1.1 三角形内角和定理（分层作业，7基础&2提升题型+培优）数学新教材北师大版八年级下册

1.1 三角形内角和定理 题型一 三角形内角和定理的证明与简单应用 1．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 4．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（   ） A． B． C． D．或 5．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    6．在中，，，则这个三角形是 三角形（填“锐角”，“直角”或“钝角”）． 7．如图，已知小岛在基地的南偏东方向上，与基地相距10海里，货轮在基地的南偏西方向，在小岛的北偏西方向上，则 ． 8．如图， ． 9．课堂回顾 在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理． 已知：如图1，． 求证：． 下面是小明与小颖的想法． 小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）．下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据． 证明：过点A作直线，则 ，（______） ，（平角的定义） ．（______） 小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由． 10．若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系． （1）如图1，∠A与∠B的等量关系是　 　；如图2，∠A与∠B的等量关系是　 　；对于上面两种情况，请用文字语言叙述：　 　． （2）请选择图1或图2其中的一种进行证明． 题型二 三角形的外角及其性质 1．如图，是的一个外角，若，，则的度数（   ） A． B． C． D． 2．如图，和都是的外角，已知，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点在边上，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．将一副三角尺按如图所示的位置摆放(斜边与直角边重合)，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．一副三角板如图所示方式摆放在一起，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，，点A、B分别在、上运动（不与点O重合），的平分线的反向延长线与的平分线交于点C，在A，B的运动过程中，的度数（    ） A．变大 B．变小 C．等于 D．等于 9．如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为，则顶角的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 11．如图所示，，，，则 ． 12．如图，在中，且，则 ． 13．如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 14．一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于 【定理证明】 （1）小红的证明思路是：如图1，在中，过点A作，再利用平行线的相关知识来证明：．请按照小红同学的思路继续完成证明过程； 【定理应用】 （2）如图2，若，，，求的度数． 题型三 三角形内角和定理与角平分线和垂线 1．如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，BD平分，，，则图中度数为的角除外还有 ． 3．如图，中，由尺规作图痕迹得到的射线交于点．若，，则的度数为 ． 4．如图，在中，平分，于点E，若，，则的度数为 ． 5．如图，在中，．用尺规作图在内部作出一个角，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，的平分线相交于点O， 、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，和分别平分和，和分别平分和，，下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求的度数． 10．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 11．在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 12．如图，在中，于，平分． (1)若，，求的度数 (2)若，则___________． (3)若，求的度数（用含的代数式表示）． 题型四 三角形内角和定理与平行线 1．如图，已知直线，，，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．将一副直角三角板如图放置，已知，，，则为（    ）    A．45° B．60° C．90° D．105° 6．将一副三角板如图摆放，顶点在边上，顶点在边上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，．若，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 8．如图示，已知，平分，平分． (1)与有什么数量关系？请说明理由． (2)与平行吗？请说明理由． 9．如图，点，分别在的边，点在线段上，且，EF∥AB． (1)求证：； (2)若平分，，求． 10．如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AC于点E． （1）若∠A＝45°，∠BDC＝70°，求∠CED的度数； （2）若∠A－∠ACD＝34°，∠EDB＝97°，求∠A的度数． 题型五 三角形内角和定理与折叠 1．如图，已知，将沿折叠，使得点B落在边上的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点为边上一点，将沿着直线对折得到，点的对应点为点．若，则的度数为 ． 3．如图，将沿折叠，，则 度． 4．如图，将沿，翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则等于 . 5．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 6．如图，把沿对折，叠合后的图形如图所示．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，和是分别沿着，边翻折形成的，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，中，，点F是边上一点，点E在边上运动，将沿直线翻折得到，连接，当时，则 ． 9．如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ． 10．如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，若，则的度数为 ． 11．如图，在中，，是斜边的中点，将沿直线折叠，点落在点处，如果恰好与垂直，则 °． 12．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CEF=54°，则∠AED的度数是（　　）    A．56° B．63° C．68° D．76° 13．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，则图中与之间的数量关系为 ． 题型六 三角形内角和定理与全等三角形 1．如图，，点B、C、D在同一条直线上，点E在上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，的延长线交于点．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，点在上，点在上，，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，若≌，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知，，，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 8．如图，在△中，，，△与△关于直线对称，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，，，，则 ． 10．如下图，已知，，，B，D，E三点共线．试说明：． 题型一 三角形内角和定理与角分垂模型 1．如图，在中，是边上的高，是的角平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，平分，于点D，于点F．求的度数． 3．如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G． （1）求∠AGF的度数； （2）求∠EAD的度数． 4．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 5．如图，在△ABC中，AE是BC边上的高，AD是角平分线，∠B＝42°，∠C＝68°． ①求∠DAE的度数； ②若∠B＝α，∠C＝β（α＜β），用含α，β的代数式表示∠DAE．（直接写出结论） 6．如图，是的角平分线，E为上一点，于点F，已知，． (1)如图①，若点E与点A重合，求的度数； (2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数； (3)如图③，若点E在的延长线上，此时的度数是否为定值？请说明理由． 题型二 双内角平分线，双外角平分线，一内一外角平分线模型 1．如图，在中，，分别平分，，平分，交的延长线于点，记，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，和分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线．若，则为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，点C，D分别在射线，上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． (1)如图1，若，当时，直接写出的度数； (2)如图2，若，当点C，D在射线，上任意移动时（不与点O重合，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出的度数； (3)如图3，设的度数为n，当点C，D在射线，上任意移动时（不与点O重合），你能求出的度数吗？请用含n的代数式表示，写出你的解答过程． 4．如图，的两条内角平分线相交于点，两条外角平分线相交于点．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．如图1，在中，，的角平分线交于点O，则． 如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，则，则 ． 根据以上阅读理解，如图3、猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ． 6．如图，在中，，分别是，的外角平分线， (1)若，，那么___________． (2)若，求的度数用含α的式子表示）． 7．如图，平分，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 8．问题情境： 如图1，在中，和的平分线交于点． (1)探索发现： 若，则的度数为________；若，则的度数为________． (2)猜想证明： 猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)拓展应用： 如图2，在中，和的平分线交于点，和的平分线交于点，直接写出与之间的数量关系． 9．如图，和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 10．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 11．如图①，在中，与的平分线相交于点P． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系； (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数是 ． 12．如图，在中，的平分线与的平分线相交于点P，的外角平分线与的外角平分线相交于点Q． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)直接写出与的数量关系为____________． 13．【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，与分别为的两个外角，求证：． 【推理证明】 (1)补全证明过程． 证明：与分别为的两个外角， _____，_____ _____ ， ． (2)如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则的大小为_____度． (3)如图③，在中，分别为外角，的平分线，写出与之间的数量关系，并说明理由． 14．如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 1．（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 2．已知线段AB与CD相交于点O，连接AD，BC．    (1)如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C； (2)请利用（1）的结论探索下列问题： ①如图2，作AP平分∠DAB，交DC于点M，交∠BCD的平分线于点P，PC交AB于点N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大小； ②如图3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP∠BAD，∠BCP∠BCD，试探索α，β，γ之间的数量关系，并说明理由． 3．【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”、例如：在中，，，则为“二倍角三角形”． 【理解】若为“二倍角三角形”，，则这个三角形中最小的内角为______； 【应用】已知是“二倍角三角形”中最小的内角，通过计算确定的最大取值； 【拓展】如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点G，且，当是二倍角三角形，直接写出的度数． 4．（1）【问题情境】已知如图1：，求证：． 证明：过点作（过直线外有且只有一条直线与已知直线平行） （请按照上述思路继续完成证明过程）        图1 （2）【尝试运用】如图，若，且经过点，，，求（用代数式表示）．            图2 （3）【拓广探索】如图3，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点．若，求的度数．           图3 5．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”， （1）观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点，则_______°； ②如图3，平分平分，若，请直接写出的度数_________（用含和的式子表示）； ③如图4，的12等分线相交于点，若，求的度数． 6．在△ABC中，∠C>∠B．如图①，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC． （1）如图①，∠B=30°，∠C=40°，则∠DAE= ． （2）如图①，∠B=40°，∠C=80°，则∠DAE= ． （3）由（1）（2）能猜想出∠DAE与∠B、∠C之间的关系是什么？并说明理由． （4）如图②，AE平分∠BAC，F为AE上的一点，且FD⊥BC于点D，这时∠EFD与∠B、∠C有何数量关系？请说明理由． （5）如图③，AE平分∠BAC，F为AE延长线上的一点，FD⊥BC于点D，请你写出这时∠EFD与∠B、∠C之间的数量关系(只写结论，不必说明理由)． 7．如图，在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到． (1)如图1，若点落在上，则_____； (2)如图2，当点落在的下方时，设与相交于点．若，试说明； (3)若点在边上，将沿直线翻折得到，使射线与射线相交于点，若是轴对称图形，直接写出的度数． 8．已知点分别是的边上的任意一点，将的一角折叠，使点落在点的位置，折痕为． (1)当点落在内的点的位置时．    ①如图1，若∥BC，求证：． ②如图2，、与之间的数量为______； (2)当点落在外的点的位置时，若，    ①如图3，请探究与的数量关系为______； ②如图4，连接，若，，则______． (3)若（），在折叠过程中，当直线时，的度数为______．（自己画图作答）    9．我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合） （）的度数为________，________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 10．综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1所示，在中，是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 【简单应用】 （2）如图2所示，在中，，延长至，延长至，已知的平分线与的平分线及其反向延长线交于，求的度数． 【变式拓展】 （3）如图3所示，四边形的内角与外角的平分线交于点．已知，，请直接写出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 三角形内角和定理 题型一 三角形内角和定理的证明与简单应用 1．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 2．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理将已知条件进行代换是解题的关键． 利用三角形内角和定理，将给定条件代入即可求解． 【详解】∵ （三角形内角和定理），（已知）， ∴， 即， ∴． 故选：A． 3．已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 【答案】C 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． 4．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理. 分情况讨论这个的角是顶角还是底角． 【详解】解：若的角是顶角，则这个等腰三角形的顶角为； 若的角是底角，则顶角是； 综上所述， 这个等腰三角形的顶角为或． 故选：D． 5．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 【详解】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 6．在中，，，则这个三角形是 三角形（填“锐角”，“直角”或“钝角”）． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理应用，三角形形状的判断．根据已知条件，利用三角形内角和定理，先求出的度数，再求出的度数，根据角度判断三角形的形状即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 7．如图，已知小岛在基地的南偏东方向上，与基地相距10海里，货轮在基地的南偏西方向，在小岛的北偏西方向上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方向角的计算，三角形内角和定理，由题意可得，，，，由平行线的性质可得，求出，再由三角形内角和定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 由题意可得：，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图， ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解题关键． 延长、交于点G，通过三角形外角的性质，将所求的角度之和问题转化成两个三角形的内角和问题． 【详解】解：如图，延长、交于点G，设与交于点H，与交于点I， ∵是的外角， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵三角形内角和为， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．课堂回顾 在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理． 已知：如图1，． 求证：． 下面是小明与小颖的想法． 小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）．下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据． 证明：过点A作直线，则 ，（______） ，（平角的定义） ．（______） 小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由． 【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；可行，过程见解析 【分析】本题考查三角形内角和的证明，平行线的性质与判定；小明的想法逐步分析前后步骤之间的关系，再填上理由即可；小颖的想法由可得，即可得到，等量代换以后得到． 【详解】解：小明的想法证明过程如下： 证明：过点A作直线，则 ，（两直线平行，内错角相等） ，（平角的定义） ．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换； 小颖的想法可行． 证明：如图，作， ∴， ， 即， ． 10．若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系． （1）如图1，∠A与∠B的等量关系是　 　；如图2，∠A与∠B的等量关系是　 　；对于上面两种情况，请用文字语言叙述：　 　． （2）请选择图1或图2其中的一种进行证明． 【答案】（1），如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或者互补；（2）见解析 【分析】（1）根据对顶角相等，等角的余角相等即可求得，连接，根据三角形内角和定理即可证明；根据结论即可用文字语言叙述； （2）方法同（1）． 【详解】（1）如图1， ， 如图2，连接 ， 即 文字语言叙述：如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或者互补； 故答案为：，如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或者互补； （2）选择图1，证明如下， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，同位角相等，等角的余角相等，掌握以上知识是解题的关键． 题型二 三角形的外角及其性质 1．如图，是的一个外角，若，，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算． 【详解】解：，， ． 故选：B． 2．如图，和都是的外角，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质．根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得到，再利用求出，即可解题． 【详解】解： 和都是的外角， ， ， ， 故选：B． 3．如图，在中，点在边上，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，由外角性质可得，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握三角形的外角性质与三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：． 4．如图，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角性质，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，且， ∴， 故选：B． 5．将一副三角尺按如图所示的位置摆放(斜边与直角边重合)，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、外角定理，找到外角是解题的关键． 首先根据三角板的度数，得到对应角的度数，再利用外角定理求得的度数即可． 【详解】解：如解图，设与交于点E， 根据题意可知，，，， ∴， 在△AEB中，， 故选：C． 6．一副三角板如图所示方式摆放在一起，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，先根据题意求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， 由题意得：， 则， 故选：D． 7．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练掌握角平分线、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 先利用角平分线得到相关角的度数，再结合三角形外角性质求出． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵平分的外角，， ∴, ∵是的外角, ∴, ∴． 故选：． 8．如图，，点A、B分别在、上运动（不与点O重合），的平分线的反向延长线与的平分线交于点C，在A，B的运动过程中，的度数（    ） A．变大 B．变小 C．等于 D．等于 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的外角性质；设，，由角平分线的定义得，，利用外角的性质得，再利用即可求出. 【详解】解：设，， ∵平分，平分， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴. 故选：C. 9．如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，由折叠可得，进而由三角形的外角性质可得，，据此即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为，则顶角的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据题意，可先画出简单示意图，根据等腰三角形的特殊性，可分为两种情况：（1）顶角为锐角（2）顶角为钝角；分别利用三角形的内角和定理和三角形的外角与内角的关系，据此解答．解题的关键是理解：有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，两腰夹角叫做等腰三角形的顶角． 【详解】解：（1）当顶角是锐角时，如图， ∵是的高线， ∴， ∵， ∴， 即当顶角是锐角时，顶角的度数是；    （2）当顶角是钝角时，如图， ∵为的高线， ∴， ∵， ∴， 即当顶角是钝角时，顶角的度数是， 综上所述，等腰三角形的顶角为或． 故选：C．    11．如图所示，，，，则 ． 【答案】/76度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，通过延长交于点，利用三角形外角的性质，逐步推导得出的度数． 【详解】解：延长交于点． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，在中，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的定义和性质，设，由三角形外角的定义和性质可得出，再根据已知条件进一步得出，最后根据三角形内角和定理列出关系式求解即可． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）依据题意，由是的一个外角，则，故，又是的一个外角，则，又，故，可得，结合，从而，最后可得，进而可以得解； （2）依据题意，类似（1），结合，，从而可以判断得解； （3）依据题意，结合（1）（2），设，类似（2）分析判断可以得解． 本题主要考查了三角形内角和定理、列代数式、三角形的外角性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【详解】（1）解：是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 由题意，设， 是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 14．一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于 【定理证明】 （1）小红的证明思路是：如图1，在中，过点A作，再利用平行线的相关知识来证明：．请按照小红同学的思路继续完成证明过程； 【定理应用】 （2）如图2，若，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明及三角形外角的性质． （1）根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可证明结论； （2）延长交于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ； （2）解：如图，延长交于E， 由三角形的外角性质得，， ∴， ∵，， ∴． 题型三 三角形内角和定理与角平分线和垂线 1．如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的定义，熟知三角形的内角和等于是解题的关键． 先根据角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，BD平分，，，则图中度数为的角除外还有 ． 【答案】， 【分析】本题考查了角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键． 根据三角形的内角和定理可求出，再由平分结合三角形内角和定理，计算其他角的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴图中度数为的角除外还有，． 故答案为：，． 3．如图，中，由尺规作图痕迹得到的射线交于点．若，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了作角平分线、三角形内角和定理的应用，先根据三角形内角和定理求得，根据作图可得是的角平分线，得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 根据作图可得是的角平分线， ∴， ∴ 故答案为：． 4．如图，在中，平分，于点E，若，，则的度数为 ． 【答案】53°/53度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识，解题关键是牢记相关概念．本题先求出，再利用角平分线的定义求出后即可求解． 【详解】解：∵于点E， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 故答案为： ． 5．如图，在中，．用尺规作图在内部作出一个角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图作角平分线，与角平分线有关的三角形内角和，三角形外角的性质，由作图痕迹可得、分别平分，，得到，，最后根据求解即可． 【详解】解：如图， 由作图痕迹可得、分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．如图，在中，，的平分线相交于点O， 、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线，三角形的高，三角形的内角和以及外角的性质等，根据三角形高的定义，三角形外角的性质求出，再根据三角形高的定义，三角形内角和定理求出，，根据三角形角平分线的定义可求出，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，是高， ∴，即， 又是高， ∴， ∴， ∵，的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ， ∴， 故选：C． 7．如图，在中，和分别平分和，和分别平分和，，下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求得、和成为解题的关键． 先根据角平分线的定义、三角形内角和定理求得、和，然后代入各选项判断即可． 【详解】解：∵和分别平分和，， ∴． ∴． ∵和分别平分和， ∴． ∴． A． ，故A选项不符合题意； B．，故B选项不符合题意； C．，故C选项不符合题意； D． ，故D选项符合题意． 故选D． 8．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理、轴对称的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 连接．首先求出，再求出，由折叠可知：，，然后求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9．如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形外角的性质． （1）利用三角形内角和定理求解即可； （2）利用垂直的定义结合三角形内角和定理求解即可； （3）根据角平分线的定义结合三角形外角的性质可求出的度数，再利用邻补角的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵是的高，， ∴； （3）解：∵是的角平分线，， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 10．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 【答案】(1)的度数是 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． （2）解： 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴， 即． 11．在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线，直角三角形的两个锐角互余． 由三角形的内角和定理，结合已知可得的度数，从而可得和的度数，相减即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 12．如图，在中，于，平分． (1)若，，求的度数 (2)若，则___________． (3)若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和互余进行计算； （2）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出的度数等于与差的一半解答即可； （3）根据（2）中所得解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵于 ∴ ， ∵平分 ∴ ； （2）解：， ， 平分， ， ， ， 而， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：由（2）可知， ， ． 题型四 三角形内角和定理与平行线 1．如图，已知直线，，，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理，理解“两直线平行，内错角相等”及三角形内角和为是解题关键． 由“两直线平行，内错角相等”可得，然后根据三角形内角和定理计算求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 2．如图，已知直线，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线性质，以及平行线性质，根据角平分线性质得到，根据平行线性质得到，，再进行等量代换，即可解题． 【详解】解： 平分， ， 直线， ，， ， ， ， 故选：D． 3．如图，，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设交于点，交于点，由题意可得三角形是直角三角形，根据想内角和定理得出，根据平行线的性质以及对顶角相等即可求解． 【详解】如图，设交于点，交于点， 由题意可得三角形是直角三角形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4．数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点A、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故选：C． 5．将一副直角三角板如图放置，已知，，，则为（    ）    A．45° B．60° C．90° D．105° 【答案】D 【分析】由直角三角形的性质得出，，由平行线的性质得出，再由三角形内角和定理即可求出∠CGD的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 6．将一副三角板如图摆放，顶点在边上，顶点在边上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，内错角相等解得再结合三角板角的性质解答即可． 【详解】解： 在中， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角板角的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 7．如图，在中，．若，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA=90°，根据平行线的性质得出∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE=180°，即可求出答案． 【详解】解：∵在△ACB中，∠C=90°， ∴∠CAB+∠CBA=90°， ∵BD∥AE， ∴∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE=180°， ∴∠DBC=180°-90°-70°=20°． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补． 8．如图示，已知，平分，平分． (1)与有什么数量关系？请说明理由． (2)与平行吗？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解 (2)，理由见解 【分析】（1）根据，得到，由三角形内角和定理即可得出结论； （2）由（1）知，根据角平分线的定义得到，进而得到，依据同旁内角互补，两直线平行即可得出结论． 【详解】（1）， 证明： ， ， ， ； （2）， 证明：由（1）知， 平分，平分， ， ，即， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，三角形内角和定理，垂直的定义，角平分线的性质，理解相关知识是解答关键． 9．如图，点，分别在的边，点在线段上，且，EF∥AB． (1)求证：； (2)若平分，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质； （1）根据平行线的性质得出，由，得到，证明； （2）利用角平分线得出，，由，得到，进而由，，得出，由，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵， ∴ ∴， （2）∵平分， ∴， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 10．如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AC于点E． （1）若∠A＝45°，∠BDC＝70°，求∠CED的度数； （2）若∠A－∠ACD＝34°，∠EDB＝97°，求∠A的度数． 【答案】（1）130°；（2）55° 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠ACB，再求出∠ECD，∠EDC，可得结论； （2）设∠A=x，则∠ACD=x-34°，根据∠EDB=∠A+∠AED，构建方程求解即可． 【详解】解：（1）∵∠CDB=∠A+∠ACD， ∴∠ACD=70°-45°=25°． ∵CD平分∠ACB， ∴∠DCB=∠ACB=25°． ∵DE//CB， ∴∠EDC=∠BCD=25°， ∴∠DEC=180°-25°-25°=130°； （2）设∠A=x，则∠ACD=x-34°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB=2x-68°． ∵DE//CB， ∴∠AED=∠ACB=2x-68°． ∵∠EDB=∠A+∠AED， ∴97°=x+2x-68°， ∴x=55°， ∴∠A=55°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 题型五 三角形内角和定理与折叠 1．如图，已知，将沿折叠，使得点B落在边上的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先由三角形内角和定理得到，再由折叠的性质得到，利用三角形外角的性质证明，进而求出，则． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选；D． 2．如图，在中，，点为边上一点，将沿着直线对折得到，点的对应点为点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 依据角的和差关系即可得到的度数，再根据轴对称的性质即可得到的度数，进而得到的度数． 【详解】解：，， ， 根据轴对称的性质可知：， ， 故答案为：． 3．如图，将沿折叠，，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理的应用；根据三角形内角和定理以及折叠的性质可得，进而根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴ ∴， 故答案为：． 4．如图，将沿，翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则等于 . 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，折叠的性质，由折叠的性质可得，，可得，由三角形内角和定理可得，再由三角形外角的性质推出，则，即可求的度数． 【详解】解：将沿，翻折，顶点，均落在点处， ，， ， ， ， 连接并延长交于点M， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 5．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得，，， ∴， ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 6．如图，把沿对折，叠合后的图形如图所示．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可得，根据三角形的内角和可得，，再根据四边形的内角和为，可得，即可求解． 【详解】解：∵沿对折， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等，三角形的内角和为． 7．如图，和是分别沿着，边翻折形成的，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，可求得和的度数，根据图形折叠的性质，可求得和的度数，根据即可求得答案． 【详解】∵，， ∴，，． ∵和是分别沿着，边翻折形成的， ∴，． ∴，． ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质，牢记轴对称图形的性质是解题的关键． 8．如图，中，，点F是边上一点，点E在边上运动，将沿直线翻折得到，连接，当时，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了图形的翻折，三角形内角和定理，解题关键是分情况讨论． 如图1，由，，得，，得，即可得；如图2，同理得． 【详解】解：如图1，由，， 得，， 得， 得； 如图2，同理，， 得， 得； 故答案为：或． 9．如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，翻折的性质，分类讨论的数学思想，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． 分类讨论，当时和当时，分别利用翻折的性质即可求解． 【详解】解：当时，则， 根据翻折的性质得，； 当时，， ， 根据翻折的性质得，； 故答案为：或． 10．如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，若，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理等知识，根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，，再根据平行线的性质得到，求出，根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，在中，，是斜边的中点，将沿直线折叠，点落在点处，如果恰好与垂直，则 °． 【答案】30 【分析】根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则 ，从而求得答案． 【详解】解：如图， 在中，， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴， 将沿直线折叠，点落在点处， 设度， ∵， ∴， 如果恰好与垂直， 在中，， 即， 解得， ， ∴， ∵， ∴， 即 故答案为：30 【点睛】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化． 12．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CEF=54°，则∠AED的度数是（　　）    A．56° B．63° C．68° D．76° 【答案】B 【分析】根据领补角先求出，然后根据翻折可知进而求解． 【详解】解： 由翻折可知 故选：B． 【点睛】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，是解决问题的关键． 13．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，则图中与之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和性质，折叠性质，先得出，根据折叠得，，再结合邻补角互补。对顶角相等，得，化简即可作答． 【详解】解：∵该图形是长方形 ∴ ∵把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置 ∴， 如图： ∵， ∴ ∴ 解得 与之间的数量关系为 故答案为： 题型六 三角形内角和定理与全等三角形 1．如图，，点B、C、D在同一条直线上，点E在上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据题意找出图形中的角度关系是解题关键．根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，得到，再根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ， 故选：B． 2．如图，，的延长线交于点．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理，根据全等三角形的对应角相等得到，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．如图，点在上，点在上，，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理及外角的性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．先设，，再根据全等三角形的性质得，再根据外角的性质，进一步可得，最后根据三角形的内角和定理求出的值，进而求解得到的度数． 【详解】解：设，则， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ． 故选：A． 4．如图，若≌，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形的内角和，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据全等三角形的性质和三角形的内角和解题即可． 【详解】解：∵≌， ∴， 又∵，， ∴． 故选：D． 5．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理；全等三角形的对应角相等，得，在中即可求出. 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中. 故选：C. 6．如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，首先求出，然后得出，进而求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7．如图，已知，，，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．先根据三角形内角和定理，求出，再利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 8．如图，在△中，，，△与△关于直线对称，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：由题知， ，且， ， ． 又△与△关于直线对称， ，， ． 故选：C． 9．如图，，，，则 ． 【答案】/14度 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可计算． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：． 10．如下图，已知，，，B，D，E三点共线．试说明：． 【答案】说明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 先通过证明，可得，，通过三角形内角和为结合邻补角的性质可得，即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ，． ，， ． 题型一 三角形内角和定理与角分垂模型 1．如图，在中，是边上的高，是的角平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题． 先根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理计算出，然后由即可计算度数． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴ ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，在中，，，平分，于点D，于点F．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形角平分线、中线和高等知识点，能熟记三角形内角和定理等于和直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． 在中，根据三角形内角和定理，可求得的度数，由平分，根据角平分线的定义，可求得的度数，由，根据直角三角形的性质，可求得的度数，继而求得的度数，则可求得的度数． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G． （1）求∠AGF的度数； （2）求∠EAD的度数． 【答案】（1）60°；（2）20° 【分析】（1）由题意根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （2）由题意根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，进而根据三角形的内角定理即可得到结论． 【详解】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠BAE＝∠BAC＝30°， ∵FG⊥AE， ∴∠AHG＝90°， ∴∠AGF＝180°﹣90°﹣30°＝60°； （2）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠AED＝∠B+∠BAE＝40°+30°＝70°， ∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝20°． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理与垂直的定义以及角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 4．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 【答案】(1)的度数是 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． （2）解： 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴， 即． 5．如图，在△ABC中，AE是BC边上的高，AD是角平分线，∠B＝42°，∠C＝68°． ①求∠DAE的度数； ②若∠B＝α，∠C＝β（α＜β），用含α，β的代数式表示∠DAE．（直接写出结论） 【答案】（1）13°（2） 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，求出∠DAC，根据三角形内角和定理求出∠AC，代入∠DAE＝∠DAC−∠EAC求出即可． （2）同（1）的方法即可求解． 【详解】解：（1）∵∠B＝42°，∠C＝68°， ∴∠BAC＝180°−∠B−∠C＝70°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAC＝∠BAC＝35°， ∵AE是BC边上的高， ∴∠AEC＝90°， ∵∠C＝68°， ∴∠EAC＝180°−∠AEC−∠C＝22°， ∴∠DAE＝∠DAC−∠EAC＝35°−22°＝13°． （2）∵∠B＝α，∠C＝β， ∴∠BAC＝180°−∠B−∠C＝180°−α−β， D是∠BAC的平分线， ∴∠DAC＝∠BAC＝90°−α−β， AE是BC边上的高， ∴∠AEC＝90°， ∵∠C＝β， ∴∠EAC＝180°−∠AEC−∠C＝90°−β， ∠DAE＝∠DAC−∠EAC＝（90°−α−β）−（90°−β）＝． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力． 6．如图，是的角平分线，E为上一点，于点F，已知，． (1)如图①，若点E与点A重合，求的度数； (2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数； (3)如图③，若点E在的延长线上，此时的度数是否为定值？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义等，解题的关键是掌握三角形内角和定理，即任意一个三角形的三个内角和为180度． （1）根据三角形内角和定理求出和，再利用角平分线的定义和角的和差关系求解； （2）根据三角形内角和定理先求，再求，然后利用三角形外角的性质求解即可； （3）先根据对顶角相等得出，再利用直角三角形两锐角互余求解． 【详解】（1）解：∵，，， ，， 平分， ， ； （2）解：因为，， 所以． 因为AD平分， 所以， 所以， 所以， 所以． （3）解：的度数为定值．理由如下： 由（2）可知， 所以， 所以． 题型二 双内角平分线，双外角平分线，一内一外角平分线模型 1．如图，在中，，分别平分，，平分，交的延长线于点，记，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的定义及性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键； 根据角平分线的定义得，，根据三角形外角的性质得，可判断选项A；根据角平分线的定义得，，由即可判断选项，，； 【详解】解：为外角的平分线，平分， ，， 又是的外角， ， ，故选项A不符合题意； ，分别平分，， ，， ， ， 故选项C、D不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 2．如图，和分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线．若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是规律探索问题，考查了三角形外角的性质，与角平分线有关的内角和问题；利用三角形内角和、三角形外角的性质及角平分线的定义可得，同理得，，……，由此规律可得的结果． 【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ∴； ∵，， ∴， ∴； 同理：，，……，； 故选：B． 3．如图，已知，点C，D分别在射线，上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． (1)如图1，若，当时，直接写出的度数； (2)如图2，若，当点C，D在射线，上任意移动时（不与点O重合，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出的度数； (3)如图3，设的度数为n，当点C，D在射线，上任意移动时（不与点O重合），你能求出的度数吗？请用含n的代数式表示，写出你的解答过程． 【答案】(1) (2)不变化， (3)，过程见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质，代数式表示式，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）利用三角形内角和定理和平角定义得到，，再根据角平分线定义和三角形外角性质即可求得的度数； （2）利用三角形内角和定理得到，根据角平分线定义得到，，最后结合三角形外角性质和等量代换即可求得的度数； （3）解题方法与（2）类似． 【详解】（1）解： ，， ，， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ， ； （2）解：不变化， ， ， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ， ； （3）解 ， ， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ， ． 4．如图，的两条内角平分线相交于点，两条外角平分线相交于点．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的角平分线和三角形内角和定理，首先在中求出的值，由是的角平分线，求出的值，进而求出的值，再根据是的角平分线，可求出的值，最后在中即可求出的值． 【详解】解：， ， 又是的角平分线， ， ， 是的角平分线， ， ， 故选：A． 5．如图1，在中，，的角平分线交于点O，则． 如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，则，则 ． 根据以上阅读理解，如图3、猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算等知识．如图2，根据三等分线定义和三角形内角和得到，进而得到再根据三角形内角和定理得到，化简即可得到；如图3，求出，，，，问题得解． 【详解】解：如图2，∵中，的两条三等分角线分别对应交于，， ∴ ， 如图3， ， ， ， ……， ∴ ． 故答案为：， 6．如图，在中，，分别是，的外角平分线， (1)若，，那么___________． (2)若，求的度数用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质及平角的定义． （1）利用平角的定义及角平分线的性质可得出，，再通过三角形内角和定理求得结果； （2）利用三角形内角和定理，角平分线的性质得出角度之间的等量关系，经过计算即可得出的表达式． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又∵，分别是，的外角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 7．如图，平分，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，作出正确的辅助线是解决本题的关键． （1）延长交于点，运用三角形外角的性质进行求解即可； （2）连接，设，，再分别表示出和，结合即可求解． 【详解】（1）解：延长交于点， 则 ； （2）解：连接，如图所示： 设，， ∴ ， ， ∴ ， ． 8．问题情境： 如图1，在中，和的平分线交于点． (1)探索发现： 若，则的度数为________；若，则的度数为________． (2)猜想证明： 猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)拓展应用： 如图2，在中，和的平分线交于点，和的平分线交于点，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点， （1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行求解即可； （2）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行推导即可； （3）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行推导即可； 熟练掌握角平分线的定义，三角形的内角和定理是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ， ， ∵， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ， ， 故答案为：，； （2），理由如下： 分别平分， ， ，， ， ； （3）平分平分， ， ， 同理可得，， ∴． 9．如图，和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． 利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，从而可得，代入数据可得：，根据角平分线定义，得出，，然后利用“8字形”的关系式结合角平分线列式整理即可得解． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：． 10．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 【答案】(1)见解析 (2)①(答案不唯一)；②；③ 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据“8字型”的定义判断即可； ②由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ③根据角平分线的定义可得，，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）解：①以线段为边的“8字型”有：和，和，和； 以点为交点的“8字型”有：和，和，和，和； 故答案为：； ②∵在和中，， 在和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∴； ③、、之间的关系为． 理由如下： 如下图，    ∵和分别平分和， ∴，， 在和中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴、、之间的关系为． 11．如图①，在中，与的平分线相交于点P． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系； (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数是 ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或或 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义． （1）根据角平分线定义及三角形内角和定理得，则，再根据可得的度数； （2）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得，之间的数量关系； （3）先求出，根据得，然后分四种情况讨论如下：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列方程计算即可． 【详解】（1）解：在中，， 与的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，之间的数量关系是：，理由如下： ，，， ， 点是和的角平分线的交点， ， ， ， 故，之间的数量关系是：； （3）解：平分，平分，， ，， ， 即， ， 由（2）可知：， ， ， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么有以下四种情况： ①当时，则， ， 此时， ②当时，则， ，则， 此时， ③当时，则， ， 此时， ④当时，则， ， ， 此时， 综上所述，的度数是或或或， 故答案为：或或或． 12．如图，在中，的平分线与的平分线相交于点P，的外角平分线与的外角平分线相交于点Q． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)直接写出与的数量关系为____________． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 (3) 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义、三角形内角和定理和三角形外角的应用，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键． （1）根据三角形内角和可得，再根据角平分线的定义可得，最后运用三角形内角和定理即可求解； （2）根据三角形外角可得，，根据角平分线的定义可得，最后运用三角形内角定理即可求解； （3）设，综合运用三角形角平分线的定义、三角形内角和定理和三角形外角的应用并结合前两问即可求解． 【详解】（1）解：在中， ， ∵、分别平分、， ∴ ， 在中， ； （2）解：由图可得，，， ∵、分别平分和， ∴， ， ∴ ， ∴在中， ； （3）解：设， 在中，， ∵、分别平分、， ∴ ， 在中， ， ∵，， 又∵、分别平分这两个外角， ∴ ， 在中， ， ∴． 故答案为：． 13．【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，与分别为的两个外角，求证：． 【推理证明】 (1)补全证明过程． 证明：与分别为的两个外角， _____，_____ _____ ， ． (2)如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则的大小为_____度． (3)如图③，在中，分别为外角，的平分线，写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，． (2)50 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解答的关键． （1）由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； （2）由进行变形为即可解答； （3）由角平分线的定义得、，再由三角形内角和定理得出，然后把代入求解即可． 【详解】（1）证明：与分别为的两个外角， ，， ， ． 故答案为：，，． （2）解：∵，， ∴． 故答案为：50． （3）解：，理由如下： ∵分别为外角，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 14．如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ， ∵， ； （3）延长至F，   为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 1．（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 【答案】（1）；（2）（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）由三角形内角和定理可求得，根据角平分线的定义可求得，在中利用三角形内角和定理可求得； （2）方法同（1）； （3）根据三角形的内角和等于列式整理即可得． 【详解】解：（1）∵，, ∴， ∵点O是和平分线的交点， ∴， ∵， ∴； 同法，在中， ， 故答案为：；； （2） 理由如下：在中， ； 故答案为：； （3）类似（2），可得在中， ； 故答案为：． 2．已知线段AB与CD相交于点O，连接AD，BC．    (1)如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C； (2)请利用（1）的结论探索下列问题： ①如图2，作AP平分∠DAB，交DC于点M，交∠BCD的平分线于点P，PC交AB于点N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大小； ②如图3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP∠BAD，∠BCP∠BCD，试探索α，β，γ之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)①；②4γ＝3α+β． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （3）根据已知条件得到各角的数量关系，然后列方程即可得到结论． 【详解】（1）∵，，， ∴； （2）①如图2，    ∵平分，平分 ， ∴ 由（1）得：， ， 两式相加得：， 即：， ∴， ②如图3，    设，， ∵， ∴，， 由（1）得：，， 即， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，对顶角相等的性质，解此题的关键是用整体思想求角度计算． 3．【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”、例如：在中，，，则为“二倍角三角形”． 【理解】若为“二倍角三角形”，，则这个三角形中最小的内角为______； 【应用】已知是“二倍角三角形”中最小的内角，通过计算确定的最大取值； 【拓展】如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点G，且，当是二倍角三角形，直接写出的度数． 【答案】[理解]20；[应用] ；[拓展] 或或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，掌握分类讨论思想、方程思想、数形结合思想成为解题的关键． [理解]设的最小，则，然后根据三角形的内角和即可解答； [应用]由是“二倍角三角形”的最小角，不妨假设，则，，由三角形的内角和得，由此可得出，进而解得，据此即可解答； [拓展]先设，再用的代数式表示出，然后根据“二倍角三角形”的定义进行分类讨论即可解答． 【详解】解：[理解] 设的最小，则， ∵，， ∴，解得：． 故答案为：20． [应用] 不妨假设，则，， ∵， ∴，即：， ∵， ∴，解得：， ∴的最大取值为． [拓展] 设， ∵为的平分线， ∴， ∵是是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得：， 又∵是二倍角三角形， ∴有以下六种情况： ①当时，则，解得：， ； ②当时，则，解得：，不合题意，舍去； ③当时，则，解得：，不合题意，舍去； ④当时，则，此方程无解； ⑤当时，则，解得：， ∴； ⑥当时，则，解得：， ∴． 综上所述：当或或时，是二倍角三角形． 4．（1）【问题情境】已知如图1：，求证：． 证明：过点作（过直线外有且只有一条直线与已知直线平行） （请按照上述思路继续完成证明过程）        图1 （2）【尝试运用】如图，若，且经过点，，，求（用代数式表示）．            图2 （3）【拓广探索】如图3，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点．若，求的度数．           图3 【答案】（1）见解析；（2）；（3）20° 【分析】（1）过A点作DE∥BC，根据平行线的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，根据平角的定义得到结论； （2）过F作FM∥BC，设，，可得，求出，根据计算即可； （3）设，，根据DE∥BC结合三角形外角的性质求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作， ∵， ∴，， ∵， ∴； （2）设，，故，， 过点作. ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）设，． ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． 5．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”， （1）观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点，则_______°； ②如图3，平分平分，若，请直接写出的度数_________（用含和的式子表示）； ③如图4，的12等分线相交于点，若，求的度数． 【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，理由见解析；（2）①36；②；③55° 【分析】（1）结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C．连接AD并延长到点E，利用三角形的外角的性质求解即可． （2）①利用（1）中结论计算即可． ②图3中，设∠ADC=∠CDB=x，∠AEC=∠CEB=y，构建方程组解决问题即可． ③设∠ABD=x°，∠ACD=y°，构建方程组解决问题即可． 【详解】解：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C． 理由：连接AD并延长到点E． ∵∠BDE=∠BAD+∠B，∠CDE=∠CAD+∠C， ∴∠BDE+∠CDE=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C， ∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C． （2）①∵∠BXC=∠ABX+∠ACX+∠A=90°，∠A=54°， ∴∠ABX+∠ACX=36°． 故答案为36． ②如图3中，设∠ADC=∠CDB=x，∠AEC=∠CEB=y， 则有∠DCE=x+y+α，β=2x+2y+α， ∴∠DCE= 故答案为：． ③设∠ABD=x°，∠ACD=y°． 由题意可得：， 解得∠A=55°． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型． 6．在△ABC中，∠C>∠B．如图①，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC． （1）如图①，∠B=30°，∠C=40°，则∠DAE= ． （2）如图①，∠B=40°，∠C=80°，则∠DAE= ． （3）由（1）（2）能猜想出∠DAE与∠B、∠C之间的关系是什么？并说明理由． （4）如图②，AE平分∠BAC，F为AE上的一点，且FD⊥BC于点D，这时∠EFD与∠B、∠C有何数量关系？请说明理由． （5）如图③，AE平分∠BAC，F为AE延长线上的一点，FD⊥BC于点D，请你写出这时∠EFD与∠B、∠C之间的数量关系(只写结论，不必说明理由)． 【答案】（1）5°；（2）20°；（3）∠EFD=(∠C-∠B)；（4）∠EFD=(∠C-∠B)；（5）∠EFD=(∠C-∠B) 【分析】（1）根据三角形内角和求出的度数，再根据角平分线的性质求出，再运用三角形内角和和角的和差去求即可． （2）和（1）的方法一样． （3）根据角平分线的性质得到，再由三角形内角和得到，最后通过角的和差关系求出答案． （4）根据角平分线的性质和三角形内角和得到 ，运用三角形外角的性质得出 ，再根据三角形内角和求出结果． （5）根据（4）可以得出，再根据三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：（1），， ， AE平分， ， ， ， ， ． 故答案应为：． （2），， ， AE平分， ， 又， ， ， ， 故答案应为：． （3），理由如下： AE平分， ， ， ， ， ， ， ． （4），理由如下： ， ， ， AE平分， ， ， ， （5），理由如下： 由（4）可知：， ， ， ， ． 【点睛】主要考查三角形内角和，三角形外角的性质，角平分线的性质，角的和差关系，运用这些知识去解决问题． , 7．如图，在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到． (1)如图1，若点落在上，则_____； (2)如图2，当点落在的下方时，设与相交于点．若，试说明； (3)若点在边上，将沿直线翻折得到，使射线与射线相交于点，若是轴对称图形，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)、或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，轴对称图形的定义和性质，三角形的外角定理，平行线的判定，熟知折叠的性质和轴对称图形的性质是解题的关键． （1）先求出的度数，再由折叠的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出答案； （2）先求出的度数，再由折叠的性质求出的度数，再根据三角形的内角和定理和垂直的性质，得出即可证明结论； （3）一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是等腰三角形，据此可知中有两边相等，据此结合折叠的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解；∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：10； （2）证明：∵在中，，， ∴， 由翻折的性质可得， ∵，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：由折叠的性质可得， 如图所示，当时，是轴对称图形， ∴由轴对称图形的性质可得， ∵，， ∴， ∴； 如图所示，当时，是轴对称图形， ∴， ∴， 同理可得， ∴，即此种情况不存在； 如图所示，时，是轴对称图形， ∴， 同理可得， ∴； 如图所示，当时，是轴对称图形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为、或． 8．已知点分别是的边上的任意一点，将的一角折叠，使点落在点的位置，折痕为． (1)当点落在内的点的位置时．    ①如图1，若∥BC，求证：． ②如图2，、与之间的数量为______； (2)当点落在外的点的位置时，若，    ①如图3，请探究与的数量关系为______； ②如图4，连接，若，，则______． (3)若（），在折叠过程中，当直线时，的度数为______．（自己画图作答）    【答案】(1)①证明见解析；②； (2)①，理由见解析；②，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（1）①根据平行线的性质可知，再根据三角形的内角和定理即可解答；②根据折叠的性质及三角形的外角的性质即可解答． （2）①根据垂直的定义及三角形的外角的性质即可解答；②根据平行线的性质及三角形的外角的性质即可解答； （3）根据折叠的性质及三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）①证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②解：，理由如下： 由折叠的性质可知，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为； （2）①解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， 故答案为； ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴, 故答案为；    （3）解：∵，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为．    【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，垂直的定义，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 9．我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合） （）的度数为________，________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（），不是；（）说明见解析；（）或 【分析】（）根据，得到，求得，得到，进而根据“和谐三角形”的定义即可判断； （）由是的一个外角，得到，求出，，即得，进而根据“和谐三角形”的定义即可求证； （）由，，得到，可以证明，得到，进而由得到，即得，得到，再根据得到，最后根据是“和谐三角形”解答即可求解． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不是“和谐三角形”， 故答案为：，不是； （）∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是“和谐三角形”； （）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是“和谐三角形”， ∴或 ∵ ∴或． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 10．综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1所示，在中，是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 【简单应用】 （2）如图2所示，在中，，延长至，延长至，已知的平分线与的平分线及其反向延长线交于，求的度数． 【变式拓展】 （3）如图3所示，四边形的内角与外角的平分线交于点．已知，，请直接写出的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． （1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案； （2）先推导出，再推导出，进而可以求解； （3）延长，交于点G，可得，即可求解． 【详解】解：（1）如图， ∵点E是内角平分线与外角的平分线的交点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴； （2）如图， ∵，、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F， ∴由（1）可知，， ∴； ∴； （3）延长，交于点G， ∵，， ∴，， ∴． ∵四边形的内角与外角的平分线交于点 ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $