专题01 整式的乘法9大考点（期中真题汇编，湖南专用）七年级数学下学期新教材湘教版

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01整式的乘法 ☆9大高频烤点概览 考点01幂的相关运算 考点02幂的运算的逆用 考点03科学记数法 考点04化简求值 考点O5整式的乘法的应用 考点06不含某项求字母的值 考点07规律性问题 考点08平方差公式 考点09完全平方公式 目目 考点01 幂的相关运算 1.(24-25七年级下·湖南永州期中)下列计算正确的是() A.a2.a3=a6 B.(a2)3=a5C.a-(b-a)=2a-bD.(-a)=-言a3 2.(24-25七年级下·湖南永州期中)下列运算正确的是（) A.a3-a2=aB.(2a2b)2=4a262C.a3.a3=2a3 D.(a2)4=a8 3.(24-25七年级下湖南岳阳·期中)下列计算正确的是() A.3x-X=2 B.x3.x4=x7 C.(x3)4=x7 D.（2x)2=2x2 4.(24-25七年级下·湖南邵阳·期中)下列运算一定正确的是() A.2a.3a=6a B.a2.a3=a6 c.(ab3)2=a2b6 D.(a4)2=a6 5.(24-25七年级下湖南岳阳期中)己知2×4×8×16=2严，则m的值为() A.5 B.24 C.9 D.10 6.(22-23七年级下湖南永州期中)已知a=214,b=275,c=97,则a,b,c的大小关系是() A.a>b>c B.b>c>a C.a<b<c D.b<c<a 7.(24-25七年级上湖南岳阳期中)一(x3)4=· 1/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(24-25七年级下湖南湘潭期中)x2.(-x)2.x3= (k+k+k+…+k)k= 9.(24-25七年级下·湖南永州期中) k伙相加 10.（24-25七年级下湖南岳阳期中)己知am=2,b严=3，则(a62)”= 11.(24-25七年级下·湖南邵阳期中)计算： (1)已知x2n=4,求(x3n)2的值： (2)已知2x+5y-4=0,求4.32的值 4.32=(22)x.(25)=22x.25y=22+5y=24=16 目目 考点02 幂的运算的逆用 1.(24-25七年级下湖南邵阳期中)计算(-4)2025×（-)2024的结果是() A.4 B.-4 C.16 D.-16 ∫x=3 (ax+by=7 2.（23-24七年级下-潮南水州期中)如果{y=-2是方程组ax-by=5的解，则a202462023的值为 () A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.(24-25七年级下湖南岳阳·期中)已知2严=3,2”=5，求2++2= 4.(24-25七年级下湖南岳阳期中)己知a8=2,a’=3,则a+2y= 5.（24-25七年级下湖南永州期中)已知10严=5,10=6，则10+”的值为 6.(2425七年级下湖南岳阳期中)已知am=2,b严=3，则(a62)= 7.(24-25七年级下·湖南娄底期中)0.52024×22025= 8.（24-25七年级下满南怀化期中)计算：2025×(-)2026- 9.(2425七年级下湖南邵阳期中)计算：(-42025×0.252024×(-1)2023= 10.(23-24七年级上湖南湘潭期中)已知a=255,b=344,c=422,请将a,b,c按照从小到大的顺 序排列· 11.(23-24七年级下湖南岳阳期中)已知a=2731,b=361,c=941,试比较a,b,c的大小并用 “>”把它们连接起来： 12.(24-25七年级下·湖南邵阳期中)计算： 2/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)已知x2m=4,求(x3m)2的值； (2)己知2x+5y-4=0,求4.32的值， 13.(24-25七年级下，湖南益阳期中)已知m,n是整数，解决以下问题： (1)若a>0,且am=2,an=3,求a3m叶2的值. (2)若x>0,且x2m=7,求(x3n)2的值. 目目 考点03 科学记数法 1.(24-25七年级下·湖南郴州期中)长方形的长为8×10cm,宽为3.1×104cm,它的面积是 cm2 2.(24-25七年级下·湖南株洲期末)某卫星绕地球飞行的速度是3.1×103米/秒，该卫星飞行5×102秒所 行的路程是 米.（结果用科学记数法表示） 目目 考点04 化简求值 1.(24-25八年级上湖南长沙期中)化简求值：(x-2)(x-3)-(x-2)(x+1),其中x=1. 2.(23-24七年级上湖南湘潭期中)先化简，再求值：(a-1)2+(a+3)(a-3)+(a-3)(a-1) ,其中a2-2a-2=0. 3.(24-25七年级下湖南郴州期中)先化简，再求值.x(4x-)-(2x-32x+3)+(x-1)2,其中 X=2 4.(24-25七年级下湖南岳阳期中)先化简，再求值：(2a+b)2+(a-b)(a+b)-5a(a-b), 其中ab=青. 5.(2023湖南长沙.二模)先化简，再求值：（a+2b)2-(a-2b)(-a-2b)-(3a)2,其中 a=-1,b=3. 6.(24-25七年级下湖南永州期中)先化简，再求值：(2x+y)2-(y+2x)(2x-y)-2y2,其中 X=1,y=-2 7.(24-25七年级下湖南邵阳期中)先化简再求值：(a+2)2+(a+1)(a-1)-a(a+4),其中 3/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a=V2. 8.(24-25七年级下湖南株洲期中)先化简，再求值：(2x+y)(2x-y)-(x+y)2+2x(x+y), 其中x=2,y=-1. 9.(23-24八年级上湖南长沙期中)先化简，再求值： (1)3x(2x-y)+2xx-y),其中x=1,y=号； (2(4x+3x-2)-2(x-1X2x-3),其中x=-2. 10.(2425七年级下·湖南永州期中)先化简，再求值： (1)2m(3m+1)-(3m+2)(2m-3),其中m=-2: (2)(x+y)(x-y)-(2x-y)2+y(8x+5y),其中x=2,y=3 11.(24-25七年级下湖南郴州期中)先化简，再求值：(a-b)2-(2a-b)(2a+b)+3a2,其中 V2a-4+(b+1)2=0 12.(24-25七年级下·湖南永州期中)先化简，后求值： (-m-2n)(m-2n)-（2m-3n)2+(m-5n)(5m-n),其中m=-1n=2. 目目 考点05 整式的乘法的应用 1.(25-26七年级上湖南衡阳·期中)定义新运算“⊕”：a⊕b=a2-ab,则(-3)92=，若 x⊕(x-1)=3,则x=· 2.(24-25七年级下.湖南永州·期中)已知(x+2)(3x-4)=ax2+bx+c,则4a+2b+c= 3.(24-25七年级下·湖南株洲·期中)将5张相同小长方形纸片（如图1）按图2所示的方式不重叠地放在 长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1和S2,已知小长方形纸片的长 为a,宽为b,且a>b.若AB=m,当m变化时，S1-S2的值总保持不变，则a,b满足的等量关系是 D S2 S b B 图1 图2 4.(24-25七年级下·湖南永州期中)某同学在计算一个多项式A乘-3x2时，因抄错运算符号，算成了加 4/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 上-3x2,得到的结果是x2一4x十1. (I)这个多项式A是多少？ (2)正确的计算结果是多少？ 5.(24-25七年级下·湖南株洲期中)如图，某小区有一块长为(3a+2b)米，宽为3a米的长方形空地，先 准备在空地边留出一部分（图中阴影部分）用来安置健身娱乐器材，其余部分种植花草. Ba 3a+2b (1)用含a、b的代数式表示用于种植花草的土地面积. (2)已知种植花草每平方米需花费80元，若a=2,b=3,请计算种植花草所需的成本， 6.(25-26七年级上·湖南长沙期中)明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了 改动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示。 b 块 板块二 块 a (1)根据平面图数据，用含a、b、c的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积S (2)已知a=6m,b=1m,c=4m,且装饰板块一所用布料单价为5元/m2,装饰板块二所用布料单价为 7元/m2,完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？ 7.(23-24七年级上湖南邵阳期中)图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成 四块小长方形，然后按图②的形状围成一个正方形， n m m m n m m m m m m m ① ② ③ (1)图②中的阴影部分是个 形（填长方或正方），它的边长为 (2)观察图②阴影部分的面积，请你写出三个代数式(m+n)之、(m一n)之、mn之间的等量关系是 5/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图③，它表示了 (4)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(m+n)(3m+n)=3m2+4mn+n2(在图中标出相应的 长度) 8.(23-24七年级下·湖南永州期中)阅读材料： 类比是常用的数学思想.比如，我们可以类比多位数的竖式运算方法，得到多项式与多项式的运算方法 2+3 +)3x-5 5x-2 .(2x+3)+(3x-5)=5x-2. 3x2-4x+1 -x2+0-5 2x2-48+6 .(3x2-4x+1)-(x2-5)=2x2-4x+6, 2+5 ③r+3 6x+15 2r2+5x 2x2+11x+15 (x+3)(2x+5)=2x2+11x+15. 理解应用： (1)请仿照上面的竖式方法计算：(2x+3)(x-5) (2)已知两个多项式的和为3x2-x+5,其中一个多项式为x2-2,请用竖式的方法求出另一个多项式. (3)已知一个长为(x+2)、宽为(x-2)的长方形A,将它的长增加8，宽增加a,得到一个新长方形B(如 图)，若长方形B的周长是A的周长的3倍，求长方形B的面积（用含x的代数式表示）. x+28 9.(24-25七年级下·湖南衡阳·期中)如图，在长方形ABCD中，AB=a厘米，AD=b厘米，E为BC的中 点，动点P从点A开始，按A→B→C的路径运动，速度为2厘米/秒，设点P的运动时间为t秒. 6/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E (I)当点P在AB边上运动时，请用含a,t的代数式表示PB的长； (2)若a=6,b=4,则t为何值时，直线PD把长方形ABCD的周长分成2：3两部分； (3)连接PD,PE,DE,若t=2时，三角形PED的面积恰好为长方形ABCD面积的五分之一，试探求a, b需要满足的条件. 目目 考点06 不含某项求字母的值 1.(23-24七年级下湖南岳阳期中)要使(x2+ax+1)(x+1)中不含x2项，则a= 2.(23-24七年级下·湖南永州期中)若(x-2)(2x2+ax-1)的乘积展开式中不含x2项，则a的值为 3.(23-24七年级下.湖南益阳·期中)若(2-3x-2)(ax+1)的结果中不含有x的一次项，则a的值为 4.(2425七年级下·湖南常德·期中)已知关于x的多项式ax一b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二 次项，且一次项系数为10，则a的值为 5.(23-24七年级下·湖南永州期中)已知(x2+px+1)(x-2)的结果中不含x的二次项，求 (-支p)2024的值. 6.(23-24七年级上湖南邵阳·期中)已知关于x的多项式3x4-(m+5)x3+(n-2)x2-3x+1不含 x3项和x2项，求m+3n的值 7.(24-25七年级下湖南岳阳期中)已知m、n均为常数，若(x+3)x2+x+n的乘积既不含有二次 项又不含有一次项，则m+n的值是多少？ m十n=-2+3=1: 目目 考点07 规律性问题 1.(24-25七年级下·湖南永州期中)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图中的三角 形解释二项式(a十b)”的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据图中的规律，若 (x-1)=a7x7+a6x6+asx5+a4x4+ax3+a2x2+a1x+a0,则a6+a4+a2+a0=() 7/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (a+b)°…1 (a+b)1.11 (a+b)2121 (a+b)3.1331 (a+b)414641 A.64 B.-64 C.56 D.-56 2.(23-24七年级下·湖南岳阳·期中)我国古代数学中的“杨辉三角”是重要的成就，它的发现比欧洲早五百 年左右，（如图），这个三角形给出了(a+b)“(n=1,2,3,4,5,6)的展开式（按a的次数由大到小顺序排列） 的系数规律.例如，第三行的三个数1,2,1，恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数； 第五行的五个数1,4,6,4,1，恰好对应着(a+b)4=a4+4ab+6a2b2+4ab3+b4展开式中各项的 系数.则(a十b)8展开式中各项系数的和为 (a+b)°=1 (a+b)-=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=a4+4ab+4ab3+6a2b2+b4 (a+b)5=a5+5a4b+10a62+10a2b3+5ab4+b5 1 2 3 3 1 1 4 41 1510 10 51 3.(23-24七年级下·湖南郴州·期中)观察下列各式： (x-1)(x+1)=x2-1 8/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 (x-1)(x3+x2+x+1)=X4-1… (1)根据以上规律，由此归纳出一般性规律：(x一1)(+1+·十2+x十1)=-： (2)根据上述规律，求1+2+22+·+234+235的值： (3)根据上述规律，求310+311+…十349+350的值. 4.(24-25七年级下，湖南永州期中)【发现问题】 15×15=1×2×100+25=225, 25×25=2×3×100+25=625, 35×35=3×4×100+25=1225, 小明在学习湘教版七年级下册数学教科书第21页“思考”栏目时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定 的运算规律。 【提出问题】 (1)上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ (2)如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10且十位数字相同，上面的运算规律是否成 立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： (1)①45×45=4×5×100+25=；②105×105=××100+25=： (2)53×57=××100+=；. 【解决问题】 (3)两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为，个位上的数的和为10，设其中一个数的个位上的数字 为b,请你用含有α，b的等式表示两数的积的规律，并证明. 目目 考点08 平方差公式 1.(24-25七年级下·湖南郴州期中)下列能用平方差公式计算的是() A.（-x+5)(x-5)】 B.(-x+5)(-x-5) C.(x+5)(x+5) D.(x+5)(-x-5) 2.(24-25七年级下·湖南岳阳·期中)下列算式不能用平方差公式计算的是() A.(2a+b)(2a-b) B.(x+y)(-x-y) 9/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.(-x-4y)(x-4y) D.(-m+3n)(-m-3n) 3.(24-25七年级下·湖南常德·期中)用简便方法计算202×198，变形正确的是() A.2002+2×200×2+22 B.2002-2×200×2+22 C.2022-22 D.2002-22 4.(24-25七年级下·湖南邵阳·期中)如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形， 点M、N分别在BC、AD上，点E、F在MN上，点G、H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE DE、BF、CF,若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为() H G B M A.6 B.9 C.5 D.3 5.(24-25七年级下·湖南邵阳·期中)计算：552-452= 6.(23-24七年级上湖南湘潭·期中)已知a+b=5,a-b=一3，a2-b2= 【a-b=-2 7.(24-25七年级下湖南岳阳期中)已知实数a、b满足{“a+b=3“,则代数式a2-b2的值为 8.(24-25七年级下·湖南岳阳·期中)阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题：计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).经过观察，小明发现如果将原式进行 适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： (2+1)(22+1)(24+1)(23+1)=(2+1)(2-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(24-1)(24+1)(28+1) =(28-1)(28+1) =216-1 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下问题： (1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1): (2)(5+1)(52+1)(54+1)(58+1)(526+1) 9.(24-25七年级下湖南岳阳期中)利用平方差公式进行计算：(2-1)(2+1)(22+1)(24+1). 10/17命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01整式的乘法 ☆9大高频烤点概览 考点01幂的相关运算 考点02幂的运算的逆用 考点03科学记数法 考点04化简求值 考点O5整式的乘法的应用 考点06不含某项求字母的值 考点07规律性问题 考点08平方差公式 考点09完全平方公式 目目 考点01 幂的相关运算 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B 0 8 7. 【答案】-x12 8. 【答案】x7 9. 【答案】k2弘 10. 【答案】72 11. 【详解】(1)解：(x3n)2=x6n=(x2m)3=43=64: (2)解：：2x+5y-4=0, ÷2x+5y=4. 44.32=(22).(25)=22.259=22+5=24=16 目目 考点02 幂的运算的逆用 1/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题号 1 2 答案 B D 3.60 4.18 5.30 6.72 7.2 8./0.5 9.4 10.c<a<b 11.a>c>b 12. 【详解】(1)解：(x3n)2=x6n=(x2m)3=43=64: (2)解：：2x+5y-4=0, .2x+5y=4. 48.32=(22).(25)'=22.2=22x+v=24=16. 13. 【详解】(1)解：：am=2,an=3, a3m+2n=a3m.a2m=(am)3.(an)2=23×32=72: (2)解：x2n=7, (x3n)2=x6n=(x2m)3=73=343. 目目 考点03 科学记数法 1.2.48×1011 2.1.55×106 目目 考点04 化简求值 2/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：(x-2)(x-3)-(x-2)(x+1) =(x2-3x-2x+6)-(x2+x-2x-2) =(x2-5x+6)-(x2-x-2) =x2-5x+6-x2+x+2 =-4x+8 当x=1时，原式=-4×1+8=4 2. 【详解】解：(a-1)+(a+3a-3)+(a-3(a-1) =a2-2a+1+a2-9+a2-4a+3 =3a2-6a-5 a2-2a-2=0, .a2-2a=2, 代入3a2-6a-5可得： 3a2-6a-5=3(a2-2a)-5 =3×2-5 =6-5 =1 3. 【详解】解： x(4x-1)-(2x-32x+3)+(x-12=4x2-x-4x2+9+x2-2x+1=x2-3x+10, ”X=2, 原式=x2-3x+10=22-3×2+10=8 4. 【详解】解：(2a+b)2+(a-b)(a+b)-5a(a-b) =4a2+4ab+b2+a2-b2-5a2+5ab =9ab 当ab=言时， 原式=9×青=3. 3/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5. 【详解】解：(a+2b)2-(a-2b)(-a-2b)-(3a)2 =a2+4ab+4b2+a2-4b2-9a2 =-7a2+4ab, 当a=-1,b=时，原式=-7×(-1)2+4×(-1)×支=-7-2=-9. 【点晴】本题主要考查了整式的化简及求值，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式以及去括号和 合并同类项的法则， 6. 【详解】解：原式=4x2+4xy+y2-（4x2-y2)-2y2 =4x2+4xy+y2-4x2+y2-2y2 =4y 当x=1,y=-2时，原式=4×1×(-2)=-8. 7. 【详解】解：（a+2)2+(a+1)(a-1)-a(a+4) =a2+4a+4+a2-1-a2-4a =a2+3; 当a=2时，原式=(2)2+3=5. 8. 【详解】解：(2x+y)(2x-y)-(x+y)2+2x(x+y) =4x2-y2-(x2+2xy+y2+2x2+2xy =4x2-y2-x2-2xy-y2+2x2+2xy =5x2-2y2, 当x=2,y=-1时，原式=5×22-2×(-1)2=18. 9. 【详解】(1)解：3x(2x-y)+2xx-y) =6x2-3xy+2x2-2xy =8x2-5xy, 4/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当x=1,y=时， 原式=8×12-5×1×号=8-2=6： (2)解：(4x+3x-2)-2(x-1(2x-3) =4x2-8x+3x-6-2(2x2-3x-2x+3) =4x2-8x+3x-6-4x2+6x+4x-6 =5x-12, 当x=-2时，原式=5×(-2)-12=-22 10. 【详解】(1)解：2m(3m+1)-(3m+2)(2m-3) =6m2+2m-(6m2-5m-6) =6m2+2m-6m2+5m+6 =7m+6, 将m=-2代入，得原式=7m+6=7×(-2)+6=-8: (2)解：（x+y)(x-y)-(2x-y)2+y(8x+5y) =x2-y2-（4x2-4xy+y2)+2xy+y2 =x2-y2-4x2+4xy-y2+2xy+y2 =-3x2+6xy, 将x=2,y=3代入，得原式=-3x2+6xy=-3×22+6×2×3=24. 11. 【详解】解：（a-b)2-(2a-b)(2a+b)+3a2 =a2-2ab+b2-4a2+b2+3a2 =-2ab+2b2; :V2a-4+(b+1)2=0, ∴.2a-4=0且b+1=0, 解得：a=2,b=-1, “原式=-2×2×(-1)+2×(-1)2=4+2=6. 12. 5/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：(-m-2n)(m-2n)-(2m-3n)2+(m-5n)(5m-n) =4n2-m2-(4m2-12mn+9n2)+5m2-mn-25mn+5n2 =4n2-m2-4m2+12mn-9n2+5m2-mn-25mn+5n2 =-14mn :m=-1n=2 :.原式=-14mn=-14×(-1)×2=28. 目目 考点05 整式的乘法的应用 【详解】解：“a⊕b=a2-ab, (-3)⊕2=(-3)2-(-3)×2=9+6=15， :x⊕(x-1)=3, x2-8(x-1)=3, 整理可得：x=3, 故答案为：15,3. 3 【详解】解：方法一：：(x+2)(3x-4)=ax2+bx+C, ∴.3x2+2x-8=ax2+bx+c, .a=3,b=2,c=-8, ∴.4a+2b+c=4×3+2×2-8=8; 方法二：当x=2时，ax2+bx十c=4a+2b十C, (x+2)(3x-4)=(2+2)(3×2-4)=8, :(x+2)(3x-4)=ax2+bx+c, ∴4a+2b+c=8, 故答案为：8. 3. 【详解】解：由图可知：S1=a(m-2b)=ma-2ab,S2=3b(m-a)=3bm-3ab, :S1-S2=ma-2ab-3bm+3ab=(a-3b)m+ab, :当m变化时，S1-S的值总保持不变， 6/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a-3b=0, a=3b; 故答案为：a=3b. 4. 【详解】(1)解：根据题意可得， A=(x2-4x+1)-(-3x2) =x2-4x+1十3x2 =4x2-4x+1: (2)解：正确的计算结果为： (4x2-4x+1)·(-3x2) =4x2.(-3x2)-4x·(-3x2)+1·(-3x2) =-12x4+12x3-3x2 5. 【详解】(1)解：种植花草的土地面积为：（3a-a)(3a+2b-b)=2a(3a+b)=(6a2+2ab)平 方米。 (2)解：当a=2,b=3时，6a2+2ab=6×22+2×2×3=36, 即种植花草的土地面积为36平方米， 因为种植花草每平方米需花费80元， 所以种植花草所需的成本为36×80=2880元， 答：种植花草所需的成本是2880元. 6. 【详解】(1)解：由图形可知：S=ac-4b2; (2)解：由图可知：装饰板块一的面积为2b(c-2b)=2bc-4b2,装饰板块二的面积为 c(a-2b)=ac-2bc, :a=6m,b=1m,c=4m, :装饰板块一的面积为2bc-4b2=2×1×4-4×12=4m2,装饰板块二的面积为 ac-2bc=6×4-2×1×4=16m2, :总费用为5×4+7×16=132（元）： 答：完成新装饰区域全部铺设，总费用为132元： 7/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7. 【详解】(1)解：由图可得，阴影部分为边长为m一n的正方形， 故答案为：正方，m一n: (2)解：由图可得，图②中的阴影部分面积为(m-n)2或(m+n)2-4mn, :等量关系为(m-n)2-(m+n)2-4mn, 故答案为：(m+n)2-4mn: (3)解：由图可得，图③中的面积为(m+n)(m+m+n)=(m+n)(2+n)或 m2+m2+mn+mn+mn+n2=2m2+3mn+n2, “等量关系为(m+n)(2m+n)=2m2+3mn+n2, 故答案为：（m+n)(2m+n)=2m2+3mn+n2; (4)解：如图，几何图形如下， m m m m m n n n m 8 【详解】(1)解： 2x+3 x-5 -10x-15 2x243 2x27x-15 (2x+3)(x-5)=2x2-7x-15: (2)解： 3x2x+5 -x40-2 2x2+7 :另-个多项式为2x2-x+7: (3)解：：长方形B的周长是长方形A的周长的3倍， :2×(x+2+x-2)×3=2×(x+10+x-2+a), 整理得：a=4-8, 8/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :长方形B的面积为：(x+2+8)(x-2+4x-8)=(x+10)(5x-10)=5x2+40x-100. 9. 【详解】(1)解：：当点P在AB边上运动时，AP=2t,AB=a, :PB=a-2t; (2)解：当点P在AB边上运动时，(DA+AP):(PB+BC+CD)=2:3, 即3(4+2t)=2(6-2t+4+6), ·t=2: 当点P在BC边上运动时，(CD+PC):(DA+AB+BP)=2:3, 即3(6+10-2t)=2(4+2t), t=4; ·t=2秒或4秒时，直线PD把长方形ABCD的周长分成2：3两部分； (3)解：当点P在AB边上时， ab-是×4×b-寺×(a-4)×b-支×a×b=言ab, 整理得ab-b=ab, a=号<4，故不成立： 当点P在BE边上时， 由号×(a+b-4)×a=吉ab, 得10a+b=40: 当点P在CE边上时， 由5×(4-a-b)×a=青ab, 得10a+9b=40: 综上，a,b之间的关系式为10a+b=40或10a十9b=40 目目 考点06 不含某项求字母的值 1.-1 2.4 3.-引 4.6 9/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5. 【详解】解：原式=x3-2x2+px2-2px+x-2=x3+(p-2)x2+(1-2p)x-2 :原式结果中不含x的二次项 ÷p-2=0, ÷p=2 当p=2时 (-p)2024=(-支×2)2024=1 6. 【详解】解：由题可得：-(m+5)=0,n-2=0, .m=-5,n=2 .m+3n=-5+3×2=1. 7. 【详解】解：x+3)x2+mx+n =(x2+6x+9)(x2+x+n) =x4+6x3+9x2+mx3+6mx2+9mx+nx2+6nx+9n =x4+(6+m)x3+(9+6m+n)x2+(9m+6n)x+9n, :(x+3)x2+x+n)既不含x的二次项，也不含x的一次项， (9+6m+n=0 9m+6n=0' ∫m=-2 解得n=3 ∴.m十n=-2+3=1. 目目 考点07 规律性问题 1. 【答案】B 2. 【答案】256 10/21 专题01整式的乘法 9大高频考点概览 考点01 幂的相关运算 考点02 幂的运算的逆用 考点03 科学记数法 考点04 化简求值 考点05 整式的乘法的应用 考点06 不含某项求字母的值 考点07 规律性问题 考点08 平方差公式 考点09 完全平方公式 地 城 考点01 幂的相关运算 1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算，整式的加减，涉及同底数幂乘法、幂的乘方、整式的加减及积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用同底数幂乘法、幂的乘方、整式的加减及积的乘方逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A中，，故选项错误，故不符合题意； B中，，故选项错误，故不符合题意； C中，，故选项正确，故符合题意； D中，，故选项错误，故不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·湖南永州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能合并，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选D． 3．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，同底数幂乘法计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 根据单项式乘单项式的运算法则计算并判断A；根据同底数幂的乘法法则计算并判断B；根据积的乘方运算法则计算并判断C；根据幂的乘方运算法则计算并判断D． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知，则m的值为（    ） A．5 B．24 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘．将每个乘数表示为2的幂次，利用同底数幂相乘法则，指数相加即可求解． 【详解】解：将各数分解为2的幂次： 原式可化为： ∴， ∴． 故选：D． 6．（22-23七年级下·湖南永州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算及幂的大小比较，熟练掌握“将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过指数（或底数）比较大小”是解题的关键．将、转化为同底数幂的形式，再通过比较幂的底数和指数大小，确定、、的关系． 【详解】解：∵ ，，，底数，指数均为14 ∴ ，即 ∵ 底数均为3，指数， ∴ ，即， ∴ 故选：. 7．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，根据幂的乘方的运算法则进行计算求解，即可解题． 【详解】解：； 故答案为：． 8．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，根据幂的乘方法则，同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·湖南永州·期中）______． 【答案】 【分析】本题考查整式的加法，乘方的运算法则；熟记幂的乘方运算规律是解题关键． 根据整式的加法，幂的乘方运算底数不变指数相乘，解答即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，则________． 【答案】72 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方，以及幂的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将变形为，再代入求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）计算： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)64 (2)16 【分析】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是掌握幂的乘方及其逆运算、同底数幂的乘法法则． （1）将代入原式计算即可； （2）由，知，代入原式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ． ． 地 城 考点02 幂的运算的逆用 1．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是逆用同底数幂的乘法与积的乘方，掌握以上运算法则是解题的关键．根据逆用同底数幂的乘法与积的乘方法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）如果是方程组的解，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解方程组，幂的乘方及积的乘方逆运算法则，根据方程组的解得到关于a、b的方程组，解方程组得到a、b的值，代入代数式利用幂的乘方及积的乘方逆运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴ ①②得，解得， 把代入①得，解得， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，求 _________． 【答案】60 【分析】本题考查代数式求值，涉及同底数幂的乘法运算的逆用，根据题意，将，代值求解即可得到答案．熟记同底数幂的乘法运算的逆运算是解决问题的关键． 【详解】解： ，， ， 故答案为：60． 4．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，则______． 【答案】18 【分析】该题考查了同底数幂乘法和幂的乘方，根据同底数幂乘法和幂的乘方逆运用计算即可． 【详解】解：∵，， 则， 故答案为：18． 5．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，，则的值为______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，则________． 【答案】72 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方，以及幂的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将变形为，再代入求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）________． 【答案】2 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算与积的乘方运算的逆运算，把原式化为，再计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 8．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）计算：_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，掌握其运算法则是关键．根据积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）计算：_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查幂的乘方的逆用与积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方的运算法则． 原式边形为，再逆用积的乘方计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：4． 10．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）已知，，，请将，，按照从小到大的顺序排列______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，由，，，然后根据即可求解，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：由，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）计算： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)64 (2)16 【分析】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是掌握幂的乘方及其逆运算、同底数幂的乘法法则． （1）将代入原式计算即可； （2）由，知，代入原式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ． ． 13．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）已知m，n是整数，解决以下问题： (1)若，且，，求的值． (2)若，且，求的值． 【答案】(1)72 (2)343 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方运算，掌握运算性质是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法和幂的乘方法则变形后把，代入运算即可； （2）利用幂的乘方计算，之后再整体代入即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：∵， ∴． 地 城 考点03 科学记数法 1．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）长方形的长为，宽为，它的面积是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，科学记数法的含义，正确掌握运算法则是解题关键．先计算，再利用科学记数法表示即可. 【详解】解：． 故答案为． 2．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）某卫星绕地球飞行的速度是米/秒，该卫星飞行秒所行的路程是________米．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，此题根据路程速度时间列出算式，计算即可解答． 【详解】解：（米）， 故答案为：． 地 城 考点04 化简求值 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题主要考查了整式的混合运算——化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．根据整式的混合运算法则将式子化简，再代入值计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 2．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】首先，需要展开和化简给定的代数式．然后，利用给定的条件将化简后的代数式进一步简化，并求出最终的值．本题主要考查了代数式的化简与求值，以及完全平方公式及整式的混合运算，熟练掌握代数式的展开与合并同类项，以及利用给定条件进行代数式的简化是解题的关键． 【详解】解： ∵ ， ∴ ， 代入 可得： 3．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）先化简，再求值．，其中． 【答案】， 【分析】本题考查多项式乘法，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握整式乘法的运算法则． 按照整式乘法的运算法则化简原式，代入求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式 4．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题是化简求值题，考查了整式的乘法及求代数式的值，熟练运用乘法公式及单项式乘多项式是关键． 用乘法公式及单项式乘多项式的法则计算，再合并同类项即可化简；再所给的值代入化简后的式子中即可求得值． 【详解】解： 当时， 原式． 5．（2023·湖南长沙·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先用平方差公式、完全平方公式展开，化简后代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简及求值，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式以及去括号和合并同类项的法则． 6．（24-25七年级下·湖南永州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算、化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求值． 【详解】解：原式 当，时，原式． 7．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】，5 【分析】本题考查了整式的运算，涉及完全平方公式、平方差公式和单项式与多项式的乘法，也考查了算术平方根的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 先计算完全平方公式、平方差公式和单项式与多项式的乘法，合并后再代值计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 8．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，18 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式法则，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，第三项利用单项式乘多项式法则计算，再合并同类型，得到最简结果，将x与y的值代入计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 9．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)，6 (2)， 【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法，多形式与多项式的乘法－化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据单项式与单项式的乘法法则化简，再把代入计算； （2）先根据多形式与多项式的乘法法则化简，再把代入计算． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解： ， 当时，原式． 10．（24-25七年级下·湖南永州·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中， 【答案】(1)化简得，求值得 (2)化简得，求值得 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，平方差公式，完全平方公式，整式的加减，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法、多项式与多项式的乘法、整式的加减进行化简，再代数式求值即可； （2）先利用平方差公式、完全平方公式、单项式与多项式的乘法、整式的加减进行化简，再代数式求值即可． 【详解】（1）解： ， 将代入，得原式； （2）解： ， 将，代入，得原式． 11．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，算术平方根的非负性的性质，先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再根据非负数的性质求解，，再代入计算即可. 【详解】解： ； ∵， ∴且， 解得：，， ∴原式. 12．（24-25七年级下·湖南永州·期中）先化简，后求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式以及代数求值，熟练掌握整式的四则混合运算法则是解题的关键． 根据完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式化简，然后将m、n的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解: ∵ ∴原式． 地 城 考点05 整式的乘法的应用 1．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算“”：，则______，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，单项式乘多项式，解一元一次方程，根据新定义计算即可得出的值，再根据新定义列出方程，解方程即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 整理可得：， 故答案为：，． 2．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，则______． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的运算，方法一：利用多项式乘以多项式法则计算得，则，再代入计算即可；方法二：把代入等式即可求解． 【详解】解：方法一：∵， ∴， ∴， ∴； 方法二：当时，， ， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）将5张相同小长方形纸片（如图1）按图2所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且．若，当m变化时，的值总保持不变，则a，b满足的等量关系是_____． 【答案】 【分析】本题考查整式运算的应用，分别表示出，根据的值总保持不变，得到值与的值无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∵当m变化时，的值总保持不变， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（24-25七年级下·湖南永州·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)这个多项式是多少？ (2)正确的计算结果是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式混合运算，涉及单项式乘以多项式运算、去括号法则及合并同类项等知识，熟练掌握整式的乘法运算、整式加减运算法则是解决问题的关键． （1）根据题意，列式后，运用去括号法则及合并同类项求解即可得到答案； （2）根据题意，列式后，运用单项式乘以多项式的运算法则及合并同类项求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， ； （2）解：正确的计算结果为： ． 5．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形空地，先准备在空地边留出一部分（图中阴影部分）用来安置健身娱乐器材，其余部分种植花草． (1)用含、的代数式表示用于种植花草的土地面积． (2)已知种植花草每平方米需花费80元，若，，请计算种植花草所需的成本． 【答案】(1)平方米； (2)元 【分析】本题考查了列代数式，整式乘法的应用，代数式求值，根据图形正确列代数式是解题关键． （1）根据图形和长方形面积公式列式即可； （2）将、的值代入（1）所得代数式，求出种植花草的土地面积，再乘以每平方米的花费，即可得到成本． 【详解】（1）解：种植花草的土地面积为：平方米． （2）解：当，时，， 即种植花草的土地面积为平方米， 因为种植花草每平方米需花费80元， 所以种植花草所需的成本为元， 答：种植花草所需的成本是2880元． 6．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了改动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示． (1)根据平面图数据，用含、、的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积． (2)已知，，，且装饰板块一所用布料单价为5元/，装饰板块二所用布料单价为7元/，完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？ 【答案】(1) (2)完成新装饰区域全部铺设，总费用为元 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式及代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据图形可直接进行求解； （2）由图可分别得出装饰板块一和板块二的面积，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图形可知：； （2）解：由图可知：装饰板块一的面积为，装饰板块二的面积为， ∵，，， ∴装饰板块一的面积为，装饰板块二的面积为， ∴总费用为（元）； 答：完成新装饰区域全部铺设，总费用为元． 7．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状围成一个正方形． (1)图②中的阴影部分是个___________形（填长方或正方），它的边长为___________； (2)观察图②阴影部分的面积，请你写出三个代数式、、之间的等量关系是___________． (3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了___________． (4)试画出一个几何图形，使它的面积能表示（在图中标出相应的长度） 【答案】(1)正方； (2) (3) (4)图见解析 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）由图可得，阴影部分为边长为的正方形； （2）图②中的阴影部分面积可以由大正方形的面积减去一个矩形的面积，即可得出等量关系； （3）根据图形面积直接表示或间接表示，即可列出关系式； （4）根据已知式子画图即可． 【详解】（1）解：由图可得，阴影部分为边长为的正方形， 故答案为：正方，； （2）解：由图可得，图②中的阴影部分面积为或， ∴等量关系为， 故答案为：； （3）解：由图可得，图③中的面积为或， ∴等量关系为， 故答案为：； （4）解：如图，几何图形如下， 8．（23-24七年级下·湖南永州·期中）阅读材料： 类比是常用的数学思想．比如，我们可以类比多位数的竖式运算方法，得到多项式与多项式的运算方法． ∴． ， ③ ． 理解应用： (1)请仿照上面的竖式方法计算：． (2)已知两个多项式的和为其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式． (3)已知一个长为、宽为的长方形，将它的长增加，宽增加，得到一个新长方形（如图），若长方形的周长是 的周长的倍，求长方形的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可； （）根据已知条件，先求出，再根据面积公式列式求解即可； 本题考查了整式的运算，理解阅读材料的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴另一个多项式为； （3）解：∵长方形的周长是长方形的周长的倍， ∴， 整理得：， ∴长方形的面积为：． 9．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在长方形中，厘米，厘米，为的中点，动点从点开始，按的路径运动，速度为2厘米/秒，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，请用含，的代数式表示的长； (2)若，，则为何值时，直线把长方形的周长分成2：3两部分； (3)连接，，，若时，三角形的面积恰好为长方形面积的五分之一，试探求，需要满足的条件． 【答案】(1)； (2)2秒或4秒； (3)或． 【分析】本题为动点问题，考查了代数式的表示，一元一次方程的应用，三角形的面积等知识，理解题意，注意分类讨论是解题关键． （1）根据即可求出； （2）分两种情况讨论：当点在边上运动时和当点在边上运动时，根据“直线把长方形的周长分成2：3两部分”列出方程，解方程即可求解； （3）分点在边上、点在边上、点在边上、点在边上四种情况分类讨论，列出关系式即可求解． 【详解】（1）解：当点在边上运动时，，， ； （2）解：当点在边上运动时，， 即， ； 当点在边上运动时，， 即， ； 秒或4秒时，直线把长方形的周长分成两部分； （3）解：当点在边上时， ， 整理得， ，故不成立； 当点在边上时， 由， 得； 当点在边上时， 由， 得； 综上，，之间的关系式为或． 地 城 考点06 不含某项求字母的值 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）要使中不含项，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式．先计算多项式乘多项式，再使项系数为0即可． 【详解】解： ， ∵不含项， ∴， 解得， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）若的乘积展开式中不含项，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合结果不含项，则其相应的系数为，从而可求解，解题的关键是掌握运算法则及明确结果不含项，则其相应的系数为． 【详解】解： ， ， ， ∵乘积展开式中不含项， ∴，解得：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）若的结果中不含有的一次项，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键； 按照多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再根据结果中不含有x的一次项得出，求出结果即可． 【详解】 ， ， ， 若的结果中不含有的一次项，则， 解得． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·湖南常德·期中）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为10，则a的值为_____________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了多项式乘法以及根据多项式系数的条件求解参数，解二元一次方程组；熟练掌握多项式乘法法则（用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 ），并能根据展开式中项的系数特征列方程是解题的关键．先将两个多项式相乘展开，然后根据展开式中不含的二次项且一次项系数为这两个条件，列出关于、的方程，进而求解的值． 【详解】解： ， ∵展开式中不含的二次项，且一次项系数为， ∴， 由得，代入， ∴， ， ； 把代入， 得 ． 故答案为：6． 5．（23-24七年级下·湖南永州·期中）已知的结果中不含的二次项，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解答此题的关键．根据题意中的二次项为，，即可求得的值， 【详解】解：原式 原式结果中不含的二次项 ， 当时 6．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）已知关于x的多项式不含项和项，求的值 【答案】1 【分析】此题考查多项式不含项问题，已知字母的值求代数式的值，若多项式不含某项则该项的系数为零，由此列得，求出m，n的值即可求代数式的值，正确理解多项式不含项的解题方法是解题的关键． 【详解】解：由题可得：，              ∴                                 ∴． 7．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知、均为常数，若的乘积既不含有二次项又不含有一次项，则的值是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的积不含某项，完全平方公式，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握多项式乘多项式的计算法则．先根据多项式乘多项式的计算法则计算出，然后根据不含某一项，即这一项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵既不含x的二次项，也不含x的一次项， ∴， 解得， ∴． 地 城 考点07 规律性问题 1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图中的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为 “杨辉三角”，根据图中的规律，若，则（    ）         2        3     3        4    6     4     A．64 B． C．56 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，分别令和，求出代数式的值，两式相加，进行求解即可． 【详解】解：∵ 令，则①， 令，则②， 由得， ∴， 故选B． 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）我国古代数学中的“杨辉三角”是重要的成就，它的发现比欧洲早五百年左右，（如图），这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数．则展开式中各项系数的和为________． … 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，分别求出，，，，等展开式的系数之和，进而得到规律展开式的各项系数之和为，据此规律可得答案． 【详解】解：展开式的系数和为1， 展开式的系数和为， 展开式的系数和为， 展开式的系数和为， 展开式的系数和为， ……， 以此类推，可知展开式的各项系数之和为， 由此可得，展开式的各项系数之和为， ∴展开式中各项系数的和为， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）观察下列各式： (1)根据以上规律，由此归纳出一般性规律： ； (2)根据上述规律，求的值； (3)根据上述规律，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了多项式乘多项式及其规律问题，明确最后结果的最高指数比第二个括号中的最高指数多，是解题的关键． （1）由规律得出的指数为，即可得出答案； （2）将写为再根据规律计算即可； （3）根据规律分别计算和 再将原式分为两部分计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由规律得：， 故答案为：． （2）解： ． （3）解：∵ ． 4．（24-25七年级下·湖南永州·期中）【发现问题】 ， ， …… 小明在学习湘教版七年级下册数学教科书第21页“思考”栏目时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 （1）上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ （2）如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10且十位数字相同，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____；②_______________； （2）_______________=_____；…… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为a，个位上的数的和为10，设其中一个数的个位上的数字为b，请你用含有a，b的等式表示两数的积的规律，并证明． 【答案】（1）① ②10；11；11025 （2）5；6；21；3021 （3），证明见解析 【分析】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出规律并计算求值，熟练掌握整式的运算是解本题的关键，难度适中． （1）根据规律，直接计算求值即可； （2）根据规律，写出式子，计算求值即可； （3）根据规律，写出式子，利用整式的运算法则证明即可． 【详解】解：（1）① 故答案为：2025； ② 故答案为：10；11；11025． （2） 故答案为：5；6；21；3021． （3）   证明如下： 左边 ， 右边， 左边=右边， ． 地 城 考点08 平方差公式 1．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式：，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．根据公式逐项分析即可． 【详解】解：A．无相同的项，故不能用平方差公式计算； B．故能用平方差公式计算； C．无相反的项，故不能用平方差公式计算；     D．无相同的项，故不能用平方差公式计算； 故选B． 2．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）下列算式不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式．结合平方差公式的结构特征：，左边需满足两数的和与这两数的差的积，即相乘两式有相同项和相反项，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，相乘两式有相同项和相反项，符合平方差公式特征，故选项不符合题意； B、，不符合平方差公式特征，故选项符合题意； C、，相乘两式有相同项和相反项，符合平方差公式特征，故选项不符合题意； D、，相乘两式有相同项和相反项，符合平方差公式特征，故选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·湖南常德·期中）用简便方法计算，变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D． 4．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点、分别在、上，点、在上，点、在上，且四边形是正方形，连接、、、，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（   ） A．6 B．9 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、平方差公式，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则阴影面积的底为，高之和为， ∴阴影面积为，即， ∵大正方形的面积为， ∴，即小正方形的面积为3， 故选：D． 5．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）计算： _______________． 【答案】1000 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．逆用平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1000． 6．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）已知__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的形式及用法是解题的关键．本题可根据平方差公式对进行变形，再将已知条件代入变形后的式子进行计算． 【详解】解：根据平方差公式， ∵，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知实数a、b满足，则代数式的值为 _________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的特殊求解． 根据二元一次方程组的特殊解法，利用平方差公式进行求解即可． 【详解】解： 得， ， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题：计算．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算是解题的关键． （1）将原式乘以，再逐步利用平方差公式计算即可求解； （2）将原式乘以，再逐步利用平方差公式计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）利用平方差公式进行计算：． 解：原式 (1)计算： ． (2)计算： 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键． （1）仿照题意利用平方差公式求解即可； （2）先把原式变形为，再利用平方差公式计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________； (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________； (3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________． (4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为___________． ②直接写出下面算式的计算结果：． 【答案】(1) (2) (3) (4)①3；② 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的有关应用，灵活运用平法差公式是解题的关键． （1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即可求解； （2）经分析，图2中长方形长为、宽为．根据长方形面积公式，即可求解； （3）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，即可求解； （4）①根据平方差公式，进行计算即可求解． ②连续使用平方差公式，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ； 故答案为：； （2）解：由题意得 拼接后的长方形长为、宽为， ； 故答案为：； （3）解：阴影部分图形拼接前后，面积不变， ； 故答案为：； （4）解：① ， ， ， 故答案为：； ② ． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的乘法公式是________；（用含a，b的式子来表示） (2)根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，求的值； (3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中三点在同一条直线上，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)或 (2)5 (3)120 【分析】（1）用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）根据（1）的结论，代入数值进行计算，即可作答． （3）延长，交于一点E，则，再代入，，进行计算即可． 本题考查平方差公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握平方差公式的结构特征，多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， 且， ∴ ． （3）解：如图3，延长，交于一点E， ∵四边形是正方形， ∴ ，， . 地 城 考点09 完全平方公式 1．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）已知，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 通过作差法比较M与N的大小，将化简为完全平方形式，结合平方数的非负性判断符号． 【详解】解：∵（）， ∴作差，得． ∵，且， ∴． 故． ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级下·湖南永州·期中）下列各式中，计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘法，根据多项式乘以多项式，乘法公式，逐一进行计算判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，原计算错误，符合题意； 故选D． 3．（25-26七年级上·湖南娄底·期中）若，，则的值为（   ） A．13 B．19 C．25 D．31 【答案】A 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；利用完全平方公式，将表示为，然后代入已知值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 代入，， 得． 故选：A． 4．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）若是完全平方式，则k的值等于（   ） A．4 B．2或 C．4或 D．0 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的结构特征，将二次三项式转化为平方形式，通过比较系数确定k的值． 【详解】解：， ∴； 故选C． 5．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）若，则k的值是（　　） A． B．6 C．12 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式．通过展开左边的平方表达式，并与右边的多项式比较对应项的系数，从而确定k的值． 【详解】解：左边展开： 右边为： ∴． 故选：C 6．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）若是完全平方式，则m的值是(　　) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解决问题的关键．根据完全平方公式的概念进行配凑即可． 【详解】由题意，是完全平方式，则， ，或； 故选：C． 7．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据题意巧妙构造，再利用完全平方公式展开，合并同类项后即可得到答案． 【详解】解：已知， 则， 那么， 整理得：， 则， 故选：B． 8．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如果，那么_____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 根据完全平方公式化简，由对应项系数相等即可求得的值． 【详解】解： ∵， ∴，， 由得， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）已知恰好可写成是一个整式的平方式，则________ 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方式的特点，掌握完全平方式的特点求解字母系数的值是解题的关键． 由得到，求出，即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·湖南永州·期中）若可以配成一个完全平方公式，则m的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，根据，得出，即可作答． 【详解】解：， ∵可以配成一个完全平方公式， ∴， 解得， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）已知实数a，b满足，，则的值为_____． 【答案】10 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握是解题的关键． 根据完全平方公式展开，两式相加即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ， 两式相加得：， ， 故答案为：10． 12．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）已知，，则的值为________． 【答案】30 【分析】本题考查了完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，先根据，，整理得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 故答案为：30． 13．（24-25七年级下·湖南常德·期中）用乘法公式计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查完全平方公式计算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 14．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）阅读下列材料并解答后面的问题： 完全平方公式，通过配方可对进行适当的变形，如或，从而使某些问题得到解决． 例：已知，求的值． 解：． 通过对例题的理解解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)10 (2)34 【分析】本题主要考查了完全平方的变形求值，正确理解题意熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据进行求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解：∵， ∴， ． 15．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则，． 所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)简单运用：已知，，则________； (2)提升运用：已知，，求的值； (3)问题发现：若满足，求的值． 【答案】(1)26 (2)25 (3)21 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题关键． （1）变形为，把，，代入求解即可； （2）变形为，把，，代入求解即可； （3）设，，则，，再利用完全平方公式变形求值即可得． 【详解】（1）解：， ∵，， ∴原式， 故答案为：26． （2）解：， ∵，， ∴． （3）解：设，，则，， ∴ ． 16．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）我们知道，将完全平方公式适当地变形，可以解决很多数学问题，请你观察、思考，并解决以下问题： (1)若，，求=_____________； (2)如图，某农家乐准备在原有长方形用地（即长方形）上进行装修和扩建，先用长为的装饰性篱笆围起该长方形作为院子，再以，为边分别向外扩建正方形，正方形的空地，并在两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为，求原有长方形用地的面积． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)原有长方形用地的面积为； (3)的值为． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． （1）对完全公式变形，代入数值，计算即可； （2）用长方形的长和宽表示长方形的周长、正方形的面积和，对完全公式变形，整体代入，即可求得长方形的面积； （3）观察已知和所求之间的关系，整体代入完全平方公式，化简整理，即可求得的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 故答案为：． （2）解：设，，则， ∴， ∵功能性花园面积和为， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：原有长方形用地的面积为． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 答：的值为． 17．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）七年级数学老师在集体备课中，发现利用“面积法”说明整式的乘法有助于学生的理解，为此老师们用硬纸卡制作了如下的学具（的正方形，的正方形，的长方形）， (1)在一节课的探究中，小高老师利用1张和1张拼出一个如图1的长方形，利用“面积法”可以得出的整式乘法关系式为________________________． (2)在随后的探究中，小高老师在上课时则给同学们发了4张和12张硬纸片，并要求同学们拼剪成一个新的正方形，则至少需要用________张硬纸片． (3)小威老师在培优群中布置了一道思考题：已知，求的最大值，请认真思考，并完成解答． 【答案】(1) (2)9 (3)10 【分析】本题考查与多项式乘法与几何图形的关系，完全平方公式的应用，掌握多项式的乘法是解题的关键． （1）根据图形用两种方法表示面积即可； （2）利用完全平方公式和正方形的性质求解即可； （3）先化简得到，然后设，则有，代入，结合完全平方式得到，根据完全平方式的非负性得到，解题即可． 【详解】（1）解：大长方形的长为，宽为a，则面积为，又A的面积为，C的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，A的面积为，B的面积为，C的面积为， ∵要用4张和12张硬纸片，拼剪成一个新的正方形， 又， ∴至少需要9张A硬纸片； （3）解：∵， ∴ ∴，即， 设， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，即， 解得：， ∴的最大值为． 18．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）同学们都知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，常用来解决一些代数问题，即数形结合，是数学中非常重要的思想方法．某数学兴趣小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的A、B、C三种卡片，其中，A种卡片和C种卡片是正方形，B种卡片是长方形，它们的各边长度如图所示，并用A种卡片一张、B种卡片一张、C种卡片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． (1)知识生成用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1： ； 方法2： ； 由上述面积可得出结论： ； (2)类比应用若，且，求的值． (3)知识迁移如图3，点C是线段上一点，以，为边往两边作正方形，面积分别是，．若，阴影部分面积是17，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用： （1）图①中阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积，图①中阴影部分面积等于两个小正方形的面积之和，据此求解即可； （2）根据（1）的结论可知，据此代值计算即可； （3）设，根据题意可得，，则可根据，据此可得答案． 【详解】（1）解：图①中阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积，即为， 图①中阴影部分面积等于两个小正方形的面积之和，即为， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∵阴影部分面积是17， ∴， ∴， ， ∴． 19．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质. 【观察探索】 （1）小明用大小不一的正方形卡片和长方形卡片拼成了如图①所示的大正方形．用不同的代数式表示图①中阴影部分的面积，可以得到一个等式： ； 【问题解决】 （2）已知，，则 ． （3）已知，求的值； 【拓展应用】 （4）如图②，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为120，求图中阴影部分的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了完全平方公式和几何图形的关系，利用图形得出完全平方公式的变式是解题关键． （1）用两种方式列式即可得到等式； （2）代入（1）所得等式计算求值即可； （3）设，，利用（1）所得等式计算即可； （4）由题意可知，，，，设，，则，，再利用（1）所得等式计算即可． 【详解】解：（1）用两个小正方形面积列式得：， 用大正方形面积减长方形面积列式得：， 则； （2），， ； （3）设，，则， ， ， ； （4），，， ，， 长方形的面积为120， ， ， 设，，则，， ． 20．（24-25七年级下·湖南常德·期中）数形结合是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图，我们通过两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到一个数学公式． 【操作】图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． 【计算】（1）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积． 方法1： 方法2： 【总结】（2）观察图2并结合前面的计算，我们可以得出 、，mn三个代数式之间的等量关系为 ； 【应用】（3）根据（2）中的等量关系，解决下列问题：若，求的值． 【答案】（1）①方法1：；②方法2：；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景以及应用，根据阴影部分的两个面积代数式相等得出是解此题的关键． （1）①方法1：求出阴影部分正方形的边长即可得出答案；②方法2：用大正方形的面积减去个小正方形的面积即可得出答案； （2）根据阴影部分的两个面积代数式相等可得出答案； （3）将，代入（2）中的等量关系即可得出答案． 【详解】解：（1）根据图形可得： ①方法1：； ②方法2：； （2）根据阴影部分的两个面积代数式相等可得：； （3）∵，，， ∴， ∴， ∴． 21．（24-25七年级下·湖南永州·期中）几何图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决几何图形问题． (1)【观察】图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出，，之间的等量关系：_____． (2)【应用】若，，求的值． (3)【拓展】如图3，四边形、四边形和四边形都是正方形，四边形和四边形都是长方形，若，，长方形的面积是100，设，． ①填空：_____，_____； ②求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)①100，5；②425 【分析】此题考查了完全平方公式及其变形的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由题意求出大正方形的面积为，阴影部分的面积为，四个长方形的面积为，即可等量关系； （2）由，变形后代入，，即可得到答案； （3）①根据长方形的面积是100，即可得到，根据题意得到，即可得到的值； ②先表示出阴影部分的面积，再利用（1）中的结论，即可求得答案． 【详解】（1）解：根据题意，由图②可知，大正方形的面积为，阴影部分的面积为，四个长方形的面积为， ∴， 故答案为： （2）解：∵， ∴ ∴ （3）解：①∵长方形的面积是100，，． ∴， ∵，且，， ∴， ∴， 故答案为：100，5； ②四边形和四边形都是正方形，四边形和四边形都是长方形 阴影部分是边长为的正方形 ， 图3中阴影部分的面积是425． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $