湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三上学期第七次周考数学试卷

湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高三上学期第七次周考数学试卷 一、单选题 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数（其中为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．若（为虚数单位），则（   ） A． B．4 C． D． 5．已知为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，D为线段上一点，且，若，则 A． B．3 C． D．4 7．位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有 A．种 B．种 C．种 D．种 8．已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为A，抛物线E的顶点为坐标原点，焦点为，若直线与抛物线E交于P，Q两点，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若正四棱柱的底面是边长为2，侧棱长为4，E是的中点，则（    ） A．三棱锥的体积为 B． C．三棱锥的外接球的半径是 D．过点三点平面与该棱柱各个面的交线围成的平面图形面积为 10．下列说法中，正确的命题是（   ） A．一组数据5，7，9，11，13，15，17，19，21，23的第75百分位数为19 B．口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望 C．若数据的均值为3，的均值为11，则数据的方差为3 D．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，与轴的交点为，，则（    ） A．直线的斜率为 B．的离心率为2 C．到上最近点的距离为 D． 三、填空题 12．的展开式中的系数为______________. 13．已知函数，则_____． 14．已知函数与的图象在交点处的切线互相垂直，则的最小值为__________. 四、解答题 15．已知△ABC中，分别是角A，B，C所对的边，. (1)判断△ABC的形状； (2)若求△ABC的面积. 16．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，若点A，B是倾斜角为的直线与抛物线的交点，求线段AB的长． 17．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中. (1)若，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围. 18．如图，在中，已知边上的两条中线相交于点．    (1)求中线的长； (2)求的余弦值； 19．已知函数. (1)当时，求函数的最值； (2)若函数有两个不同极值点，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C D B C C ACD ABD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】解不等式求出集合A，B，根据集合的交集运算即可求得答案. 【详解】解不等式可得，即， 解不等式，即，即或， 即或， 故， 故选：C 2．B 【分析】利用复数的除法法则、共轭复数的定义即可得出． 【详解】由已知， 则. 故选：B. 3．D 【分析】根据向量数量积的运算律直接计算. 【详解】由，， 得， 故选：D. 4．C 【分析】根据已知条件求出，再求出，最后计算的值. 【详解】已知，则. 化简得到，轭复数. 可得： 故选：C. 5．D 【分析】先由奇偶性分别求出a、b，直接代入即可求解. 【详解】因为为奇函数，且定义域为R，所以，解得：a=-1. 因为为偶函数，且定义域为R，所以，即，解得：. 所以. 所以. 故选：D 6．B 【分析】根据，以为基底，根据向量的线性运算即可求解. 【详解】 ， 又， ， ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查了向量的加法、减法，基底的概念，属于中档题. 7．C 【详解】先排甲，有4种方法，剩余5人全排列有种，所以不同的演讲次序有种，选C. 8．C 【分析】由题设可得抛物线E为，直线为，联立方程应用韦达定理、弦长公式求，由求，结合得到椭圆参数的齐次方程求离心率即可. 【详解】由题设知：，，且抛物线E为， ∴直线为，联立抛物线方程有， 整理得：，则，即， 令且，则， ∴， ∴， 令，如上图易知：，即，可得， ∴，又， ∴，整理得，而， ∴，则. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：由，应用弦长公式求，根据求，进而得到齐次方程求离心率. 9．ACD 【分析】由等积法可判断A，建立坐标系用向量法可判断B，确定球心位置即可判断C，取的中点，连接，则过点三点平面与该棱柱各个面的交线围成的平面图形为梯形，求出面积即可判断D 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：如图以为原点，为坐标轴建立坐标系， 则， ， ， 因为， 所以不成立，故B错误； 对于C：， ， 所以， 则由直角三角形的性质可知的中点到的距离相等， 故三棱锥的外接球的半径是，故C正确； 对于D：取的中点，连接， 则易知， 所以， 所以过点三点平面与该棱柱各个面的交线围成的平面图形为梯形， ， 设梯形的高为，则， 所以， 所以梯形的面积为，故D正确； 故选：ACD 10．ABD 【分析】根据百分位数定义计算判断A，应用超几何数学期望公式计算判断B，应用方差性质计算判断C，根据条件概率公式计算判断D. 【详解】对于A，因为，所以第75百分位数为第8个数，为19，故A正确； 对于B，随机变量X服从几何分布，所以，其中， 即，故B正确； 对于C，的方差为，故C错误； 对于D，取出两件中至少有一件正品的概率， 取出两件都是正品的概率，由条件概率的意义可知， 从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是，故D正确； 故选：ABD 11．ABD 【分析】利用三角形全等来计算点坐标，从而可判断A；通过点坐标代入双曲线方程求离心率，从而可判断B；通过点到直线的距离可判断C；通过联立方程组，利用坐标运算可判断D. 【详解】对于A，记双曲线的焦距为，则，， 由，，根据勾股定理得， 如图过点作轴的垂线，垂足为， 由，可得， 因此，，，即， 所以，选项A正确； 对于B，将代入双曲线方程可得，即， 再将代入得，即， 解得，所以的离心率为，选项B正确； 对于C，由可知，且双曲线的渐近线方程为， 则点到双曲线的渐近线的距离为， 所以点到上最近点的距离大于，选项C错误； 对于D，由得， 且双曲线的方程可转化为， 由，得， 将与联立并消去得：， 记，则，解得， 所以，选项D正确. 故选：ABD. 12．48 【分析】由以及的展开式的通项公式可得结果. 【详解】因为， 又的展开式的通项公式为，. 所以的展开式中的系数为：. 故答案为：48. 【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式，属于基础题. 13． 【分析】根据导数的公式求导，把代入即可得到结论． 【详解】解：函数，，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查导数的基本运算，属于基础题． 14． 【分析】由题意知与均为偶函数，研究部分的图象交点，有，，设交点横坐标为，可求交点坐标，进而可得，根据目标式并应用二次函数的性质求最小值即可. 【详解】由题意，易知与均为偶函数， ∴由对称性，不妨讨论部分的图象交点，此时，， 若交点横坐标为，则，可得，故交点坐标为， 又，则， ∴，又， ∴当时，. 故答案为： 15．(1)等腰三角形或直角三角形 (2)1 【分析】（1）将化简为，再结合正弦定理，边化为角，即可得结果； （2）判断出三角形形状，根据余弦定理可求得边长a，再根据三角形面积公式求得答案. 【详解】（1）由 ，可得.即 , 由正弦定理得：, ∵A，B是△ABC的内角,∴或 ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形 ; （2）由（1）及知，△ABC为等腰三角形 根据余弦定理，得， 解得 ∴△ABC的面积. 16． 【分析】本题考查的是直线与抛物线相交所截得弦长，只需联立方程，利用焦点弦弦长公式求解. 【详解】因为抛物线的焦点是，所以直线AB的方程为，与抛物线方程联立消去y，得，所以，从而． 17．(1)； (2) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式和二项分布的概率公式求解即可； （2）该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为，进而结合二项分布求解，根据独立事件的乘法公式求解的分布列及其期望，进而结合题意求解. 【详解】（1）解：设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件，“该考生报考乙 大学恰好通过一门笔试科目”为事件， 根据题意可得， （2）解：设该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为， 根据题意可知，，所以，， ， ， . 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 ， 若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有， 所以，又因为，所以， 所以，的取值范围是. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到，再平方求解即可. （2）首先根据题意得到，从而得到，再根据求解即可. 【详解】（1）因为为的中点，， （2）   ， ， . . 19．(1)的最大值为，无最小值. (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，根据函数与导数的关系判断即可求出最值； （2）利用极值点条件，结合对数运算和不等式证明乘积下限. 【详解】（1）当时，对函数求导可得. 令，解得. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 因此，在处取得最大值，最大值为，无最小值. （2）函数 对求导可得 令，得到. 设是的两个根，则①，② ①-②得③；①+②得④. ③④得， 即， 不妨设，令则， 即. 要证，即证， 即证，即证，即证，即证. 设，对求导可得 恒成立，故在上单调递增， 即故成立，即成立. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $