精品解析：陕西西安市第八十五中学2026届高三第二学期第一次模考数学试题

西安市第八十五中学 2025-2026学年度第二学期高三年级第一次模考数学试题 命题人：欧晓斌 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的真子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题求出，利用集合的真子集个数公式求解. 【详解】由，得，所以，所以， 故的真子集个数为. 故选：C. 2. 已知复数，若是纯虚数，则实数（ ） A. -1 B. 0 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算先计算，进而得，再由纯虚数的概念即可求解. 【详解】因为，所以，因为 为纯虚数，所以． 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，得到的坐标，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得， 所以，则，所以． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得 ，所以， 所以． 5. 随机抛掷质地均匀的两枚骰子，向上点数分别记为和，则直线与圆有2个公共点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由已知可得，直线，圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为． 因为直线与圆有2个公共点， 所以，整理可得． 若，则；若，则；若，则；若，则； 若，则；若，则， 所以直线与圆有2个公共点的概率是. 6. 南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．根据以上定义，解决如下问题．已知数列为二阶等差数列，且，则（ ） A. 35 B. 36 C. 37 D. 38 【答案】B 【解析】 【分析】利用二阶等差数列的定义，借助列举法求出. 【详解】依题意，， 数列，数列，数列， 所以. 7. 已知奇函数对任意，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的性质得是以为周期的周期函数，再根据周期性依次讨论各选项即可求得答案. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以， 因为任意，都有，即， 所以， 所以，即是以为周期的周期函数， 因为 所以，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误. 故选：B 8. 已知实数满足，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数（），分别求导得出，，进而得出，即可. 【详解】将整理为， 构造函数（），. ， 令，则，令，则， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以， 由，可知， 令，则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 由题意可得， 所以， 当且仅当时，不等式成立. 此时，， 所以. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比数列片段和的性质及已知得，进而得到、，再依次判断各项的正误. 【详解】由题设，，而，则， 所以，又，则，A错， 且，所以，B对， ，，C对，D错. 故选：BC 10. 在直三棱柱中，为的中点，为线段上的动点，下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 存在点，使得平面 【答案】BCD 【解析】 【详解】如图： 对于选项A，因为平面,平面，所以平面，又因为平面，但不过，所以与是异面直线，故A错误； 对于选项B，因为底面，因为底面，所以； 又，且平面， 所以平面． 因为平面，所以． 因为，所以侧面是正方形，所以． 因为，且平面， 所以平面，故B正确. 对于选项C，由选项下的证明得到，平面，因为平面 所以平面平面，故C正确. 对于选项D，当为线段的中点时，设， 则，所以，故四边形为平行四边形， 所以，而平面平面，所以平面，故D正确. 11. 在中，三个内角所对的边分别为，若，，的面积为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由及结合降幂公式、和差化积公式得到，即可判断C；进而得到即可判断B；再结合及三角形的面积公式可求解判断A；结合求出，再结合正弦定理求解判断即可. 【详解】由知，， 化简可得， 根据和差化积公式可得：， 则，即， 由知，， 所以，即，故C正确； 由，得：，所以，故B不正确； 在中，由，知，故A正确； 由知，， 又，则，又， 由正弦定理得，，故D不正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是偶函数，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】由偶函数的定义恒成立，化简得到恒成立，即可求解. 【详解】因为为偶函数，所以， ， 即， 化简可得对于任意恒成立， 所以，所以． 13. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，P是C上一点，且，，则C的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义、勾股定理和离心率公式计算即可. 【详解】根据椭圆的定义得，平方得， 化简得①， 因为，所以，所以②， ①-②得，即， 又，得到，，代入②得，得到. 所以椭圆的离心率为. 14. 学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由求出，再由求出,最后利用即可求解. 【详解】设为第天选A套餐，为第天选B套餐， 则， ； 从而， ， . 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，满足． （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式： （2）设为数列的前项和，求． 【答案】（1） 由题意，， 则， ， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 所以，则. （2） 【解析】 【分析】（1）利用构造法将转化为，利用等比数列的通项公式求解. （2）求出，求出，利用裂项相消法求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 则， 所以 即. 16. 随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . （1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 【答案】（1），具有很强的正相关性 （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）由条件结合相关系数公式求出相关系数，根据相关系数性质判断结论； （2）由条件确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【小问1详解】 样本的相关系数为： 由于相关系数，故销售金额（单位：万元）和月份编号具有很强的正相关性； 【小问2详解】 由题意得：的可能取值为0，1，2， 18个月中有10个月的销售金额高于平均数， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为正三角形，且平面平面． （1）求证：； （2）求直线和平面所成角的正弦值； （3）设点是三棱锥外接球上一点，求点到平面距离的最大值． 【答案】（1） 设O为的中点，连接， 由题得， 所以为正三角形，则， 所以平面，平面，． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质，判断线线垂直. （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，求出直线方向向量和平面的法向量，进而求出线面角的正弦值. （3）根据三棱锥外接的性质，求出球心和半径，进而根据向量法，求出点到平面的距离的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，故以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 则， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设外接球的球心为，分别过和外心作平面和平面的垂线， 垂线的交点就是球心，易求，则外接球的半径， 又，所以点到平面的距离， 所以点到平面距离的最大值为. 18. 已知椭圆的两个焦点分别为，，点P是C上的一个动点，当面积取得最大值时，． （1）求C的方程； （2）过点的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为（与B不重合）． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （ⅰ）当过点的直线l不与x轴重合时， 设直线l的方程为，， 由，得， 整理得， 由韦达定理得， 因为为点A关于x轴的对称点，所以，所以， 所以直线的方程为， 由对称性，直线所过定点一定在轴上， 令，可得 ， 所以直线过定点； 当过点的直线与x轴重合时，显然过点； 综上所述：直线过定点； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而结合已知求得，可求C的方程； （2）（ⅰ）设l的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，进而求得直线的方程，由椭圆的对称性可证得结论；（ⅱ）记直线过定点为，利用计算，结合基本不等式可求面积的最大值. 【小问1详解】 因为，又，所以， 又面积取得最大值，所以， 在中，，所以，所以， 又，所以，所以，解得， 所以，所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）记直线过定点为， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为． 19. 已知函数． （1）求在上的最大值； （2）求证：恒成立； （3）若都有恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，确定函数的单调性，开区间上的极大值即为函数的最大值； （2）先证明，然后将变形为，放缩法求解； （3）先将恒成立转化为，求三阶导数，讨论函数的单调性，求解. 【小问1详解】 由题知， 当时，， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以当时，取最大值. 【小问2详解】 先证：， 令， 则， 所以函数在上单调递增， 故，即在上恒成立． 又， 由知，， 所以， 即，得证. 【小问3详解】 当时，， 即， 令， 则，其中， 令， 则且， 令， 则，其中. 令，， 则， 故在上单调递减，其中. ①若，则， 令， 在上单调递增， ， 所以恒成立. 故在上单调递增， 且. 所以在上也单调递增，且， 所以， 故恒成立. ②若，则， 且，使得当时，， 所以函数在上单调递减， 故时，， 所以函数在上单调递减， 所以时，， 所以时，， 与恒成立矛盾． 综上所述：的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市第八十五中学 2025-2026学年度第二学期高三年级第一次模考数学试题 命题人：欧晓斌 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的真子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知复数，若是纯虚数，则实数（ ） A. -1 B. 0 C. 2 D. 1 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 随机抛掷质地均匀的两枚骰子，向上点数分别记为和，则直线与圆有2个公共点的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．根据以上定义，解决如下问题．已知数列为二阶等差数列，且，则（ ） A. 35 B. 36 C. 37 D. 38 7. 已知奇函数对任意，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 2 D. 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（ ） A. B. C. D. 10. 在直三棱柱中，为的中点，为线段上的动点，下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 存在点，使得平面 11. 在中，三个内角所对的边分别为，若，，的面积为1，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是偶函数，则___________． 13. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，P是C上一点，且，，则C的离心率为_______． 14. 学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，满足． （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式： （2）设为数列的前项和，求． 16. 随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . （1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为正三角形，且平面平面． （1）求证：； （2）求直线和平面所成角的正弦值； （3）设点是三棱锥外接球上一点，求点到平面距离的最大值． 18. 已知椭圆的两个焦点分别为，，点P是C上的一个动点，当面积取得最大值时，． （1）求C的方程； （2）过点的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为（与B不重合）． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 19. 已知函数． （1）求在上的最大值； （2）求证：恒成立； （3）若都有恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $