第五章 专题3 二次函数中的存在性问题-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级数学下册（苏科版2012）

第5章二次函数 专题3二次函数中的存在性问题 目/类型一/二次函数中等腰三角形的存在性问题 1.如图，已知抛物线y=ax2十bx一3的图像与x轴交于点A(1,0)、B(3,0),与y轴交于点 C,D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E. (1)求抛物线的函数表达式 (2)如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M,使△AMC的周长最小，并求出点M的 坐标和周长的最小值 (3)如图2，P是x轴上的动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于点F、 G.设点P的横坐标为，是否存在点P,使得△FCG是以FG为腰的等腰三角形？ 若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由. 图1 图2 目/类型二/二次函数中直角三角形的存在性问题 2.已知抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)与x轴交于A(一2,0)、B(6,0)两点，与y轴交于点 C(0,-3) (1)求抛物线的函数表达式 (2)如图1，在对称轴上是否存在点D,使△BCD是以BC为直角边的直角三角形？若存 在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. (3)如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M,当最大时，请直 接写出点P的坐标. V 图1 图2 《33 课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版))) 目/类型三/二次函数中平行四边形的存在性问题 3.已知抛物线C:y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(一2,0)、B(3,0),与y轴交于 点C(0,-4). (1)求抛物线C1的函数表达式. (2)如图，若P(m,n)是抛物线C1在第四象限上的任意一点， ①连接AC、CP,D为y轴上一个动点，是否存在这样的点P和点D,使得以A、C、P、 D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说 明理由， ②将点P按竖直方向向下平移m个单位长度到点Q,求点Q到x轴距离的最大值. 目/类型四/二次函数中特殊四边形的存在性问题 4.抛物线y=ax2+2x十c过点A(-1,0)、B(3,0),顶点为C. (1)求抛物线的函数表达式及顶点C的坐标. (2)如图1，点P在抛物线第一象限的图像上，连接CP并延长交x轴于点D,连接AC、 AP.若SAACP:S△ADp=4:5,求点P的坐标. (3)如图2，在(2)的条件下，E是抛物线对称轴上一点，F是平面内一点，是否存在点E、 F,使得四边形ADFE为菱形？若存在，求出所有符合条件的点E、F的坐标；若不存 在，请说明理由 V 图1 图2 34》V+6+日--8引△M0c的面积=合C aa =4c20，即8>≥58日≥5或8≤-5， 解得a≥了或a≤品且a≠0，综上所述，a的取值范围是a≥ 号或≤品且a≠0， :ht -4-102b 5.()图像C的对称轴为直线x=名，顶点的纵坐标为 4c一止，图像C的对称轴为直线x=1,顶点的纵坐标为c一1， 4 :C的顶点纵坐标比C的顶点纵坐标小3(c一1)-c一- 4 3,解得b=4,b2=一4.又C1的对称轴在C2的对称轴的右 侧2>1,6>2∴6=4(2)由(1)，得6=4，n x2-4x十c.1<2,.x2-4x+c<x2-2x+c,x>0. ,C的对称轴为x=2,y随x的增大而减小，x<2,.自变 量x的取值范围为0<x<2.(3)①：点A(m,)在C上， .p=m2-4m十c.点B(n,q)在C2上，∴.q=n2-2n+c, .p-q=(m2-4m十c）-(n2-2m+c）=m2-4m-n2+2m.把 n=2m+3代入，得p-q=m2-4m-(2m十3)2+2(2m十3)= -3m2-12m-3=-3(m十2)2十9.，-3<0，.当m=-2 时，p-q有最大值，最大值为9.②，p-q=m2-4m一n2十 2n,∴.把n=m十t代入，得p一g=m2-4m-(m十t)2十2(m十 t)=-2m-2mt-t+2t.由条件可知，-2m-2mt-t2+2t= 3t,整理，得(1十t)(2m十t)=0,∴.1十t=0,.t=一1. 专题3二次函数中的存在性问题 1.(1)将点A(1,0)、B(3,0)代入y=ax2+bx-3,得 日。解得份4，：抛箱线的厨数表达式为y -x2+4x一3.(2)如图，连接BC交DE于点M,此时MA十 MC最小.又，AC是定值，.此时△AMC的周长最小.令x 0,则y=-3,即点C(0,-3),∴.OB=OC=3,OA=1,.BC= √OC+OB=3√2.同理可得AC=√10，∴.此时△AMC的 周长=AC+AM+MC=AC+BC=√10+3W2..直线DE 是抛物线的对称轴，抛物线与x轴交于点A(1,0)、B(3,0), ∴.AE=BE=1,对称轴为直线x=2.,OB=OC,∠BOC 90°，.∠OBC=45°，∴.ME=BE=1.又点M在第四象限， 且在抛物线的对称轴上，∴.点M(2,一1).(3)存在点P,使 得△FCG是以FG为腰的等腰三角形.理由如下：设直线BC 的函数表达式为y=kx十t,把点B(3,0)、C(0,一3)代人，得 52+符传-六直线C的函数表达式为y一2 t=-3, ,点P的横坐标为m,.点F(m,-+4m一3)，点G(m,m一3)， 则F=(m-m)2十(-t十4m-3-m十3)2=（一t+3m)2, CF=(m-0)2+(-m2+4m-3+3)2=(m2-4m)2+m2, CG=(m-0)2+(m-3+3)2=2m2.当FG=CF时，(-m2+ 3m)2=(m2-4m)2+m2,解得m=0(舍去)或m=4;当FG= CG时，(-m2+3m)2=2m2,解得m=0(舍去)或3士√2.综上 所述，存在点P,使得△FCG是以FG为腰的等腰三角形； m的值为4或3十√2或3一√2 课时提优计划作业本·数 2.(1)将点A(一2,0)、B(6,0)、C(0,一3)代入y=a.x2+bx+c,得 4a-2b+c=0, 1 a=4' 36a+60叶c=0,解得6-1， 抛物线的函数表达式为y= (c=-3, c=一3， 4x2-x-3. (2)存在.理由如下：由(1)得，抛物线的函数表 达式为)=子2-x-3,对称轴为直线x=2.:点C(0, -3),.OC=3.如图1，当∠CBD=90°时，过点B作GH⊥ x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G,过点C作 CH⊥y轴，CH与GH交于点H,则DG=4,BH=3,CH=6, ∠DBG+∠BDG=90°，∠DBG+∠CBH=90°，∴.∠BDG= ∠CBH,:△DBcn△BH,器-器即专-g, 61 ∴BG=8,点D(2,8);如图2，当∠BCD=90°时，过点D作 DK⊥y轴于点K,则∠KCD+∠BCO=90°，∠KCD+ K=90,∠CDK=∠B0O,∴.△OBC2△KCD,XKC ，即是=号KC=40K=0C+KC=1,点D(2, OC 3 一7).综上所述，在对称轴上存在点D,使△BCD是以BC为 直角边的直角三角形，点D的坐标为(2,8)或(2，一7). (3)如图3，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E,过点P作 PFL:精交直线BC于点FPF∥AE,器是由题意 可知，直线BC的函数表达式为y=2x一8设点P(, 一3)，则点F(号4-3)，PF=-3-子e++3= 子+号A(-2,0,B(-2,-0AD=4 器（+)=4-3+最品<0， 当一3时，器有最大值，最大值为最此时，点P的坐标 为(3，-9) 7B H 图 图2 图3 学·九年级下册(SK版) 3. 3.(1)设抛物线C的函数表达式为y=a(x+2)(x一3)= a(x2-x-6),将点C(0,一4)代入，得-6a=-4,解得a= 号“抛物线C的函数表达式为y=号2-号红-4 2 (2)①存在.设点D(0,t).当AC为对角线时，由中点坐标公 式，得20-士，则m=-2,即点P(-20(合去)当 AP或AD为对角线时，同理可得一2士m-0生或一0 m士，则m=2或m=-2(合去)，点P(2,号)，综上所 述，存在这样的点P和点D,使得以A、C、P、D为顶点的四边 形是平行四边形，点P的坐标为(2，一号）.②由题意可知， 点P的坐标为(m,号d-号m一4)，则点Q的坐标为(m, 号m-子m-4-m）∴点Q到x轴的距离为-（号心 号m-4-m)=-号(m-)》'+器，：-号<0，当m 号时，点Q到x轴的距离取得最大值，最大值为界。4（④把 点A(-1,0)、B(3,0)代人y=ax2+2x+c,得 (a一2十c一0，解得a1抛物线的函数表达式为y= l9a+6+c=0, c=3, -x2+2x+3.y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,.顶点C 的坐标为(1,4).(2)如图1，过点C作CMLx轴于点M,过 点P作PN⊥x轴于点N.:SAP:SAADP=4:5,.S△ADP: SAAc=5:9,1 &ADPN号器设点P@ D.CM -4+2+3),其中>0，则=十2+3=号，解得6=一号 4 3 (会去)=子∴点P的坐标为（子，）】 (3)存在.由 (2②)，得点P(子，9)设直线CP的函数表达式为y=k+b, 将点c1,以、（号·罗）代人，{号+智愿得 (k+b=4, 9· k=- 4 3 65, 直线CP的函数表达式为y=-专x十9令 y一0，得-亭十号-0，解得x=4,∴点D4,0又：点A(-1, 0),.AD=5.由(1)知，抛物线的对称轴为直线x=1.设 点E(1,m),当四边形ADFE为菱形时，则AE=AD,如图2， 设直线x=1与x轴交于点H,则点H(1,0),.AH=1一 (-1)=2,EH=Iml,..AE=EH2+AH2=m2+4,.AD= 25,.m2+4=25,解得m=土√2I,.点E的坐标为 (1,√2I)或(1，一√2I),由平移的性质可知点F的坐标为 (6,√21)或(6，一√2I).综上所述，存在点E的坐标为(1， √2T),点F的坐标为(6，√2I)或点E的坐标为(1，一√2I), 点F的坐标为(6，一√21)，使得四边形ADFE为菱形. 课时提优计划作业本·数 。1 OM NB DX E 图1 图2 专题4二次函数与几何变换 1.2解析：如图，过点C作CGLx轴，交x轴于点G,过点D 作DH⊥CG,交CG的反向延长线于点H.点A、B的坐标 分别为(0,2)、(1,0)，∴.OA=2,OB=1.四边形ABCD为正 方形，.∠ABC=90°，AB=BC,.∠ABO+∠CBG=90°. ,∠ABO十∠BAO=90°，∴.∠CBG=∠BAO.,∠AOB= ∠BGC=90°，∴.△AOB≌△BGC(AAS),'.BG=OA=2, CG=OB=1,∴.点C(3,1).同理得△BCG≌△CDH,∴.CH= BG=2,DH=CG=1,点D(2,3).,点C在二次函数的图 像上÷号×32十36一1=1，解得=一弓心抛物线的函数 1 1 表达式为y=3t-3x-1.设点D(x,),由平移得点D 与点D的纵坐标相同，则)=3，当y=3时，即号2-号x 1=3,解得x1=4,x2=-3(舍去)，.点D(4,3),.DD= 4一2=2，即点D与其对应点D'之间的距离为2. O B 2.1<≤4或n=8解析：“y=2-2x-3=(x-1)2-4, 顶点A(1,-4).令x=0,则y=-3,.C(0,一3).设直线 AC的函数表达式为y=kx十b,将点A(1,-4)、C(0,-3)代 人，得修生解得信-女直线AC的通数表达式为 y=一x一3.，CB∥x轴，抛物线对称轴为直线x=1, ∴点B(2,一3).①如图1，将抛物线先向左平移h个单位长度， 再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的函数表达式为 y=(x一1十h)2-4十h.设直线BA的函数表达式为y='x十 《等得后六直线A的西数表达式 1b=-5, 为y=x-5.联立方程组y=x一5， 1y=(x-1+h)2-4+h, 整理得 x2一(3一2h)x十h2一h十2=0.平移后的抛物线与射线BA 只有1个公共点，∴.此方程只有1个实数解，∴.(3一2h)2一 40-h十2》=0，解得=日，此时抛物线的顶点为（名， -),此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点 ②如图2，将抛物线先向右平移k个单位长度，再向下平移 k个单位长度，则平移后的抛物线表达式为y=(x一1一)2 学·九年级下册(SK版) 4·