专题1.7 三角形与多边形的内角和【专项培优讲义】（21个难度分层题型讲练+能力提升练 共55题）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专题1.7 三角形与多边形的内角和【专项培优讲义】 （第一章 三角形的证明及其应用） 【北师大版八下●新教材】 难度分层题型讲练 2 【基础考点过关】 2 题型一 三角形内角和定理的证明 2 题型二 三角形内角和定理的应用 3 题型三 三角形的外角的定义及性质 3 题型四 多边形的概念与分类 4 题型五 正多边形概念辨析 4 题型六 多边形的周长 5 【能力创新拓展】 5 题型七 与平行线有关的三角形内角和问题 5 题型八 与角平分线有关的三角形内角和问题 6 题型九 三角形折叠中的角度问题 7 题型十 多边形截角后的边数问题 8 题型十一 多边形对角线的条数问题 8 题型十二 对角线分成的三角形个数问题 9 题型十三 多边形内角和问题 9 题型十四 正多边形的内角问题 10 【思维提升跃进】 11 题型十五 多（少）算一个角问题 11 题型十六 多边形截角后的内角和问题 12 题型十七 复杂图形的内角和 12 题型十八 正多边形的外角问题 13 题型十九 多边形外角和的实际应用 14 题型二十 多边形内角和与外综合 15 题型二十一 平面镶嵌 16 能力提升训练 17 【基础考点过关】 题型一 三角形内角和定理的证明 【典例精讲】（24-25七年级下·上海·月考）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． (1)求证：． (2)若恰好平分，求的度数． 题型二 三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型三 三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点D在的延长线上，点E在的延长线上，点F在上，则__________．（填“”“ ”或“”） 【变式训练】（25-26八年级下·广东湛江·开学考试）如图，在中，是上一点，交于，，，则以下说法：①②；；③；④，说法正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 题型四 多边形的概念与分类 【典例精讲】（24-25七年级下·海南儋州·期末）如图①，在中，平分且与的外角的平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） (3)若把截去，得到四边形，如图②，猜想、、的数量关系，并说明理由． 【变式训练】下列命题：①各边都相等的多边形是正多边形；②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑥到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．正确的命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五 正多边形概念辨析 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课前预习）下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【变式训练】（25-26七年级上·广东深圳·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 题型六 多边形的周长 25．（23-24八年级上·河北邢台·月考）旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． (1)求该硬币内正多边形的内角和； (2)若其一边长为，求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有___________条对角线． 【变式训练】（23-24七年级下·江苏镇江·期中）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，下面四种说法：①周长变大；②周长变小；③外角和增加；④内角和增加，其中正确的是_______． 【能力创新拓展】 题型七 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，已知是角平分线，． (1)求的度数； (2)若于E，求的度数． 【变式训练】（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型八 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（  ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·期末）已知，，． (1)如图1，求的度数；（用含的代数式表示） (2)如图2，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点，求的度数； (3)在（2）的条件下，点为射线上一动点，交直线于点，若，，直接写出的度数． 题型九 三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（24-25八年级上·四川自贡·开学考试）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，的度数为______． 【变式训练】（23-24七年级下·四川成都·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点B，C分别落在点，的位置，在上，再沿折叠，点落在点位置，点在上，若，则_____°． 题型十 多边形截角后的边数问题 【典例精讲】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 【变式训练】（23-24八年级上·河北石家庄·月考）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 题型十一 多边形对角线的条数问题 【典例精讲】（25-26七年级上·山东青岛·期末）某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 【变式训练】（23-24七年级下·重庆·期末）人们在房屋装修时，需要选择适当的地砖拼成各种美丽的图案，生活中对地砖拼接最基本的要求是：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．哪些正多边形可以镶嵌？怎样开展研究？ 为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法． (1)探究一：五边形一个顶点出发有2条对角线，可以分成三个三角形，因此五边形内角和为，正五边形每个内角为；…… 边形一个顶点出发有_____条对角线，正边形内角和为_____，正边形每个内角为_____． (2)探究二：两种正多边形围绕一个点镶嵌的条件是：其中一个正多边形的个数乘以它的内角度数加上另一个正多边形的个数乘以它的内角度数等于，即；若正三角形有个，正方形有个，求为何值时能够实现平面镶嵌？请说明理由． (3)探究三：若用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，能与正三角形匹配形成镶嵌图形的正多边形有_____． ①正五边形；②正六边形；③正八边形；④正十二边形 题型十二 对角线分成的三角形个数问题 【典例精讲】（24-25八年级上·江西赣州·期中）若一个正多边形除去一个外角后剩余的外角的和为． (1)求这个正多边形的边数与内角和的度数． (2)要使该正多边形具有稳定性，至少应添加几条线段？ 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）从一个边形的同一顶点出发，分别连接和它不相邻的各顶点．若把这个边形分成8个三角形，则这个多边形的内角和为_____． 题型十三 多边形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课前预习）在四边形中，． (1)如图①，若和的平分线交于点，则的度数为___________； (2)在（1）的条件下，若延长交于点(如图②)，将原来的条件“”改为“”，其他条件不变，的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出的度数． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·期末）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． (1)如图，是等边三角形，点D是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点E，使，根据，可证，易证，得出是等边三角形，所以，从而解决问题． 根据上述解题思路，三条线段、、之间的等量关系是 ；（直接写出结果） (2)如图，中，，．点D是边下方一点，，探索三条线段、、之间的等量关系，并证明你的结论． 题型十四 正多边形的内角问题 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，已知正五边形的内角和为，，若，则_________． 【变式训练】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点，则的度数为（    ） A．82° B．83° C．84° D．85° 【思维提升跃进】 题型十五 多（少）算一个角问题 【典例精讲】．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 题型十六 多边形截角后的内角和问题 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【变式训练】（24-25八年级上·湖北黄石·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于． (1)求这个多边形的边数及对角线的条数． (2)这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有______条边． 题型十七 复杂图形的内角和 【典例精讲】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，的度数为___________． 题型十八 正多边形的外角问题 【典例精讲】（23-24八年级上·河北邢台·月考）将三个相同的六边形螺母并排摆放在桌面上，从上面看到的图形如图1所示．正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，从上面看到的图形如图2所示，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则： （1）图1中螺母组成的图形的周长（图中深色部分总长度）为___________； （2）图2中通过题意，我们可得出，则___________． 【变式训练】（25-26八年级上·河北沧州·期中）数学小组就正多边形的拼接与重叠展开研究． （1）如图-1，用个全等的正六边形进行拼接，使相邻两个正六边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，则___________． （2）如图-2，平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边完全重叠在一起，则___________． 题型十九 多边形外角和的实际应用 【典例精讲】（23-24七年级下·江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 【变式训练】（23-24八年级上·河北邢台·月考）如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 题型二十 多边形内角和与外综合 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏南京·期末）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 题型二十一 平面镶嵌 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是（  ）边形． A．四 B．五 C．六 D．八 【变式训练】．（23-24七年级下·福建泉州·期末）簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决． (1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形______（填序号） ①正三角形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形 (2)小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为______，并简要说明理由 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，直线，直线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，在中，，，过点D作交于点E，过点E作于点F，若平分，则图中度数为的角共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论其中正确的是（    ） ①；        ②； ③当时，分别是的中点；    ④若，，则． A．①② B．①②④ C．③④ D．①③④ 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 5．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，是的外角的平分线，交的延长线于点E，已知，则的度数是__________． 6．一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是_________边形． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，线段，垂足为，线段分别交，于点，，连接，．则的度数为__________． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，分别是边，上的高，它们交于点H，求、的度数． 9．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点在边上，延长至点，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 10．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点为边上一点，连接并延长到点，过点作交于点，交于点． (1)若，求证：； (2)若，，，求的度数． 11．（25-26八年级上·山东青岛·期末）【相关概念】三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图1，将中的边反向延长，与另一边形成的即为的一个外角．利用平行线的相关知识，我们可以推出结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【结论证明】为证明此结论，李明同学画好了图形（如图2），写好了“已知”和“求证”，根据李明的描述，请补充完整证明过程． 已知：如图2，是的一个外角． 求证：． 证明：过点作 …… 【结论应用】如图3，在中，，点在上，交于点，，求的度数． 【应用拓展】如图4，直线与直线相交于点，夹角为锐角，点在直线上且在点上方运动，点在直线上运动（不与点E、O重合）．当时，平分平分交直线于点，则的度数为___________． 12．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，． (1)将图①中的三角板绕点按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图②，且恰好平分，与相交于点，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点按顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转多少度时，边恰好与边平行？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学八年级下册专项复习培优讲义【题型讲练】 专题1.7 三角形与多边形的内角和【专项培优讲义】 （第一章 三角形的证明及其应用） 【北师大版八下●新教材】 难度分层题型讲练 2 【基础考点过关】 2 题型一 三角形内角和定理的证明 2 题型二 三角形内角和定理的应用 4 题型三 三角形的外角的定义及性质 5 题型四 多边形的概念与分类 6 题型五 正多边形概念辨析 9 题型六 多边形的周长 10 【能力创新拓展】 12 题型七 与平行线有关的三角形内角和问题 12 题型八 与角平分线有关的三角形内角和问题 15 题型九 三角形折叠中的角度问题 19 题型十 多边形截角后的边数问题 21 题型十一 多边形对角线的条数问题 23 题型十二 对角线分成的三角形个数问题 25 题型十三 多边形内角和问题 26 题型十四 正多边形的内角问题 29 【思维提升跃进】 31 题型十五 多（少）算一个角问题 31 题型十六 多边形截角后的内角和问题 33 题型十七 复杂图形的内角和 35 题型十八 正多边形的外角问题 36 题型十九 多边形外角和的实际应用 39 题型二十 多边形内角和与外综合 42 题型二十一 平面镶嵌 44 能力提升训练 45 【基础考点过关】 题型一 三角形内角和定理的证明 【典例精讲】（24-25七年级下·上海·月考）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【答案】； ；两直线平行，同位角相等 ； ； ；两直线平行，内错角相等 ；；； 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可证出． 【规范解答】证明：延长线段至点，并过点作． ， （两直线平行，同位角相等）． （两直线平行，内错角相等）． ． ． 故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等；；． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． (1)求证：． (2)若恰好平分，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质． 根据折叠的性质可知，根据平角的定义可以求出，从而可求，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立； 根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据三角形内角和定理可以求出的度数． 【规范解答】（1）证明：由折叠可知， ， ， ， ， ； （2）解：是的外角， ， ， ， 平分， ， 在中，， ． 题型二 三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ． 【答案】 【思路引导】根据正多边形的内角公式可得，则，利用三角形内角和定理计算出即可． 【规范解答】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【规范解答】解：根据折叠的性质得，，， ∴，， ， ∴ ， ∴． 题型三 三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点D在的延长线上，点E在的延长线上，点F在上，则__________．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【思路引导】本题主要考查三角形外角的定义及性质，掌握三角形外角等于与其不相邻的两个内角和是解题的关键． 根据三角形外角的性质，得到，，进而可得． 【规范解答】解：由题可知，为的外角， ， ， 又为的外角， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级下·广东湛江·开学考试）如图，在中，是上一点，交于，，，则以下说法：①②；；③；④，说法正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【思路引导】根据条件证明得到，，，从而得证，最后根据三角形的外角性质和平行线的性质即可求解． 【规范解答】解：在和中， ， ， ，，，①正确， ，， ，，④正确， ∵，， ∴当时，有，这时， 但与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵，，， ∴，故②正确； 综上所述，正确的是①②④， 题型四 多边形的概念与分类 【典例精讲】（24-25七年级下·海南儋州·期末）如图①，在中，平分且与的外角的平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） (3)若把截去，得到四边形，如图②，猜想、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)不变， (3)，理由见解析 【思路引导】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质是正确解答的关键． （1）根据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可； （2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可； （3）延长交于点A，将问题转化为（2）即可． 【规范解答】（1）解：，平分， ， 又， ， 平分， ， ， （2）解：不变化，理由如下： 平分， ， 平分， ， ， 即； （3）解：，理由如下： 如图，延长、交于点， ∴ ， 由（2）可得， ． 【变式训练】下列命题：①各边都相等的多边形是正多边形；②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑥到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．正确的命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】分析所给的命题是否正确，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【规范解答】∵不含90°内角的菱形四边都相等，但其不是正四边形， ∴①不正确； ∵三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角， ∴②正确； ∵三角形的角平分线是线段， ∴③不正确； ∵三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点， ∴④不正确． ∵任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线， ∴⑤正确； ∵到角两边距离相等的点在这个角的平分线上， ∴⑥正确； 综上，可得正确的命题有3个． 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 题型五 正多边形概念辨析 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课前预习）下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【思路引导】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【规范解答】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·广东深圳·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【规范解答】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 题型六 多边形的周长 25．（23-24八年级上·河北邢台·月考）旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． (1)求该硬币内正多边形的内角和； (2)若其一边长为，求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有___________条对角线． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】根据图片得出正多边形的边数是，进而利用求内角和；利用求周长；利用求对角线的条数. 【规范解答】（1）解：由图可知：旧版的一角硬币内是一个正九边形， ∴， 即：正多边形内角和为； （2）解：∵ ∴该正多边形的周长是； （3）解：∵， ∴该正多边形共有条对角线. 【变式训练】（23-24七年级下·江苏镇江·期中）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，下面四种说法：①周长变大；②周长变小；③外角和增加；④内角和增加，其中正确的是_______． 【答案】②④/④② 【思路引导】本题主要考查了多边形的有关知识，根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可．解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 【规范解答】解：将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， 该六边形的周长比原五边形的周长小， ①的说法错误，②的说法正确； 多边形的外角和与边数无关，都是， ③的说法错误； 五边形的边数增加了1， 根据多边形内角和定理可知内角和增加了， ④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故答案为：②④． 【能力创新拓展】 题型七 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，已知是角平分线，． (1)求的度数； (2)若于E，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和以及角平分线的定义是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）由垂直的定义得，然后根据即可求解． 【规范解答】（1）解：∵在中，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴； （2）∵， ∴． ∴． 【变式训练】（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，根据内错角相等，两直线平行，可得，故正确；根据同旁内角互补，两直线平行，可得，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为，等量代换可得：，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为是的余角的倍，可以求出，从而可得：，故正确；根据角平分线的定义可得：，，从而可得：，故错误． 【规范解答】解：和是、被直线所截形成的内错角，且， ， 故正确； ， ， 又， ， ， 故正确； ， ， ， ， 平分， 故正确； ， ， ， ， 设， 是的余角的倍， ， 解得：， ， 在中，， ， ， 故正确； 平分， ， 由可知平分， ， ， 故错误； 综上所述，结论正确的个数是. 故选：C． 题型八 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（  ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【思路引导】由，得，因为，，所以，则．可判断①正确；由折叠得，，则，所以，可判断②正确；所以，推导出，可根据“”证明，可判断③正确；延长交于点，可证明，得，再证明，得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：中，， ， 的角平分线、相交于点， ，， ， ， 故①正确； 延长至，沿着折叠与重合，交于点， ，， ， ， 故②正确； ， ，， ， 在和中， ， （）， 故③正确； 延长交于点，则， ， ， 在和中， ， （）， ， 在和中， ， （）， ， ， 故④正确． 故选：A． 【考点剖析】此题重点考查角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、同角的余角相等、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出是解题的关键． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·期末）已知，，． (1)如图1，求的度数；（用含的代数式表示） (2)如图2，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点，求的度数； (3)在（2）的条件下，点为射线上一动点，交直线于点，若，，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)的度数为 (3)的度数为或 【思路引导】（1）首先构造，根据，得到，再根据得到，再利用得到即可求解的度数； （2）首先构造，根据的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点得到，，再根据，得到，，即可求解的度数； （3）分为点K在角平分线上和点K在角平分线的反向延长线上两种情况进行讨论，当点K在角平分线上时，根据（1）（2）中的结论得到，， 再根据和对顶角相等得到，进而结合三角形的内角和定理得到即可求解的度数；当点K在角平分线的反向延长线上时，根据得到，进而得到结合三角形的内角和定理即可求解的度数． 【规范解答】（1）解：如图，过点E作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点G作， 由（1）得：， ∵的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①：如图，当点K在角平分线上时，设交于点M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∵， ∴； ②：如图，当点K在角平分线的反向延长线上时， 由①得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的度数为或． 【考点剖析】本题主要考查平行线的性质、三角形的内角和定理，构造辅助线、分类讨论是解题的关键． 题型九 三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（24-25八年级上·四川自贡·开学考试）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，的度数为______． 【答案】 【思路引导】根据折叠的性质和平角的定义可推出，由三角形内角和定理可得的度数，据此结合角平分线的定义求出的度数，进而由三角形内角和定理可得答案． 【规范解答】解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（23-24七年级下·四川成都·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点B，C分别落在点，的位置，在上，再沿折叠，点落在点位置，点在上，若，则_____°． 【答案】 【思路引导】设，，由折叠的性质可得和，进而证得，根据和可得和，进而得到，在中，根据三角形的内角和为，列出方程，解出、的值即可． 【规范解答】解：设，， 由折叠得：、， , ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查折叠的性质、平行线的性质、矩形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质和角与角之间的关系是解题的关键． 题型十 多边形截角后的边数问题 【典例精讲】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【思路引导】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．　 【规范解答】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11， ∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12： 故选D． 【考点剖析】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键． 【变式训练】（23-24八年级上·河北石家庄·月考）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【思路引导】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【考点剖析】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 题型十一 多边形对角线的条数问题 【典例精讲】（25-26七年级上·山东青岛·期末）某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 【答案】 【思路引导】本题考查了图论基础知识，具体涉及完全图的边数计算和去重思想．题目中传感器均匀分布在正八边形顶点上，相当于一个8个顶点的图，每个顶点需要与其他所有顶点连接，但相邻顶点之间已有连接（即正八边形的边），需要计算额外添加的连接通道数．掌握完全图边数公式和去重原理是解题的关键． 【规范解答】解：∵对于每个核心传感器，除去相邻传感器，还需要连5个传感器，故需额外建立5条连接通道， ∴一共需要额外建立的连接通道数量为（条）． 故答案为：． 【变式训练】（23-24七年级下·重庆·期末）人们在房屋装修时，需要选择适当的地砖拼成各种美丽的图案，生活中对地砖拼接最基本的要求是：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．哪些正多边形可以镶嵌？怎样开展研究？ 为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法． (1)探究一：五边形一个顶点出发有2条对角线，可以分成三个三角形，因此五边形内角和为，正五边形每个内角为；…… 边形一个顶点出发有_____条对角线，正边形内角和为_____，正边形每个内角为_____． (2)探究二：两种正多边形围绕一个点镶嵌的条件是：其中一个正多边形的个数乘以它的内角度数加上另一个正多边形的个数乘以它的内角度数等于，即；若正三角形有个，正方形有个，求为何值时能够实现平面镶嵌？请说明理由． (3)探究三：若用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，能与正三角形匹配形成镶嵌图形的正多边形有_____． ①正五边形；②正六边形；③正八边形；④正十二边形 【答案】(1) ；； (2)，理由见解析 (3)②④ 【思路引导】本题主要考查平面镶嵌（密铺）和多边形内角与外角，解不定方程，解题关键是掌握平面镶嵌的要求：拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于． （1）根据多边形的对角线的定义和内角和的求法即可得出答案； （2）根据正三角形每个内角的度数为，正方形每个内角的度数为，于是得到方程，即，解方程即可得到结论； （3）先分别得出各个正多边形的内角度数，再根据平面镶嵌的定义，逐个进行判断即可． 【规范解答】（1）解：边形一个顶点出发有条对角线，正边形内角和为，正边形每个内角为； 故答案为：，，； （2）解：当时能够实现平面镶嵌，理由如下： 正三角形每个内角的度数为，正方形每个内角的度数为， ，即， ∵为正整数， ； （3）解：①设正三角形个，正五边形个， 由题意得：， 此方程无正整数解， 正三角形和正五边形不能进行平面密铺； ②设正三角形个，正六边形个， 由题意得：， 解得：或， 正三角形和正六边形能进行平面密铺，需要2个正三角形和2个正六边形或需要4个正三角形和1个正六边形； ③设正三角形个，正八边形个， 由题意得：， 此方程无正整数解， 正三角形和正八边形不能进行平面密铺； ④设正三角形个，正十二边形个， 由题意得：， 解得：， 正三角形和正十二边形能进行平面密铺，需要1个正三角形和2个正十二边形； 故答案为：②④． 题型十二 对角线分成的三角形个数问题 【典例精讲】（24-25八年级上·江西赣州·期中）若一个正多边形除去一个外角后剩余的外角的和为． (1)求这个正多边形的边数与内角和的度数． (2)要使该正多边形具有稳定性，至少应添加几条线段？ 【答案】(1)9， (2)6条线段 【思路引导】本题考查了多边形的内角和与外角和，关键是熟记多边形的内角和公式与外角和定理，三角形具有稳定性． （1）根据除去一个外角后剩余的外角的和为，求出这个外角的度数，即可求出这个正多边形的边数，再根据多边形内角和公式即可解答； （2）根据三角形具有稳定性结合过一个顶点作出所有对角线即可得解． 【规范解答】（1）解：多边形的外角和为， 除去的外角的度数为， 又正多边形每个外角都相等， 这个正多边形的边数为， 这个正多边形的内角和为； （2）解：要使正九边形具有稳定性，至少应添加条线段． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）从一个边形的同一顶点出发，分别连接和它不相邻的各顶点．若把这个边形分成8个三角形，则这个多边形的内角和为_____． 【答案】 【思路引导】本题主要考查多边形的对角线，多边形的内角和，解题的关键是掌握一个边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，形成的三角形个数为． 一个边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，形成的三角形个数为，再根据内角和公式计算即可． 【规范解答】解：设多边形边数为，则分成三角形个数为． 由题意，， 解得． 内角和为． 故答案为：． 题型十三 多边形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课前预习）在四边形中，． (1)如图①，若和的平分线交于点，则的度数为___________； (2)在（1）的条件下，若延长交于点(如图②)，将原来的条件“”改为“”，其他条件不变，的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由；若变化，求出的度数． 【答案】(1)； (2)的度数不变，为 【思路引导】本题考查四边形内角和定理、角平分线的定义、三角形内角和定理．关键是通过内角和关系，结合角平分线求出相关角的和，进而计算目标角． （1）先利用四边形内角和求出的度数，再根据角平分线性质得到的度数，最后用三角形内角和求出； （2）先在中利用三角形内角和求出的度数，再结合角平分线性质得到的度数，进而求出，判断度数是否变化． 【规范解答】（1）解：∵四边形的内角和为，，， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴； 在中，； 故答案为：． （2）解：的度数不会发生变化，理由如下： 在中，， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴； 在中，； 答：的度数不变，为． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·期末）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． (1)如图，是等边三角形，点D是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点E，使，根据，可证，易证，得出是等边三角形，所以，从而解决问题． 根据上述解题思路，三条线段、、之间的等量关系是 ；（直接写出结果） (2)如图，中，，．点D是边下方一点，，探索三条线段、、之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，见解析 【思路引导】（1）延长到点E，使，连接，由题意得，从而得，证得，得，，进而证得是等边三角形，得即可得证； （2）延长到点E，使，连接，根据四边形内角和和等量代换得，证得，得，，再根据勾股定理得，即可求解． 【规范解答】（1）解：结论：理由如下： 如图1，延长到点E，使，连接， 由等边三角形知，， 又∵， ， 又， ， ∴， ， ，， ∴， 是等边三角形， ∴； （2）解：结论：，理由如下： 如图2，延长到点E，使，连接， ，， ， ∵， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、四边形内角和，熟练掌握全等三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题的关键． 题型十四 正多边形的内角问题 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，已知正五边形的内角和为，，若，则_________． 【答案】56 【思路引导】本题主要考查了正多边形的性质，平行线的判定和性质．根据正多边形的性质，可得，过点B作，可得，即可求解． 【规范解答】解：∵正五边形的内角和为， ∴， 如图，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：56． 【变式训练】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点，则的度数为（    ） A．82° B．83° C．84° D．85° 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了等边三角形的性质、正多边形的内角和、四边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键． 先根据等边三角形的性质可得，则，再根据正五边形的性质可得，则，最后根据四边形的内角和即可求解． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴在四边形中，． 故选：C． 【思维提升跃进】 题型十五 多（少）算一个角问题 【典例精讲】．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【答案】(1)30 (2)十二边形 (3) 【思路引导】（1）根据多边形的内角和能被整除求解即可； （2）根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可； （3）根据正多边形的每个内角都相等进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵多边形内角和公式为， ∴多边形的内角和能被整除， ∵， ∵加了一个锐角， ∴这个“多加的锐角”是； （2）解：设多边形为n边形， ∴， ∴， ∴小明求的是12边形的内角和； （3）解：正十二边形的每一个内角为． ∴这个正多边形的一个内角是． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是的倍数是解题的关键． (1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解； (2)设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解． 【规范解答】（1）解：方法一：设少算的那个内角的度数为，则由条件， 得． 因为n为自然数，，且， 故取， 得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． （2）解：方法一：设多算的那个内角的度数为， 则由条件，得． 因为n为自然数，，且， 故取，得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． 题型十六 多边形截角后的内角和问题 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【思路引导】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 【变式训练】（24-25八年级上·湖北黄石·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于． (1)求这个多边形的边数及对角线的条数． (2)这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有______条边． 【答案】(1)，； (2)或或 【思路引导】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为，解题的关键是剪角时注意分类讨论． （1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是，因而内角和是．边形的内角和是，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变，由此即可求出答案． 【规范解答】（1）解：设这个多边形的边数为， ， 解得：； ∴对角线的条数为：； 所以这个多边形的边数是，它的对角线的条数是． （2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变， ①当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为， ②当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为， ③当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为， 综上所述：新多边形可能是条或条或条边． 题型十七 复杂图形的内角和 【典例精讲】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【规范解答】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，的度数为___________． 【答案】/360度 【思路引导】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【规范解答】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十八 正多边形的外角问题 【典例精讲】（23-24八年级上·河北邢台·月考）将三个相同的六边形螺母并排摆放在桌面上，从上面看到的图形如图1所示．正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，从上面看到的图形如图2所示，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则： （1）图1中螺母组成的图形的周长（图中深色部分总长度）为___________； （2）图2中通过题意，我们可得出，则___________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查正六边形的特征，解题的关键是掌握正六边形的每个外角都是． （1）运用组成图形的边的数量和乘以边长解题即可； （2）先延长交直线于点，延长交于点，再根据垂直的定义和平行线的性质得出，利用正六边形的每个外角都是，得出，最后根据直角三角形中，两个锐角互余，即可解答． 【规范解答】解：（1）图1中螺母组成的图形的周长为：； （2）如图，延长交直线于点，延长交于点， ， ． ， ， ． 图形是正六边形， ， ． 【变式训练】（25-26八年级上·河北沧州·期中）数学小组就正多边形的拼接与重叠展开研究． （1）如图-1，用个全等的正六边形进行拼接，使相邻两个正六边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，则___________． （2）如图-2，平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边完全重叠在一起，则___________． 【答案】 6 /24度 【思路引导】本题考查了平面镶嵌，正多边形的性质，正多边形内角、外角，利用正多边形的外角求内角是解题的关键． （1）利用正六边形内角及周角性质，确定中间正多边形的内角，进而求出； （2）先计算各正多边形内角，再通过角度差表示，最后代入计算． 【规范解答】解：（1）正六边形的每个外角为，每个内角为， 个正六边形围成一圈时，中间正多边形的一个内角为， 中间的正多边形的边数为， ； 故答案为：； （2）正三角形的内角为， 正方形的内角为， 正五边形的内角为， 正六边形的内角为， ， ． 故答案为： 题型十九 多边形外角和的实际应用 【典例精讲】（23-24七年级下·江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查了三角形的外角的性质，多边形的外角和定理，折叠的性质； （1）选择，根据三角形的外角的性质，即可得证；选择B，由翻折性质得：，，进而根据三角形的外角的性质，折叠的性质证明，即可得证； （2）延长，交于点，根据折叠的性质以及角平分线的定义得出，即可求解； （3）由（2）可知：，设，，根据，得出，由（1）B可知：，即可求解． 【规范解答】（1）证明：选择，证明如下： ，，， ， ； 选择B，证明如下： 由翻折性质得：，， ，， ， ， ， 又，， ， ， 即； 故答案为：或． （2）延长，交于点，如图③所示： 由（1）可知：，， 则 ，， ， 、分别平分、， ， ； （3）由（2）可知：， ，， ， 设，， ，， ，， ， 即， ， ， 由（1）B可知： ． 【变式训练】（23-24八年级上·河北邢台·月考）如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【规范解答】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在五边形中， ∴． 题型二十 多边形内角和与外综合 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏南京·期末）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 【答案】/340度 【思路引导】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案． 【规范解答】解：由条件可知， ∵， ∴； 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 【答案】(1)14 (2)21 【思路引导】（1） 根据图②的构成，确定三个正多边形的边数，计算外轮廓周长时需减去重叠的边，从而得到总周长． （2） 设，推导以为内角的正多边形的边数表达式，写出周长的代数表达式；根据边数为正整数确定的取值，代入计算找到最大周长． 【规范解答】（1）解：图②中，，因此：  以 为内角的正多边形是正方形， 以为内角的正多边形是正八边形， 两个正八边形各贡献条边，共， 正方形贡献条边， 总周长：． （2）解：设， 以为内角的正多边形的边数为， 以，为内角的正多边形的边数均为， 会标的外轮廓周长是． 根据题意可知与均为整数， 的值只能为，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，当时，周长最大，此时会标的外轮廓周长是21． 【考点剖析】本题考查了正多边形的内角与边数的关系、代数表达式推导与整数解分析，掌握正多边形边数与内角的换算公式，以及通过代数表达式求最值的方法是解题的关键． 题型二十一 平面镶嵌 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是（  ）边形． A．四 B．五 C．六 D．八 【答案】C 【思路引导】本题考查了正多边形的判断，掌握正多边形的内角和是解决本题的关键． 先判断出图形由三个完全相同的正多边形拼成的镶嵌，再根据正多边形的内角和进行求解即可． 【规范解答】解：是三个完全相同的正多边形拼成的镶嵌， 每个内角度数， 那么边数为：． 故这种多边形是正六边形． 故选C． 【变式训练】．（23-24七年级下·福建泉州·期末）簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决． (1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形______（填序号） ①正三角形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形 (2)小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为______，并简要说明理由 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了平面镶嵌，熟练掌握平面图形的镶嵌是解题的关键：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． （1）分别求出各多边形内角的度数，再由密铺的条件即可得出结论； （2）根据正六边形各内角的度数即可得出结论． 【规范解答】（1）解：①正三角形的内角是，，可以密铺，不符合题意； ②正四边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； ③正五边形的内角是，，不能密铺，符合题意； ④正六边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 由题意得，这个正六边形围成的图形是一个正多边形，由图可知，围成的这个正多边形的每个内角的度数是， ， 解得：， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，直线，直线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查平行线的性质，两直线平行同位角相等，垂直的性质，对顶角相等．利用对顶角相等算出，利用三角形的外角性质求得，再利用平行线的性质即可求解． 【规范解答】解：如下图， 由题意得， ∵直线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，在中，，，过点D作交于点E，过点E作于点F，若平分，则图中度数为的角共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【思路引导】根据三角形内角和定理和平行线的判定和性质逐一求解即可． 【规范解答】解：在中，，， ， ， ， 平分， ， ，， ， ，， 图中度数为的角有、、、、，共5个． 3．（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论其中正确的是（    ） ①；        ②； ③当时，分别是的中点；    ④若，，则． A．①② B．①②④ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【思路引导】根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质判断④． 【规范解答】解：和的平分线相交于点， ， ，①正确； ， ， 又， ， ， 同理，， ，②正确； 当时，， 不是的中点，③错误； 连接，作于，如图所示： 和的平分线相交于点， 平分， ， ， ，④正确． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 【答案】 【思路引导】（1）根据三角形的内角和得到，由对顶角相等即可得到结论； （2）根据题意可得，得到，根据角平分线得到，再根据得到，即可得到答案． 【规范解答】解：（1） 而， ； （2） ，， ， ， 和的平分线和相交于点， ， ， ． 5．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，是的外角的平分线，交的延长线于点E，已知，则的度数是__________． 【答案】/28度 【思路引导】先求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形的外角定理，即可解答． 【规范解答】解：∵，平分， ∴， ∴． 6．一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是_________边形． 【答案】四 【思路引导】任何多边形的外角和都是，再结合多边形内角和公式，根据题意列方程求解即可． 【规范解答】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得：， 解得：， 故这个多边形是四边形． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，线段，垂足为，线段分别交，于点，，连接，．则的度数为__________． 【答案】/270度 【思路引导】根据三角形的内角和定理和对顶角的性质可求出，，然后把整体代入计算即可． 【规范解答】解：，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为： 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，分别是边，上的高，它们交于点H，求、的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理、三角形高的定义以及直角三角形的性质．解题的关键是利用三角形高的定义得到直角，结合三角形内角和定理进行角度推导． 先由三角形内角和求出的度数，再在中求出，最后利用直角三角形性质和邻补角关系求出的度数． 【规范解答】解：∵在中，，， ． ∵，分别是边，上的高， ． 在和中， ， ， ． 9．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点在边上，延长至点，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查了三角形外角的性质以及三角形内角和定理的应用，熟练掌握 “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和” 是解答本题的关键． （1）利用三角形外角的性质求出的度数，再结合三角形内角和定理计算的度数； （2）连续两次运用三角形外角的性质，进行等量代换，即可完成证明． 【规范解答】（1）解：，， ， ，且， ． （2）证明：，且， ． 10．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点为边上一点，连接并延长到点，过点作交于点，交于点． (1)若，求证：； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，核心是利用平行线转化角，结合全等或等腰三角形的性质来推导线段或角度关系． （1）利用平行线的性质得到两组内错角相等，结合已知的，通过证明与全等，根据全等三角形对应边相等即可证得； （2）先根据平行线的性质得到，再由等腰三角形“等边对等角”得到，从而求出的度数，最后利用三角形内角和定理计算的度数． 【规范解答】（1）解：， ，， 又， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 在中，， ． 11．（25-26八年级上·山东青岛·期末）【相关概念】三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图1，将中的边反向延长，与另一边形成的即为的一个外角．利用平行线的相关知识，我们可以推出结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【结论证明】为证明此结论，李明同学画好了图形（如图2），写好了“已知”和“求证”，根据李明的描述，请补充完整证明过程． 已知：如图2，是的一个外角． 求证：． 证明：过点作 …… 【结论应用】如图3，在中，，点在上，交于点，，求的度数． 【应用拓展】如图4，直线与直线相交于点，夹角为锐角，点在直线上且在点上方运动，点在直线上运动（不与点E、O重合）．当时，平分平分交直线于点，则的度数为___________． 【答案】【结论证明】见解析 【结论应用】 【应用拓展】或 【思路引导】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义等知识点． （1）过点C作，则，再由角的和差计算证明即可； （2）先由求出，再根据平行线的性质求解即可； （3）分两种情况讨论，当点F在点O的右侧和点F在点O的左侧，根据三角形的外角性质以及角平分线的定义求解即可． 【规范解答】（1）证明：过点C作 ， ；     （2）解：， ， ， ； （3）解：的度数为或    ①当点F在点O的右侧时， ， ， 是的角平分线，是的角平分线， ， ， ∴ ， ； ②当点F在点O的左侧时，如图， ， ， 是的角平分线，是的角平分线， ， ∴ 综上所述，或 12．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3）或或 【思路引导】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可． 【规范解答】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，， 故答案为：；． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，． (1)将图①中的三角板绕点按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图②，且恰好平分，与相交于点，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点按顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转多少度时，边恰好与边平行？ 【答案】(1) (2)当边旋转或时，边恰好与边平行 【思路引导】（1）证明，利用平行线的性质即可解决问题； （2）分两种情形：①如图2-1中，当时，设交于E．②如图2-2中，当时，延长交于E，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：如图中，    ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图2-1中，当时，设交于E．    则有， ∵， ∴， ∴， 此时旋转角为； ②如图2-2中，当时，延长交于E．    同法可得，可得旋转角， 综上，当边旋转或时，边恰好与边平行． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $