专题02 认识概率全章9种题型（期中复习讲义）八年级数学下学期新教材苏科版

专题02 认识概率（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 确定事件的类型 题型02 判断事件发生可能性的大小 题型03 改变事件使发生的可能性大小相等 题型04 概率的意义 题型05 概率公式的计算 题型06 求某件事件的频率 题型07 关于频率与概率关系说法的正误 题型08 由频率估计概率 题型09 用频率估计概率的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 确定事件与随机事件辨析 1. 区分必然事件、不可能事件、随机事件，明确确定事件包含前两类；2. 结合实际情境快速判断事件类型，规范表述概念. 选择、填空必考基础题，分值2-3分，难度极低，易错混淆随机事件与确定事件. 事件发生可能性大小比较 1. 理解随机事件可能性有大小之分；2. 结合数量、情境直观比较可能性，会用规范词汇描述可能性大小. 选择题高频考点，分值2分，常结合摸球、掷骰子基础情境考查，无复杂计算. 等可能条件下的概率计算 1. 掌握核心公式：P(A) = ； 2. 准确找准目标结果数与总结果数，规范完成基础计算. 专题核心考点，填空、解答均考查，分值6-8分，失分多因数错结果、漏算目标情况. 频率的意义与计算 1. 区分频数与频率，牢记公式：频率=频数÷试验总数；2. 熟练完成基础频率计算，分清试验值与理论值的区别. 填空、解答基础小问必考，分值3-4分，计算简单，易错混淆频数和频率概念. 频率与概率的关系 1. 理解大量重复试验下，频率稳定于概率；2. 明确频率是试验值、概率是理论值，分清二者区别与联系，判断正误说法. 选择、判断必考，分值2-3分，高频易错点，易误将“稳定于”等同于“等于”. 用频率估计概率及应用 1. 会用试验频率估计概率；2. 结合实际情境，用估计概率解决简单估算、判断类问题. 解答题常考小问，分值3-5分，贴近生活，概率大题压轴小问常考，易得分. 知识点01 确定性事件与随机事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件. 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件. 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 【说明】 1、确定性事件在事件发生前是可以预知结果的，即事件的发生或不发生具有必然性；随机事件在事件发生前是不能预知结果的，也称为“偶然性事件”． 2、一般地，描述真理或客观存在的事实的事件是必然事件；描述违背真理或客观存在的事实的事件是不可能事件． 知识点02 事件发生的可能性的大小 1. 随机事件发生的可能性是有大小的； 2. 不同的随机事件发生的可能性的大小有可能相同. 3.要比较随机事件的可能性大小，可以按如下步骤进行： (1) 确定：明确“决定不同随机事件发生的要素”； (2) 计算：计算每一个要素的数量； (3) 结论：比较数量的多少，判断可能性的大小. 知识点03 概率 ◆1、概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)． ◆2、概率的计算 一般地，在一次试验中，如果共有有限个可能发生的结果，并且每种结果发生的可能性都相等，用m表示一个指定事件A包含的结果数，n表示试验可能出现的所有结果的总数，那么事件A发生的概率可利用下面的公式计算：P(A) = ． ◆3、概率的范围 当事件A 是必然事件时，P(A)=1； 当事件A是不可能事件时，P(A)=0； 当事件 A 随机事件时，0＜P(A)＜1 总结：（1）任何事件A发生的概率P(A)都是0和1之间(包括0和1)的数，即0≤P(A)≤1． （2）事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近 0. ◆4、计算简单事件的概率的主要类型： ① 个数类型：如摸球、掷骰子等可以表示出所有可能出现的结果的试验； ② 面积类型：如向区域S内任意掷一点，求恰好出现在区域A(A在S内)内的概率 . 知识点04 用频率估计概率 ◆1、频率：试验中，某事件发生的次数与总次数的比值，称为频率. ◆2、用频率估计概率：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性.因此可以用随机事件发生的频率来估计它的概率. 【注意】同一试验中重复的次数越多，事件发生的频率越接近概率，但频率永远不能取代概率，频率稳定在概率附近. ◆3、频率与概率的关系： 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化五关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点五关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 题型一 确定事件的类型 解｜题｜技｜巧 第一步区分事件大类，确定事件（必然+不可能）结果可预知，随机事件结果不可预知；第二步精准判定，客观真理、法定规则、既定事实为必然事件，违背科学规律、完全不可能发生为不可能事件，其余有两种及以上结果的为随机事件；答题时严格按教材术语表述，不随意简写，避免概念混淆。 【典例1】（23-24八年级下·江苏南京·期中）下列事件中属于必然事件的个数是（   ） ①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；②三条线段组成一个三角形；③a是实数，则；④367个人中至少有2个人生日相同． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）清明节是我国的传统节日，也是最重要的祭祀节日．唐代诗人杜牧《清明》中写到“清明时节雨纷纷”，则在“清明节这一天下雨”的这个事件是（    ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上说法均不对 【变式2】下列事件是确定事件的是（   ） A．打开手机正好显示8点 B．抛掷正方体骰子一次出现4点 C．明天会下雨 D．任意画一个三角形，它内角和等于 【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列事件是必然事件的是（    ） A．两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递 B．买彩票中奖 C．守株待兔 D．天崩地裂 【变式4】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）李白《夜宿山寺》中写有“手可摘星辰”诗句，从数学的观点看，诗句中描述的事件是_______事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 题型二 判断事件发生可能性的大小 解｜题｜技｜巧 先锁定影响可能性的核心对象（如球的颜色、卡片数字），分别统计各类对象的数量，数量越多，对应事件发生可能性越大；数量相等则可能性相同；若为转盘类问题，看对应区域面积大小，面积越大可能性越大，无需复杂计算，直观对比数量/面积即可得出结论。 【典例1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）下列事件中，发生可能性最大的是（   ） A．掷骰子，掷到6点 B．随意翻到一本书的某页，页码是奇数 C．画一个四边形，其内角和是 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【变式1】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．这张牌是“红桃” B．这张牌是“大王” C．这张牌是“A” D．这张牌的点数是8 【变式2】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知一条不透明的袋子里装有除了颜色外都一样的白球和黄球共10个．若从中任意摸一个球，要使摸到的黄球的可能性大，则袋子里装有黄球的个数至少（    ）个． A．7 B．6 C．5 D．4 【变式3】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）从一副扑克牌中任意抽取1张，①这张牌是“Q”；②这张牌是“大王”；③这张牌是“红心”．将这些事件的序号按照发生的可能性从小到大的顺序排列：_____． 【变式4】（24-25八年级下·江苏南京·期中）在一个不透明的袋子中有2个红球，3个白球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，将球摇匀后，从袋子中任意摸出一个球，摸到______球的可能性最大． 题型三 改变事件使发生的可能性大小相等 解｜题｜技｜巧 核心原则是让两类目标对象的数量完全相等，可能性就相等。常用方法：增加数量少的一方、减少数量多的一方、将多余对象移出或转换；操作后重新核对数量，确保无偏差，答题时写明具体调整方式，不笼统表述，贴合题目给定场景调整。 【典例1】袋子里有8个红球，m个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，则m的值不可能是（　　） A．10 B．5 C．3 D．1 【变式2】用红、黄、蓝共8个球（仅颜色不同）设计一个摸球游戏，使摸到红球比摸到黄球的可能性大， 摸到蓝球与摸不到蓝球的可能性一样大．满足上述条件的红、黄、蓝三种球的个数可能是（　　） A．2，2，4 B．3，2，3 C．2，1，5 D．3，1，4 【变式2】在一个不透明的袋子中装有5个红球和8个黑球，每个球除颜色外都相同． (1)从中任意摸出一个球，摸到______球的可能性大； (2)如果另外拿红球和黑球一共7个放入袋中，你认为怎样放才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同，请说明理由． 【变式3】一个不透明的口袋里有20个除颜色外都相同的球，其中有5个红球，15个黄球． (1)从中随意摸出一个球，摸出______球的可能性小； (2)若从中随意摸出一个球，摸出黄球的概率是______； (3)若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，袋子中需再加入______个红球； (4)若另外拿20个同款的球放入口袋中（球的颜色是红色和黄色），你认为怎样放才能使摸到的红球和黄球的可能性相同？请分别求出放入口袋中红球、黄球的个数． 【变式4】口袋里有除颜色外其它都相同的个红球和个黑球． (1)先从袋子里取出个黑球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件． 如果事件是必然事件，请直接写出的值； 如果事件是随机事件，请直接写出的值． (2)先从袋子中取出个黑球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求的值． 题型四 概率的意义 解｜题｜技｜巧 概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，不是必然发生的承诺。牢记核心误区：概率为1/3不代表3次试验必发生1次，而是大量重复试验下，平均每3次发生1次；随机事件单次结果不可预测，概率仅反映整体趋势，判断题中出现“一定”“必”等绝对表述，直接判定错误。 【典例1】（23-24八年级下·江苏镇江·期中）“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，梅雨时节的镇江在雨的衬托下显得别有韵味．某天天气预报说明天的降雨概率为，说明（    ） A．明天一定会下雨 B．明天下雨的可能性很大 C．明天有的地区在下雨 D．明天有的时间在下雨 【变式1】下列事件发生的概率为0的是（　　） A．随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上 B．今年冬天黑龙江会下雪 C．随意掷一枚均匀的正方体骰子两次，两次朝上面的点数之和为1 D．一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域 【变式2】某个事件发生的概率是，这意味着（　　） A．在两次重复试验中该事件必有一次发生 B．在一次试验中没有发生，下次肯定发生 C．在一次事件中已经发生，下次肯定不发生 D．每次试验中事件发生的可能性是50% 【变式3】下列说法正确的是（    ） A．一种福利彩票中奖率是千分之一，则买这种彩票1000张，一定会中奖 B．天气预报“明天降水概率为”，是指明天有的时间会下雨 C．连续掷一枚均匀硬币，若4次都是正面朝上，则第五次正面朝上的概率为 D．投掷一个瓶盖，第101次投掷时盖口朝上的频率比第100次投掷时更接近盖口朝上的概率 【变式4】（23-24八年级下·江苏南京·期中）下列说法正确的是（    ） A．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C．了解长江的水质，应采用普查方式 D．“若、是实数，则”是随机事件 题型五 概率公式的计算 解｜题｜技｜巧 第一步判定试验为等可能试验，所有结果出现概率均等；第二步找准两个关键数，n为所有等可能出现的结果总数，m为目标事件包含的结果数，不重复、不遗漏计数；第三步代入公式P(A) = ．计算，结果化为最简分数，若题目要求可转为小数；易错点：数错总结果数，务必逐一罗列核对。 【典例1在一个不透明的袋子内装有2个白球、3个红球和4黑球，它们除了颜色外其余均相同，从中任意摸出一个红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】抛掷一枚质地均匀的1元硬币10次，有9次正面朝上，1次反面朝上．若第11次抛掷该硬币，则正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】圆周率π是无限不循环小数．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是9的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025·江苏泰州·三模）有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（    ） A． B． C． D． 题型六 求某件事件的频率 解｜题｜技｜巧 严格套用公式频率=频数÷试验总次数，先区分两个概念，频数是目标事件实际发生的次数，试验总次数是所有试验的次数总和；频率是比值，取值在0-1之间，所有组频率之和为1；计算时注意约分，按题目要求保留小数或分数，严禁混淆频数和频率，避免分母分子颠倒。 【典例1】（22-23八年级下·江苏苏州·期中）数字“20230412”中，数字“2”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·江苏南京·期中）在英文句子“”中，字母“”出现的频率为______． 【变式2】（23-24八年级下·江苏泰州·期中）今天的日期是：20240425，在这串数字中，0出现的频率是______． 【变式3】已知数据：，，π，，0，其中无理数出现的频率为 ． 【变式4】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在整数20250416中，数字“0”出现的频率是______． 题型七 关于频率与概率关系说法的正误 解｜题｜技｜巧 分清二者核心区别，频率是试验统计值，随试验次数、试验人变化而变化；概率是理论固定值，不受试验过程影响。核心结论：大量重复试验时，频率逐渐稳定在概率附近，并非等于概率；判断题中“频率就是概率”“试验次数少频率也等于概率”等表述均错误，牢记“稳定于≠等于”。 【典例1】在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【变式1】下列说法中正确的是（    ） A．种植一种花卉成活率是，则种100株这种花一定会有95株成活 B．天气预报“明天降水概率是”是指明天有的时间会下雨 C．某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛一定能获得大奖 D．连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1” 【变式2】在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 【变式3】关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【变式4】关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有（    ） ①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大； ②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某种彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 题型八 由频率估计概率 解｜题｜技｜巧 适用前提是试验次数足够多、试验具有随机性，此时频率会稳定在一个固定数值附近，这个固定数值即为该事件的概率；直接取稳定后的频率值作为概率估计值，若给出多组频率数据，取平均值或最稳定的数值；注意：试验次数过少时，频率不能用来估计概率，避免片面判断。 【典例1】如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 360 500 800 1000 落在“饮料”区域次数m 32 39 64 102 155 243 299 则转盘中“饮料”区域的圆心角的度数近似是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）育种实验室在相同的条件下对某品种小麦发芽情况进行测试，得到如下数据： 抽查小麦粒数 100 500 1000 2000 3000 4000 发芽粒数 96 489 967 1940 2908 a 则a的值最有可能是（    ） A．3600 B．3720 C．3880 D．3970 【变式2】不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是（ ） A．红球 B．白球 C．黑球 D．黄球 【变式3】某种幼树在相同条件下移植实验的结果如表： 移植总数 成活数 成活的频率 根据以上数据可以估计幼树成活的概率约为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（22-23八年级下·江苏泰州·期中）下表是某商场举行活动转动转盘的统计数据，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率为（精确到）（    ） 转动转盘的次数 100 300 500 800 1000 落在“谢谢参与”区域的次数 33 93 153 236 301 落在“谢谢参与”区域的频率 A． B． C． D． 题型九 用频率估计概率的综合应用 解｜题｜技｜巧 解题三步走，第一步计算试验频率，用频数除以试验总次数；第二步用频率估计概率，确定概率近似值；第三步代入计算，用总体总数×估计概率，得出目标对象的估计数量；结果为人数、物品数时，必须保留整数，采用去尾法或进一法贴合实际；答题时分步书写，写明公式和计算过程，保住步骤分。 【典例1】（23-24八年级下·江苏徐州·期中）下表是某芯片生产厂质检部门对该厂生产的一批芯片质量检测的情况． 抽取的芯片数 500 1000 1500 2000 4000 合格数 472 948 1425 3804 合格品的频率 0.948 0.950 0.949 0.951 (1)求出表中______，______； (2)从这批芯片中任意抽取一个，是合格品的概率约是______；（精确到0.01） (3)如果要生产4750个合格的芯片，那么该厂估计要生产多少个芯片？ 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： (1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； (3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 【变式2】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 100 200 300 400 500 1000 优秀数量 94 194 288 380 475 优秀频率 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率大约是______；（精确到0.01） (3)若该市有80000名中学生，则估计全市优秀作业的数量为______． 【变式4】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在一只不透明的袋子中装有3个红球、2个白球和1个黄球，这些球除颜色外都相同．从袋子中任意摸出1个球，摸到的球是白色，这个事件是（   ） A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定事件 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）下列说法，正确的是（   ） A．从1一5这五个自然数中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较大 B．“抛一枚硬币，正面朝上的概率是”表示每抛2次就有一次正面朝上 C．“彩票中奖的概率是”表示买张彩票肯定会中奖 D．“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间在降雨 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）一只不透明的袋子中装有2个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．摸出的3个球颜色相同 B．摸出的3个球中有1个白球 C．摸出的3个球中至少有1个白球 D．摸出的3个球颜色不同 4．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如果事件A发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是（    ） A．做200次这种试验，事件A必发生1次 B．做200次这种试验，事件A发生的频率是 C．做200次这种试验，事件A可能发生1次 D．做200次这种试验，前199次事件A没发生，最后1次事件A才发生 5．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 6．生物兴趣小组对某大豆杂交品种进行育苗试验，培育结果统计如下： 总粒数 黄色子叶粒数 青色子叶粒数 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的理论比率 246 187 59 3658 2738 920 7679 5781 1898 31213 23436 7777 根据上述培育结果，下列说法正确的是（    ） A．只要增加试验的粒数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率就更加接近于 B．随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于 C．培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为 D．培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为 7．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ）    A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是黑桃 C．一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球（除了颜色都相同），从中任摸出一个球是红球 D．掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是5 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）生活中“水涨船高”描述的事件是______．（填“不可能事件”，“随机事件”或“必然事件”） 9．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”是_______事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） 10．（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被涂成蓝、红两种颜色，任意转动转盘一次，则P（蓝）表示指针停留在蓝色区域的可能性，P（红）表示指针停留在红色区域的可能性，则P（蓝）___________P（红）．（填“”“”或“”）    11．（25-26九年级上·山西长治·期末）某校学生会在筹备校庆游园会的过程中，设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢，投中即可获奖．活动开始前，为检验游戏难度，策划者多次进行投掷试验、将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 投中的次数 12 27 49 60 70 88 250 510 1000 2500 投中的频率 则投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为___________．（结果精确到） 12．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，据此可以估计黑色部分的总面积为________． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．张大爷承包的鱼塘，今年计划投放三种鱼苗，其中鲤鱼1200条，草鱼400条和部分鲫鱼，如果从水中随意打捞一条，捞出草鱼的概率是． (1)求从水中随意捞出一条是鲫鱼的概率； (2)张大爷了解到买草鱼的老百姓也比较多，于是计划再投放条草鱼，使随意捞出的一条鱼是草鱼的概率为，请求出的值． 14．在一个不透明的盒子里装有除颜色外都相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球7个，黑球若干个．若从中任意摸出1个球是黑球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数； (2)求任意摸出1个球是白球的概率； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出1个球是白球的概率是？若能，请写出调整方案；若不能，请说明理由． 15．（24-25八年级下·江苏南京·期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b (1)完成上述表格：______，______； (2)这种树苗成活的概率估计值为______； (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 16．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某射击队的甲、乙两名运动员在同一条件下进行射击，结果如下表： 射击总次数n 10 100 200 500 1000 击中靶心次数m 甲 9 94 168 424 851 乙 8 b 176 454 898 击中靶心频率 甲 0.9 0.94 0.84 0.848 0.851 乙 a 0.91 0.88 0.908 0.898 (1)表中 ， ； (2)在此条件下，可以估计甲运动员击中靶心的概率为 ，乙运动员击中靶心的概率为 （精确到0.01）； (3)若从甲、乙两名运动员中选择一名成绩较优秀的运动员参加射击比赛，你认为选哪一位运2动员更合适？请说明理由． 17．（24-25八年级下·江苏常州·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：    转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 0．74 0．69 (1)填空：______，______，______，______； (2)当n很大时，频率会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是多少？ 18．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内擦小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数（含外沿） 100 200 500 1000 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 23 42 102 206 小石子落在圆外的阴影部分（含外沿）的次数n 77 158 398 794 0.299 0.266 0.256 0.259 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很多时，则的值越来越接近 （结果精确到0.01）； (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）； (3)请你利用（2）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留π） 19．某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，转盘上分别标有“书画作品”和“手工作品”，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000 落在“书画作品”区域的次数m 60 122 180 238 a 604 落在“书画作品”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604 (1)上述表格中，________，________． (2)当n很大时，频率将会接近________．假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是________．（结果精确到0.1） (3)若要使获得“手工作品”的可能性不小于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加多少度？ 20．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．为此，某团队设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行随机调查．将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)这次参与调查的共有 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ； (2)将条形统计图补充完整； (3)如果某市有万人在使用手机： ①则估计该市最喜欢用“微信”进行沟通的人数为 万人； ②在该市使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，则抽取的最喜欢使用“”沟通的概率是 ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 认识概率（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 确定事件的类型 题型02 判断事件发生可能性的大小 题型03 改变事件使发生的可能性大小相等 题型04 概率的意义 题型05 概率公式的计算 题型06 求某件事件的频率 题型07 关于频率与概率关系说法的正误 题型08 由频率估计概率 题型09 用频率估计概率的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 确定事件与随机事件辨析 1. 区分必然事件、不可能事件、随机事件，明确确定事件包含前两类；2. 结合实际情境快速判断事件类型，规范表述概念. 选择、填空必考基础题，分值2-3分，难度极低，易错混淆随机事件与确定事件. 事件发生可能性大小比较 1. 理解随机事件可能性有大小之分；2. 结合数量、情境直观比较可能性，会用规范词汇描述可能性大小. 选择题高频考点，分值2分，常结合摸球、掷骰子基础情境考查，无复杂计算. 等可能条件下的概率计算 1. 掌握核心公式：P(A) = ； 2. 准确找准目标结果数与总结果数，规范完成基础计算. 专题核心考点，填空、解答均考查，分值6-8分，失分多因数错结果、漏算目标情况. 频率的意义与计算 1. 区分频数与频率，牢记公式：频率=频数÷试验总数；2. 熟练完成基础频率计算，分清试验值与理论值的区别. 填空、解答基础小问必考，分值3-4分，计算简单，易错混淆频数和频率概念. 频率与概率的关系 1. 理解大量重复试验下，频率稳定于概率；2. 明确频率是试验值、概率是理论值，分清二者区别与联系，判断正误说法. 选择、判断必考，分值2-3分，高频易错点，易误将“稳定于”等同于“等于”. 用频率估计概率及应用 1. 会用试验频率估计概率；2. 结合实际情境，用估计概率解决简单估算、判断类问题. 解答题常考小问，分值3-5分，贴近生活，概率大题压轴小问常考，易得分. 知识点01 确定性事件与随机事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件. 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件. 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 【说明】 1、确定性事件在事件发生前是可以预知结果的，即事件的发生或不发生具有必然性；随机事件在事件发生前是不能预知结果的，也称为“偶然性事件”． 2、一般地，描述真理或客观存在的事实的事件是必然事件；描述违背真理或客观存在的事实的事件是不可能事件． 知识点02 事件发生的可能性的大小 1. 随机事件发生的可能性是有大小的； 2. 不同的随机事件发生的可能性的大小有可能相同. 3.要比较随机事件的可能性大小，可以按如下步骤进行： (1) 确定：明确“决定不同随机事件发生的要素”； (2) 计算：计算每一个要素的数量； (3) 结论：比较数量的多少，判断可能性的大小. 知识点03 概率 ◆1、概率的定义 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)． ◆2、概率的计算 一般地，在一次试验中，如果共有有限个可能发生的结果，并且每种结果发生的可能性都相等，用m表示一个指定事件A包含的结果数，n表示试验可能出现的所有结果的总数，那么事件A发生的概率可利用下面的公式计算：P(A) = ． ◆3、概率的范围 当事件A 是必然事件时，P(A)=1； 当事件A是不可能事件时，P(A)=0； 当事件 A 随机事件时，0＜P(A)＜1 总结：（1）任何事件A发生的概率P(A)都是0和1之间(包括0和1)的数，即0≤P(A)≤1． （2）事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近 0. ◆4、计算简单事件的概率的主要类型： ① 个数类型：如摸球、掷骰子等可以表示出所有可能出现的结果的试验； ② 面积类型：如向区域S内任意掷一点，求恰好出现在区域A(A在S内)内的概率 . 知识点04 用频率估计概率 ◆1、频率：试验中，某事件发生的次数与总次数的比值，称为频率. ◆2、用频率估计概率：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性.因此可以用随机事件发生的频率来估计它的概率. 【注意】同一试验中重复的次数越多，事件发生的频率越接近概率，但频率永远不能取代概率，频率稳定在概率附近. ◆3、频率与概率的关系： 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化五关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点五关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 题型一 确定事件的类型 解｜题｜技｜巧 第一步区分事件大类，确定事件（必然+不可能）结果可预知，随机事件结果不可预知；第二步精准判定，客观真理、法定规则、既定事实为必然事件，违背科学规律、完全不可能发生为不可能事件，其余有两种及以上结果的为随机事件；答题时严格按教材术语表述，不随意简写，避免概念混淆。 【典例1】（23-24八年级下·江苏南京·期中）下列事件中属于必然事件的个数是（   ） ①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；②三条线段组成一个三角形；③a是实数，则；④367个人中至少有2个人生日相同． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了必然事件．必然事件是指一定发生的事件，①产品可能不合格；②三条线段不一定满足三角形条件；③当时，则；④人超过一年天数，至少两人生日相同，据此进行逐一分析各事件，即可作答． 【详解】解：事件①：生产流水线上的产品可能不合格，不是必然事件； 事件②：三条线段只有满足任意两边之和大于第三边才能组成三角形，不是必然事件； 事件③：a为实数，当时，则；故a是实数，则不是必然事件； 事件④：一年最多366天，367人至少有两人生日相同，是必然事件， ∴ 只有事件④是必然事件，共1个， 故选：B 【变式1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）清明节是我国的传统节日，也是最重要的祭祀节日．唐代诗人杜牧《清明》中写到“清明时节雨纷纷”，则在“清明节这一天下雨”的这个事件是（    ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上说法均不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不会发生的事件叫做随机事件，在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此求解即可． 【详解】解：清明节这一天可能会下雨，也有可能不会下雨，故“清明节这一天下雨”的这个事件是随机事件， 故选：A． 【变式2】下列事件是确定事件的是（   ） A．打开手机正好显示8点 B．抛掷正方体骰子一次出现4点 C．明天会下雨 D．任意画一个三角形，它内角和等于 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A、打开手机正好显示8点，是随机事件，不符合题意； B、抛掷正方体骰子一次出现4点，是随机事件，不符合题意； C、明天会下雨，是随机事件，不符合题意； D、任意画一个三角形，它内角和等于，是确定事件，符合题； 故选：D． 【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列事件是必然事件的是（    ） A．两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递 B．买彩票中奖 C．守株待兔 D．天崩地裂 【答案】A 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、根据热力学原理，当两个温度不同的物体接触时，热量必然从高温物体传向低温物体，直到温度相同，此过程是必然事件，本选项符合题意； B、买彩票中奖是随机事件，结果不确定，属于可能发生也可能不发生的情况，是随机事件，本选项不符合题意； C、“守株待兔”比喻不主动努力而侥幸获得成功，属于极小概率事件，并非必然事件，本选项不符合题意； D、“天崩地裂”形容自然灾害，属于偶发事件，并非必然事件，本选项不符合题意； 故选：A． 【变式4】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）李白《夜宿山寺》中写有“手可摘星辰”诗句，从数学的观点看，诗句中描述的事件是_______事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 【答案】不可能 【分析】本题主要考查了事件的分类，必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此求解即可． 【详解】解；李白《夜宿山寺》中写有“手可摘星辰”诗句，从数学的观点看，诗句中描述的事件是不可能事件， 故答案为：不可能． 题型二 判断事件发生可能性的大小 解｜题｜技｜巧 先锁定影响可能性的核心对象（如球的颜色、卡片数字），分别统计各类对象的数量，数量越多，对应事件发生可能性越大；数量相等则可能性相同；若为转盘类问题，看对应区域面积大小，面积越大可能性越大，无需复杂计算，直观对比数量/面积即可得出结论。 【典例1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）下列事件中，发生可能性最大的是（   ） A．掷骰子，掷到6点 B．随意翻到一本书的某页，页码是奇数 C．画一个四边形，其内角和是 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】C 【分析】本题考查了判断事件发生的可能性的大小，结合具体的问题情境进行判断即可，正确理解事件发生的可能性的大小判断是解题的关键． 【详解】解：、掷骰子掷到6点，骰子共有6个等可能结果，概率为； 、翻到奇数页码，页码奇偶数量接近，概率为； 、四边形内角和为，根据多边形内角和公式，所有四边形内角和均为，此事件为必然事件，概率为； 、射击命中靶心，命中概率受技术影响，但无法达到， 故选：． 【变式1】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．这张牌是“红桃” B．这张牌是“大王” C．这张牌是“A” D．这张牌的点数是8 【答案】A 【分析】本题考查等可能事件发生的可能性大小，根据抽取结果的数量进行判断即可． 【详解】解：一副扑克牌共54张，共54种等可能结果，抽取“红桃”的结果有13种，抽取“大王”的结果有1种，抽取“A”的结果有4种，抽取这张牌的点数是8有4种，其中抽取“红桃”的结果数最多，故发生的可能性最大； 故选A． 【变式2】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知一条不透明的袋子里装有除了颜色外都一样的白球和黄球共10个．若从中任意摸一个球，要使摸到的黄球的可能性大，则袋子里装有黄球的个数至少（    ）个． A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查感受可能性，根据摸到的黄球的可能性大，得到黄球的数量要多于白球的数量，进行判断即可． 【详解】解：∵要使摸到的黄球的可能性大， ∴黄球的数量要多于白球的数量， ∵袋子里白球和黄球共10个 ∴袋子里至少装6个黄球； 故选B． 【变式3】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）从一副扑克牌中任意抽取1张，①这张牌是“Q”；②这张牌是“大王”；③这张牌是“红心”．将这些事件的序号按照发生的可能性从小到大的顺序排列：_____． 【答案】②①③ 【分析】此题主要考查了随机事件发生的可能性的大小问题，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出一副扑克牌中含“A”、“红桃”、“大王”、“红色的牌”的张数各是多少． 首先分别求出一副扑克牌中含“A”、“红桃”、“大王”、“红色的牌”的张数各是多少，然后根据每张牌被抽到的机会相等，只要比较出哪个事件的可能结果最多，即可判断出这些事件发生的可能性的大小，并将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列即可． 【详解】解：一副扑克牌中含“Q”4张，“红心”13张，“大王”1张， ∵， ∴将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列：②①③． 故答案为：②①③． 【变式4】（24-25八年级下·江苏南京·期中）在一个不透明的袋子中有2个红球，3个白球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，将球摇匀后，从袋子中任意摸出一个球，摸到______球的可能性最大． 【答案】黑 【分析】本题主要考查了可能性大小计算，即概率的计算方法，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 根据可能性大小的求法，求出各个事件发生的可能性的大小，再按照大小顺序从小到大排列起来即可． 【详解】解：根据题意，袋子中共10个球，其中有2个红球，3个白球和5个黑球，故将球摇匀，从中任取1球，每个球被摸到的可能性相同， ∴摸到红球的可能性为， 摸到白球的可能性为， 摸到黑球的可能性为， ∴摸到黑球的可能性最大． 故答案为：黑 题型三 改变事件使发生的可能性大小相等 解｜题｜技｜巧 核心原则是让两类目标对象的数量完全相等，可能性就相等。常用方法：增加数量少的一方、减少数量多的一方、将多余对象移出或转换；操作后重新核对数量，确保无偏差，答题时写明具体调整方式，不笼统表述，贴合题目给定场景调整。 【典例1】袋子里有8个红球，m个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，则m的值不可能是（　　） A．10 B．5 C．3 D．1 【答案】A． 【分析】分别求出摸到红球和黑球的概率，再根据摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大即可得出结论． 【详解】解：∵袋子里有8个红球，m个黑球， ∴摸到红球的可能性为； 摸到黑球的可能性为， ∵摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大， ∴， ∴m＜8． 故选：A． 【点睛】本是题考查的是可能性的大小，熟记概率公式是解题的关键． 【变式2】用红、黄、蓝共8个球（仅颜色不同）设计一个摸球游戏，使摸到红球比摸到黄球的可能性大， 摸到蓝球与摸不到蓝球的可能性一样大．满足上述条件的红、黄、蓝三种球的个数可能是（　　） A．2，2，4 B．3，2，3 C．2，1，5 D．3，1，4 【答案】D． 【分析】此题要想使摸到蓝球与摸不到蓝球的可能性一样大，摸到红球的可能性比摸到黄球的可能性大，只要蓝球放总数的一半，红球的个数多于黄球的个数即可． 【详解】解：∵摸到蓝球与摸不到蓝球的可能性一样大，摸到红球的可能性比摸到黄球的可能性大， ∴蓝球4个，红球3个，黄球1个． 故选：D． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相同，那么它们的可能性就相等． 【变式2】在一个不透明的袋子中装有5个红球和8个黑球，每个球除颜色外都相同． (1)从中任意摸出一个球，摸到______球的可能性大； (2)如果另外拿红球和黑球一共7个放入袋中，你认为怎样放才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同，请说明理由． 【答案】(1)黑 (2)放5个红球，放2个黑球，才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同，理由见解析 【分析】（1）分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大； （2）设放x个红球，则放个黑球，根据摸到红球和摸到黑球的概率相同，即都为列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在一个不透明的袋子中装有5个红球和8个黑球， ∴从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为，摸到红球的概率为， ∵， ∴摸到黑球的可能性大， 故答案为：黑； （2）解：放5个红球，放2个黑球，才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同，理由如下： 设放x个红球，则放个黑球， ∵摸到红球和摸到黑球的可能性相同， ∴， 解得， ∴， ∴放5个红球，放2个黑球，才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量，熟知概率计算公式是解题的关键． 【变式3】一个不透明的口袋里有20个除颜色外都相同的球，其中有5个红球，15个黄球． (1)从中随意摸出一个球，摸出______球的可能性小； (2)若从中随意摸出一个球，摸出黄球的概率是______； (3)若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，袋子中需再加入______个红球； (4)若另外拿20个同款的球放入口袋中（球的颜色是红色和黄色），你认为怎样放才能使摸到的红球和黄球的可能性相同？请分别求出放入口袋中红球、黄球的个数． 【答案】(1)红 (2) (3)25 (4)黄球个，红球个 【分析】（1）由球的个数即可作答； （2）由概率计算公式即可计算； （3）设袋子中还需加入个红球，由概率计算公式即可求解； （4）设口袋中放入红球个，根据摸到的红球和黄球的可能性相同，即可建立方程求解． 【详解】（1）解：∵红球的个数比黄球的个数少 ∴摸出红球的可能性小 故答案为：红 （2）解：摸出黄球的概率是： 故答案为： （3）解：设袋子中还需加入个红球 则 解得： 经检验：是分式方程的解 故答案为：25 （4）解：要使摸到的红球和黄球的可能性相同，即摸到红球的概率为， 设口袋中放入红球个，由题意得， 解得， ∴口袋中放入黄球的个数为（个）， 【点睛】本题考查概率的应用．掌握概率的计算公式是解题关键． 【变式4】口袋里有除颜色外其它都相同的个红球和个黑球． (1)先从袋子里取出个黑球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件． 如果事件是必然事件，请直接写出的值； 如果事件是随机事件，请直接写出的值． (2)先从袋子中取出个黑球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求的值． 【答案】(1) ；   的值为或或； (2) 【分析】本题主要考查了必然事件和随机事件定义，求概率，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率公式是解题的关键． 根据必然事件的定义可知：从袋子里随机摸出一个球一定是红球，袋子里一定全部是红球，没有黑球，所以黑球要全部被拿走，所以的值是； 根据随机事件的定义可知：从袋子里随机摸出一个球可能是红球也可能是黑球，所以袋子里一定既有红球又有黑球，所以的值为或或； 取出个黑球，再放入个一样的红球，袋子里的小球的总数仍是个，其中红球的个数是，根据摸出一个球是红球的可能性大小是，可得：，解方程求出即可． 【详解】（1）解：事件是必然事件， 从袋子里随机摸出一个球一定是红球， 袋子里一定全部是红球，没有黑球， 黑球要全部被拿走， ；   解：事件是随机事件， 从袋子里随机摸出一个球可能是红球也可能是黑球， 袋子里一定既有红球又有黑球， 袋子里的黑球不能全部被拿走，最少有一个黑球， 的值为或或； （2）解：袋子里一共有个球， 取出个黑球，再放入个一样的红球，袋子里的小球的总数仍是个， 其中红球的个数是， 摸出红球的可能性大小是， 根据题意得：， ． 题型四 概率的意义 解｜题｜技｜巧 概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，不是必然发生的承诺。牢记核心误区：概率为1/3不代表3次试验必发生1次，而是大量重复试验下，平均每3次发生1次；随机事件单次结果不可预测，概率仅反映整体趋势，判断题中出现“一定”“必”等绝对表述，直接判定错误。 【典例1】（23-24八年级下·江苏镇江·期中）“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，梅雨时节的镇江在雨的衬托下显得别有韵味．某天天气预报说明天的降雨概率为，说明（    ） A．明天一定会下雨 B．明天下雨的可能性很大 C．明天有的地区在下雨 D．明天有的时间在下雨 【答案】B 【分析】根据概率的意义得知，天气预报中“明天降雨的概率”是指“明天降雨的可能性”，由此得出结论． 【详解】解：“天气预报说明天的降雨概率为”的意义是明天降雨的可能性较大， 故B选项符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了概率的意义，概率是事件发生的可能性．注意随机事件发生的概率在0和1之间． 【变式1】下列事件发生的概率为0的是（　　） A．随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上 B．今年冬天黑龙江会下雪 C．随意掷一枚均匀的正方体骰子两次，两次朝上面的点数之和为1 D．一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域 【答案】C 【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1；必然事件概率为1；不可能事件概率为0． 【详解】解：A、是随机事件，概率大于0并且小于1； B、是随机事件，概率大于0并且小于1；是必然事件，概率＝1； C、是不可能事件，概率＝0； D、是随机事件，概率大于0并且小于1； 故选：C． 【点睛】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：0≤p≤1，其中必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0；随机事件，发生的概率大于0并且小于1．事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 【变式2】某个事件发生的概率是，这意味着（　　） A．在两次重复试验中该事件必有一次发生 B．在一次试验中没有发生，下次肯定发生 C．在一次事件中已经发生，下次肯定不发生 D．每次试验中事件发生的可能性是50% 【答案】D 【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，可能发生也可能不发生． 【详解】解：∵某个事件发生的概率是， ∴根据概率的意义：该事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，每次试验中事件发生的可能性是50%， 故选：D． 【点睛】本题考查了概率的意义．正确理解概率的含义是解决本题的关键． 【变式3】下列说法正确的是（    ） A．一种福利彩票中奖率是千分之一，则买这种彩票1000张，一定会中奖 B．天气预报“明天降水概率为”，是指明天有的时间会下雨 C．连续掷一枚均匀硬币，若4次都是正面朝上，则第五次正面朝上的概率为 D．投掷一个瓶盖，第101次投掷时盖口朝上的频率比第100次投掷时更接近盖口朝上的概率 【答案】C 【分析】此题主要考查了概率的意义，正确掌握概率的实际意义是解题关键． 直接利用概率的意义逐项判断即可． 【详解】解：A、一种福利彩票中奖率是千分之一，但买这种彩票1000张，也不一定会中奖，原说法错误，故此选项不符合题意； B、天气预报“明天降水概率”，是指明天下雨的可能性是，原说法错误，故此选项不符合题意； C、连续掷一枚均匀硬币，若4次都是正面朝上，则第5次的概率为，正确，故此选项符合题意； D、投掷一个瓶盖，第101次投掷时盖口朝上的频率比第100次投掷时不一定更接近盖口朝上的概率，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式4】（23-24八年级下·江苏南京·期中）下列说法正确的是（    ） A．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C．了解长江的水质，应采用普查方式 D．“若、是实数，则”是随机事件 【答案】D 【分析】此题主要考查统计与概率的定义，解题的关键是熟知概率的定义、统计调查的方法．根据必然事件的概念、调查方式的选择、随机事件的概率逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、明天的降水概率为，则明天下雨可能性较大，故本选项错误； B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误； C、了解长江的水质，，应采用抽样调查方式，故本选项错误； D、“若、是实数，则”是随机事件，故本选项正确； 故选：D． 题型五 概率公式的计算 解｜题｜技｜巧 第一步判定试验为等可能试验，所有结果出现概率均等；第二步找准两个关键数，n为所有等可能出现的结果总数，m为目标事件包含的结果数，不重复、不遗漏计数；第三步代入公式P(A) = ．计算，结果化为最简分数，若题目要求可转为小数；易错点：数错总结果数，务必逐一罗列核对。 【典例1在一个不透明的袋子内装有2个白球、3个红球和4黑球，它们除了颜色外其余均相同，从中任意摸出一个红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，直接用红球个数除以球的总个数即可得到结果． 【详解】解：∵袋子中球的总个数为，每个球被摸出的概率相等，其中红球有3个， ∴从中任意摸出一个球是红球的概率为． 【变式1】抛掷一枚质地均匀的1元硬币10次，有9次正面朝上，1次反面朝上．若第11次抛掷该硬币，则正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用概率的意义直接得出答案． 【详解】解：某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果9次是正面朝上，1次是反面朝上，则他第11次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键． 【变式2】圆周率π是无限不循环小数．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是9的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字9的只有1种结果，利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同， ∴从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字9的只有1种结果， ． 故选：A． 【变式3】（2025·江苏泰州·三模）有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的计算．根据这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，可得掷出1和6的概率之和，即可求解． 【详解】解：∵这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是， ∴这个骰子掷出1和6的概率之和为， ∵掷出6的概率是掷出1的概率的两倍， ∴他掷出6的概率是． 故选：D 题型六 求某件事件的频率 解｜题｜技｜巧 严格套用公式频率=频数÷试验总次数，先区分两个概念，频数是目标事件实际发生的次数，试验总次数是所有试验的次数总和；频率是比值，取值在0-1之间，所有组频率之和为1；计算时注意约分，按题目要求保留小数或分数，严禁混淆频数和频率，避免分母分子颠倒。 【典例1】（22-23八年级下·江苏苏州·期中）数字“20230412”中，数字“2”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据频率的计算公式：，进行计算即可． 【详解】解：由题意知，数字“2”出现的频率是：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了频数与频率，解题的关键在于熟练掌握频率的计算方法． 【变式1】（24-25九年级下·江苏南京·期中）在英文句子“”中，字母“”出现的频率为______． 【答案】 【分析】本题考查了频率，根据频率公式计算即可求解，掌握频率计算公式是解题的关键． 【详解】解：英文句子“”中，共有个字母，其中字母“”出现的次数为次， ∴字母“”出现的频率为， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·江苏泰州·期中）今天的日期是：20240425，在这串数字中，0出现的频率是______． 【答案】 【分析】本题考查了频率的计算，掌握频率的计算方法成为解题的关键． 据日期“20240425”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，然后运用概率公式计算即可． 【详解】解：日期“20240425”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，数字“2”出现的频率是． 故答案为：． 【变式3】已知数据：，，π，，0，其中无理数出现的频率为 ． 【答案】． 【分析】把每个数据进行化简，对最简结果进行有理数，无理数的甄别，后根据频率意义计算即可． 【详解】∵=2， ∴，，0是有理数，，π是无理数， ∴无理数出现的频率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了频率的意义，熟练掌握频率的数学意义是解题的关键． 【变式4】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在整数20250416中，数字“0”出现的频率是______． 【答案】 【分析】本题考查频率，用0的个数除以所有数字的个数，进行计算即可． 【详解】解：由题意，数字“0”出现的频率是； 故答案为：． 题型七 关于频率与概率关系说法的正误 解｜题｜技｜巧 分清二者核心区别，频率是试验统计值，随试验次数、试验人变化而变化；概率是理论固定值，不受试验过程影响。核心结论：大量重复试验时，频率逐渐稳定在概率附近，并非等于概率；判断题中“频率就是概率”“试验次数少频率也等于概率”等表述均错误，牢记“稳定于≠等于”。 【典例1】在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 【变式1】下列说法中正确的是（    ） A．种植一种花卉成活率是，则种100株这种花一定会有95株成活 B．天气预报“明天降水概率是”是指明天有的时间会下雨 C．某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛一定能获得大奖 D．连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1” 【答案】D 【分析】本题考查的是概率的意义，熟知概率只是表示某事件发生的可能性是解答此题的关键．根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、种植一种花卉成活率是95%，则种100株这种花不一定会有95株成活，故A说法错误，不符合题意； B、天气预报“明天降水概率是”，是指明天有的概率会下雨，故B说法错误，不符合题意； C、某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛不一定能获得大奖，故C说法错误，不符合题意；； D、连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1”, 故D说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 【答案】D 【分析】本题考查频率与频数的概念以及频率的稳定性． 频数是事件发生的次数，频率是频数与总次数的比值. 随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在概率附近． 【详解】解：A、摸到黄球的频数增大时，总摸球次数也会增加，频率是频数与总次数的比值，因此频率不一定增大，该说法错误，不符合题意； B、同理，频数增大时总次数也增加，频率不一定减小，该说法错误，不符合题意； C、频数是摸到黄球的次数，会随试验次数增加而增加，不会稳定，该说法错误，不符合题意； D、重复多次摸球后，摸到黄球的频率会逐渐稳定在概率附近，该说法正确，符合题意． 故选：D． 【变式3】关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系． 概率是理论值，频率是实验值，当实验次数较多时，频率会稳定在概率附近． 根据频率与概率的关系逐一判断即可． 【详解】解：概率是事件发生的理论值，频率是实验值，通过大量重复实验，频率逐渐稳定于概率； 选项A错误，实验次数越多频率越接近概率； 选项B错误，频率不一定等于概率； 选项C正确，符合频率的稳定性； 选项D错误，对于均匀骰子，点数为6的概率为，实验10次次数较少，频率可能偏离概率，估计不准确． 故选：C． 【变式4】关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有（    ） ①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大； ②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某种彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查概率的意义． 根据概率的意义判断各说法的正误． 【详解】∵概率表示事件发生的可能性大小， ∴说法①正确，因为的概率表示下雨可能性很大； ∵概率是长期频率的稳定值，不保证短期结果， ∴说法②错误，因为每抛两次不一定有一次正面朝上； ∵概率为表示中奖可能性小，但并非不可能， ∴说法③错误，因为买10张彩票可能中奖； ∵随着抛掷次数的增加，频率稳定在概率附近， ∴说法④正确； 故正确的说法是①和④． 故选：B． 题型八 由频率估计概率 解｜题｜技｜巧 适用前提是试验次数足够多、试验具有随机性，此时频率会稳定在一个固定数值附近，这个固定数值即为该事件的概率；直接取稳定后的频率值作为概率估计值，若给出多组频率数据，取平均值或最稳定的数值；注意：试验次数过少时，频率不能用来估计概率，避免片面判断。 【典例1】如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 360 500 800 1000 落在“饮料”区域次数m 32 39 64 102 155 243 299 则转盘中“饮料”区域的圆心角的度数近似是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由频率估计概率以及求扇形统计图的圆心角，先由表格数据得到，再根据圆周角为，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵先由表格数据得到， ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）育种实验室在相同的条件下对某品种小麦发芽情况进行测试，得到如下数据： 抽查小麦粒数 100 500 1000 2000 3000 4000 发芽粒数 96 489 967 1940 2908 a 则a的值最有可能是（    ） A．3600 B．3720 C．3880 D．3970 【答案】C 【分析】分别计算出每一次抽取样本的发芽率，从而判断出小麦的发芽的频率稳定在左右，从而得出答案．本题考查了统计与概率，解题的关键是用频率估计概率以及对频率计算公式的理解． 【详解】解：， ， ， ， ， 由抽取的样本数据，我们发现小麦发芽的频率稳定在左右，即用频率估计概率，我们可估计小麦发芽的概率为， ∴， ∴a最有可能为3880， 故选：C． 【变式2】不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是（ ） A．红球 B．白球 C．黑球 D．黄球 【答案】A 【分析】本题考查利用频数率分布折线图，频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键． 用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：观察统计图可知：该球的频率稳定在左右， 即抽到该球的概率为， 球的总个数为：， 抽到黑球的概率为， 抽到红球的概率为， 抽到白球的概率为， 抽到黄球的概率为， 该种球的颜色最有可能是红球． 故选：A 【变式3】某种幼树在相同条件下移植实验的结果如表： 移植总数 成活数 成活的频率 根据以上数据可以估计幼树成活的概率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据频率估计概率，根据概率的统计定义，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数即为概率的估计值，移植总数越大，对应的成活频率越接近真实概率，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在大量重复试验中，频率稳定于概率， ∵移植总数时，成活频率为，此时试验次数最多，频率最接近概率， ∴估计幼树成活的概率约为， 故选：． 【变式4】（22-23八年级下·江苏泰州·期中）下表是某商场举行活动转动转盘的统计数据，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率为（精确到）（    ） 转动转盘的次数 100 300 500 800 1000 落在“谢谢参与”区域的次数 33 93 153 236 301 落在“谢谢参与”区域的频率 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用频率估计概率求解． 【详解】解：观察表中数据可知，转到“谢谢参与”的频率逐渐稳定在左右， 所以转到“谢谢参与”的概率约是． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 题型九 用频率估计概率的综合应用 解｜题｜技｜巧 解题三步走，第一步计算试验频率，用频数除以试验总次数；第二步用频率估计概率，确定概率近似值；第三步代入计算，用总体总数×估计概率，得出目标对象的估计数量；结果为人数、物品数时，必须保留整数，采用去尾法或进一法贴合实际；答题时分步书写，写明公式和计算过程，保住步骤分。 【典例1】（23-24八年级下·江苏徐州·期中）下表是某芯片生产厂质检部门对该厂生产的一批芯片质量检测的情况． 抽取的芯片数 500 1000 1500 2000 4000 合格数 472 948 1425 3804 合格品的频率 0.948 0.950 0.949 0.951 (1)求出表中______，______； (2)从这批芯片中任意抽取一个，是合格品的概率约是______；（精确到0.01） (3)如果要生产4750个合格的芯片，那么该厂估计要生产多少个芯片？ 【答案】(1)0.944，1898 (2)0.95 (3)5000个 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，熟知当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率是解题的关键． （1）根据表中数据计算即可； （2）利用频数估算出概率即可； （3）根据概率计算即可． 【详解】（1），． 故答案为：0.944，1898； （2）由题意知，从这批芯片中任意抽取一个，是合格品的概率约是0.95； 故答案为：0.95； （3）（个）． 答：估计该厂生产5000个． 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： (1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； (3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 【答案】(1)183，； (2) (3)10000颗 【分析】本题考查频率估计概率及概率的实际应用，解题关键是利用频率稳定值估计概率，再通过概率建立方程解决实际问题． （1）根据“坏果频率”的关系，结合表格中对应数据列等式，分别求出（利用3000批次的频率算坏果数）和（用5000批次坏果数与总果数算频率 ）． （3）观察多组检测数据的坏果频率，发现其随总果数增加逐渐稳定在，以此估计任取一个水蜜桃是坏果的概率 ． （3）先确定完好水蜜桃的概率（坏果概率），设准备水蜜桃总数为，依据“完好水蜜桃数总数完好概率”且要满足至少9400颗完好，列不等式求解的最小值 ． 【详解】（1）解：根据题意得； 解得： ． 故答案为：183，； （2）观察坏果频率，随着检测批次总果数增加，坏果频率逐渐稳定在左右， 所以估计任取一个水蜜桃是坏果的概率为 ． 故答案为：； （3）解：设至少需要准备颗水蜜桃，完好水蜜桃的概率为，要确保9400颗完好水蜜桃， ， 解得， ∴至少需要准备10000颗水蜜桃进行分拣． 【变式2】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 100 200 300 400 500 1000 优秀数量 94 194 288 380 475 优秀频率 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率大约是______；（精确到0.01） (3)若该市有80000名中学生，则估计全市优秀作业的数量为______． 【答案】(1)0.94，950 (2)0.95 (3)76000 【分析】本题主要考查了频率、概率的计算及用频率估计概率的应用，熟练掌握频率公式和用频率估计概率的思想是解题的关键． （1）根据频率公式频率优秀数量抽取作业数量求，根据优秀数量抽取作业数量优秀频率求． （2）观察随着抽取作业数量增加，优秀频率的稳定值，以此估计概率． （3）用全市中学生数量乘以估计的优秀概率，得到优秀作业数量． 【详解】（1）解：，， ∴，． 故答案为，； （2）解：随着增大，优秀频率稳定在附近， ∴估计该市学生作业优秀的概率大约是． 故答案为：； （3）解：全市有名中学生，优秀概率约， ∴全市优秀作业数量约为． 故答案为： ． 【变式4】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）摸到黑球的频率为，故为． （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近． （3）摸到黑球的频率约为，故摸到白球的频率约为，则估计袋子中有白球（个）． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近， 故答案为：． （3）摸到黑球的频率约为， 故摸到白球的频率约为， 则估计袋子中有白球（个）， 故答案为：． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时， 即黑球个数等于白球个数， 故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 此时黑白球均为个，摸到黑白球的可能性大小均为． 故答案为：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在一只不透明的袋子中装有3个红球、2个白球和1个黄球，这些球除颜色外都相同．从袋子中任意摸出1个球，摸到的球是白色，这个事件是（   ） A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定事件 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：从袋子中任意摸出1个球，摸到的球是白色，这个事件是随机事件， 故选：A 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）下列说法，正确的是（   ） A．从1一5这五个自然数中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较大 B．“抛一枚硬币，正面朝上的概率是”表示每抛2次就有一次正面朝上 C．“彩票中奖的概率是”表示买张彩票肯定会中奖 D．“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间在降雨 【答案】A 【分析】根据概率的意义，反映的只是这一事件发生的可能性的大小，不一定发生也不一定不发生，依次分析可得答案． 题目主要考查概率的意义，反映的只是这一事件发生的可能性的大小，理解这一意义是解题关键． 【详解】解：A、从1-5这五个自然数中随机抽取一个数，取得奇数的可能性有3种，概率为，取得偶数的概率为， ∴取得奇数的可能性较大，选项正确，符合题意； B、“抛一枚硬币，正面朝上的概率是”表示每次抛硬币正面朝上的可能性都是，故其概率应在0到1之间，故错误； C、“彩票中奖的概率是”，表示每买一张彩票，中奖的可能性都是，选项错误，不符合题意； D、“明天降雨的概率是”表示明天有的可能会降雨，选项错误，不符合题意； 故选A． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）一只不透明的袋子中装有2个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．摸出的3个球颜色相同 B．摸出的3个球中有1个白球 C．摸出的3个球中至少有1个白球 D．摸出的3个球颜色不同 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的判断，根据随机事件和确定事件直接判断即可． 【详解】解：A．摸出的3个球颜色相同是不可能事件，可能性最小，所以A不符合题意； B．摸出的3个球中有1个白球是随机事件，所以B不符合题意； C．摸出的3个球中至少有1个白球是必然事件，可能性最大，所以C符合题意； D．摸出的3个球中摸出的3个球颜色不同是不可能事件，可能性最小，所以D不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如果事件A发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是（    ） A．做200次这种试验，事件A必发生1次 B．做200次这种试验，事件A发生的频率是 C．做200次这种试验，事件A可能发生1次 D．做200次这种试验，前199次事件A没发生，最后1次事件A才发生 【答案】C 【分析】本题考查了概率的意义.直接利用概率的意义分别分析得出答案． 【详解】解：A.做次这种试验，事件必发生次，事件A不一定发生，故错误； B. 做200次这种试验，事件发生的频率是，频率不等于概率，故此选项错误； C. 做次这种试验，事件可能发生次，正确； D. 做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件发生，事件A不一定发生，故错误． 故选：C． 5．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 【答案】C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，计算频率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，频率等于频数除以总数，每次试验频率的值都有可能发生变化，据此可得答案． 【详解】解：A、当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是： ，但“钉尖向上”的概率不一定是，原说法错误，不符合题意； B、当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率不一定是，原说法错误，不符合题意； C、随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，原说法正确，符合题意； D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是，但不一定是，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 6．生物兴趣小组对某大豆杂交品种进行育苗试验，培育结果统计如下： 总粒数 黄色子叶粒数 青色子叶粒数 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的理论比率 246 187 59 3658 2738 920 7679 5781 1898 31213 23436 7777 根据上述培育结果，下列说法正确的是（    ） A．只要增加试验的粒数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率就更加接近于 B．随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于 C．培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为 D．培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为 【答案】B 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值即可判断C、D；根据随着试验次数的增加，频率都会稳定在一个值附近即可判断A、B． 【详解】解：A、增加试验的次数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率不一定就更加接近于，原说法错误，不符合题意； B、随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于，原说法正确，符合题意； C、培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为，原说法错误，不符合题意； D、培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为，原说法错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，频率的意义，正确理解题意是解题的关键． 7．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ）    A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是黑桃 C．一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球（除了颜色都相同），从中任摸出一个球是红球 D．掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是5 【答案】D 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，错误，不符合题意； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是黑桃的概率是：，错误，不符合题意； C、一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球（除了颜色都相同），从中任摸出一个球是红球的概率为，错误，不符合题意； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，正确，符合题意． 故选：D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）生活中“水涨船高”描述的事件是______．（填“不可能事件”，“随机事件”或“必然事件”） 【答案】必然事件 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，可能发生，可能不发生的事件叫做随机事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此求解即可． 【详解】解：生活中“水涨船高”描述的事件是必然事件， 故答案为：必然事件． 9．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”是_______事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） 【答案】随机 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：由题可知，在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”是随机事件． 故答案为：随机． 10．（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被涂成蓝、红两种颜色，任意转动转盘一次，则P（蓝）表示指针停留在蓝色区域的可能性，P（红）表示指针停留在红色区域的可能性，则P（蓝）___________P（红）．（填“”“”或“”）    【答案】 【分析】先求出蓝色区域的圆心角为，得出蓝色区域的面积大于红色区域的面积，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可得红色区域的圆心角为，蓝色区域的圆心角为，蓝色区域的面积大于红色区域的面积，所以． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了可能性大小的判断，解题的关键是求出蓝色区域的圆心角，得出蓝色区域的面积大于红色区域的面积． 11．（25-26九年级上·山西长治·期末）某校学生会在筹备校庆游园会的过程中，设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢，投中即可获奖．活动开始前，为检验游戏难度，策划者多次进行投掷试验、将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 投中的次数 12 27 49 60 70 88 250 510 1000 2500 投中的频率 则投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为___________．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据大量重复试验中频率稳定于概率的原理，取投掷次数较大时的稳定频率作为概率的估计值． 本题考查了频率估计概率，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：由频率分布表可知，当投掷次数较大时，如，频率为；，频率为；，频率为；，频率为， 投中的频率稳定在附近， 因此估计投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，据此可以估计黑色部分的总面积为________． 【答案】45 【分析】本题考查了用频率来估计概率，解题关键是理解频率与概率的关系与概率计算公式，明确题中黑色部分的面积与正方形的面积比等于概率是解题的关键．先计算正方形的面积，再建立方程求解即可． 【详解】解：边长为正方形面积为， 设黑色部分的总面积为， ∴， ∴， ∴黑色部分的总面积为 故答案为：45． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．张大爷承包的鱼塘，今年计划投放三种鱼苗，其中鲤鱼1200条，草鱼400条和部分鲫鱼，如果从水中随意打捞一条，捞出草鱼的概率是． (1)求从水中随意捞出一条是鲫鱼的概率； (2)张大爷了解到买草鱼的老百姓也比较多，于是计划再投放条草鱼，使随意捞出的一条鱼是草鱼的概率为，请求出的值． 【答案】(1)从水中随意捞出一条是鲫鱼的概率为 (2)的值为600 【分析】本题考查利用概率求数量，求概率，掌握概率公式是解题的关键： （1）先根据草鱼的概率求出总数，再利用概率公式进行计算即可； （2）根据概率公式，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：（条） 答：从水中随意捞出一条是鲫鱼的概率为． （2） 解得． 答：的值为600． 14．在一个不透明的盒子里装有除颜色外都相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球7个，黑球若干个．若从中任意摸出1个球是黑球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数； (2)求任意摸出1个球是白球的概率； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出1个球是白球的概率是？若能，请写出调整方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)可以在盒子中放入6个黑球 【分析】（1）直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数； （2）直接利用概率公式的意义分析得出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键． 【详解】（1）由题意，得球的总个数为． 故盒子中黑球的个数为； （2）P（任意摸出1个球是白球）； （3）能． 因为任意摸出1个球是白球的概率是， 所以， 所以可以在盒子中放入6个黑球． 15．（24-25八年级下·江苏南京·期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b (1)完成上述表格：______，______； (2)这种树苗成活的概率估计值为______； (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)， (2) (3)在相同条件下至少需要买棵树苗 【分析】本题考查占比的计算和用频率估计概率，注意数据的精确度，正确的计算是解题的关键． （1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为实验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而实验数据量最大为1000粒，对应频率为，所以这种油菜籽发芽的概率估计值是； 故答案为：； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 16．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某射击队的甲、乙两名运动员在同一条件下进行射击，结果如下表： 射击总次数n 10 100 200 500 1000 击中靶心次数m 甲 9 94 168 424 851 乙 8 b 176 454 898 击中靶心频率 甲 0.9 0.94 0.84 0.848 0.851 乙 a 0.91 0.88 0.908 0.898 (1)表中 ， ； (2)在此条件下，可以估计甲运动员击中靶心的概率为 ，乙运动员击中靶心的概率为 （精确到0.01）； (3)若从甲、乙两名运动员中选择一名成绩较优秀的运动员参加射击比赛，你认为选哪一位运2动员更合适？请说明理由． 【答案】(1)0.8，91 (2)0.85，0.90 (3)乙运动员更合适，见解析 【分析】本题考查了利用频率估计概率，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）估计表中的频率估计概率即可； （3）根据俩个人击中靶心概率大小即可得到结论． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.8，91； （2）解：甲运动员击中靶心的概率为0.85；乙运动员击中靶心的概率为0.90， 故答案为：0.85，0.90； （3）解：乙运动员更合适， 理由：， ∴乙运动员更合适． 17．（24-25八年级下·江苏常州·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：    转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 0．74 0．69 (1)填空：______，______，______，______； (2)当n很大时，频率会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是多少？ 【答案】(1)；；； (2) (3) 【分析】（1）根据频率的算法，频率=频数÷总数，可得各个频率；填空即可； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率； （3）利用频率估计概率求解． 【详解】（1）解：； ； ； ； （2）当n很大时，频率将会接近； （3）获得“橙汁”的概率约是． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 18．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内擦小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数（含外沿） 100 200 500 1000 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 23 42 102 206 小石子落在圆外的阴影部分（含外沿）的次数n 77 158 398 794 0.299 0.266 0.256 0.259 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很多时，则的值越来越接近 （结果精确到0.01）； (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）； (3)请你利用（2）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留π） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据提供的m和n的值，计算后即可确定二者的比值逐渐接近的值； （2）大量试验时，频率可估计概率； （3）利用概率公式求出封闭图形的面积． 【详解】（1）解：； ； ； ； ； ∴当投掷的次数很多时，则的值越来越接近； 故答案为：； （2）解：； ∴随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在附近， 故答案为：； （3）解：设封闭图形的面积为a，根据题意得：， ∴． 答：估计整个封闭图形的面积是平方米． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比． 19．某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，转盘上分别标有“书画作品”和“手工作品”，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000 落在“书画作品”区域的次数m 60 122 180 238 a 604 落在“书画作品”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604 (1)上述表格中，________，________． (2)当n很大时，频率将会接近________．假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是________．（结果精确到0.1） (3)若要使获得“手工作品”的可能性不小于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加多少度？ 【答案】(1) ， (2) ， (3) 【分析】本题主要考查了频率与概率的计算以及利用频率估计概率的方法． （1）根据频率计算公式：频率 ，可以求得， （2）观察频率在大量重复试验后的稳定值，用该稳定值估计概率；根据表格中的数据可以看出，随着的增大，频率逐渐稳定在左右，进而可得答案； （3）利用概率与扇形圆心角成正比的关系，结合题中不等关系列式求解；由题意可得，获得“书画作品”的概率约是，那么获得“手工作品”的概率约是．要使获得“手工作品”的可能性不小于获得“书画作品”的可能性，则获得“手工作品”的概率至少为，进而列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：. （2）解：由表格中的数据可得，当很大时，频率将会接近， 所以假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是， 故答案为：，. （3）解：由题意可得，获得“书画作品”的概率约是，那么获得“手工作品”的概率约是． 要使获得“手工作品”的可能性不小于获得“书画作品”的可能性， 获得“手工作品”的概率至少为． 表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加 故答案为：. 20．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．为此，某团队设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行随机调查．将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)这次参与调查的共有 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ； (2)将条形统计图补充完整； (3)如果某市有万人在使用手机： ①则估计该市最喜欢用“微信”进行沟通的人数为 万人； ②在该市使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，则抽取的最喜欢使用“”沟通的概率是 ． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了利用频率估计概率、条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中获取需要的信息是解题的关键． （1）由用电话沟通的人数及其所占百分比可求出总人数，用乘以利用“微信”沟通人数占被调查人数的比例即可； （2）先求出短信沟通的人数，再根据种方式的人数之和等于总人数求出使用“微信”的人数，从而补全条形统计图； （3）①用总人数乘以样本中用微信人数所占比例即可； ②先求出抽取的恰好使用“”的频率，再用频率估计概率即可． 【详解】（1）解：∵喜欢用“电话”进行沟通的人数为，所占百分比为， ∴此次共抽查了（人）， 表示“微信”的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：；； （2）解：喜欢用“短信”进行沟通的人数为：（人）， 喜欢用“微信”进行沟通的人数为：（人）， 补充条形统计图： （3）解：①由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有人， ∴该某市的万人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有（万人）， 故答案为：； ②由（1）可知：参与这次调查的共有人，其中喜欢用“”进行沟通的人数为人， ∴在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“”的频率是， ∴用频率估计概率，在该市使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“”的概率是， 故答案为：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $