专题01 二次根式全章11常考题型6易错4方法（期中复习知识清单）八年级数学下学期新教材人教版

专题01 二次根式 思维导图 串 考点清单 理 【知识点一】二次根式的定义（*） 定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【补充说明】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 【知识点二】二次根式的性质（**） 性质 文字语言 应用 一个非负数的算术平方根是非负数 若则a=b=0 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 正用公式： 逆用公式： 一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值 正用公式： 逆用公式： 【知识点三】最简二次根式（*） 定义：同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： 1）被开方数不含分母； 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. [举例] 都是最简二次根式，不是最简二次根式 【知识点四】同类二次根式（*） 定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式. 【解读】 1）同类二次根式类似于整式中的同类项，如：是同类二次根式. 2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数可以完全互不相同，如：. 3）判断两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，若它们的被开方数相同，则它们是同类二次根式，否则它们不是同类二次根式. 【知识点五】二次根式的乘法（**） 法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 【解读】 1）公式中a，b既可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，否则无意义. 2）逆用： 【知识点六】二次根式的除法（**） 法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 【注意】 1）要注意a≥0且b＞0这个前提条件，不要与乘法法则的前提条件混淆. 2）逆用： 【知识点七】二次根式加减法（**） 法则：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 【解读】 1）合并同类二次根式与合并同类项类似，即只把“系数”相加减，而根号部分不变. 2）二次根式加减运算的实质：合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 【知识点八】二次根式混合运算（***） 二次根式的混合运算关键是遵循高级运算优先原则，同级运算按从左到右的顺序进行，且要正确运用分配律，不要随意地添加括号. 【运算技巧】 题型清单 解 二次根式的基本性质应用（共3小题） 【例1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）若，化简：（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，需利用的性质，结合已知判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号进行计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 则原式 ． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·河北保定·期末）a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，化简绝对值等知识点，解题的关键是正确从数轴得到的大小关系以及符号． 由数轴可得，则可化为，再化简绝对值进行整式的加减计算即可． 【详解】解：由数轴可得 ∴ ， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知的结果为正整数，则正整数的最小值为_____________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了化简二次根式，先利用二次根式的性质化简，根据化简结果为正整数的条件，确定需为完全平方数，进而求出正整数的最小值． 【详解】解：， ∵的结果为正整数， ∴是正整数， ∴是完全平方数， ∵n为正整数， ∴n的最小值为， 故答案为：3．二次根式的非负性简单应用（共3小题） 【例2】（25-26八年级上·四川雅安·期中）已知x，y都是实数，且y＝＋＋4，则＝________． 【答案】 64 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件确定x的取值，再求出y的值，最后进行幂的运算求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 将代入， 得， ∴． 故答案为：64． 【变式1】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）已知，则的值为__________________ 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的非负性，解二元一次方程组，完全平方公式，代数式求值． 将化为，根据二次根式的非负性，平方的非负性得到关于和的方程组，解方程组后求的值即可． 【详解】解：， ∵，， ∴，， ∴，， 即， 解得：， 则． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，求的平方根______ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求算术平方根． 根据二次根式有意义的条件，可得，进而判断出的符号，化简绝对值．将方程整理后，利用非负数的性质，得到m和n的值，再求的平方根． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， ∴， ， ， ∴， 原方程化为：， 两边同时减去，得：， ∵，， ∴且， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：．二次根式的估值（共3小题） 【例3】（24-25八年级下·福建厦门·期末）已知实数，则a所在的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，把化为，再估算出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 即． 故选：C 【变式1】（24-25九年级下·重庆石柱·期中）已知，则实数的范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算及无理数的估算是解题的关键． 先根据二次根式的混合运算法则计算得，再根据无理数的估算即可得出结果． 【详解】解： 故选：B． 【变式2】（2024·安徽淮北·模拟预测）若估算的值在整数n和之间，则n=______． 【答案】4 【分析】本题考查估算无理数的大小．先化简，然后用平方法估算的大小即可． 【详解】解：， 又 即， ， 又的值在整数n和（n＋1）之间， ． 故答案为：4．与同类/最简二次根式有关的含参问题（共3小题） 【例4】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为________________． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式．根据同类二次根式的定义，将化为最简二次根式后，被开方数为5，因此令的被开方数等于5，解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，，其被开方数为5， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为____． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同，列出等式求出的值，再代入所求根式计算即可． 【详解】解：因为最简二次根式 与 可以合并， 所以。 解得， 故答案为：． 【变式2（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：．二次根式的加减运算（共3小题） 【例5】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，核心知识点是二次根式的化简与同类二次根式的合并．先把题目中的每个二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式的系数进行加减运算，最终得到结果． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·河北承德·期中）已知，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查一元一次方程的求解．通过移项求解方程即可． 【详解】解：由，移项得，化简得． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江黑河·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简与运算，零指数幂，有理数的乘方，掌握二次根式的化简方法，合并同类二次根式法则，零指数幂的性质即可计算求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 二次根式的乘除运算（共3小题） 【例6】（24-25八年级下·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【详解】解： ． 故选：D． 【变式1】（2025·江苏南京·一模）计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式乘除运算，解题的关键是掌握相应的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2（25-26八年级上·安徽宿州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算、求一个数的算术平方根和立方根，以及二次根式的乘法和除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别计算算术平方根和立方根，然后再进行加减运算即可； （2）原式自左向右依次进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 二次根式的混合运算（共3小题） 【例7】（2025八年级上·全国·专题练习）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了二次根式的混合运算． 先根据算术平方根的定义得到，可得，然后把x、y的值代入，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解：， ， 的整数部分为1，小数部分为， ， ． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先判断，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴输出的值为2． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质．先运用二次根式的性质化简，再运算乘除，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 二次根式的化简求值问题（共5小题） 【例8】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知，分别求下列代数式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， 【变式1】（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据已知求出和的值，然后利用因式分解进行计算即可解答． 【详解】解：， ，， ． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； （）由已知可得，，再把原式转化为，进而代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 【变式3】（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）将两式相加后，利用平方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 【变式4】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为，根据平方的非负性质得，，继而得到，，，再将化为，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】由得到， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． 二次根式与实际问题（共4小题） 【例9】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【答案】(1) (2)不能围成这两个正方形 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减，无理数的估算． （1）先求出，的代数式，再相加即可； （2）求出这两个正方形的总周长，进而判断即可． 【详解】（1）解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； （2）解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为， ∵，，， ∴ ∴不能围成这两个正方形． 【变式1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为________和________； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出________块这样的木条． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据算术平方根的定义解答即可求解； （）求出大正方形的边长，再用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可； （）求出和的近似值，进而即可求解； 本题考查了算术平方根的应用，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴裁去的两块正方形木料的边长分别为和， 故答案为：，； （2）解：由（）可得，大正方形的边长为， ∴剩余木料（阴影部分）的面积； （3）解：∵，， ∵，， ∴最多可以裁出块这样的木条， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了“海伦公式”的应用，二次根式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将，，代入公式计算得出，然后再代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ． 【变式3】（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题． (1)已知一块三角形实践基地的三边长分别为时，判断这块实践基地的形状，并说明理由； (2)在中，已知，，，求的面积； 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理逆定理，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值． （1）通过计算三边的平方关系，判断三角形形状； （2）利用海伦公式计算三角形面积． 【详解】（1）解：实践基地是直角三角形； 理由：∵三边长分别为， ，， ， ∴该三角形是直角三角形． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴的面积是． 与二次根式有关的新定义问题（共3小题） 【例10】（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加减运算．根据定义，分别计算和，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴ ． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）对于任意不相等的两个实数a，b，定义一种运算“※”如下：，则______． 【答案】 【分析】本题考查新定义的实数运算，二次根式的乘除混合运算，根据新定义的运算，结合二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·浙江金华·期末）对于任意两个非零实数，，定义运算“”如下：，如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)计算：______，______． (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，实数的运算，理解题意并列得正确的算式或方程是解题的关键． （1）根据定义的新运算列式计算即可； （2）由题意易得，根据定义的运算列得一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）∵， ∴， 整理得：， 解得：，． 与二次根式有关的规律探究问题（共4小题） 【例11】（24-25八年级下·云南文山·期中）观察下列按一定规律排列的二次根式：，，，，…根据你发现的规律猜想第n（n是正整数）个二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字变化的规律，二次根式的乘法运算，能根据所给的二次根式，找出被开方数的变化规律是解题的关键．先把前面给定的几个二次根式化为具有相同规律的形式，再总结归纳即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 第个式子是． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·河南开封·期末）观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（   ） ；；；⋯ A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式规律探究，分式的乘法与加减混合运算观察各等式左边为带分数的平方根，右边为整数乘以分数部分的平方根．通过分析整数部分、分子、分母与n的关系，确定通式． 【详解】解：观察左边结构：每个等式左边为，其中整数部分为，分数部分分子为，分母为．例如： 当时，； 当时，． 验证右边结构：右边为，展开后与左边相等． 例如：当时，； 当时，． 则， 故选：A 【变式2】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第5行的最后一个数是_______；第n（n为整数且）行从左向右数第个数是_______（用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，观察可知第n行有个数，且这些数字是从1开始的连续的正整数的算术平方根，据此求出前五行一共有多少个数字即可得到第一空的答案；先求出前行的数字的个数，再加上，所得结果取算术平方根即可得到第二空的答案． 【详解】解：第一行有个数， 第二行有个数， 第三行有个数， ……， 以此类推，可知，第n行有个数， ∴前五行一共有个数， ∵这些数字是从1开始的连续的正整数的算术平方根 ∴第5行的最后一个数是； 前行一共有个数， ∴第n（n为整数且）行从左向右数第个数是， 故答案为：；． 【变式3】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； ②利用前面规律写出第个等式， （2）根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 【详解】解：（1）① 故答案为：． ② 故答案为：． （2）证明：等式左边 又， 右边， 等式成立 （3）原式 最简二次根式的识别（共3小题） 【例1】（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解： A选项，不是最简二次根式， B选项，，不是最简二次根式， C选项，，不是最简二次根式， D选项，是最简二次根式． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）下列二次根式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简． 根据二次根式的性质，对各选项进行化简判断即可． 【详解】解：A．，原化简不正确，不符合题意； B．， 原化简不正确，不符合题意； C．，原化简正确，符合题意； D． ，原化简不正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·河南新乡·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式，进行判断即可． 【详解】：被开方数为，其中3是质数，为未知数，无平方因子，且不含分母，故为最简二次根式． ：，被开方数含分母5，故不是最简二次根式． ：被开方数含分母7，故不是最简二次根式． ：被开方数为多项式，无法分解为平方形式，且不含分母，故为最简二次根式． 综上：最简二次根式的个数有2个； 故选C． 同类二次根式的识别（共3小题） 【例2】（25-26九年级上·海南海口·期末）下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式化简，同类二次根式；找出与是同类二次根式的选项，即化简后被开方数均为2的二次根式即可． 【详解】解：A、，被开方数为3，故A不符合题意； B、，被开方数为2，故B符合题意； C、，是整式，不是二次根式，故C不符合题意； D、，被开方数为3，故D不符合题意． 故选：B. 【变式1】（25-26九年级上·四川遂宁·期中）下列二次根式与是同类二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：是最简二次根式，被开方数为． 选项A：，被开方数为，不符合题意． 选项B：，被开方数为，符合题意． 选项C：，被开方数为，不符合题意． 选项D：，被开方数为，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·上海静安·期中）下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同类二次根式的判断．解题的关键在于，需化简为最简二次根式后，检查被开方数是否相同．根据二次根式的化简，化简后再判断出同类二次根式即可． 【详解】选项A：化简 ，化简 ，两式最简形式被开方数均为，为同类二次根式．符合题意； 选项B: 和 ，被开方数分别为 和 ，故不是同类二次根式，不符合题意； 选项 C: 和 ，被开方数分别为和，故不是同类二次根式，不符合题意； 选项D: 和 ，化简后不是二次根式，故不是同类二次根式，不符合题意． 故选A． 含参数的化简忽略绝对值（共3小题） （共小题） 【例3】（25-26八年级上·北京顺义·期中）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式性质，把问题转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解： ∴， 解得． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据可得． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·上海闵行·月考）已知，请你化简下列代数式_________． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的化简和加法，正确化简二次根式是关键． 由已知条件 可知 ，从而在化简时需考虑，即 ，由于 ，有 ，代入代数式 并合并同类二次根式即可． 【详解】解：由 ， ∵ ， ∴ ， 故，且 。 ∴， 代入 ， 得。 故答案为：． 二次根式混合运算中，判断错误原因（共2小题） 【例4】（25-26八年级上·广东深圳·期中）下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误： 解：原式   ①                     ②                          ③ 任务一：小雷同学的解答过程是从第 步开始出现错误的（写步骤序号）； 任务二：请你写出正确的解答过程． 【答案】任务一：①；任务二：，过程见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式．解决本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式，完全平方公式，二次根式性质，合并同类二次根式． 任务一：小雷同学在计算第①步时，使用完全平方公式计算出错； 任务二：首先利用单项式乘多项式、完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：任务一：从第①步开始出现错误． 故答案为：①． 任务二：原式 ． 【变式1】（23-24八年级下·山东聊城·期末）以下是某同学化简二次根式：的运算过程： 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 (1)上面的运算过程中第一步出现了两个错误，分别是：①______，②______；第二步出现了一个错误：③______． (2)请你写出正确完整的解答过程． 【答案】(1)①；②；③ (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，绝对值的意义以及算术平方根的定义等知识． （1）根据完全平方公式，绝对值的意义以及算术平方根的定义求解即可． （2）按照二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：① ② ③ 故答案为：；； （2） 二次根式的求值计算（共3小题） 【例5】（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案． 【详解】解:∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴； ①，即， ②，即， ③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7， ∴自然数的所有可能取值的和为． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 【变式2】（2024·湖南·二模）《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，则的面积为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴， 故答案为：．二次根式乘除运算中忽略被开方数非负隐含条件（共3小题） 【例6】（24-25八年级下·湖北黄石·月考）若，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，掌握二次根式中被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式被开方数为非负数列式，求不等式的解集即可求解． 【详解】解：根据题意得到，，， ∴， 故答案为： ． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如果成立，那么的取值范围是：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的定义，解一元一次不等式组，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，且分母不能为零，得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【变式2】若等式成立，则x的取值范围是______． 【答案】． 【分析】 根据二次根式的性质和绝对值法则列不等式即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的性质，绝对值法则，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件和绝对值的法则列不等式． 二次根式有意义的取值范围判定（共3小题） 解题方法：1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【例1】（24-25九年级上·河南南阳·月考）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围为______． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握以上知识，正确列式求解是关键． 根据二次根式有意义的条件得，分式有意义的条件得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴且， 故答案为：且 ． 【变式1】（2024·湖北·一模）在函数中，自变量x的取值范围是_________ 【答案】且 【分析】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，求自变量的取值范围．熟练地掌握相关结论是解题的关键．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：且． 故答案为：且． 【变式2】（24-25八年级上·四川巴中·月考）已知：有意义，求的值． 【答案】6 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件、算术平方根求法等知识，熟记二次根有意义的条件及算术平方根求法是解决问题的关键． 先由二次根式有意义的条件求出，进而得到，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：， ，则， ． 含二次根式的代数式大小比较（共3小题） 【例2】（23-24九年级上·河南周口·月考）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案； （2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，， 又，即， ， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·广东佛山·期中）我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若，，比较和的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再代中计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： （2）， （3）， ， ， ， ． 【变式2】（24-25九年级上·吉林长春·期中）在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． (1)填空：________；________． (2)试猜想与的大小，并说明理由． (3)请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)厘米 【分析】（1）将需要比较大小的两个数作差，其结构符合完全平方式，利用平方的非负性证明即可； （2）根据（1）中结果猜想，并利用完全平方公式及平方的非负性对猜想进行证明即可； （3）做对角线的竹条的和符合（2）中的形式，根据风筝面积求出对角线长度的积，应用（2）中的结论即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ， ∴； 故答案为：；． （2）猜想：． 理由：∵， ∴ ， ∴； （3）设，， ∵四边形为，， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴用来做对角线的竹条至少要厘米． 【点睛】本题考查平方的非负性，二次根式的大小比较，完全平方公式，二次根式的实际应用，识别出完全平方式的结构是解题的关键，同时注意已证明结论的迁移应用． 复合二次根式的化简（共4小题） 解题方法：对于复合二次根式，设法找到两个正数x，y（x＞y＞0），使， 则 【例3】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为______． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 【变式1】（2024九年级·全国·竞赛）若为的小数部分，为的小数部分，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】将两个根式分别用完全平方公式进行化简，再代入，即可求解，本题考查了完全平方公式，根式的化简，分母有理化。解题的关键是：熟练掌握配方法，化简根式． 【详解】， ， ，整数部分为， ， ， ， ，整数部分为， ， ， 故答案为：． 【变式2】（22-23八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式”______． 【答案】/ 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键． 【变式3】（2024八年级下·江西上饶·竞赛）像，…这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 根据上述方法解决下列问题： (1)化简：①；②； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）先将凑成完全平方式，逐步对内部被开方数化简，计算即可． 【详解】（1）解：①． ②． （2）解：设，两边平方可得： ， 所以． 则． 又因为， 所以． （3）∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴原式． 分母有理化（共3小题） 【例4】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）化简______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，设，利用完全平方公式求出的值，再进行分母有理化，最后相加即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴ 又∵， ∴原式， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·江苏·月考）两个根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与、与等都是互为有理化因式． 例如：；…… (1)请仿照上述过程，化去下式分母中的根号：（n为正整数）； (2)比较与的大小．（n为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）把所求分式的分子和分母同时乘以进行分母有理化即可； （2）把两个式子的倒数进行分母有理化，比较出两个式子的倒数的大小，由于两个式子都是正数，则可比较出这两个数的大小． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿示例，分子分母同乘，利用平方差公式分母有理化； （2）观察示例规律，给的分子分母同乘​，化简得到式子； （3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与相乘计算结果 【详解】（1）解：分子分母同乘： 原式 ． （2）解：分子分母同乘​： 原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，掌握利用平方差公式对​型分式分母有理化，及相邻二次根式差的合并规律是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式 思维导图 串 考点清单 理 【知识点一】二次根式的定义（*） 定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【补充说明】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 【知识点二】二次根式的性质（**） 性质 文字语言 应用 一个非负数的算术平方根是非负数 若则a=b=0 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 正用公式： 逆用公式： 一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值 正用公式： 逆用公式： 【知识点三】最简二次根式（*） 定义：同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： 1）被开方数不含分母； 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. [举例] 都是最简二次根式，不是最简二次根式 【知识点四】同类二次根式（*） 定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式. 【解读】 1）同类二次根式类似于整式中的同类项，如：是同类二次根式. 2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数可以完全互不相同，如：. 3）判断两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，若它们的被开方数相同，则它们是同类二次根式，否则它们不是同类二次根式. 【知识点五】二次根式的乘法（**） 法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 【解读】 1）公式中a，b既可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，否则无意义. 2）逆用： 【知识点六】二次根式的除法（**） 法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 【注意】 1）要注意a≥0且b＞0这个前提条件，不要与乘法法则的前提条件混淆. 2）逆用： 【知识点七】二次根式加减法（**） 法则：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 【解读】 1）合并同类二次根式与合并同类项类似，即只把“系数”相加减，而根号部分不变. 2）二次根式加减运算的实质：合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 【知识点八】二次根式混合运算（***） 二次根式的混合运算关键是遵循高级运算优先原则，同级运算按从左到右的顺序进行，且要正确运用分配律，不要随意地添加括号. 【运算技巧】 题型清单 解 二次根式的基本性质应用（共3小题） 【例1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）若，化简：（   ） A． B． C． D．3 【变式1】（25-26八年级上·河北保定·期末）a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知的结果为正整数，则正整数的最小值为_____________． 二次根式的非负性简单应用（共3小题） 【例2】（25-26八年级上·四川雅安·期中）已知x，y都是实数，且y＝＋＋4，则＝________． 【变式1】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）已知，则的值为__________________ 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，求的平方根______ ． 二次根式的估值（共3小题） 【例3】（24-25八年级下·福建厦门·期末）已知实数，则a所在的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·重庆石柱·期中）已知，则实数的范围（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·安徽淮北·模拟预测）若估算的值在整数n和之间，则n=______． 与同类/最简二次根式有关的含参问题（共3小题） 【例4】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为________________． 【变式1】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为____． 【变式2（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 二次根式的加减运算（共3小题） 【例5】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）计算：________． 【变式1】（25-26八年级上·河北承德·期中）已知，则______． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江黑河·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 二次根式的乘除运算（共3小题） 【例6】（24-25八年级下·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【变式1】（2025·江苏南京·一模）计算：______． 【变式2（25-26八年级上·安徽宿州·期中）计算： (1)； (2)． 二次根式的混合运算（共3小题） 【例7】（2025八年级上·全国·专题练习）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（　　） A． B． C．2 D． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： 二次根式的化简求值问题（共5小题） 【例8】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知，分别求下列代数式的值． (1)． (2)． 【变式1】（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，求的值． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 【变式3】（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【变式4】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 二次根式与实际问题（共4小题） 【例9】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【变式1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为________和________； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出________块这样的木条． 【变式2】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 【变式3】（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题． (1)已知一块三角形实践基地的三边长分别为时，判断这块实践基地的形状，并说明理由； (2)在中，已知，，，求的面积； 与二次根式有关的新定义问题（共3小题） 【例10】（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）对于任意不相等的两个实数a，b，定义一种运算“※”如下：，则______． 【变式2】（24-25八年级下·浙江金华·期末）对于任意两个非零实数，，定义运算“”如下：，如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)计算：______，______． (2)若，求的值． 与二次根式有关的规律探究问题（共4小题） 【例11】（24-25八年级下·云南文山·期中）观察下列按一定规律排列的二次根式：，，，，…根据你发现的规律猜想第n（n是正整数）个二次根式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·河南开封·期末）观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（   ） ；；；⋯ A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第5行的最后一个数是_______；第n（n为整数且）行从左向右数第个数是_______（用含n的代数式表示）． 【变式3】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 最简二次根式的识别（共3小题） 【例1】（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）下列二次根式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河南新乡·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 同类二次根式的识别（共3小题） 【例2】（25-26九年级上·海南海口·期末）下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·四川遂宁·期中）下列二次根式与是同类二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海静安·期中）下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 含参数的化简忽略绝对值（共3小题） （共小题） 【例3】（25-26八年级上·北京顺义·期中）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海闵行·月考）已知，请你化简下列代数式_________． 二次根式混合运算中，判断错误原因（共2小题） 【例4】（25-26八年级上·广东深圳·期中）下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误： 解：原式   ①                     ②                          ③ 任务一：小雷同学的解答过程是从第 步开始出现错误的（写步骤序号）； 任务二：请你写出正确的解答过程． 【变式1】（23-24八年级下·山东聊城·期末）以下是某同学化简二次根式：的运算过程： 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 (1)上面的运算过程中第一步出现了两个错误，分别是：①______，②______；第二步出现了一个错误：③______． (2)请你写出正确完整的解答过程． 二次根式的求值计算（共3小题） 【例5】（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【变式2】（2024·湖南·二模）《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，则的面积为___________． 二次根式乘除运算中忽略被开方数非负隐含条件（共3小题） 【例6】（24-25八年级下·湖北黄石·月考）若，那么的取值范围是___________． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）如果成立，那么的取值范围是：______． 【变式2】若等式成立，则x的取值范围是______． 二次根式有意义的取值范围判定（共3小题） 解题方法：1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【例1】（24-25九年级上·河南南阳·月考）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围为______． 【变式1】（2024·湖北·一模）在函数中，自变量x的取值范围是_________ 【变式2】（24-25八年级上·四川巴中·月考）已知：有意义，求的值． 含二次根式的代数式大小比较（共3小题） 【例2】（23-24九年级上·河南周口·月考）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 【变式1】（24-25八年级上·广东佛山·期中）我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若，，比较和的大小． 【变式2】（24-25九年级上·吉林长春·期中）在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． (1)填空：________；________． (2)试猜想与的大小，并说明理由． (3)请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 复合二次根式的化简（共4小题） 解题方法：对于复合二次根式，设法找到两个正数x，y（x＞y＞0），使， 则 【例3】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为______． 【变式1】（2024九年级·全国·竞赛）若为的小数部分，为的小数部分，则的值为_______． 【变式2】（22-23八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式”______． 【变式3】（2024八年级下·江西上饶·竞赛）像，…这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 根据上述方法解决下列问题： (1)化简：①；②； (2)化简：； (3)化简：． 分母有理化（共3小题） 【例4】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）化简______． 【变式1】（25-26八年级上·江苏·月考）两个根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与、与等都是互为有理化因式． 例如：；…… (1)请仿照上述过程，化去下式分母中的根号：（n为正整数）； (2)比较与的大小．（n为正整数） 【变式2】（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $