第七章 锐角三角函数 提分练习-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级数学下册（苏科版2012）

△PA'D'.根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得 品-X设灯泡离地面的距离为x,则PN=x一a由题意， 得AD=a,AD'=a十6，n平b=2,解得x=世才 b 答：灯泡离地面的距离为@十地 b 练习24正切(1) 1.B解析：设直线x=一5交x轴于点K,连接KD,过点E 作EH LAB于点H.由题意，得KD=2CF=5,∴点D的运 动轨迹是以点K为圆心、5为半径的圆，.当直线AD与⊙K 相切时，△ABE的面积最小，如图.，AD是切线，D是切点， AD⊥KD.由题意，得AK=13,DK=5,∴AD=12. anEA0-8咒-6罗-是∴0E=号，AE VOE+0A-√(9)+8-由题，得OA=0B=8, ∴AB=8E.:SAE=2AB·EH=SAOB-SaE,SAaB= 20A·0B=号×8×8=32，Sm=0A·0E=合×8× 号-9，号×82×EH=32-号∴EH=79,:AH= AE-EF-√(9)-()-1g2,∴unBAD- 72 E 3 AF172 17 3 2.(1)如图，过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D.在 Rt△ADC中，AC=4,∠ACD=180°-∠ACB=180°-150°= 30AD-专AC=号×4=2，CD=AC·ms30=4×号 2/8.在R△ABD中，amB=品日，iBD=8AD=8X2 16,.BC=BD-CD=16-2√3.(2)如图，在边BC上取一 点M,使得CM=AC,连接AM.·∠ACB=150°，∴.∠AMC=- 54》 ∠MAC-=15,tm15°=mAMD--品，25=2-5. MD4+23 B 3.(1)证明：，四边形ABCD内接于⊙O,.∠ADC+∠ABC= 180°.：∠ABC+∠ABE=180°，.∠CDA=∠ABE.,BF= AD,∴∠DCA=∠BAE,△ADC∽△EBA(2):A是BDC 的中点，AB=AC,AB=AC=8.△ADC∽△EBA, ∴∠CAD=∠ABC器-器，即号-品·解得AE= 5 :AELAC,∠CAE=90°，tan∠CAD=tan∠AEC=AS= LAE 8=5 64=8· 5 练习25正切(2) 1.2或号 解析：，四边形ABCD是正方形，且边长为2， ∴.BC=CD=2,∠C=90°.分两种情况.①如图1，点P在线段 CD上，DP=1,∴.PC=CD-DP=2-1=1,∴.tan∠BPC= 瓷-是-2@如图2，点P在线段CD的延长线上，DP 1PC-CD+DP=2+1=3m∠BPC-瓷-号综上 所述，an∠BPC的值是2或号. D 图1 图2 2.(1)证明：如图，连接OC.,OA=OC,.∠OAC=∠OCA. CE是⊙0O的切线，∠OCE=90°.AE⊥CE,∠AEC 90°，∴∠AEC+∠OCE=180°，∴.OC∥AE,∴∠OCA=∠CAD, ∠CAD=∠OAC,.DC=BC,.DC=BC.(2)AB是 ⊙O的直径，∴∠ACB=90°.在Rt△ACB中，由勾股定理得 BC=√AB-AC=√52-4=3.由(1)，得∠CAE=∠BAC 又：∠ABC-∠ACB-90△ACEAAIC,-A6 即罗=号，解得CE=号由(I)知，DC=BC,∴DC=8.在 Rt△DEC中，由勾股定理得DE=√DC一CE= V-(T-号imcE-器毫-是 5 3.(1)令y=0,则-x2+3.x十4=0，解得x1=-1,x2=4, 点A(-1,0)、点B(4,0).当x=0时，y=4,点C(0,4), .OB=OC,.∠OBC=45°.当x=3时，y=-32+3×3+4= 4,∴点D(3,4).如图，连接CD,过点D作DE⊥BC于点E. 点C(0,4),.CD∥AB,.∠BCD=∠ABC=45°.∠DEC 90°，∴.∠EDC=45°，.EC=ED.在Rt△OBC中，OC=OB 4,BC=4√②.在Rt△CDE中，CD=3,CE=ED=3y2 2 BE-BC-CE=4反-29-9，m∠DBC= DE = 2 32 2 3 5w2 51 (2)如图，过点P作PF⊥x轴于点F·∠CBF= 2 ∠DBP=45°，∴∠CBF-∠CBP=∠DBP-∠CBP,即 ∠PBF=∠DBC,tan∠PBF=tan∠DBC=号.设点P(x, 一父+3x十4)，则社十4-是，解得=一号西=4 4-x (舍去一点P的坐标为（一号，鹅） 练习26正弦、余弦(1) 1.A解析：如图，过点D作DN⊥GE交GE的延长线于 点N,由题意知，两个正方形之间是4个全等的三角形，设 △ABG的长直角边为a,短直角边为b,大正方形的边长为 √5x,小正方形的边长为x,即ED=BG=HC=AF=b,AG= a2+b=(W5x)2, BH=CE=DF=a.根据题意，得 解得 a-b=x, 在△GDE中，BG=EGH=E,NE=ND-号ED a=2x, (b=x. 号6-号，iNG=NE+BG=号x+厄x=3,DG= G+-√(2)+（）=5，m∠GE- 」 ND 2 =10 DG 5x 10 G B 2.(1)证明：如图，连接BO.[方法一]，AB=AD,∠D= ∠ABD.AB=AO,∴.∠ABO=∠AOB.在△OBD中，∠D+ ∠DOB+∠AB0O+∠ABD=180°，∴.2（∠ABD+∠ABO)= 180°，∴∠ABD+∠ABO=90°，即∠OBD=90°，即BD⊥BO, ∴.BD是⊙O的切线.[方法二]AB=AO,BO=AO,.AB= AO=BO,∴.△ABO为等边三角形，∴.∠BAO=∠ABO=60° AB=AD,∴∠D=∠ABD.又：∠D+∠ABD=∠BAO= 60°，∴.∠ABD=30°，.∠OBD=∠ABD+∠ABO=30°+ 60°=90°，即BDLBO,∴.BD是⊙O的切线.[方法三]AB= AD=AO,∴.OB、D三点在以OD为直径的⊙A上，∴∠OBD= 90°，即BD⊥BO,∴.BD是⊙O的切线.(2)∠C=∠E, ∠CAF=∠EBF,∴△ACF∽△BEF,AC是⊙O的直径， ∠AX在△BFA中mA器=号是 (3)°-告“5m-8∴5w=18 (第2题) (第3题) 3.(1),四边形ABCD是矩形，.∠B=90°.，点A的坐标为 (1,2),点E的坐标为(2，m),.BE=2-1=1,AB=m-2.在 &△ABE中，a∠aAE-器-名，即2=子解得a 4,∴.点E的坐标为(2,4).：二次函数y=-x2十bx十c的图 《55 -4+2b+c=4, 1b=5, 像经过点E(2,4),A(1,2),∴. 解得 -1+b+c=2, c=-2, .二次函数的表达式为y=一x2十5x一2.(2)如图，过点E 作EH⊥AF于点H.当y=4时，-x2+5.x-2=4,解得=2， 2=3,∴.点F的坐标为(3,4)，.EF=1,BF=3-1=2.在 Rt△ABF中，由勾股定理得AF=√AB十BF=√22+2 2/.SA-EF AB-TAF.EH,EH-EEAB- AF 1X2-B.在R△ABE中，由勾股定理得AE=√AB+B距= 222 √2 V2+F=5,∴sin∠EAF== /10 AE5-10 练习27正弦、余弦(2) 1..∠ACB=90°，M是斜边AB的中点，∴.BM=CM=AM 'DM=CM,∴AM=CM=DM=BM,∴DM=2AB.DM∥ BC,.∠DME=∠CBA.又，∠ACB=∠MED=90°， AMEDADCA.s3-(》-, Sc=4S1. CM是△ACB的中线，Sa=号S6a=2S,Sm 8-5w-8-号s-2s-s=号s.“s3器 EB 从2一凭，一受设E=5x西B2x7 7z,∴AB=2BM=14'△MEDn△BCA,-R 含BC=10在R△ABC中，eas∠ABC-器-10-号· 2.(1)证明：如图，连接OE.,OA=OE,∴∠A=∠AEO ,CD⊥AB,∴.∠AHP=90°.FE=FP,.∠FPE=∠FEP. ,∠A+∠APH=∠A+∠FPE=∠FEP+∠AO=∠FEO= 90°，∴.OE⊥FE,.FE是⊙O的切线.(2).∠FHG= ∠OEG=90°，.∠G+∠EOG=90°=∠G+∠F,∴∠F= ∠0=n∠P0G-器=号设EG=3,则0G= 5.x,∴.OE=√OG-EG=√25x2-9x=4x.由题意，得 OE=8,∴.4x=8,解得x=2,.OG=10,.BG=QG-OB= 10-8=2. 56》 3.(1)证明：AD=DC,.AD=DC,.∠ABD=∠DBC BC是⊙O的直径，∴.∠BAC=∠BDC=90°，∴.△ABEO △DBC.(2),△ABE∽△DBC,∴.∠AEB=∠DCB. :∠BDC=90,BC=多，CD-9,∴BD=VBC-CD- √(2)'-（停）°-5，∴sim∠AEB=sn∠DcB=B肥= BC 5_2W5 5 练习28三角函数有关的阅读理解题 1.0 5 解析：如图，在△ABC中，∠ACB=90,mA-器 号.在AB上取点D,使AD=AC,过点D作DH⊥AC,垂足 为H.设BC=3k,则AB=5k,AD=AC=√AB-BC= √(5k)2-(3k)z=4k.又在Rt△ADH中，∠AHD=90°， sinA=是DH=AD·snA=号，AH=VAD-DF- √4)2-（号）-9e∴CH=Ac-AH=4k-9= 5 专，CD=DF+CF-√（得）+（告）-4 5 '.在等腰三角形ACD中，由顶角的正对定义可得，sadA= 410 CD 5 10 4k 5 H C (第1题) (第2题) 2.(1)1111(2)证明：如图，过点B作BH⊥AC于 点H,则BHF+AP=AB,sinA=B股， AB,COs A=AH B &mA十A=器+皓-陆F-器=-1 AB十AB2 AB2 (3).0°<∠A<90°，.sinA>0,cosA>0,∴.sinA+cosA> 0.'.'(sin A+cos A)2=sin2A+cos2A+2sin A.cos A=1+ 2X号-锡nA+osA=√累=子 练习29网格中的锐角三角函数值问题 1.B解析：如图，过点B作BC⊥OA于点CBO=√J22十22= 2V2,40-=√2+平=25.：5m=号×2X2=2,合4A0· 25 42wW5 :6n0B-器-2元 5 w10 BC=2,∴.BC= 255 10 B (第1题) (第2题) 2.C解析：如图，取格点K,连接AK、BK.由图形可知BK∥ CD,AB=√42+7=√65，AK=√22+32=√/13，BK= W√42+62=2√13，.AK+BK2=AB2,.AK⊥BK,BK 2AK,∠AED=∠ABK,∴an∠AED=tm∠ABK=欲= 2√后-乞·3.3解析：取格点M,由勾股定理得AC= 13_1 AB=√22+42=25，CM=BM=√12+12=√J2,∴.AM1 BC,又由勾股定理得AM=w√/32+32=32，，'.在Rt△AMC中， tan∠ACB=Ay-3y2=3. CM√2 C B (第3题) (第4题) 4.3解析：如图，连接AC.CB∥AD,∴.△CBP∽△DAP, 景品-小品-号，即咒-2由勾股定理得4C CD=√12+1z=2.又AD=2,.AC+CD=AD, ∴△ACD为直角三角形且∠ACD=90°.在Rt△ACP中， tam∠APC-瓷咒=8,5解：)如图1，∠ABC即为所 求(，点C的取法不唯一).(2)如图2，∠ABD即为所求（点D 的取法不唯一).(3)如图，∠ABE即为所求， B 图1 图2 B 图3 练习30解直角三角形(1) 1.B解析：如图，在AD的下方作Rt△ADT,使得∠ADT= 90,m=1连接C则A-后品说-2铝C .∠ADT=∠ABC=90°，.△ADT∽△ABC,∴∠DAT ∠BAC裙尧∠DAB=∠AC0-怨△nAB △AC器器即壳后解得心-25.C≤DT十 CT=1+2W5,.CD长的最大值为1+2√5 (第1题) (第2题) 2.5v② 2 解析：如图，过点B作BE⊥AD于点E,连接BD.设 BC-CD=x,则AB=ExmA=专-器BE=青AB= ∴AB=VaBE=√r-(-39 BC=CD,∠C=90°，∴.BD=√2BC=√2x,.BD=AB. BELAD.AE=-DE=2AD=号×6=3,3x=3,解 得x-号，即BC的长为32.3（①）懈方程2-7z十12 0,得=3，x2=4.OA>OB,OA=4,OB=3.在 R△AOB中，由勾股定理得AB=√OA?+OB=√4+32 5,.inARC-器告.(2：S=9,20A.0E 9,0E=号，“点E的坐标为(-号，0）或(8,0) △A0E与△DA0相似理由如下：8答-号，器-号， ÷8號-8器"∠A0E=∠DA0=90,△A0BE△DA0 练习31解直角三角形(2) 1.C解析：如图，延长AD、BC交于点O.,在Rt△ABO中， 《57 ∠A=80AB=3,mA=音-8器0B=4又0=2， ∴.OC=OB-BC=4-2=2.在Rt△ABO中，由勾股定理得 A0=√JAB+OB=√32+4E=5.,∠ADC=90°，∴.∠ODC =180°-∠ADC=180°-90°=90°=∠B.,∠0=∠O, △0Cn△0BA,器6答，即号号，解得CD-=号 B 2.6-3,5解析：如图，过点C作CELAB交AB的延长线于 2 点E,过点D作DF⊥AB于点F.AB∥CD,∠BCD=60°， ∴∠EBC=∠BCD=6O°，∠DCA=∠CAB.'sin∠BAD= 号5-号，可设AD=5,DF=CE=3AF=k又 ∠CB6=0,sm60-器-停CB=晨cE=25, ∴EF=CD=CB=2V5,m∠ACD=m∠CAE-是 CE 3k=6-33 AF+EF 4k+23k 2 3.(1)由折叠的性质可知，N为AE的垂直平分线，∴.AN= EN,.∠EAN=∠AEN,∴tan∠AEN=tan∠EAN=EE= AB 寺设BE=a,则AB=BC=CD=3a,CE=BC-BE=3a- a=2a.,DC+CE=10,.3a十2a=10,解得a=2,.BE=2, AB=6,CE=4.由正方形的性质得∠B=90°.在Rt△ABE 中，由勾股定理得AE=√AB+BE=√4+36=2√0， ∴AG=BG=号AE=号X2I而=1o.又：在R△AGN中， am∠EAN=沿-了，∴NG=,∴由勾股定理得AN 3 VaG+G=√)+(g0）=9,Se 含ANBE-×9×2=9. 3· (2)在Rt△ENB中，EB= 2,NE=AN-号mNB-2品- 58 练习32坡度和坡角问题 1.8解析：如图，过点A、D分别作AF⊥BC,DG⊥BC,垂足 分别为F,G.:在Rt△ABF中，AB=12m,∠B=60°，sinB= 怎AF=AB·smB=12x号-63(am.∴G=65m 又，CD=12√3m,.在Rt△DGC中，由勾股定理得GC= √CD-DC=√(12√3)2-(63)2=18(m).在Rt△DGE 中，mE=,即器=普∴GE=8X8=25m. GE 33 .CE=GE-GC=26-18=8(m). 0 G 2.(1)如图，过点D分别作DH⊥BC于点H,DF⊥AC于 点R.在R△ADF中，：n∠ADF=S:血36.8Tr-铝≈ 号，设AF=3zm,则AD=5xm,DF=4m“AC=16m, AD+DE=36m,∴.DE=(36-5x)m,CF=(16-3x)m ,∠DHC=∠ACB=∠DFC=90°，∴.四边形DHCF为矩形， ∴.DH=CF=(16-3x)m,DF=CH.在Rt△DEH中， nDEH--B是sm2,62r-8-≈解得x=2, 经检验，x=2为原分式方程的解，.AF=6m,DF=8m, CF=DH=10m,DE=26m,即坝面DE的长度为26m. (2)在Rt△DEH中，DH=l0m,DE=26m,.EH= V262-10=24(m）.:SAAx=SAm十S形a,.号× 16×BC=号×6×8+2×(8+8+24)×10，解得BC=28m, ∴.BE=CE-BC=8十24一28=4(m),即坡脚向前推进的距离 BE的长为4m 16m 3.1)设货物水平移动了xm由题意，得5-合，解得x 1.5.答：货物水平移动的距离为1.5m.(2)能达到目的.理 由如下：当重心G落在直线CD上时，过点E作货厢底部的垂 线，垂足为H,交BF于点I,过点G作GT⊥BF于点T,如图所 示，此时点E到货厢底部的距离最大，GT=PT-合EF=1m ,货厢底部与地面平行，∴.∠IBH=∠BAD.:∠BIH= ∠EIF,∠IHB=∠EFI=9O°，∴.∠FEI=∠IBH=∠BAD. a∠BAD=子，品=号，FI=号EF=号mEI= VE+F=V2+(号)=2④(m.:∠ABD ∠GBT,∠BDA=∠GTB=90,∴∠BGT=∠BAD,÷87 号BT=号GT=号m,∴BF=T+BT=1+号- 号mB1=BF-FI=专-号=号(m.品鼎-吉， F+(3IH2=Br,oIf=(号)》1H=。 m, 15 .EH-EI+IH-21010-1110 (m).1110 3 15 15 15 2.5,∴，货物的点E碰不到货厢顶部，∴工人师傅能达到目的. HT 练习33与圆有关的三角函数问题 1.(1)由题意可知，△ACD是轴对称图形，.∠AOC= ∠A0D=90,0C=0D=2CD.:AC=AD=2m,∠a=68, .OD=AD·sina=2sin68°≈2X0.93=1.86(m),.CD= 2OD≈3.7m,即遮阳宽度CD的长约为3.7m(2)如图，设 点E下降到点E,过点E作EMLAB于点M,过点E作EN⊥ AB于点N,则四边形BFEM和四边形BFE'N都是矩形， .'.EM-BF=E'N=3 m,BM-EF,BN=E'F,.'.BM-BN= EF-EF,即N-E,当∠a-6时，AM0≈2s 12m当∠a-5时，AN=B器-是-3m.则E MN=AN-AM≈3-1.2=1.8(m),即点E下降的高度约 为1.8m 2.(1)如图1，连接0A.由题意得，筒车每秒旋转360X5÷ 6 60=5.在R△M00中，os∠A0C=器=2号=贵， ·∠40C43,到达最高点所需时间大约为180二48=27.40S. 5 水面 图1 (2)如图2，过点P作PD⊥OC,垂足为D.盛水筒P浮出水面 3.4s后，∠AOP=3.4X5°=17°，∴.∠POC=∠AOC+ ∠AOP≈43°+17°=60°.在Rt△POD中，OD=OP·cos60°= 3X7-1.5(m,CD=0C-0D=2.2-1.5=0.7m.答： 浮出水面3.4s后，盛水筒P距离水面大约0.7m N 水面 图2 (3)如图3，设切点为P,连接OP,延长CO与⊙O交于点H. 在R△OPM中，o∠POM=8器-号∠POM6S:在 R△c0M中，as∠c0M-8器-g-0∴∠00M7, ∴.∠P0H=180°-∠POM-∠C0M≈180°-68°-74°=38°， “需要的时间至少约为器-7,6(。 水面 B 图3 练习34仰角、俯角问题 1.如图，过点O作OD⊥BC,交BC的延长线于点D,过点O 作OE LAB,垂足为E.由题意，得AO=7×5=35(m),OC= 4×5=20(m),OE=BD,OE∥BD,.∴.∠EOC=∠OCD=45° ,∠A0C=75°，∴.∠AOE=∠AOC-∠E0C=75°-45°=30° 在R△CD0中，CD=0C.os45°=20X 2 =10√2(m).在 R△A50中，0E=A0·os30°=35X5=35,y3(m),.BD= 2 2 《59 OE-355(m,.BC=BD-CD=35,5-10W2≈16(m.答： 2 2 小李到占塔的水平距离BC的长约为16m 73 B 2.(I)如图，过点A作AG⊥BC于点G.AB的坡比i=5: 12-=瓷，设AG=5xm,则BG=12zm在R△ABG中， AB=√/AG+BG=√/(5.x)2+(12x)=13x(m),∴.13x= 26,解得x=2,∴.AG=10m,即小李从斜坡B走到A处，高度 上升了10m.(2)如图，过点A作AH⊥DF于点H.在 Rt△ACG冲，GC=√AC-AG=V√(2√4I)2-102=8(m). 设EF=aa在R△CEF中，m产m1g-票≈了， .CF≈3am.四边形AGFH是矩形，∴.AH=GF=GC+ CP=(8+3a)m在R△AHD中，ma=m35°-R器≈ H-DE+EH-DE+(EF-HE)-28.8( (188+a(m18≈，解得a12EF≈12m, 8+3a ∴.DF=DE+EF≈28.8+12=40.8(m),即建筑物DF的高 度约为40.8m D B H B GC 练习35方向角问题 1.(1)如图1，过点P作PD⊥AB于点D.设PD=xkm.在 Rt△BDP中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°，.BD= PD=xkm在Rt△PDA中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°= 30°，∴.AD=√3PD=√3xkm,BD+AD=AB,.x+√3x=2, 解得x=√3-1.答：小船到海岸线l的距离为(W3-1)km. 十东 609 图1 图2 (2)W2解析：如图2，过点B作BF⊥AC于点F.根据题意， 60 得∠ABC=90°+15°=105°.在Rt△AFB中，∠AFB=90°， ∠BAF=90°-60°=30，∴BF=2AB=1km在△ABC中， ∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-30°-105°=45°.在 Rt△BFC中，∠BFC=90°，∠C=45°，'.BC=√2BF=√2km, 即点C与点B之间的距离为√2km2.(I)由题意可知， ∠BAD=37°，∠ABD=90°.在Rt△ABD中，AB=2km, am∠BAD-m37-8器：BD=AB·m37≈2XQ.75= 1.5(ml.5÷品=6(kmh,即妈妈步行的速度约为 6km/h(2)如图，过点C作CE⊥AB于点E,过点D作DF⊥ CE于点F,则四边形BEFD是矩形，∠AEC=90°，又由题意知， ∠CAE=90°-45°=45°，∴.△AEC是等腰直角三角形，AE= CE.由矩形性质得EPF=BD=1.5km,DF=BE.设AE=CE a km,DF=BE=AE-AB=(a-2)km,CF=CE-EF=(a- 1.5m在R△CDF中，m∠DCF-8器m30-g2是 即5-a-2 得-。2异解得a=8,a-2=1,即D 1+V3km,CD=2DF=1+5≈1.37km,即明明从C处到 4 2 D处的距离约为1.37km 45 练习36与圆有关的锐角三角函数问题 1.(1)证明：AB是⊙O的直径，∴.∠ADB=90.,∠B= ∠E,∠CAD=∠E,∴.∠CAD=∠B,∴∠BAC=∠CAD+ ∠BAD=∠B+∠BAD=180°-∠ADB=180°-90°=90°，即 CA⊥OA,OA是⊙O的半径，∴.AC是⊙O的切线. ②：∠B=EaE-mB铝号设AD-3m则AB 5m,.BD=√AB2-AD=√(5m)2-(3m)=4m.,BD= 4m=4,得得m=1,AD=3,AB=5.“器-品 amB=是，AC-子AB=是X5=只，线段AC的长是 .2.(1)证明：如图1，连接OC.AD是⊙0的直径， ∴.∠ACD=90°，∴.∠ACO+∠OCD=90°.OA=OC, ∴∠BAC=∠ACO,∴.∠BAC+∠OCD=90°.：∠BCD= ∠BAC,∴∠BCD+∠OCD=90°，.∠OCB=90°.OC是 ⊙O的半径，.BC是⊙O的切线.(2)①：∠ACD=90°， a∠ADC-8S=2.:∠BCD=∠BAC,∠B=∠B, △Dn△BAC,器-認-是=合AB=85, BC-4/5,BD-BC-2/5,AD-AB-BD-8/5- 25=65,∴A0=号AD=35,∴⊙0的半径r为35. ②如图2，连接AE、DE.:E是AD的中点，.AE=DE, ∴∠ACE=∠DCE,AE=DE.,AD是⊙O的直径，∴∠AED ∠ACD=90°，∴∠ACE=∠DCE-45°.：AD=6W5,.AE-DE= 65x号=3而.an∠ADC=8S=2.AC=12,CD= 6.过点A作AH⊥CE于点H,过点D作DG⊥CE于点G, △ACH、△CDG都是等腰直角三角形，∴.AH=CH= 号AC=6E,CG=DG-号CD=3vE,Sax=5axm十 Sm=SE+SamE,号X12X6+号X3V1而X3V而= zCEX6/2+CEX3/2,+.CE-9/2. 图1 图2 练习37与二次函数有关的锐角三角函数问题 1.1)-1解析：由题意，得号×(-2)2-2b-4=0,解得 6=-1.(2):am∠A0D=号，可设点D2,50,合× (2)2-21-4=5,解得4=-7，=4（含去），点D(-1, 号）“y=分2-x一4=（红-1）2-号，设新抛物线的 函数表达式为y=子（红一m-号，-号=号×(m+1) 号，解得m=-3,m=1合去)，∴新抛物线的函数表达式为 y=之(x十3)2-号.：在直线1的左侧，平移前后的两条抛物 线都下降，∴≤-3.(3)如图，过点P作PV⊥CQ于点V, 设点P(,2P-1一4)，则平移后抛物线的函数表达式为y 号(x-)2+(分2-t-4),当x=1时，y=t-2-2, ∴点Q(1,e-2-).由题意易得∠CPQ=90.QV=(e 24-)-(3-i-4)-合e-+2,Cv-(2- 4)-(-8）=2-+2,∴Qv=Cw,Pv=Cw=Qv, ∴k-1到=22-计2，解得=3,2=-1,6=4=1（舍去）. 当=3时0=2×32-3-4=-号；当1=-1时，y=分× (-1)2-(-1)-4=-号.综上所述，点P的坐标为 (3,-)或(-1，-) Y 2.(1)将二次函数y=ax2(a>0)的图像向右平移1个单位长 度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为y a(x-1)2-2.OA=1,∴.点A的坐标为(-1,0)，代入抛物 线的函数表达式，得4a一2=0，解得a=,∴抛物线的函数 表达式为y=合(x-102-2,即y=合2-x-号.令y=0, 得宁-一号=0，解得=-1，=3，B(3,0)0B 3,.AB=OA+OB=1十3=4.△ABD的面积为5， ∴5m=2AB·%=5,∴n=号令号=72-x-是， 解得=-2（舍去），2=4，∴.D(4,号）.将A(-1,0)、 -k+b=0, =， D(4,号)代人y=x+6,得 +6多，解 ∴直 1 b=2 线AD的函数表达式为y=2x十2： 11 (2)如图1，过点E作 EM∥y轴交AD于点M,设E(m,2m2-m-是)，则 M(m,m+号)，EBM=合m+号-（分m-m-号） 7m+号m+2∴SaME=SaNe-Saoe=合XEMX1= 《61 2(-7m+号m+2）×1=-6m-3m-0=-(m )+器当m=多时，△4CE的面积取得最大值，此时 点E的坐标为（号，-）。 (3)由题意知，MO=MF, ∴点M在线段OF的垂直平分线上.由(1)知，抛物线的函数 表达式为y=合x-x-号，当x=0时，y=-是，即F(0, -号)∴OF=是.如图2，设H是OF的中点，则0H 号OF=子∴Ho,-圣)），点M在直线y=-上运动， ∴∠0r=∠OMmH,s∠0Qr=soMH-8器-赢 4 .当OM取得最小值时，sin∠OQF的值最大.，MO=MQ, ∴.当MQ取得最小值时，sin∠OQF的值最大.，当MQ垂直 于直线y=号时，MQ取得最小值，“M0=MQ=司 (-子)=号.在Rt△OHM中，HM=VMO-OF= √(）-(）-1点M在y轴右侧时，则M(1,-): 根据对称性可知，M(-1,-子)也符合题意.综上所述，点M 的坐标为(1，-子)或(-1，-4) 图1 图2 练习38相似中的三角函数问题 1.(1)∠ACB=90°，D是边AB的中点，.CD=BD.:DE平 分∠CDB∴CE=BE=合BC=号X4=2.()②O当△CER △ABC时，则∠ECF=∠BAC,∴·∠ECF+∠ABC=∠BAC+ ∠ABC=90°，.∠CDB=90°.：DE平分∠CDB,∴.∠CDE= 45°，∴.tan∠CDE=1;当△CEFn△BAC时，则∠ECF=∠B, CD=BD.,DE平分∠CDB,∴.DE⊥BC,∴DE∥AC, ∴∠BDB=∠Am∠CDE=m∠BDE=BmA=%= 25.综上所述，an∠CDE的值为1或25 62-42 62》 ②如图，过点E作EH⊥BD,垂足为H,则EF=EH,DF= DH.△BDE的面积是△DEF面积的2倍，.DH=BH, .DE=BE,∴∠EBH=∠EDB=∠CDE,△CDE∽ △CBD.CA--%-号a∠HBE--∠CBA, 器号器-部=是△CDEACBD,器 器-器=是0=4cD=8cE-是剂 4 2.(1)E是边BC的中点，.BC=2BE=2√2.四边形 ABCD是矩形，∴.AD=BC=2√2，∠B=90°，AD∥BC, ∴∠AEB=∠DAF.DF⊥AE,.∠AFD=90°=∠B, ∴△ABB△DRPA崇=器AE·AF=AD·BE= 2√2×√2=4.(2)如图1，延长DF交CB的延长线于点H, 连接DE、AH.四边形ABCD是矩形，，AD∥BC,AD= BC,∠BCD=90,△ADGO△CHG,0=88=号， 器-号，即C丽号BH=BC:E是边BC的 中点，.BE=CE=BH,EH=BC=AD,.四边形ADEH 是平行四边形.，DF⊥AE,.四边形ADEH是菱形，.DF= HF,∠AEH=∠AED,DE=AD=EH=BC,.CE=DE, ∴∠CDE=30°，.∠CED=90°-∠CDE=90°-30°=60°， ∴∠AEH=∠AED=2180°-∠CED)=号×(180°-60)= 60°.，DF⊥AE,∠FDE=90°-∠AED=90°-60°=30°= ∠CDE,∴FE=CE,.∠FCE=∠CFE=∠AEH=合X 60°=30，∴.cos∠FCE=cos30°=B」 21 D 图1 图2 (3)号解析：如图2，过点F作PQLAB于点P,交CD于 点Q,过点K作KN⊥AD于点N,则PQ=AD,AP=DQ, PQ∥BC∥AD.G是边AB的中点，E是边BC的中点， .AB=2AG,BC=2BE.四边形ABCD是矩形，.AD= BC,AB=CD,∠B=∠DAG=90°.DF⊥AE,∴.∠ADF+ ∠DAF=∠BAE+∠DAF=90°，∴.∠BAE=∠ADF, ∴△ABE∽△DAG,贺-，AB·AG=AD·BE,即 合A=之AD,AB=AD,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=AD=PQ.设AB=BC=CD=AD=PQ= 4a,则BE=AG=2a,∴tan∠ADG=tan∠BAE=a=合， AE=DG=√(2a)2+(4a)'=2/5a.,DF⊥AE,∴.AF= AADCAAPFAABE. DG 4w5 品距是即盟2 a2225a,解得AP= 5a,PF= 告a,CQ=PB=AB-AP=4a号a=号，FQ=PQ-PF 4a-告a=9 .KNLAD,it乙ADG-C-子设KN= x,则DN=2x.PQ∥AD,AK∥FC,∴.∠DAF=∠QFE, ∠KAF=∠CFE,'.∠DAK=∠QFC.又.∠ANK=∠FQC= 90,△ANK△FQC,÷沿-0即鸢=式，解得 AN=号xAN+DN=AD,∴号x+2x=4,解得x=号a, 6 KN=号a:△ADK的面积为S,=AD·KN,△CDF 6 的面积为S:=CD·FQ总=-S0=3 Sa 8 练习39动点中的相似问题 1.(1)∠C=90°，PQ⊥BC,∴.PQ∥AC,∴.△ABC∽△PBQ, :0-S由题意可知，PB=5,则-PQ=红 (2)在Rt△ABC中，BC=√AB-AC=√102-82=6.由 (1)可知，PB=5t,PQ=4t,.BQ=√/PB2-PQ=3t,∴.CQ= BC一BQ=6一3t.当△CPQ与△ABC相似时，分两种情况讨 论.①当△ACn△CPQ时，瓷-焉即后，=会解得 t号②当△ABCn△P0Q时，8瓷S,即，品，解得 1=1.综上所述，当△CPQ与△ABC相似时，L的值为2器或1. (3)SAc=7AC,BC=之×8X6=24.当PQ将△ABC的 面积分成1·3两部分时，分两种情况讨论：①当S△PQ· SE=1:3时，Sam1Se-1:4,∴S△m=号BQ· PQ=号×3×4=6d=}Sac=6,解得=1（负值已舍 去)，此时BQ=3,PE=QF=2t=2,则BF=5,∴.点F在线段 BC上，则CF=BC-BF=1,即点E到AC的距离为1；②当 S△PBQ:S梯形QcA=3:1时，S△PBQ:S△ABc=3:4,.S△PBQ= 号BQ·PQ-合×3X4=6-子Sc=18,值得1=3（负 值已舍去)，此时BQ=33,PE=QF=2t=23,则BF=5√3≥ 6,.点F在线段BC的延长线上，则CF=BF-BC=53-6, 即点E到AC的距离为5√3-6.综上所述，点E到AC的距 离为1或5√3一6.2.(1)1.25解析：由题意，得BE=(5 t)cm,BF=3tcm.若四边形EBFB为正方形，则BE=BF,即 5-t=3t,解得t=1.25.(2)分两种情况讨论：①若△EBF∽ △P0G,则有咒-恶，即=2解得4=14：@若 △EBF∽△GCR,则有器-票，即-，解得1 一7-√69（不符合题意，舍去）或t=一7+√69.综上所述，当 t=1.4s或t=(-7+√69)s时，以E、B、F为顶点的三角形 与以F、C、G为顶点的三角形相似. (3)不 A D 存在.理由如下：假设存在实数t,使得点B ,O(B) 与点O重合.如图，过点O作OM⊥BC于 点M,则在Rt△OFM中，OF=BF=3tcm,B FM=2BC-BF=(3-3)cm,OM=2.5am,由勾股定理得 0f+Ff=0,即2子+(3-30P=(30,解得4-易： 过点O作ON⊥AB于点N,则在Rt△OEN中，OE=BE=(5 t)cm,EN=BE-BN=(2.5-t)cm,ON=3cm,由勾股定理得 ON2+EN2=OE,即32+(2.5-t)2=(5-t)2,解得t= 器“是≠器不存在实数使得点B与点O重合。 练习40重代数推理的函数压轴题 1.(1).二次函数y=一x2+bx十c的图像经过点A(3,1),与 11=-32+3b+c, 1b=2 y轴的交点B的纵坐标为4， 解得 4=c, c=4, .此抛物线对应的函数表达式为y=一x2十2x+4.(2)如 图1，△AOB的面积是△BOP的面积的3倍，.S△oB= 《63提分练习 练习24正切(1) 【方法提示】计算角的正切值的关键是计算对边与邻边之比，如果没有直角三角形，需作垂 直构造直角三角形 1.如图，已知A、B两点的坐标分别为(8,0)、(0,8)，C、F分别是直线x=一5和x轴上的 动点，CF=10,D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E,当△ABE面积取得最小 值时，tan∠BAD的值是 () A. 2.如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4,tanB= e. (1)求BC的长. (2)利用此图形求tan15°的值. 3.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O,A是BDC的中点，AE⊥AC,与⊙O及CB的延长 线分别交于点F、E,且BF=AD. (1)求证：△ADCp△EBA. (2)若AB=8,CD=5,求tan∠CAD的值. 24》 九年级下册 练习25正切(2) 【方法提示】计算角的正切值的关键是计算对边与邻边之比，如果没有直角三角形，需作垂 直构造直角三角形 1.已知正方形ABCD的边长为2，P是直线CD上的一点.若DP=1,则tan∠BPC的值 是 2.如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的 延长线于点E,且AE⊥CE,连接CD (1)求证：DC=BC. (2)若AB=5,AC=4,求tan∠DCE的值. 3.如图，抛物线y=一x2十3x十4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点D在抛物线 上，且横坐标为3，连接BD, (1)求tan∠DBC的值 (2)P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标 《25 提分练习 练习26正弦、余弦(1) 【方法提示】计算角的正弦、余弦值的关键是正确理解正弦、余弦的定义，计算对边与斜边、 邻边与斜边之比，如果没有直角三角形，需作垂直构造直角三角形， 1.勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦 图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法.“赵爽弦图”已成 为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱 小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG、DG,若正方形ABCD 与EFGH的边长之比为√5：1，则sin∠DGE的值为( ) A.10 10 B停 C.310 10 D.25 5 2.如图，D是⊙O的直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO. (1)求证：BD是⊙O的切线， (2)若E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F,且△BEF的面积为8，cos∠BFA= 号，求△ACF的面积 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AD与x轴平行，且边BC、边AD 与二次函数y=一x2+bx十c的图像分别交于点E、F和点A、G,其中点A的坐标为 (1,2),点E的坐标为(2，m),连接AE,tan∠BAE=2 (1)求m的值及二次函数的表达式 (2)连接AF,求sin∠EAF的值. 26》 九年级下册 《 练习27正弦、余弦(2) 【方法提示】计算角的正弦、余弦值的关键是正确理解正弦、余弦的定义，计算对边与斜边、 邻边与斜边之比，如果没有直角三角形，需作垂直构造直角三角形， 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是斜边AB的中点，DM∥BC,且DM=CM, DE⊥AB于点E,连接AD、CD、BD.设△MDE的面积为S,四边形BCMD的面积为S2, 当5=号S时，求cos∠ABC的值。 2.如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB,垂足为H,E为BC上一点，F为弦DC的延 长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G,连接AE交CD于点P,且 FE=FP. (1)求证：FE是⊙O的切线 (2)若O0的半径为8，smF=号，求BG的长. 3.如图，BC是⊙O的直径，AD=DC,弦AC与BD交于点E. (1)求证：△ABE∽△DBC, (2)E知BC-号，CD-号，求sin乙AEB的值 《27 提分练习 练习28三角函数有关的阅读理解题 【方法提示】解答阅读理解题的关键是正确理解相关概念、材料的内涵，将问题转化为锐角 三角函数问题作答， 1.学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互 唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地，可以在等腰三角形中建立 边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫作顶角的正对(sad).如图， 在△AC中，AB=AC,角A的正对记作adA,这时dA-璧-能容易知道 一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述顶角的正对定义，若 sinA=号，其中∠A为锐角，试求sadA的值. 2.先完成填空，再按要求答题. (1)计算：sin230°+cos230°= ,sin245°+cos245°= ,sin260°+cos260°= ;观察上述等式，猜想：对任意锐角A,都有sinA十cos2A= (2)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的 猜想。 (3)已知0<∠A<90且nA,casA-号，求sinA十casA的值 28》 九年级下册 练习29网格中的锐角三角函数值问题 【方法提示】根据网格的特征构造直角三角形，再结合锐角三角函数的定义计算. 1.如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在小正方形的 顶点上，则∠AOB的正弦值是 A.3v10 B √10 C. 10 10 D.2 C B D (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，点A、B、C、D都在8X8的正方形网格的格点上，AB、CD相交于点E,则∠AED 的正切值是 () A.2 R号 C.2 D 5 3.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点上，则∠ACB的 正切值是 4.如图，在4X3的正方形网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交 于点P,则tan∠APC的值是 5.图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶 点称为格点，点A、B均在格点上.在给定的网格中，只用无刻度的直尺按下列要求作 图，并保留作图痕迹 (1)在图1中画∠ABC,使tan∠ABC=1. (2)在图2中画∠ABD,使tan∠ABD-2: (3)在图3中面∠ABE,使a∠ABE=景 图1 图2 图3 《29 提分练习 练习30解直角三角形(1) 【方法提示】解直角三角形的关键是能够正确运用锐角三角函数的定义，求出三角形中的 未知量，若没有直角三角形，需作垂直构造直角三角形 1.如图，在△ABC中，∠ABC=90,tanm∠BAC=,AD=2,BD=4,连接CD,则CD长 的最大值是 () A.是+25 B.1+2w5 C多+25 D.2+2√5 (第1题) (第2题) 2.如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，sinA=号，AD=6,BC=CD,AB=√2CD,那么 BC的长为 3.如图，□☐ABCD在平面直角坐标系xOy中，AD=6.若OA、OB的长是关于x的一元二 次方程x2一7x+12=0的两个根，且OA>OB, (1)求sin∠ABC的值 (2②连接OD,若E为x轴上的点，且Sa=号，求出点E的坐标，再判断△A0E与 △DAO是否相似，并说明理由. 30》 九年级下册 练习31解直角三角形(2) 【方法提示】题中若有直角三角形，则可以直接解直角三角形进而求出未知量，若没有直角 三角形，则需根据实际需要作垂直构造直角三角形进而求解 1.如图，在四边形ABCD中，∠ABC-∠ADC-90,AB=3,BC=2,tanA=专，则CD的 长为 ) A等 6 C. D.2 D D B B (第1题) (第2题) 2.如图，在四边形ABCD中，AB/CD,CD-CB,sin∠BAD-是，∠BCD=60,连接AC, 则tan∠ACD= 3.如图，四边形ABCD为正方形，E为边BC上一点，将正方形ABCD折叠，使点A与 点E重合，折痕为MN.若tam∠AEN=号，DC+CE-10. (1)求△ANE的面积. (2)求sin∠ENB的值. 《31 提分练习 练习32坡度和坡角问题 【方法提示】在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构造直角三角形，坡角即是一锐角， 坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题， 1.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固.如图，加固前 D 拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB=12m, E 背水坡面CD=12√3m,∠B=60°，加固后拦水坝的横断 面为梯形ABBD,tanE=3智，则CE的长为 m 2.如图，大坝的横截面是Rt△ABC,坝高AC=16m.因防洪需要，将坝腰的土石推至坡 脚（不计损耗），将坝面AB改造成长为36的折线形坝面AD一DE,坝面AD的倾斜 角a=36.87,坝面DE的倾斜角月=2.62.（参考教据：sm36.87号，sm2.62) (1)求坝面DE的长度. (2)求坡脚向前推进的距离BE的长， 16m B 3.货车长方体货厢的净高BC为2.5m,底部B离地面的高度BD为1.2m.现欲将高为 2m的正方体货物装进货厢，工人师傅搭了坡度为1：3的坡面AB. (1)若货物从如图所示的位置升高0.5m,求货物水平移动的距离 (2)由于货物较重但分布均匀，工人师傅试图将货物沿坡面AB推到适当位置后，再轻 松平放进货厢.请问：能否达到目的？为什么？ 货厢 B/货物 32》 九年级下册 《 练习33与圆有关的三角函数问题 【方法提示】解答这类问题的关键是根据条件构造直角三角形， 1.“五一”期间，露营爱好者在阳澄湖半岛旅游区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”， 其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB,用绳子拉直AD后系在 树干EF上的点E处，使得A、D、E三点在同一条直线上，通过调节点E的高度可控 制“天幕”的开合，AC=AD=2m,BF=3m.(结果精确到0.1m,参考数据：sin68°≈ 0.93,cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，w2≈1.41) (1)天晴时打开“天幕”，若∠α=68°，求遮阳宽度CD的长. (2)下雨时收拢“天幕”，若∠α从68°减少到45°，求点E下降的高度. 2.筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈延章在《水轮赋》中写道：“水能利 物，轮乃曲成.”如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转。圈，简车与水面 分别交于点A、B,筒车的轴心O距离水面的高度OC为2.2，筒车上均匀分布着若 干个盛水筒.若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间， (1)经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？ (2)浮出水面3.4s后，盛水筒P距离水面多高？ (3)若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M,MO=8m.求盛水 筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上.（参考数据：cos43°= sin47r1m16=os74r≈0sm2r=6os68≈g》 N 水面 《33