第二十八章 锐角三角函数 单元测试2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十八章《锐角三角函数》单元测试卷 满分：120分　　时间：90分钟 姓名：_____________ 班级：_____________ 得分：_____________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若 ，则 的值是（　　）A． 　　 B． 　　 C． 　　 D． 2. 下列运算结果为1的是（　　） 　 A． 　 B． 　C． 　 D．以上都是 3. 若α为锐角，且 ，则 的值为（　　） 　 A． 　　 B． 　　 C． 　　D． 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD＝9，CD＝12，则 的值为（　　） 　 A． 　　 B． 　　 C． 　　 D． 5. 计算： 的结果是（　　） 　 A． 　　 B．1　　 C． 　　 D． 6. 一个斜坡的垂直高度为15米，坡面长为25米，则该斜坡的坡度为（　　） 　 A．3:4　　 B．3:5　　 C．4:3　　 D．4:5 7. 点M在第四象限，OM＝65，且 ，则点M的坐标为（　　） 　 A．(63, −16)　　 B．(−63, 16)　　 C．(16, −63)　　 D．(−16, 63) 8. 若α为锐角，且 ，则 的值为（　　） A． 　　 B． 　　 C． 　　 D．不存在 9. 将一张长为10 cm的矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点 D落在点D′处。若∠ACD′＝30°，则原矩形的宽AD为（　　） 　 A．5 cm　　 B． cm　　 C． cm　　 D．10 cm 10. 在平面直角坐标系中，从原点O出发，先向东走a米，再向北偏东60°方向走a米到达点N。则ON的长度为（　　） 　 A．a　　 B． 　　 C．2a　　 D． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 计算： __________。 12. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若 ，AC＝18，则AB＝__________。 13. 一段公路的坡度为3:7，若水平宽度为21米，则垂直高度为__________米。 14. 已知α为锐角，且 ，则 __________。 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝24，BC＝7，点P在AC上，且CP＝8。连接BP，则 __________。 16. 一个直角三角形的两条直角边之比为3:4，将其绕较长直角边旋转一周，所得圆锥的母线与底面所成角的正弦值为__________。 三、解答题（共66分） 17.（8分）计算： 18.（8分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且满足 ， 。 （1）求c的值； （2）求 的值。 19.（10分）如图，将一块直角三角板DEF（∠E＝90°，DE＝6 cm，EF＝8 cm）绕点E顺时针旋转θ角（0°<θ<90°），得到△D′E′F′（E′与E重合）。连接DD′，FF′。 （1）过点E做EH⊥DD′于点H，用含θ的锐角三角函数表示DD′的长度； （2）当θ＝60°时，求DD′的长。 20.（10分）某景区计划在山坡上修建一条观光步道。山坡的坡角为α，已知 。设计师希望步道的倾斜角不超过30°，因此采用“之”字形设计：每段步道水平投影长为L，垂直上升高度为h，且满足 。 若要使总垂直高度达到20米，且每段步道的倾斜角恰好为30°，求所需步道的总长度（即所有斜边之和）。 21. （10分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝6， BC＝8， CD＝10。 （1）求AD的长； （2）求 的值。 22.（10分）一艘船从点出发，先沿北偏东θ方向航行10海里到达A点，再沿南偏东θ方向航行10海里到达B点。已知＝10海里。 （1）求θ的度数； （2）求船从到B的直线距离（即）的方向角。 23.（10分）【探究题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝，AC＝1，BC＝，AB＝ 。 小明发现：对于任意锐角α，表达式值等于 。他想验证这一结论。 （1）当α＝60°时，先分别计算、的值，再求 的结果； （2）① 用含的代数式表示 ，并化简； 　　② 作∠A的平分线交BC于D，过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线的性质，求线段CD的长（用含的代数式表示）； 　　③ 观察①②的结果，你能发现什么等量关系？请直接写出这个关系。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. B 解析： ，设BC＝7k，AB＝25k，则AC＝24k， 。 2. B 3. A 解析： ，设对边＝ ，邻边＝2，斜边＝3， 。 4. B 解析：在Rt△BCD中， BC = ， 由射影定理， ，AC = ， 。 5. B 6. A 解析：水平宽度 = ，坡度 = 15:20 = 3:4。 7. A 解析： （第四象限，x>0, y<0）， 设x＝63k，y＝−16k，则 ，得k＝1， 故M(63, −16)。 8. A 解析： ， 代入得 ， 解得 。 9. C 解析：折叠后AD′＝AD，∠ACD′＝30°，在Rt△ACD′中， ，又AC＝10， 故 cm。 10. B 解析：第一次：(a, 0)；第二次：向东a·cos60°＝a/2，向北a·sin60°＝ ， 总位移：x＝a + ＝，y＝ ， ON = 。 二、填空题 11. 12. 82 解析： ，AC＝18 ⇒ BC = ， AB = 。 13. 9 解析：坡度3:7 = 垂直:水平，水平＝21＝7k ⇒ k＝3，垂直＝3k＝9米。 14. 15. 16. 三、解答题 17. 解： 原式 。 18. 解： （1） 。 （2） 。 19. 解： （1）旋转后ED′＝ED＝6，∠DED′＝θ， 又∵EH⊥DD′，根据等腰三角形三线合一， ∴DH=D′H, ∠DEH=∠D′EH=。 在Rt△DEH中，sin = ， 代入ED=6，得： DH=6sin ∴DD′=2DH=12sin cm （2）将θ＝60°代入（1）的表达式： =30° sin30°= ， ∴DD′ = （cm）。 20. 解： 每段步道倾斜角β＝30°，故 。 每段斜边长 = 。 总垂直高度20米，需n段，则 n·h = 20 ⇒ n = 。 总长度 = n · 2h = （米）。 21. 解： （1）连接BD，在Rt△ABD和Rt△CBD中， BD² = AB² + AD² = 36 + AD²， BD² = BC² + CD² = 64 + 100 = 164， 故 36 + AD² = 164 ⇒ AD² = 128 ⇒ AD = 。 （2）在Rt△ABD中，BD = ， 。 22. 解： （1）由对称性，△OAB为等腰三角形，O A＝AB＝10，O B＝10，故为等边三角形， ∠ AOB＝60°，而∠AOB＝2θ⇒ θ＝30°。 （2）OB方向为正东（因对称），故方向角为东偏北0°，即正东方向。 23. 解： （1） ，； 代入得： （2）① ， ， 代入得： 。 ② 由角平分线性质：CD=DE, AC=AE=1,则 BE=AB-AE= 设CD=DE=m,则DB=x-m 在Rt△DEB中，由勾股定理： 展开化简得： 。 ③ =（或 )。 学科网（北京）股份有限公司 $