期末高频考点(7) 二次函数综合题-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级数学下册（苏科版2012）

期末高频考点 期末高频考点(7)二次函数综合题 1.已知抛物线G:y=a(x十1)(x一4)(a为常数，a≠0)经过点C(0,4),函数图像与x轴交 于点A、B(点A在，点B的左边)，其对称轴与x轴相交于点E (1)求a的值 (2)Q为x轴上方抛物线上的动点，过点Q作直线AQ、BQ,分别交抛物线的对称轴于点 M、N.问：点Q在运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，求出该定值；若不 是，请说明理由. (3)已知平面直角坐标系中有一直线L:y=一x十t,D为抛物线G上任意一点，F为直线I 上任意一点，若D、F两点间的距离的最小值大于2，求t的取值范围. 2.(2024·常州)在平面直角坐标系中，二次函数y=一x2十bx十3的图像与x轴相交于点 A、B,与y轴相交于点C (1)0C= (2)如图，已知点A的坐标是（一1,0）. ①当l≤x≤m,且m>1时，y的最大值和最小值分别是s、t,s一t=2,求m的值； ②连接AC,P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作 PD⊥x轴，垂足为D,作∠DPQ=∠ACO,射线PQ交y轴于点Q,连接DQ、PC 若DQ=PC,求点P的横坐标， 《147 课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版))》)》 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1:y=x2十bx一9与x轴交于点A(-1,0)、B,顶 点为C,连接AC.将抛物线C先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度(m 0,>0)得到新的抛物线C2.新抛物线C2的顶点为P,与抛物线C1交于点Q,已知四边形 ACPQ是平行四边形. (1)填空：b= (2)求n关于m的函数表达式. ③)设揽物线C的对称轴与抛物线C交于点D,与直线AC交于点E,若A=普求 m的值. 4.(2024·泰州)在平面直角坐标系中，点A、B的横坐标分别为m一1、m十a(m、a为常数， a>-1),且在二次函数y=-(x-m-1)2十2m(1-a)十1的图像上. (1)若m=1,当y随x的增大而减小时，求x的取值范围. (2)点P从点A出发，沿水平方向运动到过点B且平行于y轴的直线l上，再沿直线l运 动到点B,点P运动的路程为d(运动路线不重复). ①若点A、B所在的直线经过第一、三象限，求a的取值范围及d的最大值； ②当a为某一定值时，无论m取何值，点B到x轴的距离总是不变的，求此时d的值， 148》8.号解析：设SAm为y,由题意知，AP=t,PD=5-, ∴y=2CD·PD=7X2X(5-)=5-t:四边形EFPC 是正方形，∴SAr十Sam=号SE方彩FC.PC=PD十 1 CD,∴.PC=22+(5-t)2=2-10t+29,∴.SAr= 号SEme-Sam=合(e-10+29)-(5-0=合r-4+ 号=名4-4+号当4=4时，s四原最小位号， 9.(1)由点A（一1,0)，对称轴为直线x=2,可得 一号之解得你釉级的函数表达式为 (1-b+c=0, x2一4x-5.(2)由点A(-1,0),且对称轴为直线x=2,可 知点B(5,0).:抛物线的函数表达式为y=x2一4x一5， ∴点C(0,一5).如图1，当C、D、B三点共线时，AD十CD取最 小值，即为BC的长，.BC=√OC+OB=5√2，即AD+CD 的最小值为5√2.(3)如图2，连接BC,过点P作PQ∥y轴交 BC于点Q.:点B(5,0),C(0,一5)，设直线BC的函数表达式 为=k红+b,十，0，解得。直线BC的函数 b=-5, 表达式为y=x-5.设点P(m,2-4m-5),则点Q(m,m-5), PQ=m-5-(m-4m-5)=-m+5m,∴Sac=合PQ· 0B-（-+5m0X5=-号+m=-(m-)'+ 1罗∴当m=号时，5取最大值，为15， x=2 yx=2 图1 图2 10.(1)设A种商品的销售单价为a元，B种商品的销售单价 为6元，由题意，得{0十10608解得仔8别”答：A种商 品的销售单价为30元，B种商品的销售单价为24元.(2)设 利润为e元，由题意可知，w=(30一m一20)(40十10m)+ (24-20)(40+10m)=-10(m-5)2+810.A种商品售价 不低于B种商品售价，∴.30-m≥24，解得m≤6，.当m=5 时，取得最大值，此时w=810.答：m的值为5时，商场销售 A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元. 11.(1)①△ABC与△AMN相似.理由如下：：AM=12, N0,AB=3ac=12小器-00又：∠BMC- ∠NAM,.△ABC∽△ANM.②由①知，△ABC∽ △ANM器-票，又：AM=12,Ac=1.2,Bc=6 皆-品MN=36(2):四边形ACBD的面积为 1200m,对角线AB将整个四边形分成面积相等的两部分， .S△Ac=600m2.设△ABC中AB边上的高为hm,AB= 60m∴号×60M=60,解得A=20.:四边形EFPQ为矩形， 课时提优计划作业本·数 5 .EF∥AB,∠CFE=∠CBA,∠CEF=∠CAB,∴.△CEF∽ △CAB,.EF:AB=(h-FP):h.设EF=xm,x:60= (20-FP:20,∴FP=20-了x由勾股定理得F0-(20 号)”+r-9r-9+400-吕红-6)+360，当=6时， 112 FQ取最小值360，即FQ最小，.FQ的最小值为6√10. 12.(1)证明：：OC=OD,∴.∠OCD=∠ODC,∴.∠AOC= ∠ODC+∠OCD=2∠ODC..OB平分∠AOC,∴.∠AOC= 2∠AOB,∴.∠AOB=∠CDO,∴.OB∥CD.(2)OA=OB= OC=OD,∴点A、B、C、D在以AD为直径的圆上，∴∠ACD= 90°.设∠BDC=x,则∠ODC=∠OCD=2x,·CE=CF, ∴.∠CEF=∠CFE=3x,.4x=90°，.x=22.5°，.∠ODC= ∠OCD=45°，∴.△COD和△AOC都是等腰直角三角形. :∠ODE=∠CDF,∠DOE=∠DCF,∴.△DOE△DCF, -咒 ,(3)由(2)知，∠AOB=∠BOC,OG⊥AC, 则AB=BC.设AB=BC=m,BG=y,则OG=5-y,.52-(5 2=d-y解得y=0m,BG=0m,0G=5-0d. 0c是△4CD的中位线，CD=20G=10-号m,四边 形ABCD的周长为2AB+CD+AD=2m+10-号m+10= -号m+2m十20，a=一吉<0，当m=一名=5时，四边 1 形ABCD的周长最大，∴.AB=OA=5,∴.△OAB为等边三角 形，∴.∠AOB=∠CDO=60°，∴.∠CDF=30°，.∠CFD=60°， ∴sin∠CFD=3 2 期末高频考点(7)二次函数综合题 1.(1)将C(0,4)代入y=a(x+1)(x-4),得-4a=4,解得 a=一1.(2)EM+EN的值是定值.理由如下：由(1)知，抛 物线的函数表达式为y=一x2+3x十4，则抛物线的对称轴为 直线x=是，A(-1,0),B(4,0,则E(号，0.设Q(m, 一m2+3m+4),则直线AQ的表达式为y=(4一m)(x十1)， 当x=号时，y=10-号m,即EBM=10-号m,同理可得 EN=号m+号，则EM叶EN=罗为定值.(3)：D,F两点 间的距离的最小值大于2，直线1与抛物线G没有交点，且 最近的距离大于2.如图，当直线1与抛物线G只有一个交点 时，记为直线m,则方程一x2+3x十4=一x十t只有一个实数 根，整理，得一x2十4x一t十4=0，.16一4(t一4)=0，则t=8. 记直线m与抛物线的交点为G,与y轴的交点为M,则 点M0,8),将直线m沿垂直于直线m的方向平移2个单位 长度，即可得满足条件的直线1，记为直线n,此时GK=2,过 点G作GL∥y轴，交直线n于点L,则∠LGM=∠OMG 45°，∴∠LGK=45°，△LGK是等腰直角三角形，LG=2√2. 学·九年级下册(SK版) 9 记直线n与y轴的交点为N,则四边形MNG为平行四边(m+1,m-3m-3).:C1,-3),A(-1,0)直线AC 形，∴.MN=LG=22,∴.点N的坐标为(0,8+2√2)，∴.t的 取值范围为t>8十2√2. 的表达式为y=一多x一多，把x=m十1代人y=一多x y 得)=一是m一3，即E(m+1,-号m-3.把x=m+1 3 M 代入y=2--号，得y=(m+12-m+1D 是=m-3,即D(m+1,是m-3).∴Sam=合PD· 4 m (am-o)=号×（径m-3-是r+3m+3）×2=3m, 2.(1)3解析：令x=0,得y=3,.C(0,3),.OC=3. Sam=PEm-)=2×(-3m-3+号m+3)× (2)将点A的坐标代入抛物线表达式，得0=一1一b+3,解得 b=2,抛物线的表达式为y=一x2十2x十3，抛物线的对 3m 称轴为直线x=1,顶点为(1,4)，B(3,0).①当1≤x≤m,且 m>1时，y的最大值为4，即s=4.当x=m时，y取得最小值 8 为t=-m2+2m十3，则4-(-m2+2m+3)=2,解得m=1+ :15 ,整理，得m2-2m一15=0，解得m=5或m=-3(舍去)， √2（不符合题意的值已舍去）.②设P(m,一m2+2m十3)，则故m的值为5. D(m,0),由点A、C的坐标得直线AC的表达式为y=3x十3. 当点P在x轴上方时，如图..∠DPQ=∠ACO,则直线PQ 的表达式为y=3(x-m)-m2+2m十3，则Q(0,-m2-m+ 3).由点P、C、D、Q的坐标，得DQ=m2+（-m2-m十3)2， PC=m2+(-m2+2m)2.DQ=PC,∴.m2+(-m2-m+ 3)2=m2十(-m2+2m)2,解得m=-1(舍去)或m=1或m 三.当点P在x轴下方时，同理可得Q(0,一m2+5m十3)，则 DQ2=m2+(-m2+5m+3)2=PC2=m2+(-m2+2m)2,解 得m=一1（舍去）或m=7-√压（舍去）或m=7+√压.综上 4 所述，点P的横坐标为1或号或+压 图1 图2 4.(1)当m=1时，二次函数为y=一(x-2)2+2(1一a)+1, 对称轴为直线x=2,图像开口向下，∴当x>2时，y随x的增 大而减小.(2)①，二次函数y=-(x一m一1)2十2n(1 a)十1，对称轴为直线x=m十l,点A、B在二次函数的图像 上，∴.当x=m-1时，y=-(-2)2+2m(1-a)+1;当x= m+a时，y=-(a-1)2+2m(1-a)+1,.A(m-1,-(-2)2+ 2m(1-a)+1),B(m+a,-(a-1)2+2m(1-a)+1)..a> 一1，∴.m十a>m一1，点A在点B的左侧.，'点A、B所在的 直线经过第一、三象限，·点B的纵坐标比点A的纵坐标大， 3.①)-多 解析：把点A(-1,0)代人二次函数)y=子+ ∴.-(a-1)2+2m(1-a)+1>-(-2)2+2m(1-a)+1,整 理，得4-(a-1)2>0,∴.(2-a+1)(2十a-1)>0,.(3 a-是得0=-6是，∴6-号.(2)平移后的函数图21+a>0,a3,i（二)) (m+a-m+1)+[-(a-1)2+4]=-a2+3a+4= 像如图1所示抛物线G的表达式为y=是2-号x一号 -(a-号）广+空当a=号时，a取得最大值空综上所 子（红一1：-3，故顶点C的坐标为(1，一3）.设平移后抛物线 述，a的取值范围为-1<a<3,d的最大值为5 ②ys= C的表达式为y=是(x-1-m)2-3十，故P(m+1,m-3). -(a-1)2+2m(1-a)十1，当a=1时，无论m取何值，y=1 已知四边形ACPQ是平行四边形，连接AP,CQ交于点M,且 为定值，d=(xB-xA)+(yg-ya)=-a2十3a十4=6..当 点A(一1,0)，根据平行四边形对角线互相平分可得点M的a=1时，无论m取何值，点B到x轴的距离总是不变的，此时 d=6. 坐标为（受，”2）.：点C的坐标为1，一3》点Q的坐标 期末冲刺小卷 为(m-1,.“点Q在抛物线G上，m=(m-1)2 期末冲刺小卷(1) 号(m一1)-是=子m-3m,即n关于m的函数表达式为 1.B解析：画树状图如图所示，共有9种等可能的结果，其 中两人恰好选到同一处的结果有3种，∴小刚和小强两人恰 n=是m-3m(3)如图2，由(2)可知，点P的坐标为好选到同一处的概率为号- 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) 60·