第一章 整式的乘法（3大考点+10种题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版七年级下册

该初中数学整式乘法单元复习讲义通过知识框架图系统梳理同底数幂乘法、幂的乘方等核心知识点，用对比表格呈现运算性质与法则，清晰标注符号处理、公式逆用等重难点，构建“概念-法则-公式”的递进知识脉络。 讲义亮点在于“典例引领+变式拓展”的分层练习设计，如通过幂的运算比较大小培养推理意识，结合图形解释乘法公式几何意义发展几何直观。基础题巩固运算能力，综合题提升应用能力，助力教师实施精准分层教学，支持学生自主复习。

第一章 整式的乘法 教学目标 1. 掌握同底数幂、幂的乘方、积的乘方的运算性质，以及单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则，能规范进行计算。 2. 理解平方差公式和完全平方公式的推导过程与几何意义，能用公式简化整式乘法运算。 3. 能进行整式加减乘混合运算，灵活运用运算律和乘法公式解决简单实际问题，培养代数推理与运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）核心运算规则的掌握：熟练运用幂的三种运算性质，以及单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则，确保运算准确规范。 （2）乘法公式的理解与应用：明晰平方差公式和完全平方公式的结构特征，能根据题目特点选择合适公式简化运算，提升计算效率。 2.难点 （1）符号与复杂结构的处理：在含负号的整式乘法、多项式相乘的项项相乘过程中，易出现符号错误或漏乘，难以精准把控运算逻辑。 （2）公式的灵活运用与逆用：学生易机械套用乘法公式，难以结合题目特征灵活选择公式，对公式的逆用和拓展应用缺乏思路，需突破思维局限。 1.同底数幂的乘法： 2.幂的乘方： 3.积的乘方： 4.整式的乘法： 5.平方差公式： 6.完全平方公式 题型01 幂的基本运算 【典例1】（25-26八年级上·天津·月考）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方和积的乘方计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】（23-24七年级下·江苏镇江·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算正确，符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）计算： ； ； ； 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方运算，积的乘方运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 第一个表达式，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 第二个表达式，根据幂的乘方，指数相乘，并注意负数的偶次幂为正； 第三个表达式，先用积的乘方计算，再用幂的乘方计算． 【详解】解：； ； ． 故答案为：；；． 【变式3】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项等知识．先根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方等知识进行化简，再合并同类项即可求解． 【详解】解：． 题型02 利用幂的运算进行比较大小 【典例2】（24-25八年级上·河南周口·期末）比较，，的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比较幂的大小关系，将指数统一为11次幂，比较底数大小即可 【详解】∵ ，，， 又∵， ∴， 即； 故选C． 【变式1】（25-26八年级上·湖北·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆运算，通过寻找指数的最大公约数，将两个幂次转化为相同指数形式，从而比较底数大小． 【详解】解： 和 的最大公约数为 ， ，， 由于 ，且指数相同， 因此 ， 即 ， 故答案为． 【变式2】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，将转化为 ，然后比较和的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 【变式3】（24-25六年级下·山东淄博·月考）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较、、的大小； (2)比较、、的大小； (3)已知，，，，比较、的大小； (4)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （2）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （3）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （4）仿照材料中的例题，比较大小即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∵， ∴， 即； （2）∵，，， ∵， ∴， 即； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵，， 又∵， ∴． 题型03 利用幂的运算进行简便运算 【典例3】（25-26八年级上·四川乐山·期中）计算的结果是（   ） A． B．－3 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方是解题的关键；利用指数运算性质，将原式拆分为同指数幂的乘积，简化后计算即可． 【详解】解： ； 故选D． 【变式1】（25-26八年级上·福建莆田·月考）计算的结果为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方法则逆用，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，即（m为正整数）． 逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故选C． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，同底数幂乘法逆用，根据有理数乘方运算法则，逆用同底数幂乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·山西忻州·月考）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了积的乘方的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行变形、计算． 先将带分数进行变形为假分数，再逆用积的乘方进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型04 整式乘法的计算与化简 【典例4】（20-21七年级下·广西梧州·期末）计算结果正确的是（   ） A．2 B． C．x D． 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可根据单项式乘以多项式进行求解． 【详解】解：； 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·上海·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；根据多项式乘法的运算法则，将两个多项式的每一项分别相乘，再合并同类项即可． 【详解】解：； 故答案为． 【变式2】（25-26八年级上·广东东莞·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型05 乘法公式变形求值 【典例5】（25-26八年级上·福建龙岩·月考）若，则p、q的值是（   ） A．2， B．，15 C．2，15 D．， 【答案】A 【分析】此题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键． 通过多项式乘以多项式展开左边并比较系数，即可得到p和q的值． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， 比较系数得：，. 故选：A 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法． 由多项式乘法，结合已知可得, ，即可得的值． 【详解】∵ ， 又∵ = ， ∴ , ， ∴ ． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·广东河源·月考）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知时，关于x的多项式能被整除，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，根据题意设，然后展开后比较求解即可． 【详解】解：∵时，关于x的多项式能被整除， ∴设 ∴ ∴， ∴， ∴． 题型06 利用整式的乘法求值 【典例6】（25-26八年级上·全国·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，利用完全平方公式，将 表示为 ，然后代入已知值计算． 【详解】解：, ， . 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）若，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值．解题的关键在于对完全平方公式的熟练掌握与灵活运用．由题意知，，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 则，，， ． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）若x满足，则的值为 ． 【答案】2019 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，设，，则已知 ，且．利用完全平方公式 ，代入已知值求解即可． 【详解】解：设，，则，； ∵， ∴，即 ∴ ∴ 故； 故答案为：2019． 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）已知，， (1)求的值 (2)求 【答案】(1) (2)37 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则将式子展开，将已知代入求值即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 题型07 巧用幂的运算逆向运算 【典例7】（25-26八年级上·河南许昌·月考）若，，则的值是（    ） A．7 B．8 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查幂运算：利用指数运算法则，将拆分为，再代入已知值计算． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，则x，y，z之间满足的等量关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算，关键是将分解质因数后利用幂的乘方和积的乘方进行变形． 利用指数运算法则，将 分解为 ，再结合已知条件代入． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 且，， ∴． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·月考）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和乘方的逆运算，由已知方程得 ，把原式化为，代入求值即可． 【详解】∵， ∴ ∴． 故答案为：256 【变式3】（25-26八年级上·江西上饶·月考）（1）已知，，求 （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的运算性质，掌握同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用和同底数幂的乘法是解决此题的关键． （1）根据同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可； （2）先将式子化为同底数幂相乘，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ （2）∵ ∴ ∴． 题型08 整式乘法中不含某项问题 【典例8】（25-26八年级上·安徽淮南·月考）若的展开式中不含有的项，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先展开多项式，找到项的系数并令其为零，解出a的值． 【详解】解： ， ∵展开式中不含有项， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）若与的乘积中不含的一次项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键，利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不含x的一次项确定出m的值即可． 【详解】解： ， ∵与的乘积中不含的一次项， ∴ 解得：， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式与多项式的乘积，熟练掌握合并同类项是解题的关键． 将两整式相乘，展开后合并同类项，根据不含项和项，即对应项系数为零，列方程组求解和，再计算即可． 【详解】解： ， ， 由于乘积中不含项和项， 则, 解得, 因此， 故答案为：． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知的展开式中不含项和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值: ． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含项和项，确定出与的值即可； （2）先利用整式运算法则对表达式进行化简，把m与n的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）原式 ， 展开式中不含项和项， ， 解得； 即； （2）原式 ， ． 题型09 整式乘法中的规律性问题 【典例9】（25-26八年级上·云南昆明·期中）计算下列式子： _______； _______； _______； 利用你发现的规律，计算： （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式乘法相关的规律探究，理解题目中的规律是解题的关键． 通过计算前三个等式，发现规律： 乘以一个从 到 的多项式等于 ，所求式子中最高次项为 ，故 ，结果为 ． 【详解】∵ ， ∵ ， ∵ ， ∴ 规律：， 对于所求，，其中 ， ∴ 原式 ， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·河北张家口·期中）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③展开式中，系数最大为20．其中正确的有（   ） 1 1   1 1  2  1 1  3  3  1 … … A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查杨辉三角与二项式展开的规律． 结论①中系数和应为，而非；结论②可利用立方公式化简；结论③通过杨辉三角第7行可得最大系数． 【详解】∵时，系数和为：； 时，系数和为：； 时，系数和为：； 时，系数和为：； ∴展开式的系数和为，而结论①中系数和为错误， 由可知，故结论②正确， 展开式的系数为1，6，15，20，15，6，1，最大系数为20，故结论③正确， ∴正确结论有2个． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·广西南宁·月考）观察下列各式及其展开式 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了杨辉三角，熟练掌握杨辉三角的系数特征并结合二项式的形式计算指定项的系数是解题的关键． 先根据杨辉三角确定的展开式系数，再结合的形式，找到含项的系数计算方法． 【详解】解：如图， 由杨辉三角可知，的展开式系数为：1，8，28，56，70，56，28，8，1， ∴， 对于，令，，其展开式中含的项对应含项， 该项为： ∴的展开式中含项的系数是 ， 故答案为： 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）综合与探究 【问题背景】有一种可用手掌计算之间的整数相乘的方法．例如：计算时，按图1摆放双手并标记数字．将“7”和“8”对齐摆放，并在它们的上方画一条虚线．在虚线的下方，左手有2个手指，右手有3个手指；在虚线的上方，左手有3个手指，右手有2个手指，取两数乘积作为个位数字（如果乘积满10，则往十位数字进位），即． (1)【类比学习】计算时，按上述方法，可得 ． (2)【归纳总结】设a，b分别为之间的任意整数．在计算时，若a在左手，b在右手，则虚线上方左手有 个手指，右手有 个手指，虚线下方双手共有 个手指，按上述方法，可得 用含a，b的代数式表示，不用化简． (3)【探究提升】若将a，b变为之间的任意整数也满足类似的算法，根据如图2所示的标记数字，也可按相同方法画出虚线．在虚线的上方，如果左、右手分别有m，n个手指．那么 _____．（用含m，n的代数式表示，不用化简） 【答案】(1)； (2)；；； (3) 【分析】此题考查了整式的加减法以及多项式乘多项式的应用、列代数式等知识． （1）根据题中的算法即可得到答案； （2）根据题中的算法得到规律即可； （3）根据计算之间整数相乘的手指算法即可得到答案． 【详解】（1）解：计算时，按上述方法，算法为：； 故答案为：；． （2）解：设分别为中的任一整数．在计算时，在左手，在右手， 则虚线上方左手有个手指，右手有个手指； 虚线下方双手共有个手指． 则算法为：（用含的代数式表示）． 故答案为：；；；． （3）解：由题意可得，若在虚线的上方，左、右手分别有和个手指． 则算法为：， 故答案为：． 题型10 乘法公式的几何背景 【典例10】（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（   ） A．43 B．33 C．38 D．48 【答案】A 【分析】此题主要考查了完全平方公式的几何应用．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，则正方形A，B的面积之和为，依题意得图1中阴影部分的面积，则，再根据图2中阴影部分的面积，得，进而得，由此即可得出答案． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∴正方形A，B的面积之和为， 如图所示： 在正方形中，， ∴，， ∴图1中阴影部分的面积为：， ∵图1中阴影部分的面积为：5， ∴，即， 在正方形中，， ∴图2中阴影部分的面积为：， 又∵图2中阴影部分的面积为：38， ∴， ∴， ∴， ∴正方形A，B的面积之和为43． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，正方形的边长为，正方形的边长为，若，长方形的面积为6，则 ． 【答案】37 【分析】本题考查了完全平方公式与几何综合，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 由题意得，，，则根据即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·北京·月考）图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．比较与的大小，则 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了整式运算在几何图形中的应用，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键．先根据长方形和正方形的面积公式分别求出和，然后利用作差法比较大小，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ； ； ， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ． 【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图3的正方形． （1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系； （2）若，，求的值． 【解决问题】如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 【答案】知识回顾：，；拓展探究：（1）；（2）；解决问题：4 【分析】本题考查了完全平方公式，图形面积，平方根，熟练掌握以上知识是解题的关键． 知识回顾：根据图1和图2中阴影部分面积的两种计算方法即可得出结论； 拓展探究：（1）根据图3中阴影部分的面积的两种计算方法：方式一：直接求阴影部分面积为；方式二：大正方形减去四个小长方形的面积为，即可得出三个代数式，，之间的等量关系； （2）根据（1）的结论可求出的值，再计算平方根即可得； 解决问题：设正方形和的边长分别为和，再根据，两正方形的面积和为20，可得，，然后利用完全平方公式求出的值，利用直角三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：知识回顾：图1的阴影部分面积计算有两种方式： 方式一：大正方形面积为；方式二：两个小正方形和两个小长方形面积之和为； 所以图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 图2的阴影部分面积计算有两种方式： 方式一：直接求阴影部分面积为；方式二：用大正方形减去两个小长方形的面积，再加上一个小正方形的面积为； 所以图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 故填：，； 拓展探究：（1）图3的阴影部分面积计算有两种方式： 方式一：直接求阴影部分面积为；方式二：大正方形减去四个小长方形的面积为； 所以图3中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； （2），， ， ， ， ． ， ． 解决问题：设正方形和的边长分别为和， ，两正方形的面积和为20， ，． ， ， ， ． 一、单选题 1．（2025八年级上·全国·专题练习）计算 的结果是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的运算，涉及同底数幂的乘法逆运算、积的乘方逆运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据同底数幂的乘法逆运算、积的乘方逆运算法则将原式化为，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 2．（25-26八年级上·云南保山·月考）若是一个完全平方公式，则的值是（   ） A．4 B． C．或4 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了求完全平方公式中的系数，利用完全平方公式的形式，比较系数求解即可． 【详解】解：∵ 是完全平方公式， ∴ 或， 故选C． 3．（24-25七年级下·全国·周测）已知，则的值为（    ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算与乘方的符号规律，掌握同底数幂相乘，底数不变、指数相加；负数的偶次幂为正数是解题的关键． 将方程化为同底数幂形式，解出的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ ，即 ， ∴ ，解得 ， ∴ ， ∵ 2026 是偶数， ∴ ． 故选：A． 4．（2026七年级上·重庆·专题练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，包括完全平方公式、幂的乘方、同底数幂相乘和合并同类项，运用相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，∴A错误； B、 ，∴B错误； C、，∴C正确； D、，∴D错误； 故选：C． 5．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的值为（   ） A．89 B．74 C．64 D．49 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方公式的应用能力，关键是完全平方公式能进行准确变形． 运用完全平方公式将原式变形为，再将代入求解． 【详解】解：∵ ∴当时， 原式 故选：A． 二、填空题 6．（25-26七年级·全国·假期作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式，通过观察表达式，发现其符合平方差公式的结构，可直接应用公式简化计算． 【详解】解： 故答案为：． 7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，，则 ． 【答案】46 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．利用完全平方公式的变形，将所求代数式转化为已知条件的表达式，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， 故答案为：46． 8．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）如图，从边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形．剩余部分（阴影部分）沿虚线剪开，可以拼成一个长方形（如图所示），则该长方形的面积可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形变换，掌握变换前后阴影部分面积不变是关键． 根据图形变换（拼图法），阴影部分的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即可求出答案． 【详解】解：左边阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积，即，右边变换后的图形面积不变，即为， 故答案为：. 9．（24-25八年级上·吉林长春·月考）当，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方． 将化为，再根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：由得， ∴ ． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·福建南平·月考）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：          1   1        1   2   1     1   3   3  1   1   4   6   4  1 … … 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算中的某项的系数的规律探究，掌握探究的方法并总结运用规律是解本题的关键． 先计算，，，再观察得到的前面两项，再利用前面两项的系数规律可得答案． 【详解】解：， ， ， …， 观察可知：展开式的前两项为， ∴当时，含项的系数为． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·山西忻州·月考）先化简，再求值，，其中． 【答案】； 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式、平方差公式、整式的化简求值，解题关键是熟练掌握整式的混合运算． 先根据完全平方公式、平方差公式计算后化简，再将代入即可得解． 【详解】解：原式， ， 当时， 原式， ， ． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，． (1)请用含x的代数式表示y． (2)如果，求此时y的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）先从x的表达式中解出，再将转化为，代入y的表达式，从而用x表示y； （2）将代入第一问得到的关于的表达式，计算出的值 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，且， ∴． （2）解：把代入， 得． 【点睛】本题考查了幂的乘方的应用，掌握幂的乘方是解题的关键． 13．（25-26八年级上·天津·月考）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法、多项式的乘法、单项式乘多项式运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． （1）利用积的乘方，同底数幂的乘法计算即可； （2）利用多项式乘多项式，单项式乘多项式展开合并计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（25-26八年级上·湖北宜昌·月考）现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形（图中阴影部分）区域摆放作品． (1)如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，设小长方形的长为，宽为，求出和的值． (2)如图2，若大长方形的长和宽分别为和．若作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，求和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握该知识点，正确找到等量关系并列出方程组是解题的关键． （1）设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长和宽分别为45米和30米，列出方程组并解题即可． （2）设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长和宽分别为和，列出方程组用含、的代数式表示、，然后根据作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，得到，代入、得到关于、的方程，可求得，则、的代数式也可求得，最终得到和的数量关系． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为，则 ，解得． （2）解：设小长方形的长为，宽为，则 ，解得． ， ， ， ， ， ，， ． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设，则， ． 类比应用： (1)若，求的值； (2)若，则的值为________； (3)已知正方形的边长为a，点P和点R分别是边和上的点，且，分别以和为边长作正方形和正方形．若图中阴影部分长方形的面积是4，请求出正方形和正方形的面积和． 【答案】(1)3 (2) (3)12 【分析】本题考查利用完全平方公式求解，解题的关键是正确的利用完全平方公式． （1）根据例题方法直接求解即可得到答案； （2）利用完全平方公式直接求解即可得到答案； （3）结合图形根据例题方法代入，结合完全平方公式直接求解即可得到答案． 【详解】（1）设， 则， ； （2）设， 则， ， （3）由题意可知： ． 图中阴影部分的面积为， 则正方形和正方形的面积和为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章 整式的乘法 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点]幂的运算 知识点2整式乘法 知识清单 知识点3乘法公式 题型]幂的基本运算 题型2利用夏的运算比较大小 题型3利用厚的运算进行简便计算 整式的乘法 题型4根据完全平方公式求字母的值 题型5整式乘法的计算与化简 题型精讲 题型6利用整式的乘法求值 题型7巧用厚的运算逆向运算 题型8整式乘法中不含某项问题 题型9整式乘法中的规律性问题 题型I0乘法公式的几何背景 强化训练 教学目标、教学重难点 1.掌握同底数幂、幂的乘方、积的乘方的运算性质，以及单项式乘单项式、单项式乘 多项式、多项式乘多项式的法则，能规范进行计算。 2.理解平方差公式和完全平方公式的推导过程与几何意义，能用公式简化整式乘法运 教学目标 算。 3.能进行整式加减乘混合运算，灵活运用运算律和乘法公式解决简单实际问题，培养 代数推理与运算能力。 教学重难点 1.重点 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)核心运算规则的掌握：熟练运用幂的三种运算性质，以及单项式与单项式、单项 式与多项式、多项式与多项式的乘法法则，确保运算准确规范。 (2)乘法公式的理解与应用：明晰平方差公式和完全平方公式的结构特征，能根据题 目特点选择合适公式简化运算，提升计算效率。 2.难点 (1)符号与复杂结构的处理：在含负号的整式乘法、多项式相乘的项项相乘过程中， 易出现符号错误或漏乘，难以精准把控运算逻辑。 (2)公式的灵活运用与逆用：学生易机械套用乘法公式，难以结合题目特征灵活选择 公式，对公式的逆用和拓展应用缺乏思路，需突破思维局限。 知识清单 am,a”=am+"(m,n正整数) 1.同底数幂的乘法： am.a”aP=am+m+P(m,n,p正整数) (-a)”=a"(n为偶数)或-a"(n为奇数) 2.幂的乘方：(a")”=amm(m,n是正整数) 法则：(ab)”=a"b” 3.积的乘方： 推广：(abc)”=a"b"c” 单项式×单项式法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘作积的因式，其余字母连同指数不变 也作积的因式 4.整式的乘法： 单项式×多项式法则：用单项式乘以多项式的每一项，再把得到的积相加. 多项式×多项式法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把积相加. 公式：(a+b)(a-b)=a2-b2; a,b所指：一个数或单项式或多项式等代数式： (a+b)b-a)=b2-a2 5.平方差公式： 理解： 常见变形： (-a-b)(a-b)=b2-a2 (ma+mb)(a-b)=m(a2-b2) 简便计算 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 公式：(a±b)2=a2±2ab+b2;公式记忆：“首平方，末平方，两倍首末中间放” 6.完全平方公式推广：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca a2+b2=(a+b)2-2ab 变形：a2+b2=(a-b)2+2ab (a+b)2-(a-b)2=4ab… 题型精讲 题型01幂的基本运算 【典例1】(25-26八年级上·天津月考)下列运算正确的是() A.a3.a3=2a B.(a2}'=a C.（4ab)2=8a2b2 D.(-a3(-a=a 【变式1】(23-24七年级下江苏镇江·期末)下列运算中，正确的是() A.m2+m2=2m4B.a2.a3=a c.(n23=n D.(2x2y)°=2x‘y 【变式2】(25-26八年级上湖北武汉月考)计算：a2a2=一；（-a=一：(2b)= 【变式3】(25-26八年级上宁夏吴忠期中)计算：aa2a2+-a)-(2a2) 题型02利用幂的运算进行比较大小 【典例2】（24-25八年级上·河南周口·期末)比较23,322,5的大小，正确的是() A.233>51>32 B.23>32>51 C.322>233>5 D.322>5>233 【变式1】(25-26八年级上湖北期中)比较大小：32_25 【变式2】(25-26七年级上·上海奉贤·期中)比较大小：162”2891. 【变式3】(24-25六年级下山东淄博·月考)阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较32和41的大小. 解：4=(2”=2”，且3>2， .322>222，即322>4 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较28和82的大小. 解：82=(2)=2，且8>6， 3/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 28>26,即28>82. 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小. 【方法运用】 (1)比较34、433、522的大小： (2)比较8131、271、91的大小： (3)已知a2=3,b3=4,a>0,b>0,比较a、b的大小； (4)比较32×50与310×52的大小. 趣型03利用幂的运算进行简便运算 2025 【典例3】(25-26八年级上·四川乐山期中)计算32024 -3 的结果是() A. 1 B.-3 C.3 3 202 【变式1】(25-26八年级上福建莆田·月考)计算(-24× 的结果为() 1 A.2 B.- C.1 D.-2 2 【变式2】(25-26八年级上甘肃天水期末)计算2206+(-2)2015=_ 2025 【变式3】(25-26八年级上山西忻州月考)计算： 题型04整式乘法的计算与化简 【典例4】(20-21七年级下·广西梧州期末)计算x(x+2)-x2结果正确的是() A.2 B.-2x C.x D.2x 【变式1】(25-26七年级上·上海月考)计算：(2x+y)x-2y)= 【变式2】(25-26八年级上广东东莞期中)计算：xx2+2x+1-(x+2)(x-5). 【变式3】(25-26七年级下·全国·课后作业)计算： (1)a-1(a-2)-aa-5; (2)3x(x+2)-(x+1)(3x-4). 题型05乘法公式变形求值 【典例5】(25-26八年级上福建龙岩月考)若(x-3)(x+5)=x2+px+9,则p、9的值是() A.2,-15 B.-2,15 C.2,15 D.-2,-15 【变式1】(25-26八年级上黑龙江哈尔滨·期中)若x+2)(x-3)=x2+mx+n,则m+n的值为() A.-6 B.-1 C.-7 D.7 【变式2】(24-25七年级下·广东河源月考)若(-5am+b2m-）2a2b=-10ab,则2m+n=_ 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】(25-26八年级上·福建厦门期末)已知时，关于x的多项式2x2+5x+m能被x+4整除，求m 的值. 题型O6利用整式的乘法求值 【典例6】(25-26八年级上·全国期末)已知x+y=7,y=12,则x2+y2的值为() A.25 B.37 C.49 D.61 【变式1】(25-26八年级上湖北襄阳·月考)若a+x2=2022,b+x2=2023,c+x2=2024,则 a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 【变式2】(25-26七年级上·上海期中)若x满足(2024-x+(2026-x)2=4042,则(2024-x)(2026-x)的 值为 【变式3】(25-26七年级上·上海期中)已知m+n=5,mn=-3, (1)求(m-2)(n-2)的值 (2)求(m-n)2 题型07巧用幂的运算逆向运算 【典例7】(25-26八年级上河南许昌·月考)若am=2,d=3,则a2m+"的值是() A.7 B.8 C.12 D.18 【变式1】(24-25七年级下·全国课后作业)已知2”=x,5”=y,20”=z,则x,y,z之间满足的等量关 系式为() A.x+y=z B.xy=z C.xy2=z D.xy=z 【变式2】(25-26八年级上江苏南通·月考)若3x+y-8=0,则8.2"的值是 【变式3】(25-26八年级上江西上饶月考)(1)已知a"=3,a”=2,求a2m+3m (2)已知x+3y-2=0,求5.125的值. 题型08整式乘法中不含某项问题 【典例8】(25-26八年级上，安微淮南·月考)若(x2-3x+2)(x+)的展开式中不含有x的项，则a的值为() A.-3 B.3 C.-4 D.4 【变式1】(25-26八年级上湖南衡阳·月考)若x-m与3x-2的乘积中不含x的一次项，则m的值 为」 【变式2】(25-26七年级上·上海期中)已知关于x的整式x2-mx+n与x-2的乘积中不含x2项和x项，则 m力三 【变式3】(2025八年级上·全国.专题练习)已知x2+mx+n(x-1)的展开式中不含x项和xX项. (1)求m,n的值： 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)先化简，再求值：（2m-n)(m-2n+4mn2-6m2n+2m3）÷(-2m. 题型O9整式乘法中的规律性问题 【典例9】(25-26八年级上·云南昆明·期中)计算下列式子： (x-1(x+1)= (x-1(x2+x+1= (x-10(x3+x2+x+1= 利用你发现的规律，计算： (x-10(x2024+x2023+x202+…+x+1）=() A.x2026-1 B.x2025-1 C.x2024-1 D.x2023-1 【变式1】(25-26八年级上河北张家口·期中)我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角” 就是一例.如表所示，它揭示了(a+b)”(n为非负整数)展开式的各项系数的规律.有如下几个结论：① (a+b)“展开式有(n+1)项，系数和为21；②993+3×992+3x99+1的结果是10；③(a+b)°展开式中，系数 最大为20.其中正确的有() (a+b)°=1 11 (a+b)=a+b 121 (a+b)2=a2+2ab+b2 1331 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 【变式2】(25-26八年级上·广西南宁·月考)观察下列各式及其展开式 (a+b)2=a2+2ab+b2 1 (a+b)3=d3+3a2b+3ab2+b3 11 121 (a+b)4=a+4mb+6a2b2+4ab3+b4 1331 14641 (a+b)5=am+5ab+10ab2+10a2b3+5ab4+b 15101051 。。。。8 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（α+b)”展开后各项 系数的情况，被后人称为“杨辉三角”.请你猜想(2x+1)的展开式中含x2项的系数是 【变式3】(25-26七年级上全国期末)综合与探究 【问题背景】有一种可用手掌计算6~10之间的整数相乘的方法.例如：计算7×8时，按图1摆放双手并标 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 记数字.将“7”和“8对齐摆放，并在它们的上方画一条虚线.在虚线的下方，左手有2个手指，右手有3个 手指；在虚线的上方，左手有3个手指，右手有2个手指，取两数乘积作为个位数字（如果乘积满10，则 往十位数字进位)，即10×(2+3+3×2=56 餐 图1 图2 (1)【类比学习】计算6×9时，按上述方法，可得10×_+_=54. (2)【归纳总结】设a,b分别为6~10之间的任意整数.在计算ab时，若a在左手，b在右手，则虚线上 方左手有_个手指，右手有_个手指，虚线下方双手共有_个手指，按上述方法，可得a·b=_(用含a,b的代 数式表示，不用化简). (3)【探究提升】若将α，b变为16~20之间的任意整数也满足类似的算法，根据如图2所示的标记数字，也 可按相同方法画出虚线.在虚线的上方，如果左、右手分别有m,n个手指.那么a·b=+mn.(用 含m,n的代数式表示，不用化简) 题型10乘法公式的几何背景 【典例10】(24-25八年级上重庆九龙坡期末)有A,B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，(1， m过正方形A所在边的直线)，又将正方形A,B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图 1和图2中阴影部分面积分别为5和38.则正方形A,B的面积之和为() B 图1 图2 A.43 B.33 C.38 D.48 【变式1】(25-26八年级上·河北沧州·期中)如图，正方形ABCD的边长为a,正方形EFGC的边长为b, 若DG=5,长方形HGCB的面积为6，则a2+b2= A 【变式2】(25-26八年级上·北京·月考)图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为S,图2 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为S2,比较S,与S,的大小，则SS,2(填“>”、 “<”或“=”) -a 图1 图2 【变式3】(25-26九年级上·四川攀枝花期末)【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法， 借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题.图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为一；图2中阴影 部分的面积能解释的乘法公式为一 6 a b a 图1 图2 【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为α、b的长方形拼摆成一个如图3的正方形 (1)通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式(a+b2,（a-b),ab之间的等量关系； (2)若a-b=6,ab=16,求a+b的值. 【解决问题】如图4，C是线段AB上的一点，分别以AC,BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG,设 AB=6,两正方形的面积和为20，求△AFC的面积. b a b B b a 6 图3 图4 强化训练 一、单选题 2023 2024 1.(2025八年级上全国专题练习)计算 的结果是() A.4 B.3 c.3 D.- 3 4 4 8/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级上：云南保山月考)若x2-ax+4是一个完全平方公式，则a的值是() A.4 B.-4 C.-4或4 D.2或-2 3.(24-25七年级下.全国周测)已知8.2*=128，则(x-5)2026的值为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.(2026七年级上·重庆，专题练习)下列运算正确的是() A.(a-b)2=a2-b2 B.(a2°=a3 C.a.a3=a D.3a2-a2=2 5.(25-26八年级上·全国期末)已知a-b=8,ab=5,则a2+b2+3ab的值为() A.89 B.74 C.64 D.49 二、填空题 6.(25-26七年级全国假期作业)计算：(-2x+3y)(3y+2x)=一 7.(25-26八年级上黑龙江哈尔滨·月考)已知a+b=6,ab=-5,则a2+b2= 8.(2025八年级上·河北邯郸.专题练习)如图，从边长为acm的大正方形中，剪去一个边长为bcm的小正 方形α>b>0).剩余部分（阴影部分）沿虚线剪开，可以拼成一个长方形（如图所示），则该长方形的面 积可表示为 cm. bi 9.(24-25八年级上·吉林长春·月考)当x+2y-4=0,则4.2-2的值为_ 10.(25-26八年级上福建南平.月考)我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉 三角”，这个三角形给出了(a+b)”(n为正整数)的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 11 (a+b)'=a+b 121 (a+b)2=a2+2ab+b2 1331 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 14641 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b 1006 请依据上达规律，写出(- 展开式中含xo4项的系数是 9/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(25-26八年级上山西忻州月考)先化简，再求值，（2m-1)(2m+1)-4m(m+3)+(m-2),其中m=-1. 12.（24-25七年级下·全国·课后作业)已知x=2m+1,y=4"+3. ()请用含x的代数式表示y. (2)如果x=4,求此时y的值. 13.(25-26八年级上·天津月考)计算： (0(-2x3-(←x)-3x2）2; (2)(x-3)x-2)-6x2+x-1 14.(25-26八年级上湖北宜昌·月考)现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形（图中 阴影部分)区域摆放作品. 45 y 30 图1 图2 (1)如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，设小长方形的长为x,宽为y，,求出x和y的值. ②如图2，若大长方形的长和宽分别为a和6，若作品展览区城（阴影部分）面积占展厅面积的了求x和 y的数量关系 15.(2025八年级上·全国，专题练习)阅读材料： 若x满足(9-x)(x-4)=4,求(9-x)2+(x-4)2的值。 解：设9-x=a,x-4=b,则(9-x)(x-4)=ab=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5, (9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17. R N M E 类比应用： (1)若(3-x)(x-2)=-1,求(3-x)2+(x-2)2的值： (2)若(n-2024)2+(2023-n)2=10,则(n-2024)(2023-n)的值为 (3)己知正方形ABCD的边长为a,点P和点R分别是边AB和CD上的点，且AP=4,CR=2,分别以BP和 DR为边长作正方形PBEF和正方形DMNR.若图中阴影部分长方形的面积是4，请求出正方形PBEF和正 10/11