湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三上学期第八次周考数学试卷

湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高三上学期第八次周考数学试卷 一、单选题 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，若，则（    ） A．2或3 B．或 C．1或 D．或6 3．已知数列满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．若（为虚数单位），则（   ） A． B．4 C． D． 5．等差数列的公差为2，且，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 6．在中，角所对边长分别为，若成等比数列，则角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件“两次均未摸出红球”，事件“两次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的两个球中有红球”，事件“第二次摸出的两个球中有白球”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 8．在某道选词填空题中，有3个空格，4个备选单词。每个空格只能填入一个备选单词，且每个空格都有一个唯一的正确答案（这3个正确答案是4个备选单词中的3个，剩余1个备选单词是多余的）。若随机选择3个备选单词分别填入3个空格，则3个空格全部选错的概率是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．与的夹角余弦值为 D．在方向上的投影向量为 10．已知点，，是椭圆上的动点，当取下列哪些值时，可以使 （    ） A．3 B．6 C．9 D．12 11．如图，在棱长为2的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E、F为CD上任意两点，且EF的长为1，则下列四个值中为定值的是（    ）    A．点P到平面QEF的距离 B．二面角的大小 C．直线PQ与平面PEF所成的角 D．三棱锥的体积 三、填空题 12．如图是青浦高级中学综合广场升旗仪式司令台前的栏杆，栏杆最上面的造型可以看作是一个几何体．该几何体是由一个正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去8个三棱锥后剩余部分组成的．已知原正方体的棱长为，则该几何体的体积为___________     13．已知向量满足，且，则的夹角的余弦值为______． 14．已知数列 为等差数列，且，，的值为__________. 四、解答题 15．设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，. (1)求的通项公式； (2)当时，记，求数列的前项和. 16．已知三内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，的面积为，求． 17．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个极值点，，当时，求的最大值. 18．已知椭圆的右焦点为F. （1）求点F的坐标和椭圆C的离心率； （2）直线过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为，判断直线是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由. 19．天宫空间站是我国建成的国家级太空实验室，由天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱组成，已经开启长期有人驻留模式，结合空间站的相关知识，某职业学校的老师设计了以空间站为主题的编程训练，训练内容由“太空发射”、“自定义漫游”、“全尺寸太阳能”、“空间运输”等10个相互独立的编程题目组成，训练要求每个学生必须选择两个不同的题目进行编程练习，并且学生间的选择互不影响，老师将班级学生分成四组，指定甲、乙、丙、丁为组长. (1)求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择“太空发射”的概率； (2)记X为这四个人中选择“太空发射”的人数，求X的分布列及数学期望； (3)如果班级有n个学生参与编程训练（其中n是能被5整除的正整数），则这n个学生中选择“太空发射”的人数最有可能是多少人？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C C D D A BCD ABC 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】先解一元二次不等式，把集合求出，再把集合求解出来，再利用交集知识即可求解. 【详解】由题意得，，所以． 故选：B 2．D 【分析】计算出，根据向量垂直得到方程，求出答案. 【详解】由题意，向量，可得， 因为，则，即，解得或6． 故选：D 3．A 【分析】由得，进而得数列是以为公比，首项为的等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】由有：， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列， 所以，所以， 所以. 故选：A. 4．C 【分析】根据已知条件求出，再求出，最后计算的值. 【详解】已知，则. 化简得到，轭复数. 可得： 故选：C. 5．C 【分析】根据等差数列通项公式，即可求解. 【详解】由条件可知，等差数列的公差， 则. 故选：C 6．D 【解析】由成等比数列，可得，然后利用余弦定理表示出，进行化简后，利用基本不等式即可求出的最小值，根据的范围以及余弦函数的单调性，即可求出角的取值范围． 【详解】a，b，c成等比数列，可得， 则 （当且仅当时取等号）， 由于在三角形中，且在上为减函数， 所以角的取值范围是：. 故选：D. 【点睛】本题考查余弦定理，等比数列的性质，以及基本不等式的应用，求得，是解题的关键． 7．D 【分析】根据相互独立事件的定义依次分析即可. 【详解】依题意得，，，故A项错误； ，，故B项错误； ，故C项错误； ，，故D项正确. 故选：D. 8．A 【详解】假设4个单词分别是甲、乙、丙、丁，正确的顺序为甲乙丙. 第一类，选出的3个单词不包括丁，则符合要求的情况有乙丙甲，丙甲乙，共2种选法； 第二类，选出的3个单词包含丁，则从剩下的3个单词选两个有种情况，不妨设选出的单词为甲，乙， 则符合要求的情况有乙甲丁，丁甲乙，乙丁甲，共3种，即共有种选法. 综上，符合要求的情况共有种，全部情况为种， 则3个空格全部选错的概率是. 9．BCD 【分析】利用向量减法、平行、垂直、夹角余弦值、投影向量的计算方法验证即可. 【详解】由，，则与不平行，故错误； ，，则，故正确； ，， ，故正确； ，即在方向上的投影向量为，故正确. 故选：. 10．ABC 【分析】设，利用求得的最大值和最小值即可得． 【详解】设，且. 因为， 将点坐标代入椭圆，得，所以代入上式可得 . 所以，.对照选项可以取ABC. 故选：ABC． 11．ABD 【分析】因为，则平面QEF也就是平面，即可判断A；根据二面角的定义可以判断B；根据线面角的定义可判断C；根据等底同高的三角形面积相等及A中的结论，结合棱锥的体积公式可判断D. 【详解】A中，因为，则平面QEF也就是平面，显然点P到平面的距离是定值，所以点P到平面QEF的距离为定值； B中，因为，Q为上任意一点，E，F为CD上任意两点，所以二面角P－EF－Q的大小即为二面角的大小，为定值． C中，因为Q是动点，PQ的长不固定，而Q到平面PEF的距离为定值，所以PQ与平面PEF所成的角不是定值； D中，因为△QEF的面积是定值(EF为定长，点Q到EF的距离就是点Q到CD的距离，也是定长，即底和高都是定值)，再根据A中的结论，即点P到平面QEF的距离也是定值，所以三棱锥P－QEF的高也是定值，所以三棱锥P－QEF的体积是定值； 故选：ABD． 12．/ 【分析】根据锥体和柱体的体积公式即可求解. 【详解】因为该几何体是由棱长为20cm的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得， 所以. 故答案为： 13．/ 【分析】设向量的夹角为，利用向量的数量积运算法则可得，求解即可. 【详解】设向量的夹角为，因为， 所以，解得． 故答案为：. 14． 【分析】先设等差数列{log2（an﹣1）}的公差为d．进而根据a1＝3，a3＝9代入2（log22+d）＝log22+log28，求得d，进而根据等差数列的性质求得log2（an﹣1），则数列{an}的通项公式可得，即可求出a10的值． 【详解】设等差数列{log2（an﹣1）}的公差为d． 由a1＝3，a3＝9得2（log22+d）＝log22+log28，即d＝1． 所以log2（an﹣1）＝1+（n﹣1）×1＝n， 即an＝2n+1， ∴a10＝210+1． 故答案为 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了考生对等差数列的通项公式，求和公式，等差中项等性质的理解和把握． 15．(1)或 (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量得到方程组，计算出首项和公差，从而得到，，求出两个通项公式； （2），利用错位相减法求和，得到答案. 【详解】（1）由题意知， 解得或， 当时，，，故，； 当时，，，故， ， 所以或； （2）因为，所以. 因为， 所以， 两式相减得 ， 故. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解； （2）利用余弦定理得到，再由的面积公式求得，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又，故． ∴， 即， 因为， 所以； （2）在中由余弦定理得：， 代入，得：，即， 又∵， ∴，所以，解得（负值已舍去）． 17．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出导函数，根据分类讨论求函数的单调性，并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系； （2）由，是两个极值点得到对应的韦达定理形式，然后利用条件将转变为关于某一变量的新函数，分析新函数的单调性从而确定出新函数的最大值即的最大值. 【详解】（1）由求导得，. 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，方程的， 所以，在上单调递增； 当时，， 由，解得，， 当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在和上单调递增. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 在和上单调递增. （2）若有两个极值点，， 则，由方程知，. ， 令()， 则， 所以在上单调递减，所以. 所以的最大值是. 18．（1）焦点，离心率（2）是过x轴上的定点；定点 【解析】（1）由椭圆的标准方程即可得出； （2）直线过点F，可得，代入椭圆的标准方程可得：.（依题意）.设，，可得根与系数的关系，点P关于x轴的对称点为，则.可得直线的方程可以为，令，，把根与系数的关系代入化简即可得出. 【详解】（1）椭圆， ，解得， 焦点，离心率. （2）直线过点F， ，. 由，得.（依题意）. 设，， 则，. 点P关于x轴的对称点为，则. 直线的方程可以设为， 令， . 直线过x轴上定点. 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的离心率、椭圆中的定点问题，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题. 19．(1)； (2)分布列见解析，数学期望为； (3)答案见解析. 【分析】（1）先求每个人不选择项目“太空发射”的概率，再由概率乘法公式求4人都不选择“太空发射”的概率，结合对立事件概率公式可得结论； （2）先求每个人选择“太空发射”的概率为，再判断，结合二项分布分布列结论和期望公式求解即可； （3）设选择“太空发射”的人数最有可能为人，利用不等式法求的最大值即可. 【详解】（1）由题意可知，每个人不选择“太空发射”的概率为， 所以甲、乙、丙、丁这4个人都不选择“太空发射”的概率为 故甲、乙、丙、丁这4个人中至少有一人选择“太空发射”的概率 （2）由已知的可能取值有， 因为每个人选择“太空发射”的概率为，且每个人是否选择“太空发射”相互独立， 所以服从二项分布：， 所以， 即， ，，， 则的概率分布列为： 0 1 2 3 4 所以的数学期望. （3）设选择“太空发射”的人数最有可能为人， 则， ， ，即 即，也即 解得， 又因为，当，， 则不等式为， 所以， 即当被5整除时，选择“太空发射”的人数最有可能是人 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $