第03讲 复数（培优讲义）新高二数学人教A版

第03讲 复数（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 复数的定义及其分类 2 知识点02 复平面 3 知识点03 复数的四则运算 3 知识点04 复数的三角表达式 4 剖题型·讲技巧 5 题型1 复数的分类 5 题型2 复数的四则运算 6 题型3 复数的乘方运算 7 题型4 复数的几何意义 7 题型5 复数的模 8 题型6 待定系数法求复数 9 释疑惑·重难拓展 9 题型1 复数运算的对错判断 9 题型2 复数的最值问题 10 题型3 复数的三角形式 11 知高考·真题探源 12 练好题·提分培优 12 课标要点 1．理解复数的基本概念、分类以及复数相等的充要条件，明晰实部、虚部、共轭复数等定义，掌握虚数单位i的运算规则，夯实数系扩充相关知识基础。 2．认识复平面，理解复数的几何意义与模的概念，建立复数、平面点、向量三者的对应关系，体会数形结合思想。 3．熟练掌握复数代数形式的四则运算及运算律，能规范完成计算，了解加减运算的几何意义。 4．了解复数三角形式的定义、互化方法与运算法则，掌握三角形式乘除运算规律，提升综合运算能力。 知识点01 复数的定义及其分类 1、定义 形如的数叫做复数，其中称为的实部，称为的虚部(为虚数单位)．规定 2、复数的分类 复数的分类 充要条件 集合表示 实数 虚数 纯虚数 且 3、复数相等 在复数集中任取两个数，我们规定：与相等的充要条件是且 练习1．给出下列复数：①；②；③；④；其中表示实数的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．复数的虚部为______． 知识点02 复平面 1、定义 实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴. 2、复数的几何意义及复数的模 ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 练习3．是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 知识点03 复数的四则运算 1、复数的四则运算 设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 2、复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 3、共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 2.表示：z的共轭复数用表示，即若，则 练习5．已知复数，，则在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知复数满足，则（    ） A． B． C．4 D．8 知识点04 复数的三角表达式 1、定义 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． 注意：复数三角形式的特点：模非负，角相同，余弦前，加号连 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件 它们的模与辐角的主值分别相等 复数的辐角 以x轴的正半轴为始边、向量所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角。 辐角的主值:,记作： 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤 1.求出模； 2.确定辐角的主值； 3.写出其三角形式 2、复数三角形式的乘除法及其几何意义 设的三角形式分别是： 乘法 除法 公式 简记 模数相乘，幅角相加 模数相除，幅角相减 几何意义 把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 练习7．任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 8．已知复数，，其中为虚数单位，则__________． 题型1 复数的分类 方法技巧 明确复数标准形式，根据实部、虚部的取值区分实数、虚数、纯虚数：为实数，为虚数，且为纯虚数。解题时先分离实部与虚部，再结合对应条件列等式或不等式求解参数，注意纯虚数必须同时满足两个条件，不可遗漏。 1．已知是两个复数，则“为实数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若，则实数a等于（    ） A． B． C．2 D．3 3．已知，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，i是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（多选）已知复数，（），且和均为纯虚数，则（   ） A． B． C． D． 题型2 复数的四则运算 方法技巧 复数加减运算遵循实部、虚部分别对应相加减的规则；除法需分子分母同乘分母的共轭复数进行分母实数化，再化简计算。运算过程牢记，可类比多项式运算法则计算，最后整理为标准形式，避免符号出错。 6．已知复数，则为（   ） A． B． C．5 D． 7．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数的模为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．对应的点在第四象限 B． C．的共轭复数为 D．的虚部为1 9．已知是虚数单位，复数______． 10．已知复数在复平面内对应的点为，则（     ）． A． B． C． D． 题型3 复数的乘方运算 11．若，则（   ） A． B．1 C． D． 12．的共轭复数为（     ） A． B． C． D． 13．（多选）已知复数z满足，，则（    ） A． B． C． D． 14．已知是虚数单位，则______. 15．___________． 题型4 复数的几何意义 方法技巧 复数与复平面内点、平面向量一一对应，可将复数问题转化为点、向量问题分析。借助平面直角坐标系，利用点的坐标、向量的位置关系理解复数对应的几何特征，实现数与形的转化。 16．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 17．若复数，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．复数，，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19．已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知对应的复数为，则点A位于第______象限. 题型5 复数的模 方法技巧 对于，模长公式为，复数模满足、等运算性质。遇到模的运算可先算模再运算，也可先化简复数再求模，灵活选择简便方法。 21．已知复数z的共轭复数为，且，则（     ） A． B．5 C． D．6 22．已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 23．已知复数 ，则（    ） A．​ B．2​ C．​ D．2​ 24．若为纯虚数，，则（    ） A． B． C．2 D．3 25．已知复数满足，则________． 题型6 待定系数法求复数 方法技巧 设所求复数为标准形式，将其代入题干条件进行运算化简。根据复数相等的充要条件（实部、虚部分别相等）列出方程组，解方程组求出，即可确定复数。 26．复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 27．已知复数满足，，且的虚部为正，则（   ） A． B． C． D．6 28．已知复数满足，则（    ） A．2 B． C． D．5 29．已知复数满足，则的实部为（    ） A． B． C．2 D． 30．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 释疑惑·重难拓展 题型1 复数运算的对错判断 1．（多选）设，为复数，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 2．（多选）已知为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 3．（多选）已知复数，，，是的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若，则的最大值为6 4．（多选）已知复数，，则下列结论正确的是（    ） A．若， B． C．若，则 D．若，则 5．（多选）已知，是复数，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 题型2 复数的最值问题 方法技巧 结合复数几何意义，将复数对应为复平面内的动点，利用距离、轨迹图形分析最值；也可设出复数代数形式，转化为代数函数求解最值。灵活运用模的几何意义，借助数形结合简化分析过程。 6．已知复数满足，则的最大值为______． 7．若，则的最大值为_____． 8．若复数满足，则的取值范围是___________． 9．已知复数且，若满足，则的取值范围为__________. 10．已知复数是关于的方程的一个根，其中． (1)求的值； (2)若复数满足，求的最小值． 题型3 复数的三角形式 方法技巧 掌握三角形式标准结构，其中为模，为辐角，能完成代数形式与三角形式的互化。利用三角形式进行乘除、乘方、开方运算，直接套用三角形式运算法则，简化复杂运算。 11．已知为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 12．设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 13．任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算______． 14．计算： (1)； (2)． 15．在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 1．（2026·全国二卷·高考真题）（     ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·高考真题）已知，，则（     ） A． B． C．2 D．8 3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 5．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 6．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 7．（2026·全国一卷·高考真题）（多选）设，则（     ） A． B． C． D． 8．（2026·天津·高考真题）化简__________． 9．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________． 10．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________． 1．已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．若复数（i为虚数单位），其中假命题为（    ） A． B．若，则 C．若为虚数，则也为虚数 D．若，则的最大值为 3．已知复数，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 4．（    ） A．1 B． C． D． 5．若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（多选）设，，为复数，．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（多选）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 8．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z的虚部为______. 9．已知i为虚数单位，若是纯虚数，则实数__________． 10．已知为虚数单位，为实数，复数． (1)当时，求的模和； (2)若为实数，求的值． 11．已知复数. (1)求z的共轭复数； (2)求的实部和虚部； (3)若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 12．已知复数满足. (1)求； (2)已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，分别求 的值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 复数（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 复数的定义及其分类 2 知识点02 复平面 3 知识点03 复数的四则运算 4 知识点04 复数的三角表达式 5 剖题型·讲技巧 6 题型1 复数的分类 6 题型2 复数的四则运算 8 题型3 复数的乘方运算 10 题型4 复数的几何意义 11 题型5 复数的模 12 题型6 待定系数法求复数 14 释疑惑·重难拓展 16 题型1 复数运算的对错判断 16 题型2 复数的最值问题 19 题型3 复数的三角形式 21 知高考·真题探源 24 练好题·提分培优 26 课标要点 1．理解复数的基本概念、分类以及复数相等的充要条件，明晰实部、虚部、共轭复数等定义，掌握虚数单位i的运算规则，夯实数系扩充相关知识基础。 2．认识复平面，理解复数的几何意义与模的概念，建立复数、平面点、向量三者的对应关系，体会数形结合思想。 3．熟练掌握复数代数形式的四则运算及运算律，能规范完成计算，了解加减运算的几何意义。 4．了解复数三角形式的定义、互化方法与运算法则，掌握三角形式乘除运算规律，提升综合运算能力。 知识点01 复数的定义及其分类 1、定义 形如的数叫做复数，其中称为的实部，称为的虚部(为虚数单位)．规定 2、复数的分类 复数的分类 充要条件 集合表示 实数 虚数 纯虚数 且 3、复数相等 在复数集中任取两个数，我们规定：与相等的充要条件是且 练习1．给出下列复数：①；②；③；④；其中表示实数的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【详解】①为纯虚数不是实数；②为无理数是实数；③是实数；④是实数． 2．复数的虚部为______． 【答案】 【详解】因为，所以的虚部为. 知识点02 复平面 1、定义 实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴. 2、复数的几何意义及复数的模 ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 练习3．是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】复数在复平面内对应的点为，该点位于第四象限. 4．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在复平面内，复数对应的点的坐标是， 所以． 知识点03 复数的四则运算 1、复数的四则运算 设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 2、复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 3、共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 2.表示：z的共轭复数用表示，即若，则 练习5．已知复数，，则在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由已知，对应点坐标为，在第四象限. 知识点04 复数的三角表达式 1、定义 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． 注意：复数三角形式的特点：模非负，角相同，余弦前，加号连 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件 它们的模与辐角的主值分别相等 复数的辐角 以x轴的正半轴为始边、向量所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角。 辐角的主值:,记作： 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤 1.求出模； 2.确定辐角的主值； 3.写出其三角形式 2、复数三角形式的乘除法及其几何意义 设的三角形式分别是： 乘法 除法 公式 简记 模数相乘，幅角相加 模数相除，幅角相减 几何意义 把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 练习6．已知复数满足，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【详解】由条件可知，， 所以. 7．任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 故， 即的虚部为. 故选：C. 8．已知复数，，其中为虚数单位，则__________． 【答案】 【详解】由复数三角形式乘法法则得到:. 故答案为：. 题型1 复数的分类 方法技巧 明确复数标准形式，根据实部、虚部的取值区分实数、虚数、纯虚数：为实数，为虚数，且为纯虚数。解题时先分离实部与虚部，再结合对应条件列等式或不等式求解参数，注意纯虚数必须同时满足两个条件，不可遗漏。 1．已知是两个复数，则“为实数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】设， 若是实数，则为实数，故，即， 由于不一定相等，故不一定互为共轭复数，故充分性不成立； 若互为共轭复数，且，则，故为实数，故必要性成立. 因此，“为实数”是“”的必要不充分条件. 2．若，则实数a等于（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】， 由可得，解得. 3．已知，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，为纯虚数，故充分性成立； 当为纯虚数时，解得，故必要性成立． 所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件． 4．设，i是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】已知，可得或， 当且时，此时复数为，不是纯虚数. 当且时，此时复数为，是实数，不是纯虚数. 当且时，此时复数为，是纯虚数. 所以“”不能推出“复数为纯虚数”，充分性不成立. ， 因为复数为纯虚数，所以，，即，，此时一定有，所以必要性成立. 综上，“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件. 5．（多选）已知复数，（），且和均为纯虚数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】为纯虚数，则，解得； . ， 由为纯虚数得：，解得． 题型2 复数的四则运算 方法技巧 复数加减运算遵循实部、虚部分别对应相加减的规则；除法需分子分母同乘分母的共轭复数进行分母实数化，再化简计算。运算过程牢记，可类比多项式运算法则计算，最后整理为标准形式，避免符号出错。 6．已知复数，则为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】，． 所以． 故． 7．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数的模为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，则. 8．（多选）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．对应的点在第四象限 B． C．的共轭复数为 D．的虚部为1 【答案】BCD 【详解】对于A选项，因为， 所以复数 z 对应的点为，在第一象限，故 A 错误； ，故B正确； ，故C正确； ，的虚部为1，故D正确. 9．已知是虚数单位，复数______． 【答案】 【详解】 10．已知复数在复平面内对应的点为，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知复平面内点对应复数为， 所以. . 题型3 复数的乘方运算 11．若，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】，； . 12．的共轭复数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以的共轭复数为. 13．（多选）已知复数z满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得，而，因此，A正确； 对于B，由，得， 则方程的两个虚根互为共轭复数，因此，B正确； 对于C，由，得，因此，C错误； 对于D，由，得，因此， 则，D正确. 14．已知是虚数单位，则______. 【答案】 【详解】. 15．___________． 【答案】 【详解】因为 所以. 题型4 复数的几何意义 方法技巧 复数与复平面内点、平面向量一一对应，可将复数问题转化为点、向量问题分析。借助平面直角坐标系，利用点的坐标、向量的位置关系理解复数对应的几何特征，实现数与形的转化。 16．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 由复数在复平面内对应的点在第三象限， 得，解得，即. 17．若复数，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】复数， 所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限. 18．复数，，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由题意得， 则在复平面内对应的点的坐标为，则其位于第四象限. 19．已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数在复平面内对应的点在第二象限， 所以解得，则实数的取值范围是． 20．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知对应的复数为，则点A位于第______象限. 【答案】二 【详解】因为，所以，因此， 又因为， 所以点A位于第二象限. 题型5 复数的模 方法技巧 对于，模长公式为，复数模满足、等运算性质。遇到模的运算可先算模再运算，也可先化简复数再求模，灵活选择简便方法。 21．已知复数z的共轭复数为，且，则（     ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【详解】设，，，则，， 所以，， 因为，所以，， 则，解得，故，. 22．已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】因为，所以，所以 23．已知复数 ，则（    ） A．​ B．2​ C．​ D．2​ 【答案】A 【详解】，则， ，则. 24．若为纯虚数，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】， 因为为纯虚数，， 所以，解得，则， 所以. 25．已知复数满足，则________． 【答案】 【详解】由题意，原方程， 得， 所以. 题型6 待定系数法求复数 方法技巧 设所求复数为标准形式，将其代入题干条件进行运算化简。根据复数相等的充要条件（实部、虚部分别相等）列出方程组，解方程组求出，即可确定复数。 26．复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则，则， 则，解得； 故，； 故． 27．已知复数满足，，且的虚部为正，则（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【详解】设，则.由题意， . 又，. 两式相加，得， 所以， 又，所以. 由，得. 即. 解得. 由于的虚部为正，所以. 于是. 因此. 28．已知复数满足，则（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【详解】设，，则 得到，所以， 故，故，， 所以，，所以，故. 29．已知复数满足，则的实部为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】设，则， 由，得， 由复数相等的充要条件，得，解得， 故的实部为． 故选：B． 30．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】设复数， 因为， 所以， 可得，解得，所以， 则复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 释疑惑·重难拓展 题型1 复数运算的对错判断 1．（多选）设，为复数，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 【答案】BD 【详解】对于A选项，设，，则，，满足，但，， 复数不能比较大小，故A错误； 对于B选项，因为，所以，则，所以，故B正确； 对于C选项，设，，此时，但，故C错误； 对于D选项，设，，因为，所以， 则点在以为圆心，半径为的圆形区域内， 由可知（因为 ），故. ，所以， 该式表示圆形区域内的点到定点的距离，因为， 则，即的取值范围是，故D正确. 2．（多选）已知为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】A，设，， ， 所以 所以，正确； B，由上， 由，得， 所以成立，正确； C，若，不妨取，， 此时，但不成立，错误； D，若，不妨取，，则，错误. 3．（多选）已知复数，，，是的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若，则的最大值为6 【答案】AD 【详解】设，，，则 对于A，，， 所以，故A正确； 对于B，当时，，， 此时，故B错误； 对于C，，， 故不一定成立，故C错误； 对于D，表示点在复平面内以为圆心，为半径的圆， 表示点到点的距离， 所以的最大值为，故D正确； 4．（多选）已知复数，，则下列结论正确的是（    ） A．若， B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】对于，因为当时，，选项A正确； 对于B，设，， ， 则 ， ，所以，选项B正确； 对于C，当，，则，但， ，，选项C错误． 对于D，，时，，但，选项D错误． 故选：AB. 5．（多选）已知，是复数，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ACD 【详解】对于A选项：设 ，∵ ，∴ . ∴ . 又∵ ，∴ ，故A正确. 对于B选项：取，，此时，但，故B错误. 对于C选项：∵设 ， ，且，∴ ， ∴ 虚部，即，∴ ，故C正确. 对于D选项：由复数模的运算性质可知，对任意两个复数，均满足，故D正确. 题型2 复数的最值问题 方法技巧 结合复数几何意义，将复数对应为复平面内的动点，利用距离、轨迹图形分析最值；也可设出复数代数形式，转化为代数函数求解最值。灵活运用模的几何意义，借助数形结合简化分析过程。 6．已知复数满足，则的最大值为______． 【答案】3 【详解】解：设，， 表示以为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点到的距离， 故的最大值为圆心到定点的距离加半径的长： ． 7．若，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】复数在复平面对应的点满足，几何意义为：复平面内动点的轨迹是以为圆心，半径的圆； 的几何意义是动点到原点的距离。 计算原点到圆心的距离：， 因此圆上点到原点的最大距离为，即的最大值为. 【点睛】本题考查复数模的几何意义，核心方法是数形结合，将复数问题转化为复平面内的几何问题求解. 8．若复数满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】在复平面内，设对应的点为，由， 得的集合是以为圆心，以4为半径的圆，是点到点的距离， 因为，所以， 即的取值范围是． 9．已知复数且，若满足，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】因为，所以. 因为. 故答案为： 10．已知复数是关于的方程的一个根，其中． (1)求的值； (2)若复数满足，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）由实系数方程的虚根成对的特点，可知方程的另一根为， 由韦达定理，. （2）因复数满足，则复数对应的点表示以为圆心、为半径的圆， 而，在复平面内表示点，而表示点与点的距离， 因点与圆心的距离为， 故 题型3 复数的三角形式 方法技巧 掌握三角形式标准结构，其中为模，为辐角，能完成代数形式与三角形式的互化。利用三角形式进行乘除、乘方、开方运算，直接套用三角形式运算法则，简化复杂运算。 11．已知为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因， 则. 12．设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据复数的三角形式，复数，模为，极角为， 则.又因为， 所以， 所以， ，所以. ， 故选：A 13．任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算______． 【答案】 【详解】因为， 所以 ， 故答案为：． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）原式 ． （2）因为， 所以原式 ． 15．在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】法一：复数对应的向量为，则， 向量与轴正半轴夹角为， 设该向量绕原点沿顺时针方向旋转后所得向量坐标为， 则，， 即所得向量坐标为，故旋转后的向量对应的复数为； 法二：复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转后的向量对应的复数为： . 1．（2026·全国二卷·高考真题）（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 2．（2026·北京·高考真题）已知，，则（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【详解】由题意， 则. 3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为，所以. 故选：A. 5．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【详解】由，则. 故选：A 7．（2026·全国一卷·高考真题）（多选）设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确. 对于B选项，复数的模，因此，B选项错误. 对于C选项，∵ ， ∴ ，该选项正确. 对于D选项， ∵ 分子，分母， ∴ ，是实数，故，该选项正确. 8．（2026·天津·高考真题）化简__________． 【答案】 【详解】. 9．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 10．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________． 【答案】 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 1．已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，可知的虚部为1. 2．若复数（i为虚数单位），其中假命题为（    ） A． B．若，则 C．若为虚数，则也为虚数 D．若，则的最大值为 【答案】D 【详解】A选项，，则，故，A正确； B选项，若，则，， ，B正确； C选项，， 由题意得，故也是虚数，C正确； D选项，的几何意义为复平面内，到的距离为1的圆， 故此圆上的点到原点的距离最大值为，D错误． 3．已知复数，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】，所以的虚部为. 4．（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】 5．若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与定点的距离， 而圆心到定点的距离为4， 则的最大值为． 6．（多选）设，，为复数，．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】设，则或， 则，所以A正确； 由可得，因为， 所以，即，故B正确； 若，则，由模长性质知，， 所以，故C正确； 取，，显然满足，但，故D错误． 7．（多选）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】ABC 【详解】对于A，因为，所以的虚部为，故A正确； 对于B，因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确； 对于C，因为，， 所以，即，故C正确； 对于选项D：因为，， 则在复平面内分别对应点， 可得，， 则面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故D错误. 8．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z的虚部为______. 【答案】1 【详解】，所以复数z的虚部为1. 9．已知i为虚数单位，若是纯虚数，则实数__________． 【答案】 【详解】因为为纯虚数， 所以，解得. 10．已知为虚数单位，为实数，复数． (1)当时，求的模和； (2)若为实数，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 所以复数的模为，共轭复数为. （2）因为， 因为该复数为实数，所以虚部为 0， 即：，解得. 11．已知复数. (1)求z的共轭复数； (2)求的实部和虚部； (3)若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 【答案】(1) (2)实部为 ，虚部为 (3) 【分析】 【详解】（1）因为 ， 所以 . 所以 . （2）由（1）知 ，则 ， 所以 的实部为 ，虚部为 . （3）已知 ，则， 复数 在复平面内对应的点的坐标为 ， 因为该点位于第四象限，则， 所以不等式组的解集为 ，即 的取值范围是 . 12．已知复数满足. (1)求； (2)已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，分别求 的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设复数，所以， 又， 所以，解得， 所以； （2）由题意得：是关于的实系数一元二次方程的一个根， 所以也是实系数一元二次方程的另一个根， 所以，解得. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $