5.4 二次函数与一元二次方程-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级下册数学同步练习课时基础强化版（苏科版）

课时提优计划作业本数学九年级下册》 5.4二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程(1) 知识梳理 二次函数y=ax2十bx十c与 一元二次方程a.x2+bx十c=0根的情况 x轴公共点的个数 b2-4ac>0 公共点 两个不相等的实数根，x1= C2= b2-4ac=0 公共点 两个相等的实数根，x1=x2= 62-4ac<0 公共点 没有实数根 强化巩固 1.(1)二次函数y=x2一2x一3的图像与x轴的交点坐标为 ;一元二次方程x2一 2x一3=0的根为 (2)一元二次方程x2+2x十2=0的根的情况为 ;二次函数y=x2十2x+2的 图像与x轴的交点情况为 2.二次函数y=x2一2x+2的图像与坐标轴的交点个数是 ( A.3 B.2 C.1 D.0 3.若抛物线y=x2十4x十c与x轴没有交点，则c的值可以是 ( A.-4 B.0 C.4 D.8 4.关于二次函数y=一(x十1)(x一1)的图像，下列说法错误的是 () A.开口向下 B.对称轴是直线x=0 C.当x>0时，y随x的增大而增大 D.抛物线和x轴交于点（一1,0）、(1,0) 5.如图是函数y=ax2+bx十c的部分图像，则该函数图像与x轴负半轴的交点坐标 是 2 5 (第5题) (第7题) 6.抛物线y=2x2+bx十8的顶点在x轴上，则b= 7.如图，二次函数图像顶点坐标为(1，一4)，与x轴其中一个交点坐标为(3,0). (1)该函数图像与x轴的另一个交点坐标为 (2)这个二次函数的表达式为 (3)若将该二次函数沿x轴翻折，则翻折后的二次函数表达式为 18 第5章二次函数 8.已知二次函数y=kx2-一7x一7的图像与x轴有交点，则k的取值范围是 Ak>-子 B.2-子且k0 C-子 D.>-子且0 9.二次函数y=a.x2十bx十c的部分对应值列表如下： 2 -3 0 1 3 5 7 -8 -9 -5 则方程a.x2十bx十c=一5的解为 10.如图，二次函数y=x2一x一6的图像交x轴于A、B两点，交y轴于点C,则△ABC的面积 为 B (第10题) (第11题) 11.如图，抛物线y=ax2十bx十3(a<0)交x轴于点A、B(4,0),交y轴于点C,以OC为边的正 方形OCDE的顶点D在抛物线上，则点A的坐标是 12.已知二次函数y=x2十2m.x十m2-1(m为常数). (1)求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点. (2)若该函数的图像与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，求的取值范围. 拓展提升 13.二次函数y=ax2十bx十c的图像如图所示，根据图像解答下列问题， (1)方程a.x2+bx+c=0的两个根为 ;不等式a.x2+bx+c>0的解集 为 (2)若关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 y 3 (3)若关于x的一元二次方程ax2+bx十c-t=0在1<x<4的范围内 有实数根，求t的取值范围. /123引4x -1 -2 《19 课时提优计划作业本数学九年级下册》 第2课时二次函数与一元二次方程(2) 知识梳理 利用二次函数y=ax2十bx十c的图像与x轴的公共点的位置，可以确定一元二次方程ax2十 bx十c=0的两个根的 .因此，要确定一元二次方程ax2+bx十c=0的两个根的取值范围， 可以先画二次函数y=ax2+bx十c的图像，再观察图像与 位于哪两个实数之间. 强化巩固 1.二次函数y=x2+3x一5的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … -1 -0.49 a 0.59 1.16 那么方程x2+3x-5=0的一个近似根的取值范围为 A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.3<x<1.4 2.如图是二次函数y=ax2十bx十c的图像的一部分，其对称轴是直线x=2,与x轴的一个交 点是(5,0)，则不等式ax2十bx十c<0的解集是 A.x<-1或x>5 B.x>5 C.x<-1 D.-1<x<5 2 -3-2,02345x 4012 (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图是二次函数y1=ax2十bx十c和一次函数y2=mx十n的图像，观察图像可知，当 y1≥y2时，x的取值范围是 4.如图，利用抛物线y=ax2十bx十c的图像解决下列问题. (1)方程ax2+bx+c=0的根为 (2)方程a.x2+bx十c=一3的根为 (3)不等式ax2十bx十c≤0的解集为 (4)若方程a.x2+bx十c=m有两个不等实数根，则m的取值范围为 (5)观察可得：a十b+c= 20 第5章二次函数 5.已知二次函数y=ax2+bx十c,自变量x与函数y的对应值如下表： -3 -2 0 1 3 5 -7 0 8 9 5 一7 … 下列说法错误的是 A.a<0,b>0 B.62-4ac-0 C.不等式ax2十bx+c>0的解集是-2<x<3 D.a十b≥m(am十b)(m为任意实数) 6.二次函数y=ax2十bx十c的图像如图所示.现有下列结论：①2a十b=0; ②a十b十c>0;③方程a.x2十bx十c=a有两个不相等的实数根；④不等 式a(x十1)2十b(x十1)+c<0的解集是一2<x<2.其中所有正确结论 的序号是 ( A.①③ B.②④ C.①③④ D.①②③④ 7.如图，二次函数y1=x2一2x一3的图像与x轴交于点A、B(,点A在点B的左侧)，与一次函 数y2=一x十b的图像交于A、C两点. (1)b= (2)求△ABC的面积 (3)根据图像，直接写出当y>y2时x的取值范围. 拓展提升 8.已知二次函数y=ax2一2ax十3(a为常数，a≠0). (1)若a<0,求证：该函数的图像与x轴有两个公共点. (2)若a=-1,求证：当-1<x<0时，y>0. 《21强化巩固 1.D解析：把(1，-2)代入y=a.x2-1,得a-1=-2,解得 a=一1.2.B解析：，抛物线的顶点坐标为(2,3)，.设抛 物线的函数表达式为y=a(x一2)2十3，将(3,1)代入，得1= a(3一2)2十3，解得a=一2，∴.抛物线的函数表达式是y= -2(x-2)2十3.3.A解析：根据题意，得 (4a-8+c=-1, a+4+c=5, 解得Q=2,这个二次函数的表达式为y=22+4红一1. c=-1, 4.16解析：根据题意，得4c一一8》=0，解得c=16. 4X1 5.y=一x2+2x十3解析：设这个二次函数的表达式为y= a(x+1)(x一3)，把(0,3)代入，得3=a(0+1)(0-3),解得 a=一1，.这个二次函数的表达式为y=一(x十1)(x一3)= -x2+2x+3.6.y=-x2-2x解析：把(0,0)代人y= ax2一2x十a2一1，得0=a2一1，解得a=士1，又由题图像可 知，抛物线开口向下，∴.a=一1，∴.该抛物线的函数表达式为 y=一x2-2x.7.D解析：根据题意，得y=一2(x十1)(x 3)=一2(x2-2x-3)=-2x2+4x+6.8.(1)由所给表格 c=3, (a=1, 可知，了a十b十c=0,解得b=一4，∴.二次函数的表达式 4a+2b+c=-1,(c=3, 为y=x2-4x十3.(2)3解析：将x=4代入函数表达式， 得m=4-4×4+3=3.(3)(2,一1)解析：由(1)知，y= x2一4x十3=(x一2)2一1，.二次函数图像的顶点坐标为(2， 一1).9.y=一(x十1)2+5解析：由图像可知，抛物线的 顶点坐标为（一1,5），所以函数的表达式为y=一(x十1)2+5. 10.y=x2-2x-3解析：当x=0时，y=-3,.C(0,-3), ∴.OC=3.OB=OC=30A,∴.OB=3,OA=1,∴.B(3,0)、 A(一1,0).将B(3,0)、A(-1,0)代入y=ax2+bx-3,得 (0=9a十303”解得a1,六该抛物线的函数表达式是 0=a-b-3, b=-2, y--2红-3，山.y号2解析：ABLy轴交y轴于 点(0,6)，AB=6,∴.B(3,6),将B(3,6)代入y=ax2,得a= 号，该抛物线对应的函数表达式为y=号.2.0 解析：.抛物线经过点（一2,3）、(0,3)，.抛物线的对称轴为 直线x=一1，∴.x=一3和x=1对应的函数值相等，即m=0. 13(①z=-1解析：对称轴为直线x=一器-1 (2)·抛物线的顶点在x轴上，.顶点坐标为（一1,0），代入 y=a.x2十2a.x十3a2-4,得a一2a十3a2一4=0，解得a=-1或 a=号，该抛物线的函数表达式为y=一-2x-1或y r+x+ 4 .(3)对称轴为直线x=一1，∴.点N(2, y2)关于直线x=-1对称的点为N'(-4,y2).①当a>0时， 若h>2,则m<-4或m>2;②当a<0时，若M>2,则 -4<m<2. 课时提优计划作业本 ● 拓展提升 14.(I)y=2x十1的图像与x轴交于点A,与y轴交于 点B,A(-2,0),B0,1D,将B0,1DD1,0)代入y=2t+ c=1, 3 bx+c,得 6+c+号-o解得 =一之.二次函数的表达 (c=1, 式)-司2-号十1.(2)设点C的坐标为(，为)，则有 1 h=2x0十1， 解得 =w2-是+1， {w=4.C(4,3).由题图像可 （%=3, 知，S-SE-S.又由对称轴为直线x=号可知，E(2, 0).又：A(-2,0)、D1,0),AD=3,AE=4,S=2AE· w-合AD:0B=2×4X3-2×3X1=号 5.4二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程(1) 知识梳理 2个 -b+√6-4ac 2a -@1个-名0个 2a 强化巩固 1.(1)(3,0)、(-1,0) x1=3,x2=一1(2)没有实数根没 有交点2.C解析：由题意可知，二次函数图像与y轴的交 点为(0,2)；令y=0,则x2-2x十2=0，，-4ac=4-8<0, 方程无解，∴二次函数图像与x轴无交点.综上所述，二次 函数y=x2一2x十2的图像与坐标轴有1个交点.3.D 解析：，抛物线y=x2十4x十c与x轴没有交点，∴.x2+4x十 c=0无解，∴.42-4c<0,解得c>4,故D选项符合题意. 4.C解析：，a=一1<0，∴.抛物线开口向下，故A选项不符 合题意；∴抛物线对称轴为直线x=O,故B选项不符合题意； ,抛物线开口向下，对称轴的右侧，y随x的增大而减小，故 C选项符合题意；抛物线和x轴交于点（一1,0）、(1,0)，故 D选项不符合题意.5.（一1,0）解析：由题图可知，抛物线 的对称轴为直线x=2,抛物线与x轴的一个交点坐标为(5， 0),∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（一1,0）.6.士8 解析：，抛物线y=2x2+bx十8的顶点在x轴上，.b一4× 2×8=0,解得b=士8.7.(1)（一1,0）解析：由题图像可 知，该二次函数的对称轴为直线x=1,且该二次函数与x轴 的一个交点坐标为(3,0)，抛物线与x轴的另一个交点坐标 为（一1,0）.(2)y=(x一1)2一4解析：由题图像可知，该二 次函数的顶点坐标为(1，一4)，.可设该二次函数的表达式为 y=a(x-1)2-4,把(0,3)代入，得0=a(3-1)2-4,解得a= 1,.该二次函数的表达式为y=(x一1)2-4.(3)y=一(x 1)2十4解析：将二次函数y=(x一1)2一4沿x轴翻折，翻折 后二次函数的顶点坐标为(1,4)，开口向下，开口大小没有变 化，.翻折后的二次函数表达式为y=一(x一1)2+4.8.B ·数学·九年级下册 解析：由题意，得62-4ac=(-7)2-4×k×(一7)≥0且k≠ 0,解得≥-子且k0.9.=3,=-1解析：由表格 中的信息可得，对称轴为直线x=一3，十5=1.“当工=3时，y 2 =-5,.当x=-1时，y=-5,.方程ax2+bx+c=-5的 解为x=3,x2=一1.10.15解析：当y=0时，x2-x-6 =0,解得x=-2或x=3,则A(-2,0)、B(3,0);当x=0时， y=-6,则C(0,-6.AB=5,0C=6,S=2AB· 0C=分×5×6=15.11.(-1,0)解析：设A(a,0),当 x=0时，y=3,.C(0,3),.OC=3,在正方形OCDE中， CD=OC=3,.D(3,3),根据抛物线的对称性，得0十3=a十 4,解得a=一1，∴.A(一1,0).12.（1)证明：一4ac= (2m)2-4×1×(m2-1)=4m2一4m2+4=4>0,.'.不论m为 何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点.(2)当y=0 时，x2+2mx十m2-1=0,解得=-m+1,x2=-m-1, ∴.该函数的图像与x轴的交点的坐标为（一m十1,0）、（一m一 1,0).,函数图像与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，且 -m+1>-m-1,∴.-m+1>0且-m一1<0，解得一1< m<1,.m的取值范围是一1<m<1. 拓展提升 13.(1)0=1,x2=31<x<3(2)k<2解析：由题图像 可知，该二次函数的顶点的纵坐标为2，.该二次函数与直线 y=2只有一个公共点，.当k<2时，该二次函数与直线y=k 有两个公共点，即方程a.x2十bx十c=k有两个不相等的实数 根，∴.k的取值范围是<2.(3)由题图像可知，该二次函数 的顶点坐标为(2,2)，.可设其表达式为y=a(x一2)2十2.把 (1,0)代入，得0=a十2，解得a=一2，∴.该二次函数的表达式 为y=-2(x-2)2+2.把x=4代入y=-2(x-2)2+2,得 y=一6；把x=2代人y=一2(x一2)2+2，得y=2,.t的取值 范围是一6<t2. 第2课时 二次函数与一元二次方程(2) 知识梳理 近似值x轴交点 强化巩固 1.B解析：把x=1.2代入y=x2+3x-5,得a=0.04,观察 表格可知，当x=1.1时，y=一0.49，.方程x2十3x一5=0的 一个近似根的取值范围为1.1<x<1.2.2.A解析：，抛 物线y=a.x2十bx十c图像的对称轴是直线x=2,与x轴的一 个交点是(5,0)，∴.抛物线y=ax2十bx十c图像与x轴的另一 个交点为（一1,0），观察图像可知，不等式ax2+bx+c<0的 解集是x<-1或x>5.3.x≥1或x≤-24.(1)x1= 一1，x2=3解析：二次函数与x轴的交点为（一1,0）、(3， 0),.方程ax2十bx十c=0的根是=-1，x2=3.(2)= 0,x2=2解析：，由图像可知，抛物线的对称轴为x=1,当 y=一3时，x=0,∴.y=一3与抛物线的另一个交点为x=2X 1-0=2,则方程ax2十bx十c=-3的根为x1=0,x2=2. 课时提优计划作业本 (3)一1x3解析：二次函数与x轴的交点为（一1,0） (3,0),且开口向上，.不等式ax2+bx+c≤0的解集为一1≤ x≤3.(4)m>-4解析：，方程a.x2十bx十c=m有两个不 等实数根，∴.抛物线y=a.x2+bx十c与y=m有两个交点， .m>一4，(5)-4解析：，抛物线的顶点为(1，一4)，.当 x=1时，y=a十b十c=一4.5.C解析：已知二次函数y= ax十bx十c,自变量x与函数y的对应值随着x的增大，y的 值先增大再减小，∴.a<0.,x=一3和x=5时的函数值相 同，均为一7，对称轴为直线x=二3，+5=1，抛物线的顶 坐标为1,9)，即当x1时，y有最大值9，：一品=1>0 .b>0,故A选项不符合题意；·当x=一2或x=4时，函数 值均为0，即方程a.x2+bx十c=0有两个不等实数根，∴. 4ac>0,故B选项不符合题意；：'a<0,抛物线开口向下，当 x=一2或x=4时，函数值均为0，.等式ax2十bx十c>0的 解集是-2<x<4,故C选项符合题意；·当x=1时，y有最 大值9，∴.a十b十c≥am2十bm十c(m为任意实数)，整理，得 a十b≥m(am十b)(m为任意实数)，故D选项不符合题意. 6.C解析：由题图可知，a>0,二次函数与x轴交于点（一1， 0)和3,0，抛物线的对称轴为直线x=-士3=1，即名 2 1,∴.b十2a=0,故①正确；由题图可知，当x=1时，y<0,即 a十b十c<0,故②错误；：a>0,∴y=a在x轴的上方，∴y= a,x2十bx十c的图像与y=a有两个交点，故③正确；根据平移 可知，y=ax2十bx十c的图像向左平移1个单位得y=a(x十 1)2+b(x+1)+c的图像，∴.y=a(x+1)2+b(x+1)+c的图 像与x轴的交点为(-2,0)和(2,0)，∴不等式a(x十1)2十 b(x十1)+c<0的解集是一2<x<2,故④正确.综上所述，所 有正确结论的序号是①③④.7.(1)一1解析：当yh=0 时，x2-2x一3=0，解得=-1，x2=3.·二次函数M=x2 2x一3的图像与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)， A(-1,0),B(3,0).:直线2=-x十b经过点A,.0 -(-1)+b,.b=-1.(2)由(1)知，2=-x-1,联立，得 x2-2x一3=一x-1,整理，得x2-x-2=0,解得x1=-1(舍 去)，x2=2,把x=2代人y=-x-1,得y=-3,∴.C(2,-3), SAc=2X[3-(-1D]×-31=6.(3)当y>%时， x的取值范围是x<一1或x>2, 拓展提升 8.证明：(1)(-2a)2-4×a×3=4a2-12a=4a(a-3).,a< 0,∴.a一3<0，∴.4a(a一3)>0，.该函数的图像与x轴有两个 公共点.(2)将a=一1代人函数表达式，得y=一x2+2x十 3=一(x一1)2十4，∴.抛物线的对称轴为直线x=1,开口向 下.当一1<x<0时，y随x的增大而增大.又，当x=一1时， y=0,.当-1<x<0时，y>0. 5.5用二次函数解决问题 第1课时 用二次函数解决问题(1) 知识梳理 变量实际 ·数学·九年级下册