7.5 解直角三角形-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级数学下册（苏科版2012）

(-2,0),∴.OB=2.·点A的坐标为(1，√3)，∴AM=√3，课后拓展 OM1,在R△AOM中，∠AMO=90,品t∠AOM%9C解析：过点A作AM1BC于点M,过点D作DNFE 交FE的延长线于点N.“mB=油40- ,.AM= √3，.∠AOM=60°.由勾股定理得OA=2,∴.OA=OB, ∴∠OBA=∠BA0,∴∠BA0-∠A0M=号X60=30. AB·sm40=5sm40,S=7BC·AM=号×8X5sn40°= 20sin40°.：∠DEF=140°，.∠DEN=180°-140°=40°. 7.5解直角三角形 第1课时解直角三角形(1) sn∠DEN=n40-BDN=DE,s血40=8sn40 课堂演练 ∴S,=号EF.DN=2X5X8sim40°=20sin40,S,=S, 1.(1)csin A ccos A解析：，sinA=a,,a=c·sinA; S1:S2=1:1.10.C解析：四边形ABCD是矩形， cosA=名b=cosA. (2)btan A cos A 解析： ∴∠ADC=90,AC=BD,OA=OC=号AC,OB=OD= tanA=合，a=nA:osA=名，c 号BD,0C-OD,∠ODC-∠OCD,:∠EDC:∠EDA= cos A' 1:2,∠EDC+∠EDA=90°，∴.∠EDC=30°.DE⊥AC, (3)品A品A解折：amA-合，6-a品ArnA= ∠DEC=90°，.∠ECD=∠ODC=60°，.∠ODE=30°， 兰6=品2A解桥：mA=器-品-子 :0D=DE=25=4,AC=20D=8,.1.V5解析： c0s30° 3 2 AB=63D解析：如图，：∠A=5,osA=S, mA=片mDB=05,∠C=0,%=号瓷= ∴.AC=AB·cosA=m·cos35°. 0.5.BC=5,.DC=25,AC=3√5，∴.AD=AC-DC= 3√5-2√5=√5.12.30°解析：如图，过点A作AD⊥BC, 359 垂足为D.,AB=AC,.BD=DC.△ABC的周长为2十 厅AB+BD=1+县：AB=1,BD-号sB=器 ③ 4.B解析：由题知，sina=2,则名=c,故B选项符合题- sin a 1=2,心∠B=30,即底角为30 意，5.C解析：tamA=-号=3，∠A=60, 64解析：∠C=90,AC=3,0sA=号，∴S=号 B ∴.AB=5,∴.由勾股定理得BC=√AB-AC=√⑤2-32= 13.2或6解析：如图1，当点D在线段BC的延长线上时， ,AD是边BC上的高，∠ACD=45°，.CD=AD,在Rt△ADC 4.7.6解析：BC=4,mA=号-瓷AC=6. 中，由勾股定理得AC=CD十AD,又AC=22,.CD= 8①)：∠C-90,osA=号∴∠A=30,∠B=60,BC- AD-2,动B=品-停aB=2后在RIAABD中，庙 AB·smA=8Xsm30=8X号=4，AC=AB·sA=8X 勾股定理得BD=√AB-AD=√(2√5)2-22=4，∴，BC= BD-CD=4-2=2;如图2，当点D在线段BC上时，同理可 cos30°=8×5=45.(2∠C=90,a=6,b=32, 得BD=4,CD=2,∴.BC=BD十CD=4十2=6.综上所述，BC 的长为2或6. mA=号-源-9A==2a=26,/ 90°-∠A=60°.(3)：∠C=90°，∠A=60°，∴.∠B=90° ∠A=30,'c=83,simA=名，a=sinA=-83×sm60- 8w5×0号-12，：cosA-名，b=c0osA=8v5Xcos60= 图1 图2 2 14.(1)∠A=60°，∠C-90,∠B=30,tamA=6=3, 8vBX号=4g,(0rmB=名，amB=合2smB=u=36:a+6=5+3,a=3,b=5,c=2v3. mB万，么-名g-名g-号mA-号， (2)∠C=90,∠A+∠B=90°.，∠A-∠B=30,∴∠A= a 29 60,∠B=30.:sinB=sin30°=号，tamA=tam60°=3， ∴.∠A=45,又.∠C=90°，∴.∠B=45°.AC=√7，.BC= AC=√7，.AB=√2BC=√2X√7=√14. 2c,a=36.6+c=24,∴b=8,c=16,a=85. b= 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) 41- 15.(1)如图1，连接OP.AB是⊙0的直径，AB=12,OP= OA=}AB=6:4QLPA,m∠QPA-停，：∠PAQ=90, AM-2.在△CM中，血C0是-号AC-88 ∠QPA=30°.PQ与⊙O相切，∴.PQ⊥OP,∴∠OPQ=90°， ∴.∠OPA=∠OPQ-∠APQ=90°-30°=60°，∴.△POA是等 边三角形PA=0A=6洽最m30=号PQ M C 43,∴.0Q=√OP2+PQ=√62+(43)2=2√2I. 6.如图，过点C作CD⊥AB,垂足为D,∴，∠ADC=∠BDC (2)如图2，连接OP,则OP=OB=OA.·PQ∥AB,∴∠OPA=90°.：∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，.CD=BD.∠A= ∠BAP=∠QPA=30°，∴.∠OPQ=∠APQ+∠OPA=30°+ 30°，AC=2√3，.CD=√3，由勾股定理得AD=√AC-CD= 30°=60°，∠BOP=2∠BAP=60°，∴.△BOP是等边三角形， .PB=OP=OA.:∠APB=∠PAQ=90°，∴PB∥AQ,∴.四W(2W3)2-(W3)2=3,∴.BD=CD=3,.AB=AD+BD= 边形ABPQ是平行四边形，.PB=AQ,.OA=AQ.3+3. ,∠OAQ=∠BAP+∠PAQ=30°+90°=120°，.∠PQO= ∠A0Q=∠AQ0=×(180°-120)=30，∴os∠PQ0 c0s30°=3 2 130° 450 D (第6题) (第7题) 7.如图，过点A作AF⊥BC,垂足为F,则FC=AD=1.在 Rt△ABF中，∠B=30°，AB=2√3，.BF=AB·cosB=23· os30°=25X9=3,BC=BF+FC=3+1=4.在 2 图1 图2 第2课时解直角三角形(2) R△BCE中，：∠B=30,BC=4,CE=BC=7X4=2 课堂演练 课后拓展 1.B解析：设⊙O的半径为r,则2xr=4x,解得r=2,根据题8.B解析：如图，过点C作CHLAB于点H.在Rt△ACH中， 意可得，∠A0B=360=60.:OA=OB,△AOB是等边三 6 sim∠BAC=C是-CH-2 ACAB3· 角形，.∠OAB=60°，AB=2,.弦AB所对应的弦心距为OA· m60-停0A=,Saw=吉×2X万-原、2D B H 解析：如图，过点A作AD⊥BC,垂足为D.在△ABD中， AB=4,simB=∴AD=AB·simB=4X=3,∴△MBC 4 的面积为号BC·AD-号×5X3=5 (第8题) (第9题) 2 9.30 10 解析：如图，过点B作BE∥CD,分别过点A和点 B作BE和AE的垂线，垂足分别为M和N.,BE∥CD, ∴∠ABE=∠AOD.设小正方形的边长为a,则由勾股定理得 3.B解析：∠CAB=90°，AD⊥CB,∠CAD十∠BAD= AB=√3a)2+(4a)z=5a,BE=√a2+(3a)F=√10a. 90,∠C+∠CAD=90,∠BAD=∠CmC=,AD= :SAE=2BE·AM=合AE·BN,AM-ASBN BE 8mBAD=mC-8-是BD=&在△ABD中， 5a×3a=3√ w/10a 2 a.在Rt△ABM中，sn∠ABE=A AB 由勾股定理得AB=√AD+BD=√⑧+6=10.4.24 310 解析：连接BD交AC于点O.在菱形ABCD中，AB=15, AO=号AC,AC⊥BD.在R△AOB中，'Sin∠BAC=号， 3,∴∠A0D=Sa∠ABE=3@ 10 5 器-号即0=号10B=9由勾股定理得40- 10.23解析：如图，连接DE.在△ABC中，∠ABC=120, 3 BA=BC,.a=(180°-120)÷2=30°，同理可得，∠CDE= √JAB2-OB=√152-9=12，.AC=2AO=2X12=24. ∠CED=30°=a.又，∠AEC=60°，∴.∠AED=∠AEC+ 5.33解析：如图，过点A作BC的垂线，垂足为M,在∠CED=90°.设等边三角形的边长为a,则AE=2a,DE= R△ABM中，.sin B-AM∠B=60r,AB=4,&M=9,则BD·sin /DBE=2a·sin60°=Ba,:tam(a+)=能= AB· 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) ·42- 24=23 专题9锐角三角函数与其他知识的综合 √3a3 1.(1)证明：在☐ABCD中，AD=BC,AD∥BC,即AE∥FC 'ED=BF,∴.AD一ED=BC一BF,即AE=FC,.四边形AFCE 是平行四边形.(2)：AE∥FC,∴.∠EAC=∠ACF.:AC 平分∠FAE,.∠EAC=∠FAC,.∠ACF=∠FAC,.AF= FC.,四边形AFCE是平行四边形，.□AFCE是菱形， ∴A0=2AC=号X8=4,ACLEF.在R△A0E中，：A0= 11.16+4√2或16-4V2解析：①如图1，过点B作BD⊥AC 4,taDAC=g8-￥∴E0=3,∴Sm=A0,E0= 于点D,:A=肥BD=AB·s血A=8X血45- X4X3=6,S助形APCE=4SAA0=4X6=24.2.A 1 4cosAD-AB.cosA 解析：连接CD:O0的半径为号，AD是⊙0的直径，AD= 在Rt△BDC中，DC=√BC-BD=√62-(4V2)2=2, ∴AC=AD+DC=42+2,∴Sac=号AC,DB=号X 3,∠ACD=90,在R△ACD中，sim∠ADC-S-号， (42+2)X4w厄=16+42：@如图2，过点B作BDLAC交∴smB=sin∠ADC-号.3.V5解析：如图，连接A0并 AC延长线于点D,s血A-器BD=ABs血A=8X 延长交⊙O于点D,连接BD.AD是⊙O的直径，∴∠ABD= 血45=4，mA-0AD-AB:sA=8Xcs45-于 ∠DB-∠ACB.且AB=2,∴m乙ADB-0品 42.在Rt△BDC中，DC=√BC-BD=√62-(4V2)2=2, BD-4,AD=/AB+BD=4=25. ∴AC=AD-DC=4厄-2，S=号AC·DB=号×⊙0的半径为W5. (4V2-2)×42=16-4√2. DD' (第3题) (第4题) 图1 图2 解析：如图，过点O作OD⊥CD于点D' 12.如图，过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥DE于 4.2 点F,则EF=AC=6cm,DE∥AC,∴.∠CDF+∠ACD=180°. ∠OD'C=90°，∠C=30°，.OC=2OD.AB=2BC,OA= 由题意，得∠A=∠BCD=90°，AB=AC=6cm,∠ABC=OB,∴.OC=2OA=2OD,.点D与点D'重合，∴，∠DOC= ∠ACB=45°，∠CBD=30°，.∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°-30°=60°.OA=OD,.∠OAD=∠ODA=30°， 45°+90°=135，BC-2AC=62cm,CD=5BC=2/6cm, 3 cos∠AD0=.5.(1)如图，连接OD,则OD=OC, 21 BD=2CD=4√6cm,∴.∠CDF=45°.，CF⊥DE,.△CDF∴.∠ODC=∠OCD.,AC是⊙O的直径，CE LAC,∴.∠ADC= 是等腰直角三角形，.CF=DF=CD=23cm,.DE= ∠ACE=90°，∠CDE=90°.F为CE的中点，∴.DF=CF= 2 DF+FE=(23+6)cm,·.sin75°=sin∠ABD=DE EF=2CE,∴∠FDC=∠FCD,∴.∠ODF=∠ODC+∠FDC= BD ∠OCD十∠FCD=∠ACE=90°..OD是⊙O的半径，且DF⊥ 6+23_V6+W2 OD,∴.DF是⊙O的切线.(2)：AD=6,∠ACD=∠E=90° 4√6 4 ∠CAE,8部=am∠ACD=anE=是，CD=号AD= X6-4.AC-/AD FCD--23.BD 平分∠ADC,∴∠BDA=∠BDC.,∠BCA=∠BDA,∠BAC= ∠BDC,∴.∠BCA=∠BAC,AB=CB.∠ABC=90°， ,∴，AC=√AB+CB2=√2AB=2√13，.AB=√26 A E B D E 13.AD b·sinC在△ABC中，：∠B=75°，∠C=45°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-75°-45°=60°， :△ABC是锐角三角形，根据正弦定理，得A=sC s如60sin45,a-260° 2 2Y2=6,即BC令 sin45° 2 6.D解析：抛物线y=x2十4x一12=(x+2)2-16,当y=0 2 时，x1=一6，x2=2,该抛物线的顶点坐标为（一2，一16）.设点 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) 43-课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版))) 7.5解直角三角形 第1课时解直角三角形(1) 课堂演练 1.(教材思考与探索变式)在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边： (1)已知∠A、c,则a= ,b= (2)已知∠A、b,则a= ,C= (3)已知∠A、a,则b= ,C= 2.在△ABC中，∠C=90,若BC-4,sinA=号，则AB的长为 () A.6 B.2W5 C.3√5 D.2√13 3.在Rt△ABC中，斜边AB的长为m,∠A=35°，则直角边AC的长为 () A.m·sin35° B.m c0s35 C.sim 3 D.m·cos35° 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.若∠A=a,a=2,则c 的长为 () A.2tan a B.2 C.2sin a D.- 2 sin a coS a 5.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5√2，BC=5√6，则∠A的度数为 () A.30° B.45° C.60° D.75° 6,在△ABC中，∠C=90,AC=3,若cosA=号，则BC的长为 7.在Rt△ABC中，∠C=90,BC=4,tamA=号，则AC= 8.已知Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形 (1)cosA8: (2)a=√6，b=3√2； (3)c=8√3，∠A=60°； (4)√2sinB=tanB,AC=√7. 96》 第7章锐角三角函数 课后拓展 9.如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2,则S1：S2等于 A.5:8 B.8:5 C.1:1 D.2:7 D 40° P 140° E (第9题) (第10题) 10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,DE⊥AC于点E,∠EDC: ∠EDA=1:2,且DE=2√3，则AC的长为 () A.2√5 B.2 C.8 D53 3 1.如图，在R△ABC中，∠C=90°，BC=5,D是边AC上一点，连接BD.若tanA=青， tan∠CDB=0.5,则AD的长为 (第11题) (第12题) 12.若等腰三角形的周长为2十√3，腰长为1，则底角的大小为 1B.在△ABC中，snB=号，AC=2亿，AD是边BC上的商，∠ACD=45,则BC的长 为 14.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，a十b=√3+3，解这个直角三角形. (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，b十c=24,∠A一∠B=30°，解这个直角三角形. 15.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=12,P是⊙O上异于点A、B的任意一点，连接 PA、PB,过点A作射线AQ⊥PA,Q是射线AQ上一点，连接PQ、OQ,当点P在⊙O上 运动时，始终保持tan∠QPA=Y 3 (1)当PQ与⊙O相切时，求OQ的长， (2)当PQ∥AB时，求cos∠PQO的值. 《97 课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版)) 第2课时解直角三角形(2) 课堂演练 1.(教材例题变式)如图，⊙O的周长为4π，正六边形ABCDEF内接于⊙O,则△OAB的面 积为 () A.1 B.√3 c D. 3√3 2 D D (第1题) (第3题) (第4题) (第5题) 2.在△ABC中，AB=4,BC=5,simB=,则△ABC的面积为 () A.15 R C.6 n号 3如图，在R△ABC中，∠CAB0,ADLCB于点D.若1amC=是，AD=8,则AB的 长为 () A号 B.10 c号 D.12 4.如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC= ，则对角线AC的长为 5.如图，在△ABC巾，AB=4,∠B=60,sinC=号，则AC的长为 6.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23,求AB的长. 430 45 7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB,垂足为E.若 AD=1,AB=23,求CE的长. 98》 第7章锐角三角函数 课后拓展 8.如图，在3×3的正方形网格中，A、B均为格点，以点A为圆心、AB的长为半径作弧，图 中的点C是该弧与格线的交点，则sin∠BAC的值为 () A.2 D25 5 (第8题) (第9题) (第10题) 9.如图，A、B、C、D是正方形网格图中的格点，AB与CD交于点O,则si∠AOD= 10.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，α、B的位置如图所示，则 tan(a十B)= 11.在△ABC中，AB=8,BC=6,∠A=45°，则△ABC的面积为 12.如图1，将一副三角板拼在一起（图2为示意图），已知∠ABD=75°，AC=6cm,求 sin75°的值.（结果保留根号） 图1 图2 13.如图，在锐角三角形ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,AD⊥BC于点D.在Rt△ABD 中，sinB=AD,则AD=c·simB:在R△ACD中，sinC= ,则AD= 所以c·血月C即品B一C进一步可得正弦定理：A治B b sinC.（此定理适合任意锐角三角形) 利用正弦定理解答下列问题： 在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，AB=2,求BC的长. 《99