沿AC翻折得到△AEC,过点A作AP‖EC交BC于点P,点D是线段 AP上一点，连接BD,过点A作AF‖BD交线段CE的延长线于点F. B D EE 图1 图2 (1)如图1，若∠ADB=110°，∠PCA=35°，求∠CAF的度数： (2)如图2，∠PAF的平分线交EC于点H,将线段AH绕着点H逆时针旋转90°后所在直线 与AF的延长线相交于点G. ①若2∠DBC-10°=3∠CAH,求∠G+∠BCA的度数： ②若在线段AH上有一点K,AK=名AH,点M是线段GH上一动点，点N是线段AG上 3 一动点，AH=3,GH=4,GA=5,请直接写出KM+MN的最小值. 7.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A1,0,B两点，与y轴交于点C(0,-5, 对称轴为直线. (1)求抛物线的表达式； (2)在直线l上是否存在一点N,使得△ACN的周长最短.若存在，求出点N的坐标及 △ACN的周长；若不存在，请说明理由； (3)若点P在以点B为圆心，2为半径的⊙B上，⊙B与x轴交于点D,E两点（点D在点E的 左侧)，连接AP,以AP为边在AP的下方作等腰Rt△APQ,且∠PAQ=90°，连接QE, 求EQ长度的取值范围. 二、旋转 8.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,将线段CA绕点C旋转a(0°<<90)， 得到线段CD,连接AD、BD: 图1 图2 图3 (1)如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转a,则∠ADB的度数为 (2)将线段CA绕点C顺时针旋转α， ①如图2，求∠ADB的度数： ②如图3，若∠BCD的平分线CE交BD于点F,交DA的延长线于点E,连接BE.用等式 表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明. 9.问题提出： 正方形ABCD和正方形AEGF有公共顶点A,连接BG,探究BG的长. 问题探究： D A 图① 图② 图③ (1)如图①，正方形ABCD的边长为3，正方形AEGF的边长为2，若正方形AEGF的边 AF落在正方形ABCD的边AD上，则BG的长为 (2)如图②，正方形ABCD的边长为3，正方形AEGF的边长为4，将正方形AEGF由图 ①中的位置绕点A顺时针旋转45°，求BG的长： 拓展应用： (3)如图③，矩形ABCD和矩形AEFG全等，点E在边DC上，边AE恰好经过BG的中点 O,若AB=6,BC=3,求BO的长 10.在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是2：1的矩形，例如我们的课本封面、 A4打印纸，我们称这样的矩形为标准矩形. 【操作判断】 如图1，已知矩形ABCD是一个标准矩形，其中AB=2BC=2,M,N分别是AB,CD 的中点，连接MN. N' N B 图1 图2 图3 (1)矩形BCNM标准矩形（填“是”或“不是”). 【深入探究】 将矩形BCNM绕点B顺时针旋转得到矩形BC'N'M', (2)如图2，当M'N恰好经过点C时，旋转角∠MBM的度数是_，线段CN的长是_ (3)如图3，当矩形BC'NM在平面内绕点B旋转时，连接CC',NN,直线CC'与线段 NN交于点E,猜想NE与NE的数量关系，并证明 【拓展应用】 (4)在矩形BCNM旋转过程中，当A,M,N三点共线时，请直接写出线段CE的长. 如图，直线y三号X-25x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y三号X+bx+ B、C两点，且与x轴交于另一点A. 图1 图2 (1)求出点B的坐标和抛物线的解析式： (2)如图1，点F是抛物线的顶点，连接FB,FC,试求出△FBC的面积： (3)如图2，点P是线段BC下方的抛物线上的动点（不与点B、C重合），过P作PD‖y轴 交BC于点D,作PE⊥BC于E,则△PDE的周长的最大值 (4)当(3)中△PDE的周长取得最大值时，将△PDE绕着点D旋转一周，在旋转的过程 中，点P、D、E的对应点分别记为P'、D、E'. ①点P到点A距离的最大值就 ②当点P恰好落在坐标轴上时，请直接写出相应的点E坐标. 12.综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动.如图15，在 △ABC中，AB=3,BC=4,∠ABC=90°，A为斜边AC的中点，将与△ABC全等的 △ABC绕点A旋转得到△AOD 操作发现： (1)如图①，顺时针旋转一定角度，记AD和AO分别与BC交于点E,F,当 AD⊥AC时，猜想EF和AF的数量关系为，并证明你的猜想： (2)如图②，继续旋转一定角度，当线段AD经过点B时，连接BO,试判断四边形 AAOB的形状，并证明你的结论： 实践探究： (3)在整个旋转过程中，当△A'OD在AC下方，且△A'OD的直角边恰好与AC垂直时， 设线段AO与直线BC交于点G,直线BC交射线DO于点H,连接AH,请直接写出AH 的长 B B 图① 图② 备用图 13.(1)【问题发现】 如图1，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D为BC的中点，以BD为一边作正 方形BDFE.点F恰好与点A重合，则线段CF与AE的数量关系为 (2)【拓展探究】 在(1)的条件下，如果正方形BDFE绕点B顺时针旋转，连接CF,AE,BF,线段CF与 AE的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)【问题解决】 当AB=AC=12,且(2)中的正方形BDFE绕点B顺时针旋转到E,F,C三点共线时， 请直接写出线段AE的长， A(F) D D 图1 图2 备用图 14.在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点，点F是AE的中点，点G在边AD上 且DG=EF,GF,CE的延长线交于点M. B(E) 图1 图2 图3 (1)如图1，当点E与点B重合时，求∠M的度数： (2)如图2，当点E与点B不重合时，(1)中∠M的度数是否发生变化？若有改变；请求出 ∠M的度数，若不变，请说明理由： (3)如图3，在(2)的条件下，作CN⊥GM于点N,连接BN,AM,取AM的中点P,连 接PN,试猜想PN与BN之间的数量关系，并说明理由 三、中心对称 15.在平面直角坐标系xOy中，M为第一象限内一点，连接MO,交反比例函数y= X k≠0)的图像于点A,B为反比例函数图像上一点，连接MB并延长，交X轴的正半轴于点 MB C,己知AM=AO, =n BC 图1 图2 (1)如图1，已知M4,4,求k值： (2)如图2，延长MO交反比例函数的另一支于点D,连接CD并延长，与反比例函数交于点 EF为DE中点，连接AF; ①若n=2,A的横坐标为2，求C的坐标； ②若n=3,A的横坐标为a,且∠DAF=45°，求F的坐标（用含a的代数式表示）. 16.【问题情景】 数学活动课上.张老师给出如下定义：如果一条抛物线y=ax+bx+c(a≠0)在x轴有 两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物 线三角形”. (1)请同学们回答“抛物线三角形”一定是_三角形： 【展示交流】 (2)“善思数学小组”提出问题：若抛物线y=-x+bxb>0(的“抛物线三角形”是等 腰直角三角形.请同学们求出b的值： 拓展探究】 (3)数学张老师继续提出问题：如图，△OAB是抛物线y=-x+px的“抛物线三角 形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD?若存在，求出过O、C、D三点的抛 物线的表达式；若不存在，请说明理由. 17.已知抛物线L1:y=x2+mx+nx≤0的顶点为A(-1,1),与y轴交于点B. (1)求m,n的值； (2)如图，抛物线L2与L1关于点B成中心对称，L2与x轴交于点D, ①求抛物线L2的解析式及点D的坐标： ②若在第四象限内有一点E,使得四边形ABDE是平行四边形，直接写出点E的坐标： (3)记抛物线L1,L2组合得到的新图象为L3,若L3与直线y=-x+b有三个交点，直接写出b 的取值范围。 18.【数学发现】 某校数学兴趣小组进行了如下探究：以△ABC内部任意一点O为中心，画出与△ABC成 中心对称的△A'BC.当点O处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部 分只可能有两种情况：如图1所示的平行四边形，如图2所示的有三组对边分别平行的六 边形（称为“平行六边形”）：从“数”的角度发现两个三角形重叠部分的面积在不断变 化 图(1) 图(2) 【问题解决】 组员小明选择面积为1的△ABC,以其内部任意一点O为中心，画出与之成中心对称的 △ABC,探究了下列问题，请你帮他解答 0 图(3) 图(4) (1)如图3，BC=2,当点A关于点O的对称点A落在边BC上时，两个三角形重叠部分为 ▣AQAP. ①若AA'⊥BC,求AO的长；（请直接写出答案） ②若口AQAP的面积为好求AC的长. (2)如图4，点D为BC的中点，点O在AD上，若两个三角形的重叠部分为“平行六边形” EFGHMN,求“平行六边形”EFGHMN面积的最大值，并指出此时点O的位置， 19.如图1，抛物线y=-x2-x+2交x轴于点A,B（点A在点B的左边)，交y轴于点C. 图2 图3 (1)直接写出点A,B,C的坐标： (2)如图2，连接BC,点D在抛物线对称轴上，将线段BC绕点D旋转180°得到对应线段EF,