第八章《实数》专项突破 2025-2026学年人教版七年级数学下册

第八章 《实数》专项突破（基础+培优） 【新人教版】 【题型1 算术平方根、平方根、立方根的概念】.....................................................................................................1 【题型2 算术平方根、平方根、立方根的基础计算】.........................................................................................3 【题型3 算术平方根的非负性的应用】.................................................................................................................6 【题型4 利用平方根、立方根解方程】................................................................................................................8 【题型5 算术平方根、平方根和立方根的综合应用】........................................................................................11 【题型6 无理数的识别】.......................................................................................................................................13 【题型7 无理数的大小估算】...............................................................................................................................14 【题型8 无理数整数部分有关计算】...................................................................................................................16 【题型9 实数的分类】...........................................................................................................................................18 【题型10 实数运算的实际应用】..........................................................................................................................21 【题型11 实数的性质】..........................................................................................................................................25 【题型12 实数与数轴的结合】..............................................................................................................................27 【题型13 实数的大小比较】.................................................................................................................................29 【题型14 实数的混合运算】.................................................................................................................................30 【题型15 与实数相关的规律问题】......................................................................................................................32 【题型16 新定义下的实数运算】...........................................................................................................................36 【题型1 算术平方根、平方根、立方根的概念】 【例1】（24-25八年级上·广东佛山·期末）下列说法正确的是（    ） A．64的立方根是 B．2是8的平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项计算判断即可． 【详解】解：A、64的立方根是4，原说法错误，故此选项不符合题意； B、2是4的一个平方根，原说法错误，故此选项不符合题意； C、1的算术平方根是1，说法正确，故此选项符合题意； D、没有平方根，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法正确的是（    ） A．是16的平方根 B．0没有平方根 C．25的平方根是5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是算术平方根和平方根，掌握相关定义和性质是解题的关键．依据平方根和算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：A．如果（），那么叫做的平方根．因为，所以是16的平方根，该选项说法正确，符合题意； B．因为，所以的平方根是，该选项说法错误，不符合题意； C．因为，所以25的平方根是，而不只是，该选项说法错误，不符合题意； D．表示49的算术平方根，算术平方根是非负的，因为，所以，而不是，该选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】（21-22七年级下·广西百色·期中）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义逐项判断即可，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、负数没有平方根，故原说法错误，不符合题意； B、负数没有算术平方根，故原说法错误，不符合题意； C、，的平方根是，故原说法错误，不符合题意； D、0的平方根与算术平方根都是0，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）算术平方根是________，的立方根是________，的平方根是________． 【答案】 【分析】此题考查了平方根、算术平方根与立方根的定义．此题比较简单，注意熟记定义是解此题的关键．由平方根、算术平方根、立方根的定义，即可求得答案． 【详解】解：算术平方根是，的立方根是，的平方根是， 故答案为：，， 【题型2 算术平方根、平方根、立方根的基础计算】 【例2】（24-25七年级下·全国·周测）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是求解一个数的算术平方根，立方根； （1）由，结合算术平方根的含义可得答案； （2）由，结合平方根的含义可得答案； （3）由，结合立方根的含义可得答案； （4）由，结合立方根的含义可得答案； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根． (1)25； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方根．解题关键是掌握平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：， 的平方根是； （2）解：， 的平方根是； （3）解：， 的平方根是． 【变式2-2】（2025七年级下·全国·专题练习）求下列各数的算术平方根： (1)900； (2)1； (3)； (4)14． 【答案】(1)30 (2)1 (3) (4) 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可解答； （2）根据算术平方根的定义即可解答； （3）根据算术平方根的定义即可解答； （4）根据算术平方根的定义即可解答； 【详解】（1）∵， ∴900的算术平方根为30； （2）∵， ∴1的算术平方根为1； （3） 的算术平方根为; （4）, 的算术平方根为. 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课前预习）求下列各数的立方根： (1)1000； (2)； (3)； (4)0.008． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是立方根的计算，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即如果，那么x叫做a的立方根． （1）根据立方根的概念计算即可； （2）根据立方根的概念计算即可； （3）根据立方根的概念计算即可； （4）根据立方根的概念计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以1000的立方根是10，即． （2）解：因为， 所以的立方根是，即． （3）解：因为， 所以的立方根是，即． （4）解：因为， 所以0.008的立方根是0.2，即． 【题型3 算术平方根的非负性的应用】 【例3-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，求的算术平方根． 【答案】3 【分析】根据非负性确定a，b的值，再计算的算术平方根． 本题考查了实数的非负性，算术平方根，熟练掌握非负性和算术平方根是解题的关键． 【详解】解：，，， ，， ，， ， 的算术平方根为3． 【例3-2】（10-11八年级·安徽芜湖·月考）已知都是实数，且，则________． 【答案】64 【分析】本题考查了算术平方根被开方数的非负性，利用算术平方根被开方数的非负性求出x值，再代入求出y值，即可求解．熟练掌握并灵活运用算术平方根被开方数的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 将代入， 得：， ∴． 故答案为：64． 【变式3-1】（2025·广东清远·三模）若与互为相反数，则的值为_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了相反数的定义，非负数的性质，根据相反数的定义得到，根据非负数的性质，可求出x、y的值，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·吉林·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了非负数的性质，直接利用非负数的性质得出，，的值，进而得出答案，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：． 【变式3-3】（24-25八年级下·广西防城港·期中）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件得出且，得出，再进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴且， 得， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型4 利用平方根、立方根解方程】 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根定义，准确计算即可． （1）直接开平方即可； （2）两边同时除以，然后两边开立方即可． 【详解】（1）解： 或； （2）解： ． 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏常州·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则， 解得； （2）解：， ， 则， 解得． 【变式4-2】（25-26八年级上·广东广州·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根的定义解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）直接利用平方根的定义求解即可； （2）移项，利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 当时， 当时， 或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】（24-25七年级下·福建福州·月考）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根与立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， 解得，． 【题型5 算术平方根、平方根和立方根的综合应用】 【例5】（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）已知的立方根是4，的算术平方根是5，c是9的算术平方根， (1)求a，b，c的值 (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可； （2）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，∴，∴； ∵，∴，∵，∴； ∵，∴； （2）把：代入得： ， ∵， ∴的平方根是：． 【点睛】本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数的平方是，叫做的平方根；算术平方根：一个非负数的平方是，叫做的算术平方根；立方根：一个数的立方是，叫做的立方根，是解题的关键． 【变式5-1】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求的值 (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根的定义，根据立方根和算术平方根的定义求出的值是解此题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义得出，，求解即可得出答案； （2）由（1）得：，求出的值，最后根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：的立方根是2，的算术平方根是3， ，， 解得：； （2）解：由（1）得：， ， 的平方根为． 【变式5-2】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根和平方根的定义，求出，的值是解题关键；先根据算术平方根和立方根的根指数定义列出方程组，求解得到的值，再代入的表达式求出，最后计算的立方根． 【详解】解：由题意知：， 解得：，， ∴ ∴，， ∴ ∴的立方根等于． 【变式5-3】（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，算术平方根及其非负性，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键． （1）根据平方根、立方根，以及算术平方根的非负性求解即可； （2）根据（1）所得结果，求出，进而得出算术平方根即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是2，， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知，，，， ， 的算术平方根是5． 【题型6 无理数的识别】 【例6】（24-25七年级上·山东泰安·期末）在实数（每两个1之间的3依次多1）中，其中无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了立方根和无理数的定义，熟知无理数的常见形式是解题的关键．首先计算，然后根据无理数是无限不循环小数判断即可． 【详解】解：， 根据无理数的定义可知：，，（每两个1之间的3依次多1）是无理数， 无理数的个数是个． 故选：B． 【变式6-1】（2024·甘肃临夏·中考真题） 下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．0.13133 【答案】A 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、是无理数，符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、0.13133是有理数，不符合题意； 故选A． 【变式6-2】（2025·广东·模拟预测）下列各数：，，3.14．，2.1717717771…（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”）．其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可． 【详解】解：3.14，是有理数．，，2.1717717771……（自左向右每两个“1”之间依次多一个“1”）是无理数． 故选：C． 【变式6-3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 【答案】，， 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数和无理数的定义，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握实数的分类及有理数和无理数的定义是解题的关键． 根据有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数进行分类即可． 【详解】解：， 由题意可得， 整数有：， 分数有：， 无理数有：， 故答案为：，，． 【题型7 无理数的大小估算】 【例7】（2024·四川南充·中考真题）如图，数轴上表示的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．先估算出的范围，再找出符合条件的数轴上的点即可． 【详解】解：∵， ∴数轴上表示的点是点C， 故选：C． 【变式7-1】（24-25八年级上·重庆·期末）估计的结果应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算．先估算的大小，再估算的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式7-2】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 【变式7-2】（24-25九年级上·江苏淮安·期中）若，且、为连续正整数，则= _______ 【答案】 【分析】本题考查实数的估算与大小比较的能力，先估算出的取值范围，得出，的值，进而可得出结论．根据题意求出，的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，为两个连续整数， ∴，， ∴． 故答案为：． 【题型8 无理数整数部分有关计算】 【例8】（23-24七年级下·北京·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，则___________________． 【答案】 【分析】本题考查无理数整数部分的有关计算，先求出，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，小数部分为， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式8-1】（2021九年级·北京·专题练习）若的整数部分是，小数部分是，则__． 【答案】． 【分析】先确定出的范围，即可推出a、b的值，把a、b的值代入求出即可． 【详解】解：， ，， ． 故答案为：． 【点睛】考查了估算无理数的大，解此题的关键是确定的范围8<<9，得出a,b的值． 【变式8-2】（25-26九年级上·重庆·期中）已知，则实数的整数部分为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的化简及无理数的估算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 通过估算的近似值，再计算的值，从而确定其整数部分即可． 【详解】解：∵，， ∴． 由得 ， ∴， 即， ∴的整数部分为2． 故答案为：2． 【变式8-3】（25-26八年级上·云南曲靖·开学考试）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）先估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，求出整数部分x和小数部分y，从而求出的值，再求出它的相反数即可； （3）先估算和的大小，再根据不等式的性质估算和的大小，分别求出小数部分和，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分， 故答案为：4，； （2）解：∵，即， ∴，， ∴的整数部分是10，小数部分是：， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数为：； （3）解：∵，即， ∴，，即， ∴，即， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴． 【题型9 实数的分类】 【例9】（24-25七年级下·全国·单元测试）把下列各数分别填在相应的集合中： ， （相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{        …}； 无理数集合：{       …} 正实数集合：{       …}； 负实数集合：{       …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查实数的分类，平方根与立方根，先化简，，再根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可． 【详解】解：有理数集合：； 无理数集合：{（相邻的两个2之间依次多一个0）}； 正实数集合：{（相邻的两个2之间依次多一个0）}； 负实数集合：． 【变式9-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（ ） A．带根号的数一定都是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数 D．能在数轴上表示出来的数都是有理数 【答案】B 【分析】本题考查了实数，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据实数的分类，无理数的意义，实数与数轴的关系，逐一判断即可解答． 【详解】带根号的数不一定都是无理数，如，是有理数，A选项错误； 无限不循环小数是无理数，B选项正确； 实数可以分为正实数、负实数和0，C选项错误； 能在数轴上表示出来的数不一定都是有理数，如可以在数轴上表示出来， 但不是有理数，D选项错误． 故选：B 【变式9-2】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）把下列各数填入相应的集合内（填序号）． ①，②，③，④，⑤，⑤0，⑦，⑧（每相邻两个1之间0的个数逐次加． (1)无理数集合{                    …}； (2)分数集合{                    …}； (3)负实数集合{                    …}． 【答案】(1)②③⑦⑧ (2)①④ (3)①②⑤⑦ 【分析】本题主要考查了实数的分类，熟知实数的分类方法是解题的关键． （1）无理数是无限不循环小数，据此可得答案； （2）分数是有限小数和无限循环小数的统称，据此可得答案； （3）负实数是小于0的无理数和有理数的统称，据此可得答案． 【详解】（1）解：， 无理数集合{②③⑦⑧}； （2）解：分数集合{①④}； （3）解：负实数集合{①②⑤⑦}． 【变式9-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，（相邻两个之间的逐次加），，，，． （1）整数集合：{________________}； （2）正分数集合：{________________}； （3）负有理数集合：{________________}； （4）无理数集合：{________________}； （5）非负整数集合：{________________}． 【答案】 ，，，， ， ，， ，，，（相邻两个之间的逐次加） ，， 【分析】本题考查实数的分类， （1）根据整数的定义选出即可； （2）根据正数和分数的定义选出即可； （3）根据负数和有理数的定义选出即可； （4）根据无理数的定义选出即可； （5）根据非负整数的定义（即正整数和零）选出即可； 解题的关键是明确实数包括无理数和有理数，无理数包括正无理数和负无理数，有理数包括正有理数，，负有理数． 【详解】解：，，， （1）整数集合：{，，，，，}， 故答案为：，，，，； （2）正分数集合：{，，}， 故答案为：，； （3）负有理数集合：{，，，}， 故答案为：，，； （4）无理数集合：{，，，（相邻两个之间的逐次加），}， 故答案为：，，，（相邻两个之间的逐次加）； （5）非负整数集合：{，，，}， 故答案为：，，． 【题型10 实数运算的实际应用】 【例10】（17-18七年级下·贵州黔西南·月考）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】的值为7或 【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 【变式10-1】（20-21七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积 故选A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长. 【变式10-2】（23-24九年级上·河南周口·月考）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 【变式10-3】（23-24七年级下·全国·单元测试）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． （1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解； （2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明； （3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 为有理数， ，， ，， 故答案为：，； （2）证明：， ， ，，， 为有理数， ，都是有理数， ，， ，； （3）解：， 的整数部分，小数部分， ， ， ， ， 为有理数， ， 解得：， ，． 【题型11 实数的性质】 【例11】（24-25七年级下·全国·单元测试）的相反数是_______；的绝对值是_______． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了实数的性质，根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是； 的绝对值是． 故答案为：，． 【变式11-1】（2005·广东深圳·中考真题）实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ）    A． B．b C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简绝对值，求一个数的算术平方根，实数与数轴，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值，求算术平方根即可得到答案． 【详解】解；由题意得，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式11-2】（19-20八年级上·贵州铜仁·期末）实数a，b的位置如图，化简：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求算术平方根，先根据数轴推出，再化简绝对值和计算算术平方根后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式11-3】（24-25八年级上·广东深圳·月考）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 【题型12 实数与数轴的结合】 【例12】（2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 由数轴可得，，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可． 【详解】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意； B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意； C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意； D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式12-1】（2024·山东青岛·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据绝对值的几何意义可知，一个实数的绝对值表示的是这个实数在数轴上与原点的距离，故离原点越近，其绝对值越小，据此可得答案． 【详解】解：由数轴上点的位置可知，， ∴这四个实数中绝对值最小的是， 故选：C． 【变式12-2】（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可． 【详解】解：根据数轴得， ∴， 故选：D． 【变式12-3】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，正方形的面积，算术平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据图形可知正方形的边长为1，面积为1，将两个边长为1正方形沿对角线剪开，拼成以对角线为边长的大正方形，利用大正方形的面积公式求得对角线的长度，即圆的半径，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可知，正方形的边长为1， 面积为1， 如图所示，将两个边长为1正方形沿对角线剪开，拼成以对角线为边长的大正方形， 则大正方形的面积为 设小正方形对角线长为，那么大正方形的边长为， 则， ， 圆的半径为， 点表示的数为． 故选：C． 【题型13 实数的大小比较】 【例13】（2023·江苏扬州·中考真题）已知，则a、b、c的大小关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 【变式13-1】（2025·福建·中考真题）下列实数中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查比较实数的大小，首先确定各数的正负性，再按负数小于0小于正数的顺序比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数为； 故选：A 【变式13-2】（18-19八年级上·海南省直辖县级单位·期中）比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，由可得，进而可得，即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【变式13-3】（24-25七年级下·福建福州·月考）若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，首先求出a、b、c的六次方，比较出它们的六次方的大小关系；然后根据：几个负实数，六次方越大，这个数越小，判断出的大小关系即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【题型14 实数的混合运算】 【例14】（24-25七年级上·山东东营·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算．注意有理数的运算律在实数范围内仍然适用． （1）依次利用平方根以及立方根定义对原式计算，然后再依次计算，即可得到结果． （2）先计算乘方，立方根，化简绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式14-1】（23-24七年级下·云南曲靖·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根，立方根，进行化简，即可求解； （2）根据有理数的立方，化简绝对值，求一个数的立方根，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式14-2】（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的计算，解题的关键是掌握立方根和平方根化简，再根据有理数的加减运算，进行计算，即可． （1）先开平方根，立方根，然后根据有理数的计算，即可； （2）根据平方根，立方根的知识，化简式子，然后进行计算，即可． 【详解】（1） 解：原式 ． （2） 解：原式 ． 【变式14-3】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可； （2）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可； （3）先根据算术平方根、立方根和实数的性质化简各数，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型15 与实数相关的规律问题】 【例15】（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可． 【详解】解：，，，， ∴第个数为， ∴第8个数为； 故选C． 【变式15-1】（21-22七年级下·广东惠州·期末）有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将这列数据改写成：，，，，，…，按照三步确定结果：一确定符号，二确定分子，三确定分母即可． 【详解】解：，，，，，…可写出： ，，，，，…， ∴第10个数为， 故选：D． 【点睛】本题考查数字类变化规律，解题的关键是把已知的一列数变形，找到变化规律． 【变式15-2】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（）行的数据的个数是解题的关键． 观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出行的数据的个数，再加上得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可。 【详解】前行的数据的个数为， 所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是， 所以，第10行从左向右数第7个数是． 故选B． 【变式15-3】（24-25九年级下·重庆·开学考试）已知恒等式，其中为正整数，下列说法： ①； ②当时，； ③当为奇数时，； ④当为偶数时，． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法的应用及实数的运算，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题． 利用整式的乘法法则，当时，，， 可判断①错误；当时，，经过计算，可判断②错误；当为奇数时，令,则，，得，可判断③正确；当为偶数时，当时， ； 当时，； ,依此类推，可判断④正确；即可判断出有几个正确的． 【详解】解：①当时，，， 故①错误； ②当时，， ，，，，， ， 故②错误； ③当为奇数时，令, 则 ， ， ， 故③正确； ④当为偶数时， 当时，， ； 当时，， ； , 依此类推， 故④正确； 故答案为：B． 【题型16 新定义下的实数运算】 【例16】（2023·湖南怀化·中考真题）定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么__________． 【答案】 【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 即 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键． 【变式16-1】（20-21八年级上·福建泉州·期中）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算，，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式16-2】（2023·四川广安·中考真题）定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是___________． 【答案】 【分析】先根据可得一个关于的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值，理解新运算的定义是解题关键． 【变式16-3】（24-25七年级上·河北张家口·期末）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有（   ）个 ①；②；③；④若，且，则或 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查新定义、无理数的整数部分、有理数的运算等知识点，理解新定义成为解题的关键． 根据新定义、无理数的整数部分可判断①、②和③；根据，且，求出或即可判断④． 【详解】解：由题可知： ，， 故①正确；②③错误； 由，则或， 当时，，； 当时，，； 所以④错误． 所以正确的只有①，即1个． 故选A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 《实数》专项突破（基础+培优） 【新人教版】 【题型1 算术平方根、平方根、立方根的概念】...............................................................................................1 【题型2 算术平方根、平方根、立方根的基础计算】.........................................................................................2 【题型3 算术平方根的非负性的应用】.................................................................................................................2 【题型4 利用平方根、立方根解方程】................................................................................................................3 【题型5 算术平方根、平方根和立方根的综合应用】........................................................................................3 【题型6 无理数的识别】........................................................................................................................................4 【题型7 无理数的大小估算】................................................................................................................................4 【题型8 无理数整数部分有关计算】....................................................................................................................5 【题型9 实数的分类】............................................................................................................................................5【题型10 实数运算的实际应用】...........................................................................................................................6 【题型11 实数的性质】...........................................................................................................................................7 【题型12 实数与数轴的结合】...............................................................................................................................8 【题型13 实数的大小比较】..................................................................................................................................9 【题型14 实数的混合运算】..................................................................................................................................9 【题型15 与实数相关的规律问题】....................................................................................................................10 【题型16 新定义下的实数运算】........................................................................................................................11 【题型1 算术平方根、平方根、立方根的概念】 【例1】（24-25八年级上·广东佛山·期末）下列说法正确的是（    ） A．64的立方根是 B．2是8的平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【变式1-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法正确的是（    ） A．是16的平方根 B．0没有平方根 C．25的平方根是5 D． 【变式1-2】（21-22七年级下·广西百色·期中）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0 【变式1-3】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）算术平方根是________，的立方根是________，的平方根是________． 【题型2 算术平方根、平方根、立方根的基础计算】 【例2】（24-25七年级下·全国·周测）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根． (1)25； (2)； (3)． 【变式2-2】（2025七年级下·全国·专题练习）求下列各数的算术平方根： (1)900； (2)1； (3)； (4)14． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课前预习）求下列各数的立方根： (1)1000； (2)； (3)； (4)0.008． 【题型3 算术平方根的非负性的应用】 【例3-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，求的算术平方根． 【例3-2】（10-11八年级·安徽芜湖·月考）已知都是实数，且，则________． 【变式3-1】（2025·广东清远·三模）若与互为相反数，则的值为_____． 【变式3-2】（24-25七年级下·吉林·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25八年级下·广西防城港·期中）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【题型4 利用平方根、立方根解方程】 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏常州·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【变式4-2】（25-26八年级上·广东广州·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【变式4-3】（24-25七年级下·福建福州·月考）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【题型5 算术平方根、平方根和立方根的综合应用】 【例5】（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）已知的立方根是4，的算术平方根是5，c是9的算术平方根， (1)求a，b，c的值 (2)求的平方根． 【变式5-1】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求的值 (2)求的平方根． 【变式5-2】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【变式5-3】（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【题型6 无理数的识别】 【例6】（24-25七年级上·山东泰安·期末）在实数（每两个1之间的3依次多1）中，其中无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-1】（2024·甘肃临夏·中考真题） 下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．0.13133 【变式6-2】（2025·广东·模拟预测）下列各数：，，3.14．，2.1717717771…（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”）．其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 【题型7 无理数的大小估算】 【例7】（2024·四川南充·中考真题）如图，数轴上表示的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式7-1】（24-25八年级上·重庆·期末）估计的结果应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【变式7-2】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25九年级上·江苏淮安·期中）若，且、为连续正整数，则= _______ 【题型8 无理数整数部分有关计算】 【例8】（23-24七年级下·北京·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，则___________________． 【变式8-1】（2021九年级·北京·专题练习）若的整数部分是，小数部分是，则__． 【变式8-2】（25-26九年级上·重庆·期中）已知，则实数的整数部分为_____． 【变式8-3】（25-26八年级上·云南曲靖·开学考试）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【题型9 实数的分类】 【例9】（24-25七年级下·全国·单元测试）把下列各数分别填在相应的集合中： ， （相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{        …}； 无理数集合：{       …} 正实数集合：{       …}； 负实数集合：{       …}． 【变式9-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（ ） A．带根号的数一定都是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数 D．能在数轴上表示出来的数都是有理数 【变式9-2】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）把下列各数填入相应的集合内（填序号）． ①，②，③，④，⑤，⑤0，⑦，⑧（每相邻两个1之间0的个数逐次加． (1)无理数集合{                    …}； (2)分数集合{                    …}； (3)负实数集合{                    …}． 【变式9-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，（相邻两个之间的逐次加），，，，． （1）整数集合：{________________}； （2）正分数集合：{________________}； （3）负有理数集合：{________________}； （4）无理数集合：{________________}； （5）非负整数集合：{________________}． 【题型10 实数运算的实际应用】 【例10】（17-18七年级下·贵州黔西南·月考）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【变式10-1】（20-21七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【变式10-2】（23-24九年级上·河南周口·月考）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【变式10-3】（23-24七年级下·全国·单元测试）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【题型11 实数的性质】 【例11】（24-25七年级下·全国·单元测试）的相反数是_______；的绝对值是_______． 【变式11-1】（2005·广东深圳·中考真题）实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ）    A． B．b C． D． 【变式11-2】（19-20八年级上·贵州铜仁·期末）实数a，b的位置如图，化简：_________． 【变式11-3】（24-25八年级上·广东深圳·月考）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 【题型12 实数与数轴的结合】 【例12】（2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2024·山东青岛·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【变式12-2】（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【题型13 实数的大小比较】 【例13】（2023·江苏扬州·中考真题）已知，则a、b、c的大小关系是(   ) A． B． C． D． 【变式13-1】（2025·福建·中考真题）下列实数中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D．2 【变式13-2】（18-19八年级上·海南省直辖县级单位·期中）比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【变式13-3】（24-25七年级下·福建福州·月考）若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型14 实数的混合运算】 【例14】（24-25七年级上·山东东营·期末）计算 (1) (2) 【变式14-1】（23-24七年级下·云南曲靖·期中）计算： (1) (2)． 【变式14-2】（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【变式14-3】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型15 与实数相关的规律问题】 【例15】（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（21-22七年级下·广东惠州·期末）有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【变式15-3】（24-25九年级下·重庆·开学考试）已知恒等式，其中为正整数，下列说法： ①； ②当时，； ③当为奇数时，； ④当为偶数时，． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型16 新定义下的实数运算】 【例16】（2023·湖南怀化·中考真题）定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么__________． 【变式16-1】（20-21八年级上·福建泉州·期中）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【变式16-2】（2023·四川广安·中考真题）定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是___________． 【变式16-3】（24-25七年级上·河北张家口·期末）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有（   ）个 ①；②；③；④若，且，则或 A．1 B．2 C．3 D．4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $