精品解析：陕西省西安中学2026届高三下学期考前模拟考试数学试题

陕西省西安中学高2026届高三第三次模拟考试 数学试题 （时长：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则满足条件的集合的个数（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得集合中必须有4、5、6这三个元素，而1，2，3这三个元素可能含有，即的个数等价于集合子集的个数，由集合的子集与元素个数的关系，分析可得答案． 【详解】根据题意，满足题意条件的集合中必须有4、5、6这三个元素， 而1，2，3这三个元素可能含有， 则的个数等价于集合子集的个数， 集合有3个元素，有个子集； 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设结合同角三角函数的基本关系可得或，再结合齐次式求解即可. 【详解】由题意得，且， 可得，解得或， 则， 当时，； 当时，. 综上所述，. 故选：A 3. 设向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影为 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行，垂直，夹角以及向量投影的坐标公式对各个选项进行检验即可. 【详解】A.，即两个向量不满足平行的坐标公式，故错误； B.，即不满足向量垂直的坐标公式，故错误； C.，，所以夹角为，正确； D.在方向上的投影为，故错误. 故选：C 【点睛】本题考查两个向量平行，垂直以及两个向量的夹角坐标公式，考查向量投影的计算方法，属于基础题. 4. 已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数单调性结合已知函数值域列式计算求解. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，的最大值为，又因为，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，当时，，，当时，的最大值为， 只需的最大值大于等于2， 所以，解得. 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是右支上一点，．若点到直线的距离为，则的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，构造齐次方程，进而可得离心率. 【详解】 如图所示，由已知得，且，， 则 又由双曲线定义可知，即，而， 可得，即，解得（舍）或， 所以离心率， 故选：B. 6. 已知，则，，的大小关系不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数图象直接画图求解即可. 【详解】设， 则分别为与图象交点的横坐标， 当时，如下图所示，此时，故B情况可能出现； 当时，且位于和交点上方时， 如下图所示，此时，故C情况可能出现； 当时，且位于和交点下方时， 如下图所示，此时，故D情况可能出现. 所以不可能出现. 故选：A 7. 的三个内角，，所对的边分别为，，，在边上，且，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用正弦定理与三角恒等变换以及特殊角的三角函数求出的值，根据平面向量的线性表示求出，再利用模长和三角形的面积公式，计算求值. 【详解】解：中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； 又， ∴， ∴， ∴； ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴的面积为. 故选：B. 【点睛】本题考查了解三角形中的正弦、余弦定理和面积公式、平面向量基本定理应用问题，属于基础题. 8. 函数f(x)是定义在上的奇函数，且f(－1)＝0，若对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有成立，则不等式f(x)<0的解集为（ ） A. (－∞，－1)∪(1，＋∞) B. (－1，0)∪(0，1) C. (－∞，－1)∪(0，1) D. (－1，0)∪(1，＋∞) 【答案】C 【解析】 【分析】由想到构造函数F(x)＝xf(x)，可证为偶函数且在上为减函数，结合偶函数的对称性解不等式即可求解. 【详解】令F(x)＝xf(x)，因为函数f(x)是定义在上的奇函数， 所以F(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝F(x)， 所以F(x)是偶函数，因为f(－1)＝0，所以F(－1)＝0，则F(1)＝0， 因为对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1>x2时， ， 所以在(－∞，0)上单调递减， 所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增， 等价于或， 解得或， 所以不等式f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1). 故选：C 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性解不等式，构造函数是解题的关键，属于中档题 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 对任意实数都有 B. 若，则 C. 当时，的最小值是2 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据绝对值的概念可判断A的真假；利用不等式的基本性质可判断B的真假；利用基本不等式可判断C的真假；根据特称量词命题否定是全称量词命题可判断D的真假. 【详解】对于A：绝对值大于等于0恒成立，故A正确； 对于B：由，由同向不等式可加性有，即，故B正确； 对于C：因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以C错误； 对于D：由特称量词命题的否定是全称量词命题，所以得，故D错误. 故选：AB 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，图象的对称轴方程为 B. 当时，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 C. 若函数的图象在上恰有三条对称轴，则 D. 若函数在上单调递增，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】当时，，直接利用三角函数的性质求得对称轴验证A错误，利用函数变换得到为偶函数则B正确，利用函数的性质求得函数的对称轴和单调递增区间验证C、D即可求解. 【详解】当时，，令, 得到图象的对称轴方程为，故A错误； 将的图象向左平移个单位长度后得到的图象， 则为偶函数，故B正确； 函数的对称轴满足， 解得， 因为函数的图象在上恰有三条对称轴，即存在三个值使得， 时，，时，， 所以，解得，故C正确， 函数的单调递增区间满足， 解得， 函数在上单调递增， 当时，递增区间为，所以即， 因为，所以. 当时，递增区间为， 所以，解得， 综上所述，函数在上单调递增，则或，故D正确； 故选：BCD. 11. 如果称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，那么下列命题正确的有（ ） A. 若是“黄金椭圆”，则 B. 若点A在以，为焦点的“黄金椭圆”上，且，则的周长为 C. 若是左焦点，C，D分别是右顶点和上顶点，则 D. 设焦点在x轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为A，B，“黄金椭圆”上动点P（异于A，B），设直线PA，PB的斜率分别为，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】先判断焦点所在轴，再求m判断选项A；以椭圆定义巧求的周长判断选项B；以勾股定理判断选项C；直接去求的值去判断选项D. 【详解】A中没有指明焦点在x轴还是y轴，应该有两个值，所以A不正确； B中，由题意，则，所以，则的周长为，所以B正确； C中，由题意可得，，，要使椭圆为“黄金椭圆”，则，所以，所以， 所以，， 因为，， 所以，所以，所以C正确； D中，由题意可得，，设， 则， 因为P在椭圆上，所以，所以， 因为“黄金椭圆”上动点P，所以， 所以，而， 所以，即，所以，可得D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，为虚数单位，若为实数，则的值为__________． 【答案】-2 【解析】 【详解】为实数， 则. 【考点】 复数的分类 【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数， 当时，为虚数， 当时，为实数， 当时，为纯虚数. 13. 已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球半径即得答案. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得外接圆半径，设球半径为， 于是，解得，所以球的表面积是. 故答案为： 14. 宜春某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有红､黄､白､黑4个形状､大小相同的小球，规定每人可以有放回地先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），其中红黄白各计1分，黑计3分.若两次摸到的小球记录的得分的总分为7分，且凑齐四种颜色，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出总的取法的个数，再分类讨论求出满足条件的取法的个数，利用古典概型求解即可. 【详解】某人先后两次任意摸取小球，每次至少摸取1个小球， 则每次摸球的情况有种， 所以先后两次任意摸取小球共有种情况. 两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且总分为7分的情况有： 第一次摸取1个球，第二次摸取4个球，情况共有种； 第一次摸取2个球，第二次摸取3个球，情况共有种； 第一次摸取3个球，第二次摸取2个球，情况共有种； 第一次摸取4个球，第二次摸取1个球，情况共有种. 因为每次摸到球的各种不同情况等可能，所以两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色， 且总分为7分的概率为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. “生成函数”是一种将数列的递推关系转化为代数方程从而简化运算的数学工具.已知函数是数列的“生成函数”，且. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据“生成函数”的定义，利用退一作差法求得. （2）利用错位相减求和法求得 【小问1详解】 因为且， 所以①， 当可得， 当时②， ①-②得， 显然当时上式也成立， 所以. 【小问2详解】 由题得， ， 则（1）-（2）得： ， 所以. 16. 已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【答案】（1） （2）由抛物线对称性，不妨令点在轴上方， 由（1）知，，焦点， 显然直线不垂直于坐标轴， 设其方程为，如图所示： 由消去得：， 因为， 设，，所以， 直线的斜率为:，方程为， 直线的斜率为:，方程为， 由，消去得：， 整理得： ， 因此点的横坐标恒为， 所以点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件先找出直线的方程，联立直线和抛物线方程解出，从而得出的值建立方程求出的值即可； （2）由抛物线的对称性进行分析后，设直线，联立直线和抛物线方程，分析写出韦达定理，分别求出直线的方程，联立两直线方程分析即可得出结论. 【小问1详解】 如图所示： 抛物线的焦点，则直线， 由得， 依题意，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 17. 已知在三棱锥中，为等边三角形，平面平面，，分别为的中点． （1）求证：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由可得为的中点，由中点可得中位线，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）证明为直角三角形，得到的长度，在上取一点，使得,证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，求解平面与平面的法向量，在求解平面夹角的余弦值即可. （3）由点到平面的空间向量求解公式求解即可. 【小问1详解】 因为，，分别为，的中点，所以为的中点， 所以，因为平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 在平面内作交于点，由分别为的中点，为等边三角形， 得，由平面平面，平面平面， 得平面，平面，而平面，平面， 所以，，由，得，而， 所以，，，， 因为平面，平面，所以， 所以以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图 所以，，，，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以，即，令，所以，，所以， 平面的法向量为，因为平面与平面夹角为钝角， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 因为平面的法向量为，， 所以点到平面的距离为 18. 当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身体健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表： 关卡 1 2 3 4 5 6 平均过关时间（单位：秒） 50 78 124 121 137 352 计算得到一些统计量的值为：，，其中，． （1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出关于的经验回归方程； （2）甲参加一场闯关游戏，比赛共有5局，甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，记甲恰好获胜3次的概率为，求的最大值，并求出相应的概率． 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先对两边分别取对数得到，再根据题目中的数据代入公式去求即可； （2）依题意，利用导数求出函数的最大值，即可得解. 【小问1详解】 因为两边取对数可得，即， 令，所以，由， ，. 所以， 又，即， 所以，所以. 所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 甲每局比赛获胜的概率为，则甲每局比赛失败的概率为， 依题意可得， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时； 19. 已知函数，. （1）若是的极小值点，求的取值范围； （2）若直线与曲线的三个交点分别为，，，且，.记在，两点处切线的斜率分别为，，若，求的值； （3）若当且仅当，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）就、和分类讨论后可得函数的单调性； （2）利用因式分解可得有两个不等的实数根，结合实数根的性质可求得根及的范围，再结合斜率比值可求的值； （3）利用特值探路可得，再结合放缩法及虚设零点，利用导数证明前者为充分条件后可得参数的范围. 【小问1详解】 ， 令得或， ①当，即时，列表得： 2 0 0 极大值 极小值 所以是的极大值点，不符合题意. ②当，即时，恒成立，无极值点，不符合题意. ③当，即时，列表得： 2 0 0 极大值 极小值 所以是的极小值点，符合题意. 综上可知，的取值范围是. 【小问2详解】 由得或， 设，则，所以有两不等实根. 所以，，， 又因为，所以，， 则，且，故， 且，而， 所以，， 则，解之得或8（舍去）. 【小问3详解】 因为当且仅当，所以，则 因为，当时，，不符合题意； 当时， ①当时，， 记，， 若，，则单调递增，所以. 若，令，， 令，，易得单调递增， 所以，即， 则使，列表得： 0 极小值 因为，，所以使，列表得 0 极小值 又因为，，使，列表得 0 极大值 又，，所以，则当时，. ②当时， ， 设，则， 当时，， 故在上单调递增，故即， 设，则， 设，则， 在上为减函数，故，， 故在上存在一个零点，使得， 且当时，，时，， 故在上为增函数，在为减函数， 而，，故存在，使得， 且当时，，时，， 故在上为减函数，在为增函数， 而，故存在，使得， 且当时，，时，， 故在上为减函数，在为增函数， 而，故在上恒成立. 综上，当时，即， 综上可得，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安中学高2026届高三第三次模拟考试 数学试题 （时长：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则满足条件的集合的个数（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影为 4. 已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是右支上一点，．若点到直线的距离为，则的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 6. 已知，则，，的大小关系不可能为（ ） A. B. C. D. 7. 的三个内角，，所对的边分别为，，，在边上，且，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数f(x)是定义在上的奇函数，且f(－1)＝0，若对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有成立，则不等式f(x)<0的解集为（ ） A. (－∞，－1)∪(1，＋∞) B. (－1，0)∪(0，1) C. (－∞，－1)∪(0，1) D. (－1，0)∪(1，＋∞) 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 对任意实数都有 B. 若，则 C. 当时，的最小值是2 D. 若，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，图象的对称轴方程为 B. 当时，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 C. 若函数的图象在上恰有三条对称轴，则 D. 若函数在上单调递增，则或 11. 如果称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，那么下列命题正确的有（ ） A. 若是“黄金椭圆”，则 B. 若点A在以，为焦点的“黄金椭圆”上，且，则的周长为 C. 若是左焦点，C，D分别是右顶点和上顶点，则 D. 设焦点在x轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为A，B，“黄金椭圆”上动点P（异于A，B），设直线PA，PB的斜率分别为，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，为虚数单位，若为实数，则的值为__________． 13. 已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是________． 14. 宜春某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有红､黄､白､黑4个形状､大小相同的小球，规定每人可以有放回地先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），其中红黄白各计1分，黑计3分.若两次摸到的小球记录的得分的总分为7分，且凑齐四种颜色，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. “生成函数”是一种将数列的递推关系转化为代数方程从而简化运算的数学工具.已知函数是数列的“生成函数”，且. （1）求； （2）求. 16. 已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 17. 已知在三棱锥中，为等边三角形，平面平面，，分别为的中点． （1）求证：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）求点到平面的距离． 18. 当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身体健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表： 关卡 1 2 3 4 5 6 平均过关时间（单位：秒） 50 78 124 121 137 352 计算得到一些统计量的值为：，，其中，． （1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出关于的经验回归方程； （2）甲参加一场闯关游戏，比赛共有5局，甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，记甲恰好获胜3次的概率为，求的最大值，并求出相应的概率． 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 19. 已知函数，. （1）若是的极小值点，求的取值范围； （2）若直线与曲线的三个交点分别为，，，且，.记在，两点处切线的斜率分别为，，若，求的值； （3）若当且仅当，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $